五年級奧數(shù)解析5.質(zhì)數(shù)和合數(shù)

五年級奧數(shù)解析5.質(zhì)數(shù)和合數(shù)五年級奧數(shù)解析5.質(zhì)數(shù)和合數(shù)五年級奧數(shù)解析5.質(zhì)數(shù)和合數(shù)V:1.0精細(xì)整理，僅供參考五年級奧數(shù)解析5.質(zhì)數(shù)和合數(shù)日期：20xx年X月小學(xué)奧數(shù)教案---質(zhì)數(shù)與合數(shù)與質(zhì)數(shù)有關(guān)的構(gòu)造問題，通過分解質(zhì)因數(shù)求解的整數(shù)問題．1、有人說：“任何7個連續(xù)整數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)．”請你舉一個例子，說明這句話是錯的．【分析與解】例如連續(xù)的7個整數(shù)：842、843、844、845、846、847、848分別能被2、3、4、5、6、7、8整除，電就是說它們都不是質(zhì)數(shù)．評注：有些同學(xué)可能會說這是怎么找出來的，翻質(zhì)數(shù)表還是……，我們注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)這n個數(shù)分別能被2、3、4、…、(n+1)整除，它們是連續(xù)的n個合數(shù)．其中n!表示從1一直乘到n的積，即1×2×3×…×n．2、從小到大寫出5個質(zhì)數(shù)，使后面的數(shù)都比前面的數(shù)大12．【分析與解】我們知道12是2、3的倍數(shù)，如果開始的質(zhì)數(shù)是2或3，那么即與12的和一定也是2或3的倍數(shù)，將是合數(shù)，所以從5開始嘗試．有5、17、29、41、53是滿足條件的5個質(zhì)數(shù)．3．9個連續(xù)的自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質(zhì)數(shù)最多有多少個?

【分析與解】大于80的自然數(shù)中只要是偶數(shù)一定不是質(zhì)數(shù)，于是奇數(shù)越多越好，9個連續(xù)的自然數(shù)中最多只有5個奇數(shù)，它們的個位應(yīng)該為1，3，5，7，9．但是大于80且個位為5的數(shù)一定不是質(zhì)數(shù)，所以最多只有4個數(shù)．驗證101，102，103，104，105，106，107，108，109這9個連續(xù)的自然數(shù)中101、103、107、109這4個數(shù)均是質(zhì)數(shù)．也就是大于80的9個連續(xù)自然數(shù)，其中質(zhì)數(shù)最多能有4個．4.用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個數(shù)字最多能組成多少個質(zhì)數(shù)?

【分析與解】要使質(zhì)數(shù)個數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有2、3、5、7均為一位質(zhì)數(shù)，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用．有1、4、8、9可以組成質(zhì)數(shù)41、89，而6可以與7組合成質(zhì)數(shù)67．所以這9個數(shù)字最多組成了2、3、5、41、67、89這6個質(zhì)數(shù)．5．3個質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是，則這3個質(zhì)數(shù)之和為多少?

【分析與解】設(shè)這3個質(zhì)數(shù)從小到大為a、b、c，它們的倒數(shù)分別為、、，計算它們的和時需通分，且通分后的分母為a×b×c，求和得到的分?jǐn)?shù)為,如果這個分?jǐn)?shù)能夠約分，那么得到的分?jǐn)?shù)的分母為a、b、c或它們之間的積．現(xiàn)在和為，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，檢驗滿足．所以這3個質(zhì)數(shù)的和為2+3+331=336．6．已知一個兩位數(shù)除1477，余數(shù)是49．求滿足這樣條件的所有兩位數(shù)．【分析與解】有1477÷除數(shù)=商……49，那么1477-49：除數(shù)×商，所以，除數(shù)×商=1428=2×2×3×7×17．一般情況下有除數(shù)大于余數(shù)．即除數(shù)大于49且整除1428，有84、51、68滿足．所以滿足題意的兩位數(shù)有51、68、84．7．有一種最簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是140．如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個分?jǐn)?shù)是多少

【分析與解】有140=2×2×5×7，因為這些分?jǐn)?shù)的分子與分母的乘積均為140，當(dāng)分母越大時，分子越小，所以對應(yīng)的分?jǐn)?shù)也越小．有分母從大到小依次為140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；對應(yīng)分子從小到大依次為1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；對應(yīng)分?jǐn)?shù)從小到大依次為而、、、、、、、…其中第三個最簡真分?jǐn)?shù)為．8．某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元．這個學(xué)校共有35名教師，14個教學(xué)班．各班學(xué)生人數(shù)相同且多于30人不超過45人．如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元

【分析與解】這個學(xué)校最少有35+14×30=455名師生，最多有35+14×45=665名師生，并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除1995．1995=3×5×133，在455～665之間的約數(shù)只有5×133=665，所以師生總數(shù)為665人，則平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5看成8，由此得乘積為1872．那么原來的乘積是多少?

【分析與解】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某個口為8，一一驗證只有：1872=48×39，1872=78×24滿足．當(dāng)為1872=48×39時，小馬虎錯把5看成8，也就是錯把45看成48，所以正確的乘積應(yīng)該是45×39=1755．當(dāng)為1872=78×24時，小馬虎錯把5看成8，也就是錯把75看成78，所以正確的乘積應(yīng)該是75×24=1800．所以原來的積為1755或1800．10.已知兩個數(shù)的和被5除余1，它們的積是2924，那么它們的差等于多少?

【分析與解】2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l(xiāng)，則和的個位為1或6．有4×17+43=68+43=11l，也就是說68、43為滿足題意的兩個數(shù)．它們的差為68-43=25．11．在射箭運(yùn)動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”(脫靶)，或者是不超過10的自然數(shù)．甲、乙兩名運(yùn)動員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)．求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少?

【分析與解】1764=2×2×3×3×7×7，1764對應(yīng)為5個小于10的自然數(shù)乘積．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7對應(yīng)的和依次為4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．對應(yīng)的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭環(huán)數(shù)為4、3、3、7、7，乙的5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、7、7．所以甲的總環(huán)數(shù)為24，乙的總環(huán)數(shù)為28．12．在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少

【分析與解】如下圖，設(shè)長、寬、高依次為a、b、c，有正面和上面的和為ac+ab=209．a(chǎn)c+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．當(dāng)a=11時，c+b=19，當(dāng)兩個質(zhì)數(shù)的和為奇數(shù)，則其中必定有一個數(shù)為偶質(zhì)數(shù)2，則c+b=2+17;當(dāng)a=19時，c+b=11，則c+b=2+9，b為9不是質(zhì)數(shù)，所以不滿足題意．所以它們的乘積為11×2×17=374．13.一個長方體的長、寬、高是連續(xù)的3個自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米

【分析與解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，而34×34×34即最接近39270，39270的約數(shù)中接近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270．所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高．則長方體的表面積為：2×(長×寬+寬×高+高×長)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．方法二：39270=2×3×5×7×11×17，為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù)17，如果17作為長、寬或高顯然不滿足．當(dāng)17與2結(jié)合即34作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù)7，與34接近的數(shù)32～36中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度．而39270的質(zhì)因數(shù)中只剩下了3和1l，所以這個長方體的大小為33×34×35．長方體的表面積為2×(++)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．14．一個長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米

【分析與解】我們知道任意個已確定個數(shù)的數(shù)的乘積一定時，它們相互越接近，和越?。?個數(shù)的積為18，則三個數(shù)為2、3、3時和最小，為8．1998=2×3×3×3×37，37是質(zhì)數(shù)，不能再分解，所以2×3×3×3對應(yīng)的兩個數(shù)應(yīng)越接近越好．有2×3×3×3=6×9時，即1998=6×9×37時，這三個自然數(shù)最接近．它們的和為6+9+37=52(厘米)．15．如果兩數(shù)的和是64，兩數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差等于多少?

【分析與解】4875=3×5×5×5×13，有a×b為4875的約數(shù)，且這兩個數(shù)的和為64．發(fā)現(xiàn)39=3×13、25=5×5這兩個數(shù)的和為64，所以39、25為滿足題意的兩個數(shù)．那么它們的差為39-25=14．評注：由上題可推知，當(dāng)兩個數(shù)的和一定時，這兩個數(shù)越接近，積越大，所以兩個和為64的數(shù)的乘積最大為32×32=1024，而積最小為1×63=63．而4875在64～1024之間的約數(shù)有65，195，325，375，975等．我們再對65，195，325，375，975等一一驗證．嚴(yán)格的逐步計算，才不會漏掉滿足題意的其他的解．而在本題中滿足題意的只有39、25這組數(shù)．練習(xí)一、填空題1.在一位的自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的有_____；既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的有_____；既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的有_____.2.最小的質(zhì)數(shù)與最接近100的質(zhì)數(shù)的乘積是_____.3．兩個自然數(shù)的和與差的積是41，那么這兩個自然數(shù)的積是_____.4.在下式樣□中分別填入三個質(zhì)數(shù),使等式成立.□+□+□=505.三個連續(xù)自然數(shù)的積是1716,這三個自然數(shù)是_____、_____、_____.6.找出1992所有的不同質(zhì)因數(shù),它們的和是_____.7.如果自然數(shù)有四個不同的質(zhì)因數(shù),那么這樣的自然數(shù)中最小的是_____.8.9216可寫成兩個自然數(shù)的積，這兩個自然數(shù)的和最小可以達(dá)到_____.9.從一塊正方形的木板上鋸下寬為3分米的一個木條以后,剩下的面積是108平方分米.木條的面積是_____平方分米.10.今有10個質(zhì)數(shù):17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果將它們分成兩組,每組五個數(shù),并且每組的五個數(shù)之和相等,那么把含有101的這組數(shù)從小到大排列,第二個數(shù)應(yīng)是_____.二、解答題11．2，3，5，7，11，…都是質(zhì)數(shù)，也就是說每個數(shù)只以1和它本身為約數(shù).