量子力學(xué)完整版課件

1量子力學(xué)1量子力學(xué)2為什么要學(xué)習(xí)量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)？1960年代，著名微波電子學(xué)家Pirls曾說，量子力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是高度抽象的科學(xué)，不需要所有的人都懂得這種理論物理科學(xué)。然而，在1990年代，隨著高技術(shù)科學(xué)的發(fā)展，要求我們必須掌握理論物理學(xué)，包括量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。例如：微電子器件的集成度越來越高，組成器件的每一個元件的體積越來越小。目前，元件的尺寸可以達(dá)到nm級。2為什么要學(xué)習(xí)量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)？1960年代，著名微波電3這面臨著兩個問題：1、信號電磁波所覆蓋的區(qū)域包括大量的元件，每個元件的工作狀態(tài)有隨機(jī)性，但器件的響應(yīng)具有統(tǒng)計(jì)性；

2、構(gòu)成元件的材料的體積屬于原子團(tuán)物理的范疇，即每個粒子含有有限個原子（102－109個原子）。這時的統(tǒng)計(jì)平均具有顯著的漲落，必須考慮量子效應(yīng)。3這面臨著兩個問題：4量子力學(xué)南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院吳高建第一章緒論4量子力學(xué)南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院第一章緒論51.1經(jīng)典物理學(xué)的困難51.1經(jīng)典物理學(xué)的困難6

19世紀(jì)末，物理學(xué)界建立了牛頓力學(xué)、電動力學(xué)、熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理，統(tǒng)稱為經(jīng)典物理學(xué)。其中的兩個結(jié)論為

1、能量永遠(yuǎn)是連續(xù)的。

2、電磁波（包括光）是這樣產(chǎn)生的：帶電體做加速運(yùn)動時，會向外輻射電磁波。6 19世紀(jì)末，物理學(xué)界建立了牛頓力學(xué)、電動力學(xué)、熱7牛頓力學(xué)-支配天體和力學(xué)對象的運(yùn)動；楊氏衍射實(shí)驗(yàn)-確定了光的波動性；Maxwell方程組的建立-把光和電磁現(xiàn)象建立在牢固的基礎(chǔ)上；統(tǒng)計(jì)力學(xué)的建立。

經(jīng)典物理學(xué)的成就7牛頓力學(xué)-支配天體和力學(xué)對象的運(yùn)動；經(jīng)典物理學(xué)的成就8

而一旦深入到分子、原子領(lǐng)域，一些實(shí)驗(yàn)事實(shí)就與經(jīng)典理論發(fā)生矛盾或

者無法理解。8而一旦深入到分子、原子領(lǐng)域，一些920世紀(jì)初物理學(xué)界遇到的幾個難題1兩朵烏云（W.Thomson)①電動力學(xué)中的“以太”：人們無法通過實(shí)驗(yàn)測出以太本身的運(yùn)動速度②物體的比熱：觀察到的物體比熱總是低于經(jīng)典物理學(xué)中能量均分定理給出的值。920世紀(jì)初物理學(xué)界遇到的幾個難題1兩朵烏云（W.Thom102原子的穩(wěn)定性問題－原子塌縮按照經(jīng)典理論，電子將掉到原子核里，原子的壽命約為1ns。3黑體輻射問題－紫外災(zāi)難按照經(jīng)典理論，黑體向外輻射電磁波的能量E與頻率的關(guān)系為Eυ102原子的穩(wěn)定性問題－原子塌縮Eυ11

4.光電效應(yīng)的解釋 光照射到金屬材料上，會產(chǎn)生光電子。但產(chǎn)生條件與光的頻率有關(guān)，與光的強(qiáng)度無關(guān)。Lightbeamelectriccurrentmetal114.光電效應(yīng)的解釋Lightbeamelectr12能量量子化的假設(shè)造成以上難題的原因是經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為能量永遠(yuǎn)是連續(xù)的。如果能量是量子化的，即原子吸收或發(fā)射電磁波，只能以“量子”的方式進(jìn)行，那末上述問題都能得到很好的解釋。12能量量子化的假設(shè)造成以上難題的原因是經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為能量永13能量量子化概念對難題的解釋原子壽命①原子中的電子只能處于一系列分立的能級之中。即E1,E2,…….En。②當(dāng)電子從能級En變化到Em時，將伴隨著能量的吸收或發(fā)射，能量的形式是電磁波。能量的大小為E=hυ=En－Em

③由此，提出了產(chǎn)生電磁波的量子論觀點(diǎn)，即電磁波源于原子中電子能態(tài)的躍遷。從而，電子就不會掉到原子核里，原子的壽命就會很長。13能量量子化概念對難題的解釋原子壽命14能量量子化概念對難題的解釋黑體輻射從能量量子化假設(shè)出發(fā)，可以推導(dǎo)出同實(shí)驗(yàn)觀測極為吻合的黑體輻射公式，即Planck公式14能量量子化概念對難題的解釋黑體輻射15普朗克（Planck）大膽假設(shè)：無論是黑體輻射也好，還是固體中原子振動也好，它們都是以分立的能量顯示，即能量模式是不連續(xù)的。所以，輻射的平均能量可如此計(jì)算得：15普朗克（Planck）大膽假設(shè)：無論是黑體輻射所以，輻射16經(jīng)典的能量分布幾率

所以對于連續(xù)分布的輻射平均能量為

（玻爾茲曼幾率分布）在能量范圍內(nèi)，16經(jīng)典的能量分布幾率17而對于Planck假設(shè)的能量分布幾率，則為

從而17而對于Planck假設(shè)的能量分布幾率，則為 18于是，用電動力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)導(dǎo)出的公式

（Rayleigh–Jeans）

這就是Planck假設(shè)下的輻射本領(lǐng)，它與實(shí)驗(yàn)完全符合。應(yīng)改為18于是，用電動力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)導(dǎo)出的公式（Ra19

當(dāng)（高頻區(qū)）

Wein公式

當(dāng)（低頻區(qū)）

Rayleigh–Jeans公式

1920能量量子化概念對難題的解釋對光電效應(yīng)的解釋 如果電子處于分立能級且入射光的能量也是量子化的，那么只有當(dāng)光子的能量（E=hυ）大于電子的能級差，即E=hυ>En－Em時，光電子才會產(chǎn)生。如果入射光的強(qiáng)度足夠強(qiáng)，但頻率υ足夠小，光電子是無法產(chǎn)生的。20能量量子化概念對難題的解釋對光電效應(yīng)的解釋211.2光的波粒二象性211.2光的波粒二象性22愛因斯坦方程對光電效應(yīng)的解釋是愛因斯坦于1905年做出的，他也因此獲得諾貝爾獎。其中，他對光子的能量E是如此假定的22愛因斯坦方程對光電效應(yīng)的解釋是愛因斯坦于1905年做23光子的能量與動量并用υ=c/λ和狹義相對論中的公式p=E/c推出光子的動量p為p=h/λ，E=hν.

υ－頻率，λ－波長，h－普朗克常數(shù)23光子的能量與動量并用υ=c/λ和狹義相對論中24光的波粒二象性波粒二象性，又稱為波動粒子兩重性，是指物體，小到光子、電子、原子，大到子彈、足球、地球，都既有波動性，又有粒子性。頻率為υ的單色光波是由能量為E=hυ的一個個粒子組成的，這樣的粒子被稱為光子，或光量子。光子的粒子性－光電效應(yīng)；光子的波動性－光的衍射和干涉。24光的波粒二象性波粒二象性，又稱為波動粒子兩重性，是指物體25光的波粒二象性楊氏干涉實(shí)驗(yàn)和惠更斯衍射實(shí)驗(yàn)都表明了光的波動性。光電效應(yīng)又證實(shí)了光子的粒子性。25光的波粒二象性261.3微粒的波粒二象性261.3微粒的波粒二象性271物質(zhì)波的概念法國人DeBroglie從光的量子論中得到啟發(fā)，假設(shè)任何物體，無論是靜止質(zhì)量為零的光子，還是靜止質(zhì)量不為零的實(shí)物粒子，都具有粒子波動兩重性。其中的波動，通稱為物質(zhì)波。認(rèn)為物質(zhì)波的頻率和波長分別為υ=E/h，λ=h/p這就是著名的德布羅意公式。271物質(zhì)波的概念法國人DeBroglie從光的量子論中282實(shí)物粒子的波動從德布羅意物質(zhì)波的觀點(diǎn)出發(fā)，就會得出一種違背常理的結(jié)論：躲在靶子后面仍然會被繞過來的子彈打中。子彈之所以不能繞到靶子后面，是因?yàn)樽訌椀牟ㄩLλ=h/p太小了。 h＝6.62×10-34Js，p=mv282實(shí)物粒子的波動從德布羅意物質(zhì)波的觀點(diǎn)出發(fā)，就會得出一293電子與分子的衍射與干涉實(shí)驗(yàn)電子衍射C60分子干涉圖293電子與分子的衍射與干涉實(shí)驗(yàn)電子衍射304波粒二象性既不是經(jīng)典的粒子，也不是經(jīng)典的波5物理意義：概率波與概率幅概率波（M.Born,1926)：物質(zhì)波描述了粒子在各處發(fā)現(xiàn)的概率。概率幅：波函數(shù)ψ也叫概率幅，概率密度波的疊加是概率幅疊加，而非概率疊加304波粒二象性既不是經(jīng)典的粒子，也不是經(jīng)典的波5物理意311.4不確定關(guān)系311.4不確定關(guān)系32物質(zhì)波的觀點(diǎn)直接導(dǎo)致這樣一個結(jié)論：無法同時準(zhǔn)確測量一個粒子的坐標(biāo)和動量q－坐標(biāo)，p－動量另有：能量和時間的不確定關(guān)系：32物質(zhì)波的觀點(diǎn)直接導(dǎo)致這樣一個結(jié)論：另有：能量和時間的不確33量子力學(xué)的特點(diǎn)：能量量子化；波粒二象性；不確定關(guān)系。 需要用一個完整的理論將這些離散的假設(shè)和概念統(tǒng)一起來：《量子力學(xué)》應(yīng)運(yùn)而生。33量子力學(xué)的特點(diǎn)：能量量子化；34《量子力學(xué)》的作用一般工科：建立概念與啟迪思維，重點(diǎn)在了解。材料學(xué)：重點(diǎn)是建立正確的、系統(tǒng)的、完整的概念，為后續(xù)課程以及將來從事材料學(xué)領(lǐng)域的研究奠定基礎(chǔ)。理科：四大力學(xué)之一，應(yīng)該精通，并作為日后從事研究的工具。34《量子力學(xué)》的作用一般工科：建立概念與啟迪思維，重點(diǎn)在了35學(xué)習(xí)《量子力學(xué)》時應(yīng)注意的問題概念是靈魂－建立起清晰的概念數(shù)學(xué)是橋梁－不必過分拘泥于數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)論是收獲－銘記結(jié)論在材料學(xué)中的作用35學(xué)習(xí)《量子力學(xué)》時應(yīng)注意的問題概念是靈魂－建立起清晰的概36學(xué)習(xí)量子力學(xué)，其困難在于：發(fā)現(xiàn)它與我們熟悉的經(jīng)典物理學(xué)中的習(xí)慣或概念不一致；b.量子力學(xué)中的新的物理概念不是直觀的；c.處理問題時，與經(jīng)典物理學(xué)在手法上截然不同。它的重要性在狀態(tài)，算符和演化。36學(xué)習(xí)量子力學(xué)，其困難在于：發(fā)現(xiàn)它與我們熟悉的經(jīng)典物理學(xué)中37所以，我們強(qiáng)調(diào)掌握實(shí)驗(yàn)事實(shí)，及它給我們的啟示，不直接與主觀經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系，不先入為主；b.掌握和理解量子力學(xué)的基本概念。新的概念的依據(jù)和特點(diǎn)，新在什么地方，如何理解；c.掌握理論中建立的方程和所用的數(shù)學(xué)方法以及處理它們的思路和步驟。37所以，我們強(qiáng)調(diào)掌握實(shí)驗(yàn)事實(shí)，及它給我們的啟示，不直38參考書目曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)》，科學(xué)出版社周世勛《量子力學(xué)教程》，高等教育出版社38參考書目曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)》，科學(xué)出版社39量子力學(xué)第二章波函數(shù)及薛定諤方程39量子力學(xué)402.1波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋402.1波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋41自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)。因此，其能量E和動量都是常量。根據(jù)德布羅意波粒二象性的假設(shè)，自由粒子的頻率和波長分別為

又因?yàn)椴ㄊ笧?，因此，自由粒子的υ和k都為常量。得到

一、自由粒子的波函數(shù)41自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運(yùn)動42υ和k都為常量的波應(yīng)該是平面波，可用以下函數(shù)描述或?qū)⑸鲜酱?，得到這就是自由粒子的波函數(shù)，它將粒子的波動同其能量和動量聯(lián)系了起來。它是時間和空間的函數(shù)，即42υ和k都為常量的波應(yīng)該是平面波，可用以下函數(shù)描述43二、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義1當(dāng)粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，也就無法用簡單的函數(shù)來描述，但總可以用一個函數(shù)來描述這個粒子的特性，稱其為粒子的波函數(shù)。43二、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義1當(dāng)粒子受到外力的作用442物理意義：對實(shí)物粒子的波動性有兩種解釋（1）第一種解釋，認(rèn)為粒子波就是粒子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即將粒子看成是三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的運(yùn)動速度。粒子的干涉和衍射等波動性都源于這種波包結(jié)構(gòu)。442物理意義：45能量和動量的關(guān)系為，利用得到物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實(shí)際不符。45能量和動量的關(guān)系為，46（2）第二種解釋：認(rèn)為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產(chǎn)生的行為。然而，電子衍射實(shí)驗(yàn)表明，就衍射效果而言，弱電子密度＋長時間＝強(qiáng)電子密度＋短時間由此表明，對實(shí)物粒子而言，波動性體現(xiàn)在粒子在空間的位置是不確定的，它是以一定的概率存在于空間的某個位置。46（2）第二種解釋：認(rèn)為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或473、概率波粒子的波動性可以用波函數(shù)來表示，其中，振幅表示波動在空間一點(diǎn)(x,y,z)上的強(qiáng)弱。所以，應(yīng)該表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)(x,y,z)附近的概率大小的一個量。

因此，粒子的波函數(shù)又稱為概率波。473、概率波粒子的波動性可以用波函數(shù)來表示，48保留經(jīng)典概念的哪些特征不具有經(jīng)典概念的哪些特征粒子性有確定的質(zhì)量、電荷、自旋等沒有確定的軌道波動性有干涉、衍射等現(xiàn)象振幅不直接可測由波函數(shù)還可以決定粒子的其它各種物理可觀察量(以后講)。所以波函數(shù)完全描寫了微觀粒子(或一般地說，量子體系)的狀態(tài)，這種描寫在本質(zhì)上具有統(tǒng)計(jì)的特征。48保留經(jīng)典概念的哪些特征不具有經(jīng)典概念的哪些特征粒子性有確49三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋

表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)(x,y,z)附近的概率。表示點(diǎn)(x,y,z)處的體積元中找到粒子的概率。這就是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋。必然有以下歸一化條件49三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋表示50

四、常數(shù)因子不定性設(shè)C是一個常數(shù)，則和對粒子在點(diǎn)(x,y,z)附件出現(xiàn)概率的描述是相同的。如果則有，等同于50

四、常數(shù)因子不定性設(shè)C是一個常數(shù)，則和51說明：1即使要求波函數(shù)是歸一化的，它仍有一個位相因子的不確定性（相位不確定性）。例如：常數(shù)，則和對粒子在點(diǎn)（x,y,z）附近出現(xiàn)概率的描述是相同的。2有些波函數(shù)不能（有限地）歸一，如平面波。51說明：1即使要求波函數(shù)是歸一化的，它仍有一個例如：常數(shù)52五、對波函數(shù)的要求1、可積性2、歸一化3、單值性，要求單值4、連續(xù)性52五、對波函數(shù)的要求1、可積性53六、態(tài)的疊加原理波的干涉，衍射現(xiàn)象的本質(zhì)原因是因?yàn)樗鼭M足疊加原理。微觀粒子所顯示的波動性表明：波函數(shù)也應(yīng)滿足疊加原理。53六、態(tài)的疊加原理波的干涉，衍射現(xiàn)象的本質(zhì)原因是54如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態(tài)，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是體系的可能狀態(tài)。對于合成的狀態(tài)：其中就是干涉項(xiàng)。

其中其中就是干涉項(xiàng)。

其中54如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態(tài)，那么對于合成的狀態(tài)：其中55一般地說，疊加原理可以寫成這導(dǎo)致了量子力學(xué)中的一個重要概念：對于一個指定的量子體系，如果我們找到了它的“完備的基本狀態(tài)”，例如，那么任何狀態(tài)都可以由這些基本狀態(tài)疊加而得到。運(yùn)動的狀態(tài)是平面波因此，自由電子的任何狀態(tài)都可以寫成：即是各種不同動量的平面波的疊加。

例如：一個自由電子以動量和能量55一般地說，疊加原理可以寫成這導(dǎo)致了量子力學(xué)中的一個重要概56這個例子在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的Fourier變換。引入那么任何波函數(shù)(不一定是自由粒子的)都可以寫成

其中的系數(shù)由下式得出：

這個的物理意義是“動量測量幾率振幅”。對于一維情形，56這個例子在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的Fourier變換。引入那么任57

七、動量分布概率設(shè)，則表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附件的概率。設(shè)為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做傅立葉展開57

七、動量分布概率設(shè)，則58其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應(yīng)該代表粒子具有動量的概率。58其中，可見，代表中含有平面波592.2薛定諤方程592.2薛定諤方程60一Schrodinger方程量子力學(xué)的基本定律是波函數(shù)所滿足的偏微分方程。這個基本定律在本質(zhì)上是一個假說。deBroglie波滿足的方程是：

而,所以60一Schrodinger方程量子力學(xué)的基本定律是波函61這可以看做是在經(jīng)典關(guān)系中進(jìn)行代換可以推廣地說：若粒子在外勢場中運(yùn)動，其能量的表達(dá)式為61這可以看做是在經(jīng)典關(guān)系中進(jìn)行代換可以推廣地說：若粒子在外62則它的波函數(shù)應(yīng)該滿足方程此即單粒子運(yùn)動的Schrodinger方程(1926)。62則它的波函數(shù)應(yīng)該滿足方程此即單粒子運(yùn)動的Schrodin63二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據(jù)Schrodinger方程，63二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據(jù)Schrodi64記則而這表示了一種守恒定律。

64記則而這表示了一種守恒定律。65因?yàn)?，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得

是在體積V內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的總幾率，而穿過封閉曲面S向外的總通量。所以是“幾率流密度”，而上式表現(xiàn)了幾率守恒。幾率守恒也就是粒子數(shù)守恒。

65因?yàn)?，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得是在體66三定態(tài)Schrodinger方程若與時間無關(guān)，則Schrodinger方程可以分離變量求解，66三定態(tài)Schrodinger方程若與時間無關(guān)67波函數(shù)成為

這樣的波函數(shù)(或者是波函數(shù)）稱為定態(tài)波函數(shù)。對比deBroglie波，我們發(fā)現(xiàn)常數(shù)E的物理意義正是粒子的能量。所以定態(tài)是體系的能量有確定值的狀態(tài)。在定態(tài)中，體系的各種力學(xué)性質(zhì)不隨時間而改變。67波函數(shù)成為這樣的波函數(shù)(或者是波函數(shù)）稱為定態(tài)68的方程稱為該算符的本征方程，常數(shù)稱為本征值，方程的解稱為(該算符的屬于該本征值的)本征函數(shù)。所以定態(tài)Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函數(shù)=常數(shù)乘以這波函數(shù)68的方程稱為該算符的本征方程，常數(shù)稱為本形如算符作用于波函692.3一維運(yùn)動的一般分析692.3一維運(yùn)動的一般分析70一、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)1、定態(tài)2、簡并如果系統(tǒng)的能級是分立的，即，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數(shù)與其對應(yīng)，則稱這個能級是簡并的。70一、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)1、定態(tài)713、宇稱－函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。713、宇稱－函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。724、定態(tài)薛定格方程－能量本征方程724、定態(tài)薛定格方程－能量本征方程735、束縛態(tài)與非束縛態(tài)735、束縛態(tài)與非束縛態(tài)74定理174定理175推論175推論176定理276定理27777787879798080818182828383842.4一維無限深勢阱和方勢阱842.4一維無限深勢阱和方勢阱85一、一維無限深方勢阱1、勢函數(shù)如果在，由能量本征方程，有其解為，其中由邊界條件和，有和，波函數(shù)為85一、一維無限深方勢阱1、勢函數(shù)862、能量量子化由，和得到，這說明，一維無限深方勢阱中的粒子的能量是量子化的。稱為體系的能量本征值，與對應(yīng)的波函數(shù)稱為能量本征函數(shù)。862、能量量子化87將波函數(shù)進(jìn)行歸一化：即令，得到歸一化波函數(shù)為3、歸一化波函數(shù)873、歸一化波函數(shù)88最低能量經(jīng)典粒子，可以有一維無限深方勢阱中的粒子，由測不準(zhǔn)關(guān)系，得到因此，粒子能量4、討論884、討論89在，有個節(jié)點(diǎn)，其上

說明粒子在這些節(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)的概率為零。對于經(jīng)典粒子來說，它在內(nèi)任何一點(diǎn)都有可能出現(xiàn)。89在，90二、有限深對稱方勢阱設(shè)粒子能量條件在阱內(nèi)能量本征方程解90二、有限深對稱方勢阱設(shè)91在阱外能量本征方程解，說明粒子不會出現(xiàn)在，說明的粒子也有到達(dá)勢阱外的可能。91在阱外922.5量子隧道效應(yīng)922.5量子隧道效應(yīng)93一、方勢壘的反射與透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系數(shù)透射系數(shù)93一、方勢壘的反射與透射在，能量本94在，能量本征方程解94在，能量本征方程95解代數(shù)方程，得到勢壘貫穿隧穿效應(yīng)入射波反射波透射波95解代數(shù)方程，得到入射波透射波96電子的勢壘貫穿

12510當(dāng)勢壘寬度為原子限度時，透射相當(dāng)可觀96電子的勢壘貫穿97二、δ勢的反射與透射設(shè)質(zhì)量為m的粒子(E>0)從左射入δ勢壘97二、δ勢的反射與透射設(shè)質(zhì)量為m的粒子(E>0)從左98989999100100101討論101討論1022.6線性諧振子1022.6線性諧振子103

1、能量本征方程簡諧運(yùn)動：體系在平衡位置附件的微小振動一維諧振子：粒子一維情況下的簡諧運(yùn)動，同時粒子的勢能可以表示為例如，雙原子分子中兩原子之間的勢能一維諧振子的能量本征方程103

1、能量本征方程簡諧運(yùn)動：體系在平衡位置附件的微小振104

2、能量本征方程的解能量本征方程變?yōu)楫?dāng)時，，有，其解能量本征方程的解可表示為其中，為待求函數(shù)，代入能量本征方程，有其解為亦即厄密多項(xiàng)式。當(dāng)時，要求得到104

2、能量本征方程的解能量本征方程變?yōu)?05

3、能量本征值因?yàn)橥瑫r故討論(1)能級是均勻分布的；(2)相鄰能級差相同：；(3)基態(tài)能量，稱為零點(diǎn)能；(4)諧振子吸收能量后，有可能從下能級躍遷到上能級。相反，放出能量后，有可能從上能級躍遷到下能級。105

3、能量本征值因?yàn)橥?064、能量本征態(tài)（1）因?yàn)?，其中，要根?jù)的歸一化條件確定，即由于得到能量本征態(tài)正交歸一化1064、能量本征態(tài)（1）因?yàn)?074、能量本征態(tài)（2）最低三條能級上的波函數(shù)為1074、能量本征態(tài)（2）最低三條能級上的波函數(shù)為108掃描隧道顯微鏡108掃描隧道顯微鏡109掃描隧道顯微鏡109掃描隧道顯微鏡110掃描出的納米級圖像110掃描出的納米級圖像111掃描隧道顯微鏡拍下的DNA111掃描隧道顯微鏡拍下的DNA112“掃描隧道顯微鏡”下拍攝的“血細(xì)胞”112“掃描隧道顯微鏡”下拍攝的“血細(xì)胞”113用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像113用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像114STM工作原理114STM工作原理115用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案115用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案116作為一種掃描探針顯微術(shù)工具，掃描隧道顯微鏡可以讓科學(xué)家觀察和定位單個原子，它具有比它的同類原子力顯微鏡更加高的分辨率。此外，掃描隧道顯微鏡在低溫下（4K）可以利用探針尖端精確操縱原子，因此它在納米科技既是重要的測量工具又是加工工具。掃描隧道顯微鏡scanningtunnelingmicroscope116作為一種掃描探針顯微術(shù)工具，掃描隧道顯微鏡可掃描隧道顯117STM使人類第一次能夠?qū)崟r地觀察單個原子在物質(zhì)表面的排列狀態(tài)和與表面電子行為有關(guān)的物化性質(zhì)，在表面科學(xué)、材料科學(xué)、生命科學(xué)等領(lǐng)域的研究中有著重大的意義和廣泛的應(yīng)用前景，被國際科學(xué)界公認(rèn)為20世紀(jì)80年代世界十大科技成就之一117STM使人類第一次能夠?qū)崟r地觀察單個原子在118基本結(jié)構(gòu)

隧道針尖三維掃描控制器減震系統(tǒng)電子學(xué)控制系統(tǒng)在線掃描控制和離線數(shù)據(jù)處理軟件118基本結(jié)構(gòu)隧道針尖三維掃描控制器減震系統(tǒng)電子學(xué)控119工作原理

掃描隧道顯微鏡的工作原理簡單得出乎意料。就如同一根唱針掃過一張唱片，一根探針慢慢地通過要被分析的材料（針尖極為尖銳，僅僅由一個原子組成）。一個小小的電荷被放置在探針上，一股電流從探針流出，通過整個材料，到底層表面。當(dāng)探針通過單個的原子，流過探針的電流量便有所不同，這些變化被記錄下來。電流在流過一個原子的時候有漲有落，如此便極其細(xì)致地探出它的輪廓。在許多的流通后，通過繪出電流量的波動，人們可以得到組成一個網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的單個原子的美麗圖片。119工作原理掃描隧道顯微鏡的工作原理簡單得出乎意料。就如120優(yōu)越性①具有原子級高分辨率，STM在平行于樣品表面方向上的分辨率分別可達(dá)0.1nm和0.01nm，即可以分辨出單個原子。②可實(shí)時得到實(shí)空間中樣品表面的三維圖像，可用于具有周期性或不具備周期性的表面結(jié)構(gòu)的研究，這種可實(shí)時觀察的性能可用于表面擴(kuò)散等動態(tài)過程的研究。120優(yōu)越性①具有原子級高分辨率，STM在平行于樣品表面121③可以觀察單個原子層的局部表面結(jié)構(gòu)，而不是對體相或整個表面的平均性質(zhì)，因而可直接觀察到表面缺陷。表面重構(gòu)、表面吸附體的形態(tài)和位置，以及由吸附體引起的表面重構(gòu)等。④可在真空、大氣、常溫等不同環(huán)境下工作，樣品甚至可浸在水和其他溶液中不需要特別的制樣技術(shù)并且探測過程對樣品無損傷．121③可以觀察單個原子層的局部表面結(jié)構(gòu)，而不是④可在真空、122⑤配合掃描隧道譜（STS）可以得到有關(guān)表面電子結(jié)構(gòu)的信息，例如表面不同層次的態(tài)密度。表面電子阱、電荷密度波、表面勢壘的變化和能隙結(jié)構(gòu)等。⑥利用STM針尖，可實(shí)現(xiàn)對原子和分子的移動和操縱，這為納米科技的全面發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。122⑤配合掃描隧道譜（STS）可以得到有關(guān)表面電子結(jié)⑥利123局限性

STM所觀察的樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性，對于半導(dǎo)體，觀測的效果就差于導(dǎo)體；對于絕緣體則根本無法直接觀察。如果在樣品表面覆蓋導(dǎo)電層，則由于導(dǎo)電層的粒度和均勻性等問題又限制了圖象對真實(shí)表面的分辨率。賓尼等人1986年研制成功的AFM可以彌補(bǔ)STM這方面的不足。123局限性STM所觀察的樣品必須具有一定程度的導(dǎo)124量子力學(xué)第二章波函數(shù)及薛定諤方程124量子力學(xué)1252.1波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋1252.1波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋126自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)。因此，其能量E和動量都是常量。根據(jù)德布羅意波粒二象性的假設(shè)，自由粒子的頻率和波長分別為

又因?yàn)椴ㄊ笧?，因此，自由粒子的υ和k都為常量。得到

一、自由粒子的波函數(shù)126自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運(yùn)127υ和k都為常量的波應(yīng)該是平面波，可用以下函數(shù)描述或?qū)⑸鲜酱?，得到這就是自由粒子的波函數(shù)，它將粒子的波動同其能量和動量聯(lián)系了起來。它是時間和空間的函數(shù)，即127υ和k都為常量的波應(yīng)該是平面波，可用以下函數(shù)描述128二、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義1當(dāng)粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，也就無法用簡單的函數(shù)來描述，但總可以用一個函數(shù)來描述這個粒子的特性，稱其為粒子的波函數(shù)。128二、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義1當(dāng)粒子受到外力的作1292物理意義：對實(shí)物粒子的波動性有兩種解釋（1）第一種解釋，認(rèn)為粒子波就是粒子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即將粒子看成是三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的運(yùn)動速度。粒子的干涉和衍射等波動性都源于這種波包結(jié)構(gòu)。1292物理意義：130能量和動量的關(guān)系為，利用得到物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實(shí)際不符。130能量和動量的關(guān)系為，131（2）第二種解釋：認(rèn)為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產(chǎn)生的行為。然而，電子衍射實(shí)驗(yàn)表明，就衍射效果而言，弱電子密度＋長時間＝強(qiáng)電子密度＋短時間由此表明，對實(shí)物粒子而言，波動性體現(xiàn)在粒子在空間的位置是不確定的，它是以一定的概率存在于空間的某個位置。131（2）第二種解釋：認(rèn)為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用1323、概率波粒子的波動性可以用波函數(shù)來表示，其中，振幅表示波動在空間一點(diǎn)(x,y,z)上的強(qiáng)弱。所以，應(yīng)該表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)(x,y,z)附近的概率大小的一個量。

因此，粒子的波函數(shù)又稱為概率波。1323、概率波粒子的波動性可以用波函數(shù)來表示，133保留經(jīng)典概念的哪些特征不具有經(jīng)典概念的哪些特征粒子性有確定的質(zhì)量、電荷、自旋等沒有確定的軌道波動性有干涉、衍射等現(xiàn)象振幅不直接可測由波函數(shù)還可以決定粒子的其它各種物理可觀察量(以后講)。所以波函數(shù)完全描寫了微觀粒子(或一般地說，量子體系)的狀態(tài)，這種描寫在本質(zhì)上具有統(tǒng)計(jì)的特征。133保留經(jīng)典概念的哪些特征不具有經(jīng)典概念的哪些特征粒子性有134三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋

表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)(x,y,z)附近的概率。表示點(diǎn)(x,y,z)處的體積元中找到粒子的概率。這就是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋。必然有以下歸一化條件134三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋表135

四、常數(shù)因子不定性設(shè)C是一個常數(shù)，則和對粒子在點(diǎn)(x,y,z)附件出現(xiàn)概率的描述是相同的。如果則有，等同于135

四、常數(shù)因子不定性設(shè)C是一個常數(shù)，則136說明：1即使要求波函數(shù)是歸一化的，它仍有一個位相因子的不確定性（相位不確定性）。例如：常數(shù)，則和對粒子在點(diǎn)（x,y,z）附近出現(xiàn)概率的描述是相同的。2有些波函數(shù)不能（有限地）歸一，如平面波。136說明：1即使要求波函數(shù)是歸一化的，它仍有一個例如：常137五、對波函數(shù)的要求1、可積性2、歸一化3、單值性，要求單值4、連續(xù)性137五、對波函數(shù)的要求1、可積性138六、態(tài)的疊加原理波的干涉，衍射現(xiàn)象的本質(zhì)原因是因?yàn)樗鼭M足疊加原理。微觀粒子所顯示的波動性表明：波函數(shù)也應(yīng)滿足疊加原理。138六、態(tài)的疊加原理波的干涉，衍射現(xiàn)象的本質(zhì)原因是139如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態(tài)，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是體系的可能狀態(tài)。對于合成的狀態(tài)：其中就是干涉項(xiàng)。

其中其中就是干涉項(xiàng)。

其中139如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態(tài)，那么對于合成的狀態(tài)：其140一般地說，疊加原理可以寫成這導(dǎo)致了量子力學(xué)中的一個重要概念：對于一個指定的量子體系，如果我們找到了它的“完備的基本狀態(tài)”，例如，那么任何狀態(tài)都可以由這些基本狀態(tài)疊加而得到。運(yùn)動的狀態(tài)是平面波因此，自由電子的任何狀態(tài)都可以寫成：即是各種不同動量的平面波的疊加。

例如：一個自由電子以動量和能量140一般地說，疊加原理可以寫成這導(dǎo)致了量子力學(xué)中的一個重要141這個例子在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的Fourier變換。引入那么任何波函數(shù)(不一定是自由粒子的)都可以寫成

其中的系數(shù)由下式得出：

這個的物理意義是“動量測量幾率振幅”。對于一維情形，141這個例子在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的Fourier變換。引入那么142

七、動量分布概率設(shè)，則表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附件的概率。設(shè)為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做傅立葉展開142

七、動量分布概率設(shè)，則143其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應(yīng)該代表粒子具有動量的概率。143其中，可見，代表中含有平面波1442.2薛定諤方程1442.2薛定諤方程145一Schrodinger方程量子力學(xué)的基本定律是波函數(shù)所滿足的偏微分方程。這個基本定律在本質(zhì)上是一個假說。deBroglie波滿足的方程是：

而,所以145一Schrodinger方程量子力學(xué)的基本定律是波146這可以看做是在經(jīng)典關(guān)系中進(jìn)行代換可以推廣地說：若粒子在外勢場中運(yùn)動，其能量的表達(dá)式為146這可以看做是在經(jīng)典關(guān)系中進(jìn)行代換可以推廣地說：若粒子在147則它的波函數(shù)應(yīng)該滿足方程此即單粒子運(yùn)動的Schrodinger方程(1926)。147則它的波函數(shù)應(yīng)該滿足方程此即單粒子運(yùn)動的Schrodi148二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據(jù)Schrodinger方程，148二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據(jù)Schrod149記則而這表示了一種守恒定律。

149記則而這表示了一種守恒定律。150因?yàn)椋瑢θ魏误w積V，等式右方用Gauss定理，得

是在體積V內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的總幾率，而穿過封閉曲面S向外的總通量。所以是“幾率流密度”，而上式表現(xiàn)了幾率守恒。幾率守恒也就是粒子數(shù)守恒。

150因?yàn)?，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得是在151三定態(tài)Schrodinger方程若與時間無關(guān)，則Schrodinger方程可以分離變量求解，151三定態(tài)Schrodinger方程若與時間無152波函數(shù)成為

這樣的波函數(shù)(或者是波函數(shù)）稱為定態(tài)波函數(shù)。對比deBroglie波，我們發(fā)現(xiàn)常數(shù)E的物理意義正是粒子的能量。所以定態(tài)是體系的能量有確定值的狀態(tài)。在定態(tài)中，體系的各種力學(xué)性質(zhì)不隨時間而改變。152波函數(shù)成為這樣的波函數(shù)(或者是波函數(shù)）稱為定153的方程稱為該算符的本征方程，常數(shù)稱為本征值，方程的解稱為(該算符的屬于該本征值的)本征函數(shù)。所以定態(tài)Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函數(shù)=常數(shù)乘以這波函數(shù)153的方程稱為該算符的本征方程，常數(shù)稱為本形如算符作用于波1542.3一維運(yùn)動的一般分析1542.3一維運(yùn)動的一般分析155一、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)1、定態(tài)2、簡并如果系統(tǒng)的能級是分立的，即，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數(shù)與其對應(yīng)，則稱這個能級是簡并的。155一、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)1、定態(tài)1563、宇稱－函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。1563、宇稱－函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。1574、定態(tài)薛定格方程－能量本征方程1574、定態(tài)薛定格方程－能量本征方程1585、束縛態(tài)與非束縛態(tài)1585、束縛態(tài)與非束縛態(tài)159定理1159定理1160推論1160推論1161定理2161定理21621621631631641641651651661661671671681681692.4一維無限深勢阱和方勢阱1692.4一維無限深勢阱和方勢阱170一、一維無限深方勢阱1、勢函數(shù)如果在，由能量本征方程，有其解為，其中由邊界條件和，有和，波函數(shù)為170一、一維無限深方勢阱1、勢函數(shù)1712、能量量子化由，和得到，這說明，一維無限深方勢阱中的粒子的能量是量子化的。稱為體系的能量本征值，與對應(yīng)的波函數(shù)稱為能量本征函數(shù)。1712、能量量子化172將波函數(shù)進(jìn)行歸一化：即令，得到歸一化波函數(shù)為3、歸一化波函數(shù)1723、歸一化波函數(shù)173最低能量經(jīng)典粒子，可以有一維無限深方勢阱中的粒子，由測不準(zhǔn)關(guān)系，得到因此，粒子能量4、討論1734、討論174在，有個節(jié)點(diǎn)，其上

說明粒子在這些節(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)的概率為零。對于經(jīng)典粒子來說，它在內(nèi)任何一點(diǎn)都有可能出現(xiàn)。174在，175二、有限深對稱方勢阱設(shè)粒子能量條件在阱內(nèi)能量本征方程解175二、有限深對稱方勢阱設(shè)176在阱外能量本征方程解，說明粒子不會出現(xiàn)在，說明的粒子也有到達(dá)勢阱外的可能。176在阱外1772.5量子隧道效應(yīng)1772.5量子隧道效應(yīng)178一、方勢壘的反射與透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系數(shù)透射系數(shù)178一、方勢壘的反射與透射在，能量179在，能量本征方程解179在，能量本征方程180解代數(shù)方程，得到勢壘貫穿隧穿效應(yīng)入射波反射波透射波180解代數(shù)方程，得到入射波透射波181電子的勢壘貫穿

12510當(dāng)勢壘寬度為原子限度時，透射相當(dāng)可觀181電子的勢壘貫穿182二、δ勢的反射與透射設(shè)質(zhì)量為m的粒子(E>0)從左射入δ勢壘182二、δ勢的反射與透射設(shè)質(zhì)量為m的粒子(E>0)從左183183184184185185186討論186討論1872.6線性諧振子1872.6線性諧振子188

1、能量本征方程簡諧運(yùn)動：體系在平衡位置附件的微小振動一維諧振子：粒子一維情況下的簡諧運(yùn)動，同時粒子的勢能可以表示為例如，雙原子分子中兩原子之間的勢能一維諧振子的能量本征方程188

1、能量本征方程簡諧運(yùn)動：體系在平衡位置附件的微小振189

2、能量本征方程的解能量本征方程變?yōu)楫?dāng)時，，有，其解能量本征方程的解可表示為其中，為待求函數(shù)，代入能量本征方程，有其解為亦即厄密多項(xiàng)式。當(dāng)時，要求得到189

2、能量本征方程的解能量本征方程變?yōu)?90

3、能量本征值因?yàn)橥瑫r故討論(1)能級是均勻分布的；(2)相鄰能級差相同：；(3)基態(tài)能量，稱為零點(diǎn)能；(4)諧振子吸收能量后，有可能從下能級躍遷到上能級。相反，放出能量后，有可能從上能級躍遷到下能級。190

3、能量本征值因?yàn)橥?914、能量本征態(tài)（1）因?yàn)?，其中，要根?jù)的歸一化條件確定，即由于得到能量本征態(tài)正交歸一化1914、能量本征態(tài)（1）因?yàn)?924、能量本征態(tài)（2）最低三條能級上的波函數(shù)為1924、能量本征態(tài)（2）最低三條能級上的波函數(shù)為193掃描隧道顯微鏡193掃描隧道顯微鏡194掃描隧道顯微鏡194掃描隧道顯微鏡195掃描出的納米級圖像195掃描出的納米級圖像196掃描隧道顯微鏡拍下的DNA196掃描隧道顯微鏡拍下的DNA197“掃描隧道顯微鏡”下拍攝的“血細(xì)胞”197“掃描隧道顯微鏡”下拍攝的“血細(xì)胞”198用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像198用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像199STM工作原理199STM工作原理200用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案200用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案201作為一種掃描探針顯微術(shù)工具，掃描隧道顯微鏡可以讓科學(xué)家觀察和定位單個原子，它具有比它的同類原子力顯微鏡更加高的分辨率。此外，掃描隧道顯微鏡在低溫下（4K）可以利用探針尖端精確操縱原子，因此它在納米科技既是重要的測量工具又是加工工具。掃描隧道顯微鏡scanningtunnelingmicroscope201作為一種掃描探針顯微術(shù)工具，掃描隧道顯微鏡可掃描隧道顯202STM使人類第一次能夠?qū)崟r地觀察單個原子在物質(zhì)表面的排列狀態(tài)和與表面電子行為有關(guān)的物化性質(zhì)，在表面科學(xué)、材料科學(xué)、生命科學(xué)等領(lǐng)域的研究中有著重大的意義和廣泛的應(yīng)用前景，被國際科學(xué)界公認(rèn)為20世紀(jì)80年代世界十大科技成就之一202STM使人類第一次能夠?qū)崟r地觀察單個原子在203基本結(jié)構(gòu)

隧道針尖三維掃描控制器減震系統(tǒng)電子學(xué)控制系統(tǒng)在線掃描控制和離線數(shù)據(jù)處理軟件203基本結(jié)構(gòu)隧道針尖三維掃描控制器減震系統(tǒng)電子學(xué)控204工作原理

掃描隧道顯微鏡的工作原理簡單得出乎意料。就如同一根唱針掃過一張唱片，一根探針慢慢地通過要被分析的材料（針尖極為尖銳，僅僅由一個原子組成）。一個小小的電荷被放置在探針上，一股電流從探針流出，通過整個材料，到底層表面。當(dāng)探針通過單個的原子，流過探針的電流量便有所不同，這些變化被記錄下來。電流在流過一個原子的時候有漲有落，如此便極其細(xì)致地探出它的輪廓。在許多的流通后，通過繪出電流量的波動，人們可以得到組成一個網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的單個原子的美麗圖片。204工作原理掃描隧道顯微鏡的工作原理簡單得出乎意料。就如205優(yōu)越性①具有原子級高分辨率，STM在平行于樣品表面方向上的分辨率分別可達(dá)0.1nm和0.01nm，即可以分辨出單個原子。②可實(shí)時得到實(shí)空間中樣品表面的三維圖像，可用于具有周期性或不具備周期性的表面結(jié)構(gòu)的研究，這種可實(shí)時觀察的性能可用于表面擴(kuò)散等動態(tài)過程的研究。205優(yōu)越性①具有原子級高分辨率，STM在平行于樣品表面206③可以觀察單個原子層的局部表面結(jié)構(gòu)，而不是對體相或整個表面的平均性質(zhì)，因而可直接觀察到表面缺陷。表面重構(gòu)、表面吸附體的形態(tài)和位置，以及由吸附體引起的表面重構(gòu)等。④可在真空、大氣、常溫等不同環(huán)境下工作，樣品甚至可浸在水和其他溶液中不需要特別的制樣技術(shù)并且探測過程對樣品無損傷．206③可以觀察單個原子層的局部表面結(jié)構(gòu)，而不是④可在真空、207⑤配合掃描隧道譜（STS）可以得到有關(guān)表面電子結(jié)構(gòu)的信息，例如表面不同層次的態(tài)密度。表面電子阱、電荷密度波、表面勢壘的變化和能隙結(jié)構(gòu)等。⑥利用STM針尖，可實(shí)現(xiàn)對原子和分子的移動和操縱，這為納米科技的全面發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。207⑤配合掃描隧道譜（STS）可以得到有關(guān)表面電子結(jié)⑥利208局限性

STM所觀察的樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性，對于半導(dǎo)體，觀測的效果就差于導(dǎo)體；對于絕緣體則根本無法直接觀察。如果在樣品表面覆蓋導(dǎo)電層，則由于導(dǎo)電層的粒度和均勻性等問題又限制了圖象對真實(shí)表面的分辨率。賓尼等人1986年研制成功的AFM可以彌補(bǔ)STM這方面的不足。208局限性STM所觀察的樣品必須具有一定程度的導(dǎo)209量子力學(xué)第二章波函數(shù)及薛定諤方程209量子力學(xué)2102.1波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋2102.1波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋211自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)。因此，其能量E和動量都是常量。根據(jù)德布羅意波粒二象性的假設(shè)，自由粒子的頻率和波長分別為

又因?yàn)椴ㄊ笧?，因此，自由粒子的υ和k都為常量。得到

一、自由粒子的波函數(shù)211自由粒子指的是不受外力作用，靜止或勻速運(yùn)212υ和k都為常量的波應(yīng)該是平面波，可用以下函數(shù)描述或?qū)⑸鲜酱?，得到這就是自由粒子的波函數(shù)，它將粒子的波動同其能量和動量聯(lián)系了起來。它是時間和空間的函數(shù)，即212υ和k都為常量的波應(yīng)該是平面波，可用以下函數(shù)描述213二、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義1當(dāng)粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，也就無法用簡單的函數(shù)來描述，但總可以用一個函數(shù)來描述這個粒子的特性，稱其為粒子的波函數(shù)。213二、一般粒子的波函數(shù)及其物理意義1當(dāng)粒子受到外力的作2142物理意義：對實(shí)物粒子的波動性有兩種解釋（1）第一種解釋，認(rèn)為粒子波就是粒子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，即將粒子看成是三維空間中連續(xù)分布的一種物質(zhì)波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的運(yùn)動速度。粒子的干涉和衍射等波動性都源于這種波包結(jié)構(gòu)。2142物理意義：215能量和動量的關(guān)系為，利用得到物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實(shí)際不符。215能量和動量的關(guān)系為，216（2）第二種解釋：認(rèn)為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產(chǎn)生的行為。然而，電子衍射實(shí)驗(yàn)表明，就衍射效果而言，弱電子密度＋長時間＝強(qiáng)電子密度＋短時間由此表明，對實(shí)物粒子而言，波動性體現(xiàn)在粒子在空間的位置是不確定的，它是以一定的概率存在于空間的某個位置。216（2）第二種解釋：認(rèn)為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用2173、概率波粒子的波動性可以用波函數(shù)來表示，其中，振幅表示波動在空間一點(diǎn)(x,y,z)上的強(qiáng)弱。所以，應(yīng)該表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)(x,y,z)附近的概率大小的一個量。

因此，粒子的波函數(shù)又稱為概率波。2173、概率波粒子的波動性可以用波函數(shù)來表示，218保留經(jīng)典概念的哪些特征不具有經(jīng)典概念的哪些特征粒子性有確定的質(zhì)量、電荷、自旋等沒有確定的軌道波動性有干涉、衍射等現(xiàn)象振幅不直接可測由波函數(shù)還可以決定粒子的其它各種物理可觀察量(以后講)。所以波函數(shù)完全描寫了微觀粒子(或一般地說，量子體系)的狀態(tài)，這種描寫在本質(zhì)上具有統(tǒng)計(jì)的特征。218保留經(jīng)典概念的哪些特征不具有經(jīng)典概念的哪些特征粒子性有219三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋

表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)(x,y,z)附近的概率。表示點(diǎn)(x,y,z)處的體積元中找到粒子的概率。這就是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋。必然有以下歸一化條件219三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋表220

四、常數(shù)因子不定性設(shè)C是一個常數(shù)，則和對粒子在點(diǎn)(x,y,z)附件出現(xiàn)概率的描述是相同的。如果則有，等同于220

四、常數(shù)因子不定性設(shè)C是一個常數(shù)，則221說明：1即使要求波函數(shù)是歸一化的，它仍有一個位相因子的不確定性（相位不確定性）。例如：常數(shù)，則和對粒子在點(diǎn)（x,y,z）附近出現(xiàn)概率的描述是相同的。2有些波函數(shù)不能（有限地）歸一，如平面波。221說明：1即使要求波函數(shù)是歸一化的，它仍有一個例如：常222五、對波函數(shù)的要求1、可積性2、歸一化3、單值性，要求單值4、連續(xù)性222五、對波函數(shù)的要求1、可積性223六、態(tài)的疊加原理波的干涉，衍射現(xiàn)象的本質(zhì)原因是因?yàn)樗鼭M足疊加原理。微觀粒子所顯示的波動性表明：波函數(shù)也應(yīng)滿足疊加原理。223六、態(tài)的疊加原理波的干涉，衍射現(xiàn)象的本質(zhì)原因是224如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態(tài)，那么Ψ=c1ψ1+c2ψ2也是體系的可能狀態(tài)。對于合成的狀態(tài)：其中就是干涉項(xiàng)。

其中其中就是干涉項(xiàng)。

其中224如果ψ1和ψ2是體系可能的狀態(tài)，那么對于合成的狀態(tài)：其225一般地說，疊加原理可以寫成這導(dǎo)致了量子力學(xué)中的一個重要概念：對于一個指定的量子體系，如果我們找到了它的“完備的基本狀態(tài)”，例如，那么任何狀態(tài)都可以由這些基本狀態(tài)疊加而得到。運(yùn)動的狀態(tài)是平面波因此，自由電子的任何狀態(tài)都可以寫成：即是各種不同動量的平面波的疊加。

例如：一個自由電子以動量和能量225一般地說，疊加原理可以寫成這導(dǎo)致了量子力學(xué)中的一個重要226這個例子在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的Fourier變換。引入那么任何波函數(shù)(不一定是自由粒子的)都可以寫成

其中的系數(shù)由下式得出：

這個的物理意義是“動量測量幾率振幅”。對于一維情形，226這個例子在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的Fourier變換。引入那么227

七、動量分布概率設(shè)，則表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn)附件的概率。設(shè)為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做傅立葉展開227

七、動量分布概率設(shè)，則228其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應(yīng)該代表粒子具有動量的概率。228其中，可見，代表中含有平面波2292.2薛定諤方程2292.2薛定諤方程230一Schrodinger方程量子力學(xué)的基本定律是波函數(shù)所滿足的偏微分方程。這個基本定律在本質(zhì)上是一個假說。deBroglie波滿足的方程是：

而,所以230一Schrodinger方程量子力學(xué)的基本定律是波231這可以看做是在經(jīng)典關(guān)系中進(jìn)行代換可以推廣地說：若粒子在外勢場中運(yùn)動，其能量的表達(dá)式為231這可以看做是在經(jīng)典關(guān)系中進(jìn)行代換可以推廣地說：若粒子在232則它的波函數(shù)應(yīng)該滿足方程此即單粒子運(yùn)動的Schrodinger方程(1926)。232則它的波函數(shù)應(yīng)該滿足方程此即單粒子運(yùn)動的Schrodi233二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據(jù)Schrodinger方程，233二幾率守恒定律粒子的空間幾率密度是根據(jù)Schrod234記則而這表示了一種守恒定律。

234記則而這表示了一種守恒定律。235因?yàn)?，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得

是在體積V內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的總幾率，而穿過封閉曲面S向外的總通量。所以是“幾率流密度”，而上式表現(xiàn)了幾率守恒。幾率守恒也就是粒子數(shù)守恒。

235因?yàn)?，對任何體積V，等式右方用Gauss定理，得是在236三定態(tài)Schrodinger方程若與時間無關(guān)，則Schrodinger方程可以分離變量求解，236三定態(tài)Schrodinger方程若與時間無237波函數(shù)成為

這樣的波函數(shù)(或者是波函數(shù)）稱為定態(tài)波函數(shù)。對比deBroglie波，我們發(fā)現(xiàn)常數(shù)E的物理意義正是粒子的能量。所以定態(tài)是體系的能量有確定值的狀態(tài)。在定態(tài)中，體系的各種力學(xué)性質(zhì)不隨時間而改變。237波函數(shù)成為這樣的波函數(shù)(或者是波函數(shù)）稱為定238的方程稱為該算符的本征方程，常數(shù)稱為本征值，方程的解稱為(該算符的屬于該本征值的)本征函數(shù)。所以定態(tài)Schrodinger方程也就是能量本征方程。

形如算符作用于波函數(shù)=常數(shù)乘以這波函數(shù)238的方程稱為該算符的本征方程，常數(shù)稱為本形如算符作用于波2392.3一維運(yùn)動的一般分析2392.3一維運(yùn)動的一般分析240一、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)1、定態(tài)2、簡并如果系統(tǒng)的能級是分立的，即，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數(shù)與其對應(yīng)，則稱這個能級是簡并的。240一、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)1、定態(tài)2413、宇稱－函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。2413、宇稱－函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。2424、定態(tài)薛定格方程－能量本征方程2424、定態(tài)薛定格方程－能量本征方程2435、束縛態(tài)與非束縛態(tài)2435、束縛態(tài)與非束縛態(tài)244定理1244定理1245推論1245推論1246定理2246定理22472472482482492492502502512512522522532532542.4一維無限深勢阱和方勢阱2542.4一維無限深勢阱和方勢阱255一、一維無限深方勢阱1、勢函數(shù)如果在，由能量本征方程，有其解為，其中由邊界條件和，有和，波函數(shù)為255一、一維無限深方勢阱1、勢函數(shù)2562、能量量子化由，和得到，這說明，一維無限深方勢阱中的粒子的能量是量子化的。稱為體系的能量本征值，與對應(yīng)的波函數(shù)稱為能量本征函數(shù)。2562、能量量子化257將波函數(shù)進(jìn)行歸一化：即令，得到歸一化波函數(shù)為3、歸一化波函數(shù)2573、歸一化波函數(shù)258最低能量經(jīng)典粒子，可以有一維無限深方勢阱中的粒子，由測不準(zhǔn)關(guān)系，得到因此，粒子能量4、討論2584、討論259在，有個節(jié)點(diǎn)，其上

說明粒子在這些節(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)的概率為零。對于經(jīng)典粒子來說，它在內(nèi)任何一點(diǎn)都有可能出現(xiàn)。259在，260二、有限深對稱方勢阱設(shè)粒子能量條件在阱內(nèi)能量本征方程解260二、有限深對稱方勢阱設(shè)261在阱外能量本征方程解，說明粒子不會出現(xiàn)在，說明的粒子也有到達(dá)勢阱外的可能。261在阱外2622.5量子隧道效應(yīng)2622.5量子隧道效應(yīng)263一、方勢壘的反射與透射在，能量本征方程解粒子流密度反射系數(shù)透射系數(shù)263一、方勢壘的反射與透射在，能量264在，能量本征方程解264在，能量本征方程265解代數(shù)方程，得到勢壘貫穿隧穿效應(yīng)入射波反射波透射波265解代數(shù)方程，得到入射波透射波266電子的勢壘貫穿

12510當(dāng)勢壘寬度為原子限度時，透射相當(dāng)可觀266電子的勢壘貫穿267二、δ勢的反射與透射設(shè)質(zhì)量為m的粒子(E>0)從左射入δ勢壘267二、δ勢的反射與透射設(shè)質(zhì)量為m的粒子(E>0)從左268268269269270270271討論271討論2722.6線性諧振子2722.6線性諧振子273

1、能量本征方程簡諧運(yùn)動：體系在平衡位置附件的微小振動一維諧振子：粒子一維情況下的簡諧運(yùn)動，同時粒子的勢能可以表示為例如，雙原子分子中兩原子之間的勢能一維諧振子的能量本征方程273

1、能量本征方程簡諧運(yùn)動：體系在平衡位置附件的微小振274

2、能量本征方程的解能量本征方程變?yōu)楫?dāng)時，，有，其解能量本征方程的解可表示為其中，為待求函數(shù)，代入能量本征方程，有其解為亦即厄密多項(xiàng)式。當(dāng)時，要求得到274

2、能量本征方程的解能量本征方程變?yōu)?75

3、能量本征值因?yàn)橥瑫r故討論(1)能級是均勻分布的；(2)相鄰能級差相同：；(3)基態(tài)能量，稱為零點(diǎn)能；(4)諧振子吸收能量后，有可能從下能級躍遷到上能級。相反，放出能量后，有可能從上能級躍遷到下能級。275

3、能量本征值因?yàn)橥?764、能量本征態(tài)（1）因?yàn)椋渲?，要根?jù)的歸一化條件確定，即由于得到能量本征態(tài)正交歸一化2764、能量本征態(tài)（1）因?yàn)?/p>