正弦定理和余弦定理講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題正弦定理和余弦定理一、正弦定理：1．正弦定理：（研究邊角之間的數(shù)量關(guān)系）如圖，在中，由銳角三角函數(shù)定義得：因，故。當(dāng)為銳角三角形時(shí)，，則：，，。故：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。即：（2R為外接圓直徑）★★★由右圖可知：在直角2．正弦定理的應(yīng)用：①利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化：（★★★）例。例2。在中，，判斷的形狀。解：由正弦定理得：，即：為等腰三角形或直角三角形。規(guī)律：若遇到有邊有角的等式，常先用正弦定理進(jìn)行邊角互化，實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)和求值的目的。②利用正弦定理解三角形：一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。用正弦定理可解兩類三角形：（1）已知兩角和任一邊；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角。（一般用余弦定理來(lái)解。可有兩解、一解或無(wú)解）例1。解三角形：（1）（已知兩角和任一邊）（2）（已知兩角和任一邊）解：（1）（2）例2。在中，，求。解：①當(dāng)，②當(dāng)，因此，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可能出現(xiàn)兩解。“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角”解三角形時(shí)解的情況分析：在中，已知。（1）當(dāng)為銳角時(shí)：（2）當(dāng)為直角或鈍角時(shí)，時(shí)只有一解，即只有一個(gè)。判斷方法：（★★★★）1。首先考慮“大邊對(duì)大角”；2。若有可能出現(xiàn)兩解情況，先求，再與比較。例：在中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，判斷解的情況。（1）中，（2）中，（3）中，（4）中，分析：（1），故有可能出現(xiàn)兩解；求出，因，故本題有兩解，即有兩個(gè)角。（2），故有可能出現(xiàn)兩解；求出，因，故本題有一解，即。（3），故有可能出現(xiàn)兩解；求出，因，故本題無(wú)解，即構(gòu)不成三角形。（4），故根據(jù)“大邊對(duì)大角”，只能是銳角，故只有一解。練習(xí)：“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角”判斷解的情況：（1）在中，（2）在中，（3）在中，（4）在中，（5）在中，（6）在中，答案：（1）1解（2）1解（3）1解（4）2解（5）1解（6)2解二、余弦定理：1．余弦定理：如圖，設(shè)則同理：★★★（已知兩邊和夾角的余弦，求第三邊）（已知三邊，求三角）由可知：①當(dāng)，此即為勾股定理，為直角三角形。②當(dāng)，為銳角三角形。③當(dāng)，為鈍角三角形。故余弦定理可看作勾股定理的推廣，利用三邊可以判斷三角形的形狀。例①三角形三邊為4、5、6，因，故三角形為銳角三角形。②三角形三邊為4、5、7，因，故三角形為鈍角三角形。2.用余弦定理解三角形：（1）已知兩邊和它們的夾角；（2）已知三邊，求三角；（3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角。★★例1。在中：（1）已知。（2）已知。解：（1）（2）例2.在中，，求。解（一）用正弦定理。。又故本題有兩解。當(dāng)；當(dāng)。解（二）用余弦定理。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。一般來(lái)說(shuō)，解“已知兩邊和其中一邊對(duì)角”類的三角形，用余弦定理較為簡(jiǎn)單一些。三、三角形中常用結(jié)論與常見題型：1.2.3.規(guī)律：若遇到有邊有角的等式，常先用正弦定理進(jìn)行邊角互化，實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)和求值的目的。注意：等式中邊的次數(shù)或角的正弦的次數(shù)要相同。★★★例1。中，角滿足,則角的大小為（）ABCD解：由正弦定理，可化為：。由余弦定理得：。4.若遇到含有“邊的平方或角的正弦值的平方”的等式，常用余弦定理解決。★★例1。在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則△ABC是(

)A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形解：由得：。由余弦定理得：故是鈍角三角形。例2。在△ABC中，，則A的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al