2023學(xué)年山西省祁縣二中高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C．7 D．22．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．3．已知中內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．4．一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線(xiàn)的右支上，且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知全集，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．6．己知函數(shù)的圖象與直線(xiàn)恰有四個(gè)公共點(diǎn)，其中，則（）A． B．0 C．1 D．7．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)，，則（）A． B．C． D．9．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i11．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．12．已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球（），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個(gè)組的概率為_(kāi)_________.14．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．15．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是______________.16．在中，，．若，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘）將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”．（1）請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表：并通過(guò)計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會(huì)交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63518．（12分）已知兩數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的最大值．19．（12分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點(diǎn)，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長(zhǎng).20．（12分）已知橢圓（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，、、為橢圓上不同的三點(diǎn)，且滿(mǎn)足，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)、的斜率都存在，求證：為定值；（2）求的取值范圍．21．（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷(xiāo)活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來(lái)該健身館健身，設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的概率分別為，，健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別為，，且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）此促銷(xiāo)活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來(lái)參與健身活動(dòng)，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)測(cè)此次促銷(xiāo)活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.22．（10分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，求的值．

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【答案解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出結(jié)果．【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，故選：B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．2、A【答案解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【題目詳解】依題意得，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.此時(shí),，，的最小值為，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.3、A【答案解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計(jì)算即可.【題目詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.4、D【答案解析】

因?yàn)殡p曲線(xiàn)分左右支，所以，根據(jù)雙曲線(xiàn)和正三角形的對(duì)稱(chēng)性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線(xiàn)可解得．【題目詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)分左右支，所以，根據(jù)雙曲線(xiàn)和正三角形的對(duì)稱(chēng)性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線(xiàn)方程得：，即，由得．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．5、C【答案解析】

先求B.再求，求得則子集個(gè)數(shù)可求【題目詳解】由題=,則集合,故其子集個(gè)數(shù)為故選C【答案點(diǎn)睛】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個(gè)數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6、A【答案解析】

先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為，結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及其范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得的值.【題目詳解】函數(shù)即直線(xiàn)與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象知直線(xiàn)與函數(shù)相切于，，因?yàn)?，故，所?故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.7、C【答案解析】分析：從兩個(gè)方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，也推不出成立，從而必要性也不滿(mǎn)足，從而選出正確的結(jié)果.詳解：由題意可得，在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，結(jié)合三角形內(nèi)角的條件，故A,B同為銳角，因?yàn)椋?，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿(mǎn)足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，余弦的和角公式，誘導(dǎo)公式等，需要明確對(duì)應(yīng)此類(lèi)問(wèn)題的解題步驟，以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.8、D【答案解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)?，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.9、B【答案解析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵．10、B【答案解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，求出，即得.【題目詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類(lèi)，屬于基礎(chǔ)題.11、C【答案解析】

設(shè)，計(jì)算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【題目詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.12、B【答案解析】由題意或4，則，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型求解．【題目詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個(gè)，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)有：個(gè)，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.14、【答案解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：.令，得.答案為：-40.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).15、【答案解析】

先畫(huà)出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.【題目詳解】畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線(xiàn)系，平移直線(xiàn)，易知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的縱截距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，且.故答案為：-8【答案點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.16、【答案解析】分析：首先設(shè)出相應(yīng)的直角邊長(zhǎng)，利用余弦勾股定理得到相應(yīng)的斜邊長(zhǎng)，之后應(yīng)用余弦定理得到直角邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正切函數(shù)的定義，對(duì)邊比臨邊，求得對(duì)應(yīng)角的正切值，即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，設(shè)，則，根據(jù)，得，由勾股定理可得，根據(jù)余弦定理可得，化簡(jiǎn)整理得，即，解得，所以，故答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意分析要求對(duì)應(yīng)角的正切值，需要求誰(shuí)，而題中所給的條件與對(duì)應(yīng)的結(jié)果之間有什么樣的連線(xiàn)，設(shè)出直角邊長(zhǎng)，利用所給的角的余弦值，利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)系，求得最后的結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列見(jiàn)解析．【答案解析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表．由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù)，從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù)，這樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，的可能值為0，1，2，分別計(jì)算概率得分布列，再由期望公式可計(jì)算出期望．【題目詳解】（1）列出列聯(lián)表，，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下能判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．（2）（i）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，男女生人數(shù)比為，用分層抽樣方法抽出人，男生有人，女生有人．（ii）從參加體會(huì)交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，人中女生的人數(shù)為，則的可能值為，，，則，，，可得的分布列為：可得數(shù)學(xué)期望．【答案點(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分層抽樣，隨機(jī)變量的概率分布列和期望．主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18、（1）唯一的極大值點(diǎn)1，無(wú)極小值點(diǎn)．（2）1【答案解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求得的解，確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定極值點(diǎn)；（2）問(wèn)題可變形為恒成立，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，時(shí)，無(wú)最小值，因此只有，從而得出的不等關(guān)系，得出所求最大值．【題目詳解】解：（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，．若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，則，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以，所以，故的最大值為1．【答案點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，研究不等式恒成立問(wèn)題．在求極值時(shí)，由確定的不一定是極值點(diǎn)，還需滿(mǎn)足在兩側(cè)的符號(hào)相反．不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用．19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）1【答案解析】

（1）由菱形的性質(zhì)和線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）設(shè)，分別求得，和的長(zhǎng)，運(yùn)用三棱錐的體積公式，計(jì)算可得所求值．【題目詳解】（1）四邊形為菱形，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）設(shè)，在菱形中，由，可得，，，，在中，可得，由面，知，為直角三角形，可得，三棱錐的體積，，菱形的邊長(zhǎng)為1．【答案點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【答案解