2022年甘肅張掖市高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒(大小忽略不計(jì),?。瑒t落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.20 B.27 C.54 D.642.已知集合,,則=()A. B. C. D.3.已知函數(shù),若對(duì)于任意的,函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④5.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.6.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.在的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.8.在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.9.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.411.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.3312.已知斜率為2的直線l過拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則p=()A.1 B. C.2 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正方體中,是棱的中點(diǎn),是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn),且平面,記與的軌跡構(gòu)成的平面為.①,使得;②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是;③與平面所成銳二面角的正切值為;④正方體的各個(gè)側(cè)面中,與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè).其中正確命題的序號(hào)是________.(寫出所有正確命題的序號(hào))14.已知向量滿足,且,則_________.15.設(shè)為橢圓在第一象限上的點(diǎn),則的最小值為________.16.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是圓:的直徑,動(dòng)圓過,兩點(diǎn),且與直線相切.(1)若直線的方程為,求的方程;(2)在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恰好與軸相切?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點(diǎn),且,求的值.19.(12分)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和,又單調(diào)遞增的等比數(shù)列,,.(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和,并求證:.20.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,,M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且的面積的最大值為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程,(2)若,,四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,,記直線AD,BC的斜率分別為,,求證:為定值.21.(12分)已知拋物線,焦點(diǎn)為,直線交拋物線于兩點(diǎn),交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn),如圖所示,當(dāng)直線經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí),點(diǎn)恰好是的中點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)點(diǎn)是原點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別是,當(dāng)直線的縱截距為1時(shí),有數(shù)列滿足,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知存在正整數(shù)使得,求m的值.22.(10分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,若同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):①;②;③;④.(1)滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些?(2)在(1)所有組合中任選一組,并求對(duì)應(yīng)的面積.(若所選條件出現(xiàn)多種可能,則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,利用概率模擬列方程即可求解?!驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為,則小正方體的邊長(zhǎng)為,設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,則,解得:故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。2、C【解析】

計(jì)算,,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、D【解析】

將原題等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根,先求導(dǎo),可判斷時(shí),,是增函數(shù);當(dāng)時(shí),,是減函數(shù).因此,再令,求導(dǎo)得,結(jié)合韋達(dá)定理可知,要滿足題意,只能是存在零點(diǎn),使得在有解,通過導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);則應(yīng)滿足,再結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)即可求解;【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn),等價(jià)于方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根.,所以當(dāng)時(shí),,是增函數(shù);當(dāng)時(shí),,是減函數(shù).因此.設(shè),,若在無解,則在上是單調(diào)函數(shù),不合題意;所以在有解,且易知只能有一個(gè)解.設(shè)其解為,當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù).因?yàn)?,方程在?nèi)有兩個(gè)不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因?yàn)?,所以,代入,?設(shè),,所以在上是增函數(shù),而,由可得,得.由在上是增函數(shù),得.綜上所述,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題,構(gòu)造函數(shù)法,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系,轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于難題4、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯(cuò)②:因?yàn)?,,所以或,因?yàn)椋?,故②?duì)③:或,故③錯(cuò)④:如圖因?yàn)椋?,在?nèi)過點(diǎn)作直線的垂線,則直線,又因?yàn)?,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因?yàn)椋?,所以,所以,故④?duì).故選:C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng);結(jié)合特殊值,即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項(xiàng)A,B;又∵當(dāng)時(shí),,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,因?yàn)?,為增函?shù),所以所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵?,所以含的?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,8、A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域?yàn)?,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,,則,排除B選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.9、C【解析】

設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.10、C【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題,利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②③④【解析】

取中點(diǎn),中點(diǎn),中點(diǎn),先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,進(jìn)而求解;③由,取為中點(diǎn),則,則即為與平面所成的銳二面角,進(jìn)而求解;④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點(diǎn),連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,則易證得,所以平面平面,所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點(diǎn),因?yàn)槭堑妊切?所以,又因?yàn)?所以,故①正確;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),直線與直線所成角最小,此時(shí),;當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí),直線與直線所成角最大,此時(shí),所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確;③與平面的交線為,且,取為中點(diǎn),則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確;④正方體的各個(gè)側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確.故答案為:①②③④【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.14、【解析】

由數(shù)量積的運(yùn)算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.15、【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程,將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題,利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì),以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值,即可得到所求最小值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),,其中,,由,,,可設(shè),導(dǎo)數(shù)為,由,可得,可得或,由,,可得,即,可得,由可得函數(shù)遞減;由,可得函數(shù)遞增,可得時(shí),函數(shù)取得最小值,且為,則的最小值為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用,利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法,考查化簡(jiǎn)變形能力和運(yùn)算能力,屬于難題.16、-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點(diǎn)睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn),利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算,將所給向量統(tǒng)一用AC,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或.(2)存在,;【解析】

(1)根據(jù)動(dòng)圓過,兩點(diǎn),可得圓心在的垂直平分線上,由直線的方程為,可知在直線上;設(shè),由動(dòng)圓與直線相切可得動(dòng)圓的半徑為;又由,及垂徑定理即可確定的值,進(jìn)而確定圓的方程.(2)方法一:設(shè),可得圓的半徑為,根據(jù),可得方程為并化簡(jiǎn)可得的軌跡方程為.設(shè),,可得的中點(diǎn),進(jìn)而由兩點(diǎn)間距離公式表示出半徑,表示出到軸的距離,代入化簡(jiǎn)即可求得的值,進(jìn)而確定所過定點(diǎn)的坐標(biāo);方法二:同上可得的軌跡方程為,由拋物線定義可求得,表示出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系,進(jìn)而確定所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)因?yàn)檫^點(diǎn),,所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為,且,關(guān)于于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,所以在直線上,故可設(shè).因?yàn)榕c直線相切,所以的半徑為.由已知得,,又,故可得,解得或.故的半徑或,所以的方程為或.(2)法一:設(shè),由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡(jiǎn)得的軌跡方程為.設(shè),,則得,的中點(diǎn),則以為直徑的圓的半徑為:,到軸的距離為,令,①化簡(jiǎn)得,即,故當(dāng)時(shí),①式恒成立.所以存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓與軸相切.法二:設(shè),由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡(jiǎn)得的軌跡方程為.設(shè),因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在拋物線上,所以,線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,則到軸的距離為,而,故以為徑的圓與軸切,所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),符合題意,所以存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓與軸相切.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法,動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法,拋物線定義及定點(diǎn)問題的解法綜合應(yīng)用,屬于難題.18、(1),(2)0【解析】

(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入的普通方程,化為關(guān)于的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得;由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得,即.(2)把為參數(shù))代入,得.,..解得:,即,滿足△..【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.19、(1),;(2)詳見解析.【解析】

(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足,∴,∵等比數(shù)列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,顯然數(shù)列是遞增數(shù)列,∴,即.)20、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),的面積取得最大值,求出,即可得答案;(2)根據(jù)題意可知,,因?yàn)?,所以可設(shè)直線CD的方程為,將直線代入曲線的方程,利用韋達(dá)定理得到的關(guān)系,再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】(1)設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí),的面積取得最大值.所以,所以,,故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)根據(jù)題意可知,,因?yàn)?,所以可設(shè)直線CD的方程為.由,消去y可得,所以,即.直線AD的斜率,直線BC的斜率,所以,故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)

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