高等數(shù)學(xué)(函數(shù)極限連續(xù))課件

第一講函數(shù)、極限與連續(xù)1一、集合及其運(yùn)算（自己復(fù)習(xí)）二、實(shí)數(shù)的完備性和確界存在定理

（去掉，可以不看）實(shí)數(shù)集R和實(shí)數(shù)軸上的所有點(diǎn)一一對應(yīng)設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱

f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作y

稱為x

在映射

f下的像,記作x稱為y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注:

元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.1、定義4.三、映射和函數(shù)定義域定義5.設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為稱為值域.自變量因變量

定義域使表達(dá)式或?qū)嶋H問題有意義的自變量集合.對實(shí)際問題,書寫函數(shù)時(shí)必須寫出定義域；

基本初等函數(shù)：常數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),

三角函數(shù)，反三角函數(shù).非基本初等函數(shù)：分段函數(shù)等.1、狄利克雷函數(shù)例如：x

為有理數(shù)x為無理數(shù)3、符號函數(shù)2、取整函數(shù)當(dāng)2.函數(shù)的幾種特性(1)有界性

(2)單調(diào)性

(3)奇偶性(4)周期性注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,

常量函數(shù)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).其反函數(shù)(減),(減).1)（反函數(shù)存在定理）y＝f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增且也嚴(yán)格單調(diào)遞增性質(zhì):使其中4.反函數(shù)常數(shù)及基本初等函數(shù)的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成稱為初等函數(shù).

5.初等函數(shù)如果按照某一法則,對每一對應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)則得到一個(gè)序列這一序列稱為數(shù)列,記為叫做數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列舉例:注：數(shù)列可以看作自變量為正整數(shù)

的函數(shù):四、數(shù)列的極限數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢。例如數(shù)列極限的通俗定義問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻畫它？當(dāng)無限增大時(shí)，如果數(shù)列的一般項(xiàng)無限接近于常數(shù)則稱常數(shù)是數(shù)列的極限或者稱記為趨勢不定收斂于數(shù)列“當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近于”數(shù)列極限的精確定義如果存在常數(shù)對于任意給定總存在正整數(shù)使得當(dāng)

時(shí)總有成立則稱常數(shù)是數(shù)列的極限或者稱數(shù)列收斂于記為極限定義的簡記形式設(shè)為一數(shù)列或當(dāng)

時(shí)的正數(shù)aa-ea+e()當(dāng)

時(shí)收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.1收斂數(shù)列的極限唯一.定理2.2收斂數(shù)列一定有界.

注：1.有界的數(shù)列是否一定收斂?

2

數(shù)列的有界性與收斂如何？則定理2.3

設(shè)例.求解：由于根據(jù)有理運(yùn)算法則得32例.求解：因?yàn)楦鶕?jù)有理運(yùn)算法則得定理2.4收斂數(shù)列具有保號性.若且有推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起推論(保序性)設(shè)若使得恒有則定理2.5(夾逼性)設(shè)若使得恒有則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂于其上確界；單調(diào)遞減有下界的數(shù)列收斂于其下確界。注：

1如果數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列存在極限,但其極限不同,

那么原數(shù)列的極限是否存在?注：

2

現(xiàn)在又如何判斷數(shù)列發(fā)散？定理2.7（歸并原理）的充要條件是的每個(gè)子列都有

數(shù)列的任一收斂子列的極限稱為該數(shù)列的極限點(diǎn)，極限點(diǎn)又稱聚點(diǎn)。定理2.8（Weierstrass定理---聚點(diǎn)定理）有界數(shù)列必有收斂子列。定理2.9（Cauchy收斂原理）數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),有這種數(shù)列稱為Cauchy列或基本數(shù)列。該條件稱為Cauchy條件。內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N

”

定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西準(zhǔn)則39P3910偶數(shù)題,11(1)(2)作業(yè)五、函數(shù)的極限是當(dāng)它與函數(shù)滿足下列關(guān)系：

自變量無限趨大時(shí)的函數(shù)極限如果存在常數(shù)設(shè)是任一函數(shù)那么稱恒有使得定義3.1（時(shí)的函數(shù)的極限）極限存在或有極限.時(shí)的極限,記作或時(shí)此時(shí)又稱當(dāng)時(shí),函數(shù)當(dāng)?shù)臉O限可類似的定義.與當(dāng)時(shí),函數(shù)的極限當(dāng)當(dāng)當(dāng)時(shí),有時(shí),有時(shí),有不難證明幾何解釋:例

證明證:故取當(dāng)時(shí),就有因此定義3.2

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或若記作幾何解釋:自變量趨于有限時(shí)函數(shù)的極限

例

證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),就有因此只要定義設(shè)函數(shù)是常數(shù)），若時(shí)為當(dāng)或它與滿足下列關(guān)系：使得則稱的左極限，記作：存在常數(shù)恒有單側(cè)極限

類似地定義：的右極限.時(shí)函數(shù)顯然，使得當(dāng)恒有稱之為時(shí)的極限為無窮大，記作如果類似的可以定義及時(shí)的無窮大。函數(shù)極限的歸并原理定理3.1Heine定理設(shè)為一函數(shù)，則注:此定理只能用來證明極限不存在。

對于中的任何數(shù)列為有限或無窮).斂于當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列都收中的任何數(shù)列注:此定理只能用來證明極限不存在。當(dāng)證明極限存在時(shí)，此定理絕對不能用。因?yàn)橛袩o窮多個(gè)，我們無法驗(yàn)證所有的數(shù)列都滿足此定理。例

證明：不存在。

函數(shù)極限的性質(zhì)定理3.2設(shè)則(1)

唯一性.時(shí)，當(dāng)處是局部有界的，即在的極限是唯一的.(2)

局部有界性.使得恒有定理3.3若(2)

局部保序性.若使得(3)夾逼性.(1)局部保號性.則使得若都與a同號.若則恒有使得都有且a＝b,則定理3.4

(有理運(yùn)算法則)其中設(shè)定理3.5(復(fù)合運(yùn)算法則)設(shè)則(3)(1)(2)是由復(fù)合而成，與復(fù)合函數(shù)中，若定義在都有并且則使得例

求解:例

求解:例

求解:六、兩個(gè)重要極限注2.例

求解:例

求解:

原式=例

求解:

例

求解：令則當(dāng)故時(shí)，注.

兩個(gè)重要極限或注:

代表相同的表達(dá)式思考與練習(xí)例

求解:

原式=

函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則確界定義設(shè)有函數(shù)若其值域上的上(下)確界，記作有上是的上(下)界(下)界，則稱f在A上有上(下)界，并稱在A上的上(下)界，稱的上(下)確界是f在A如果f在A上既有上界又有下界，則稱

f在A上有界.定理3.6單調(diào)有界準(zhǔn)則(1)設(shè)有函數(shù)f在區(qū)間上單調(diào)增(減