倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制實驗實驗報告

本文格式為Word版，下載可任意編輯——倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制實驗實驗報告《現(xiàn)代操縱理論》試驗報告

狀態(tài)空間極點配置操縱試驗

一、試驗原理

經(jīng)典操縱理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，操縱器設(shè)計時一般需

要有關(guān)被控對象的較準確模型，現(xiàn)代操縱理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學工具，將經(jīng)典操縱理論的概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點配置法通過設(shè)計狀態(tài)反饋操縱器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。

1?狀態(tài)空間分析

對于操縱系統(tǒng)X=AX+Bu

選擇操縱信號為：u=-KX

式中：X為狀態(tài)向量(n維)u操縱向量(純量)

Anxn維常數(shù)矩陣BnX1維常數(shù)矩陣

求解上式，得到x(t)=(A-BK)x(t)方程的解為：x(t)=e(A-BK)tx(0)狀態(tài)反饋閉環(huán)操縱原理圖如下所示：

從圖中可以看出，假如系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，K選擇適當，對于任意的初始狀態(tài)，當t趨于無窮時，都可以使x(t)趨于0。

2?極點配置的設(shè)計步驟

1）檢驗系統(tǒng)的可控性條件。

2）從矩陣A的特征多項式卜宀*存嚴

來確定a1,a2,……,an的值。

3）確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣T:T=MW

TOC\o1-5\h\z其中M為可控性矩陣，-：

T①“…如131°°

jy—::;;?

術(shù)100

|10■■-00

4）利用所期望的特征值，寫出期望的多項式

0「川）@_（S_“■）=屮+同買T十…十兔￥+%

5）需要的狀態(tài)反饋增益矩陣K由以下方程確定：

k=底一叮%—jQ_込⑹_尙Jr“

二、試驗內(nèi)容

針對直線型一級倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用極點配置法設(shè)計操縱器，進行極點配置并用Matlab進行仿真試驗。

三、試驗步驟及結(jié)果

根據(jù)直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

00101000

0

0

1

0

1000

0010

41

可以取I1。則得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

000I\000n751000y010100■c0

0

0

0

I

\

0

0

0

n75

1

0

0

0

y

0

1

0

1

0

0

■c

0

0

1)

0

0

0

0

1

1

0

0

0

7.35

0

C.75

于是有:

1000

0010

直線一級倒立擺的極點配置轉(zhuǎn)化為：

對于如上所述的系統(tǒng)，設(shè)計操縱器，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時間（約3

秒）和適合的阻尼（阻尼比？=0.5）。

采用四種不同的方法計算反饋矩陣K

方法一：按極點配置步驟進行計算。

1）檢驗系統(tǒng)可控性，由系統(tǒng)可控性分析可以得到，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)（4），系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)⑵，所以系統(tǒng)可控。

狀態(tài)變辰

倒立擺極點配置原理圖

2）計算特征值

根據(jù)要求，并留有一定的裕量（設(shè)調(diào)整時間為2秒），我們選取期望的閉

環(huán)極點s=卩i(i=1,2,3,4)，其中：

/q=-10,=—10-f=—2+j2翻、/如=—2-j2畐

其中，卩3,卩4使一對具有匚的主導閉環(huán)極點，卩1,卩2位于主導閉環(huán)極點的左邊，因此其影響較小，因此期望的特征方程為：

(S-74)(5-)(5)(5_角)=(J+10XJ++2-2^/J/S+2+■Z^J)

=/十24十^I96s2+720^-^1600

因此可以得到：磅=241旳販咕叫勺=00

因此有由系統(tǒng)的特征方程:

因此有

S

-1

0

0

0

S

0

0

0

0

S

-1

0

0

-7.35

S

\sI-A

碼=0*業(yè)二一7?35,為=0.a4=0

系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：

K=[cr4—心匕3-a^:a2一如口_q]r

確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣T:T=MW

式中:

M=

0

1.0000

0

0

1.0000

0

0

0

0

0.7500

0

5.5125

0.7500

0

5.5125

0

0-7.3500-0.00001.0000

-7.3500-0.00001.0000-0.00001.0000001.0000000

于是可以得到:

-7.3500-0.00001.00000

0-7.3500-0.00001.0000

0-0.00000.75000

-0.00000-0.00000.7500-7.350000-0.0000

-0.0000

0-0.00000.7500

-7.3500

00-0.0000

-0.0000-7.3500-0.0000

-0.0000-7.3500-0.0000

1.0000-0.00000.7500-0.0000

1.0000-0.0000

0.7500-0.0000

01.000000.7500于是有狀態(tài)反饋增益矩陣K為：

01.000000.7500

于是有狀態(tài)反饋增益矩陣K為：

K=-217.6871-97.9592561.3828162.6122

得到操縱量為：

H--XX-217.6871X■+97.9592-561*3823ie2-6122°以上計算可以采用MATLAB編程計算。

程序如下：

clear;

A=[0100;0000;0001;007.350];

B=[0100.75];

C=[1000;0010];

D=[00];

J=[-10000;0-1000;00-2-2*sqrt(3)*i0;

000-2+2*sqrt(3)*i];

pa=poly(A);pj=poly(J);

M=[BA*BAA2*BAA3*B];

W=[pa⑷pa(3)pa(2)1;pa(3)pa(2)10;

pa(2)100;1000];

T=M*W;

K=[pj(5)-pa(5)pj(4)-pa⑷pj(3)-pa(3)pj(2)-pa(2)]*inv(T)

Ac=[(A-B*K)];

Bc=[B];Cc=[C];De=[D];

T=0:0.005:5;

U=0.2*ones(size(T));

Cn=[1000];

Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);

Bcn=[Nbar*B];

[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);

plot(T,X(:,1),-)

holdon;

plot(T,X(:,2),-.)

holdon;

plot(T,X(:,3),.)

holdon;

plot(T,X(:,4),-)

legend(CartPos,CartSpd,PendAng,PendSpd)

運行得到以下結(jié)果：

可以看出，在給定系統(tǒng)干擾后，倒立擺可以在2秒內(nèi)很好的回到平衡位置,滿足設(shè)計要求。

方法二：也可以通過下面的方法進行極點配置計算：

矩陣（A—BK的特征值是方程式|Is-（A-BK）|=0的根:

0

0

0

~0

1

0

\)

_0~

0

S

0

0

0

0

0

0

1

一

+

0

0

S

0

0

0

0

1

0

0

0

0

S

0

0

a

0

b

這是s的四次代數(shù)方程式，可表示為

s4+（辰+十（-a+他十bkjf一一％=0

適選中擇反饋系數(shù)k1,k2,k3,k4系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值把四個特征根入1,入2,入3,入4設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有

■j4_（人++乂勺+彳斗）J

+{/［川丫+Xt/+X+Z.X|+/.］交予+川丫乂彳、$

—{+-jX-A+z^.|Aj/tj+/1斗右2?）＞S

+/C；/」=0

對比兩式有以下聯(lián)立方程式

耗、+3/^4=—I止］十兄r+乂日+蟲斗）

-a+J^=右厶+幾2久3+易人亠人右+2j23+人人

-ak^=—+久2久、丄4+久4+人4乂1幾2）

—應(yīng)忙］=Z|Z?Z-ZJ

假如給出的入1,入2,入3,入4是實數(shù)或共軛復數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊

全部為實數(shù)。據(jù)此可求解出實數(shù)ki,k2,k3,k4

當將特征根指定為以下兩組共軛復數(shù)時

又a=7.35，b=0.75

利用方程式可列出關(guān)于ki,k2,k3,k4的方程組:

心十°?衍忍=24

—7.3巨++Q,75居=196

-7,35^2=720

-7.3晦=1600

求解后得

K=-217.6871-97.9592561.3828162.6122

即施加在小車水平方向的操縱力u:

可以看出，和方法一的計算結(jié)果一樣

程序如下：

clear;

symsasbk1k2k3k4;

A=[0100;

0000;

0001;

00a0];

B=[010b];

SS=[s000;

0s00;

00s0;

000s];

K=[k1k2k3k4];

J=[-10000;

0-1000;

00-2-2*sqrt(3)*i0;

000-2+2*sqrt(3)*i];

ans=A-B*K;

P=poly(ans)

PJ=poly(J)

運行結(jié)果為：

P=

xA4+3/4*k4*xA3-147/20*xA2+3/4*xA2*k3+k2*xA3-147/20*x*k2+k1*xA2-147/20*k1

PJ=1241967202200

方法三：利用愛克曼公式計算。

愛克曼方程所確定的反饋增益矩陣為：

K=[o0…0…才We⑷

其中

利用MATLAB可以便利的計算，程序如下：

clear;

A=[0100;

0000;

0001;

007.350];

B=[0100.75];

M=[BA*BAA2*BAA3*B];

J=[-10000;

0-1000;

00-2-2*sqrt(3)*i0;

000-2+2*sqrt(3)*i];

phi=polyvalm(poly(J),A);

K=[0001]*inv(M)*phi

運行結(jié)果為：

K=-217.6871-97.9592561.3828162.6122