狀態(tài)空間描述法

關(guān)于狀態(tài)空間描述法第1頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法

1．控制系統(tǒng)的兩種基本描述方法：

輸入—輸出描述法——經(jīng)典控制理論狀態(tài)空間描述法——現(xiàn)代控制理論

2．經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)：

(1)優(yōu)點(diǎn)：對(duì)單入—單出系統(tǒng)的分析和綜合特別有效。

(2)缺點(diǎn)：內(nèi)部的信息無(wú)法描述，僅適于單入—單出系統(tǒng)。

3.現(xiàn)代控制理論

(1)適應(yīng)控制工程的高性能發(fā)展需要，于60年代提出。

(2)可處理時(shí)變、非線性、多輸入—多輸出問(wèn)題。

(3)應(yīng)用方面的理論分支：最優(yōu)控制、系統(tǒng)辯識(shí)，自適應(yīng)控制……9.29.39.4一、問(wèn)題的提出第2頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

1.先看一個(gè)例子：

例9.1

試建立圖示電路的數(shù)學(xué)模型。RL

Ci(t)ur(t)

uc(t)二.狀態(tài)和狀態(tài)空間第3頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

2.

狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義

在已知ur(t)的情況下，只要知道uc(t)和i(t)的變化特性，則其他變量的變化均可知道。故uc(t)和i(t)稱(chēng)為“狀態(tài)變量”。記

控制系統(tǒng)的狀態(tài)為完全描述系統(tǒng)的一個(gè)最小變量組，該組中的每個(gè)變量稱(chēng)為狀態(tài)變量。

如上例中,為系統(tǒng)的狀態(tài)，為狀態(tài)變量。第4頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五3.狀態(tài)向量

4.狀態(tài)空間:

定義:所有狀態(tài)構(gòu)成的一個(gè)實(shí)數(shù)域上的(線性)向量空間稱(chēng)為狀態(tài)空間。

5.方程:

狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系表達(dá)式稱(chēng)為狀態(tài)方程(見(jiàn)上例);

系統(tǒng)輸出量y(t)與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系的表達(dá)式稱(chēng)為輸出方程。

第5頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五三.狀態(tài)變量的選取

1.狀態(tài)變量的選取是非唯一的。

2.選取方法

（1）可選取初始條件對(duì)應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

（2）可選取獨(dú)立儲(chǔ)能（或儲(chǔ)信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流i、電容電壓uc

、質(zhì)量m

的速度v

等。第6頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

例9.2

圖示彈簧——質(zhì)量——阻尼器系統(tǒng)，外作用力u(t)為該系統(tǒng)的輸入量，質(zhì)量的位移y(t)為輸出量，試列寫(xiě)該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。

k

mu(t)y(t)f第7頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.3

已知系統(tǒng)微分方程組為

其中，ur為輸入，uc為輸出，R1、C1、R2、C2為常數(shù)。試列寫(xiě)系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。

第8頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五解：選寫(xiě)成向量—矩陣形式：第9頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五四.狀態(tài)空間表達(dá)式1.單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)第10頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

2.

一般線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（p輸入q輸出）

3.

線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式第11頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五∫

（t域）

（ω

域）uxy

B∫

C

D

Ab)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)

Aa)結(jié)構(gòu)關(guān)系圖DBC第12頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五五.線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

1.方法:機(jī)理分析法、實(shí)驗(yàn)法

2.線性定常單變量系統(tǒng)(單輸入—單輸出系統(tǒng))

(1)由微分方程建立

①在輸入量中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：第13頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

例9.4

已知系統(tǒng)微分方程為

列寫(xiě)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。寫(xiě)成向量---矩陣形式(或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖):解：選②輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)：第14頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五①可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)(2)由傳遞函數(shù)建立——即實(shí)現(xiàn)

第15頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五B）bn≠0第16頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.5

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫(huà)出系統(tǒng)狀態(tài)圖。解:由

bn=b3=0,對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)型,可得實(shí)現(xiàn)為第17頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.6

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫(huà)出系統(tǒng)狀態(tài)圖。

解:由

bn=b3≠0,對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)型第18頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.7

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求其能觀測(cè)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫(huà)出系統(tǒng)狀態(tài)圖。

與能控規(guī)范型關(guān)系：

A*=AT，B*=CT，C*=BT

②能觀測(cè)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)第19頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五③對(duì)角線規(guī)范實(shí)現(xiàn)

第20頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五結(jié)構(gòu)圖的對(duì)角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)，并畫(huà)出系統(tǒng)狀態(tài)圖

。

例9.8

求

+x1y(t)u(t)∫λ1c1x2∫λ2c2xn∫λncn++第21頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五解：則對(duì)角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)為第22頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五④約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)----特征方程有重根時(shí)

第23頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第24頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五xnx4x11x12x13y(t)u(t)+++++∫λ1∫λ4∫λn∫λ1∫λ1

c11

c12c13c4cn第25頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五當(dāng)G(s)有重極點(diǎn)時(shí)，設(shè)-pi中有k重極點(diǎn)第26頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五11111第27頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.9-1-21111-111第28頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五(3)狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換①思路：②變換前后系數(shù)矩陣關(guān)系：

代入原狀態(tài)方程，有

第29頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五變換為對(duì)角線規(guī)范型。

例9.10

試將狀態(tài)方程解：Ⅰ.求特征值：

Ⅱ.求特征向量和變換矩陣P

λ=-1對(duì)應(yīng)的p1

第30頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五3．線性定常多輸入—多輸出系統(tǒng)

(1)傳遞函數(shù)矩陣與狀態(tài)系數(shù)矩陣間的關(guān)系

第31頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五(2)開(kāi)環(huán)與閉環(huán)傳遞矩陣(3)傳遞矩陣的對(duì)角化單入—單出系統(tǒng)y(s)e(s)u(s)

G(s)

H(s)-y(s)e(s)u(s)

G(s)

H(s)多入—多出系統(tǒng)-第32頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五(4)傳遞矩陣的實(shí)現(xiàn)1)單輸入—多輸出時(shí)的實(shí)現(xiàn)第33頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五可控規(guī)范型第34頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

例9.11

試求下列單輸入—雙輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。

解：第35頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五2)多輸入—單輸出時(shí)的實(shí)現(xiàn)解題思路：

①求對(duì)應(yīng)的單入多出系統(tǒng)GT(s)的實(shí)現(xiàn)；

②利用對(duì)偶關(guān)系求G(s)的實(shí)現(xiàn)。

例9.12

線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣如下，求系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。

解：1）先求對(duì)應(yīng)的單輸入—雙輸出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)

第36頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第37頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五2）再轉(zhuǎn)換為雙輸入—單輸出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)故原系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)為:第38頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五方法的驗(yàn)證第39頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五對(duì)比原題所給傳遞函數(shù)，可見(jiàn)結(jié)果一致。第40頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五本節(jié)作業(yè)

劉豹.

P481-41-5(1)1-7第41頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.2狀態(tài)方程求解線性定常連續(xù)系統(tǒng)1.齊次狀態(tài)方程的解（1）

冪級(jí)數(shù)法設(shè)解為：

9.39.49.1第42頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第43頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五⑵拉氏變換法由兩邊取拉氏變換，得

SX(s)-X(0)=AX(s)(SI﹣A)X(s)=X(0)

X(s)=(SI﹣A)-1.X(0)兩邊取拉氏反變換

x(t)=L-1[X(s)]=L-1[(SI-A)-1

X(0)]=L-1[(SI-A)-1]X(0)比較前式，有eAt=L-1[(SI-A)-1]第44頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五△狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)ф(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+…+(1/k！)Aktk+…⑴ф(0)=I─初始狀態(tài)

(2)⑶ф(t1±t2)=ф(t1)ф(±t2)=ф(±t2)ф(t1)-----線性關(guān)系

⑷

ф-1(t)=ф(-t)，ф-1(-t)=ф(t)-----可逆性

⑸

x(t)=ф(t-t0)x(t0)∵x(t0)=ф(t0)x(0),第45頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

則

x(t)=ф(t)x(0)=ф(t)[ф-1(t0)x(t0)]=ф(t)ф(-t0)x(t0)=ф(t-t0)x(t0)（6）ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A

——可分階段轉(zhuǎn)移⑺[ф(t)]k=ф(kt)⑻

e(A+B)t==eAt.eBt=eBt.eAt(AB=BA)

e(A+B)t≠eAt.eBt≠eBt.eAt(AB≠BA)⑼

引入非奇異變換后，⑽

兩種常見(jiàn)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

第46頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第47頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

例9.13

設(shè)有一控制系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為

在t0=0時(shí)，狀態(tài)變量的初值為[x1(0)x2(0)x3(0)],試求該方程的解。

第48頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第49頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第50頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五試求A及ф(t)。

例9.14

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為第51頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五解方程組得，

ф11(t)=2e-t–e-2t,ф12(t)=2e-t－2e-2tф21(t)=-e-t+e-2t,ф22(t)=-e-t+2e-2t

第52頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.15

設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為式中a、b、c均為實(shí)數(shù)，試求：⑴求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。⑵求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

第53頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五2.非齊次狀態(tài)方程的解⑴直接法（積分法）

(2)拉氏變換法

sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)

x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)則x(t)=￡-1[(sI-A)-1x(0)]+￡-1[(sI-A)-1Bu(s)](由eAt=￡-1[(sI-A)-1]可得)第54頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

例9.16

在上例中，當(dāng)輸入函數(shù)u(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。第55頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.17

設(shè)有一電液位置伺服系統(tǒng)，已知系統(tǒng)方塊圖如下所示。試用狀態(tài)空間法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。解：由圖32/s1-

電動(dòng)伺服閥放大器油缸位移傳感器u(s)y(s)第56頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第57頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五本節(jié)作業(yè)

劉豹.

P772-32-5(3)2-6第58頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

一、可控與可觀測(cè)的概念、意義9.3可控性與可觀測(cè)性9.29.49.1第59頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

如果存在一個(gè)控制u(t)，能在有限時(shí)間間隔[to,tf]內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)x(to)轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)x(tf)，則稱(chēng)此狀態(tài)x(to)是完全可控的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控，則系統(tǒng)不可控）。二、定義1.

可控性定義第60頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五三、可控性與可觀測(cè)性判據(jù)

系統(tǒng)在穩(wěn)定輸入u(t)作用下，對(duì)任意初始時(shí)刻to

，若能在有限時(shí)間間隔[to,tf]之內(nèi)，根據(jù)從to到tf對(duì)系統(tǒng)輸出y(t)的觀測(cè)值和輸入u(t)，唯一地確定系統(tǒng)在to時(shí)刻的狀態(tài)x(to)，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可（能）觀測(cè)。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能（可）觀測(cè)，則系統(tǒng)不可觀測(cè)）。2.

可觀測(cè)性定義可控規(guī)范型：

úúúú?ùêêêê?é=

úúúúúú?ùêêêêêê?é----=-1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL1.

可控性判據(jù)第61頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是可控性判別陣：必須滿(mǎn)秩。即（n為系統(tǒng)維數(shù)）判據(jù)一：試判別其狀態(tài)的可控性。解：

例9.18

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：系統(tǒng)可控！第62頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互異的特征值，則系統(tǒng)可控的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型方程：中，陣不包含元素全為零的行。判據(jù)二:

例9.19

已知三階二輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程,試判別其狀態(tài)的可控性。解：

不可控！第63頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

例9.20

試確定如下幾個(gè)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型系統(tǒng)的可控性。√×√×第64頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

例9.21

試判斷下列已經(jīng)非奇異變換成約當(dāng)規(guī)范型的系統(tǒng)的可控性。

中，與每個(gè)約當(dāng)小塊的最后一行相對(duì)應(yīng)的陣中的所有那些行，其元素不全為零。（若兩個(gè)約當(dāng)塊有相同特征值，此結(jié)論不成立。）

約當(dāng)規(guī)范型

判據(jù)三：√×第65頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

判據(jù)一:

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件為可觀測(cè)性矩陣:2.

可觀測(cè)性判據(jù)必須滿(mǎn)秩，即rankQo=n（n為系統(tǒng)維數(shù)）可觀測(cè)規(guī)范型：第66頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.22

已知系統(tǒng)的A,C陣如下，試判斷其可觀性。例9.23

試判別如下系統(tǒng)的可觀測(cè)性。解：解：√×第67頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五的矩陣中不包含元素全為零的列。

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有不相等的特征值,則其狀態(tài)可觀測(cè)的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型:例9.24

試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性.判據(jù)二:√第68頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五中,與每個(gè)約當(dāng)塊首行相對(duì)應(yīng)的矩陣中的那些列,其元素不全為零。(如果兩個(gè)約當(dāng)塊有相同的特征值,此結(jié)論不成立)。

約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)三:

第69頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.25

試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性。

√×第70頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

1）可控可觀測(cè)的充要條件：

由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消（即傳遞函數(shù)可約）。

2）可控的充要條件：

(SI-A)-1b不存在零極點(diǎn)對(duì)消。

3）可觀測(cè)的充要條件：

c(SI-A)-1不存在零極點(diǎn)對(duì)消。

四、能控能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系例9.26

判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性與可觀測(cè)性。1.

單輸入單輸出系統(tǒng)第71頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.27

系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，判斷其可控性與可觀測(cè)性。解：，故不滿(mǎn)足可控可觀測(cè)的條件。第72頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五2.

多輸入多輸出系統(tǒng)1）可控的充要條件：

(SI-A)-1B

的n行線性無(wú)關(guān)。2）可觀測(cè)的充要條件：

C(SI-A)-1的n列線性無(wú)關(guān)。

例9.28

用兩種方法驗(yàn)證：系統(tǒng)（1）的狀態(tài)可控性；系統(tǒng)（2）的狀態(tài)可觀測(cè)性。第73頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.29第74頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第75頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五五、對(duì)偶原理設(shè)系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)與系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)互為對(duì)偶系統(tǒng)，則:若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)可控，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)可觀測(cè)；若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)可觀測(cè)，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)可控；證明：第76頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五六、線性系統(tǒng)的規(guī)范分解*例9.30

判斷以下系統(tǒng)及其的狀態(tài)可控性與可觀測(cè)性。線性系統(tǒng)可分解為四種系統(tǒng)：

能控能觀測(cè)1

√√2.√3.√4.

第77頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五1.能控性規(guī)范分解定理

n階系統(tǒng)(A,B,C)，rankQc=k<n，則通過(guò)非奇異變換可導(dǎo)出原系統(tǒng)按能控性規(guī)范分解的新系統(tǒng)(Ac,

Bc,

Cc)，有

xc是k維能控狀態(tài)分量，為(n-k)維不能控分量，為能控子系統(tǒng)。

第78頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五5-3

Tc的求法：

i)從QC中任選k

(rankQC=k)個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，它為T(mén)c的前k列：V1,V2,

···,Vk

；

ii)在Rn中再選n-k個(gè)列向量，記為Vk+1,···,Vn

,需使得：為非奇異。第79頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能控性；若不完全能控，試將該系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解。例9.31

解系統(tǒng)能控性判別陣rankQc=2<n=3,所以系統(tǒng)是不完全能控的。第80頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五其中Tc3是任意的，只要能保證Tc非奇異即可。變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式即能控子系統(tǒng)為

第81頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

為能觀測(cè)子系統(tǒng)?？蓪⒃到y(tǒng)變換為按能觀測(cè)規(guī)范分解的新系統(tǒng)(Ao,

Bo,

Co)，有

5-4定理

n階系統(tǒng)(A,B,C)，

rankQo=r<n，通過(guò)非奇異變換，xo為r維能觀測(cè)狀態(tài)分量；

是（n-r）維不能觀測(cè)的狀態(tài)分量。2.能觀測(cè)性規(guī)范分解第82頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

To-1的求法:i)

從Qo中任選r(rankWo=r)個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量，作為T(mén)o-1的前r個(gè)行向量。

ii)在Rn中再選（n-r）個(gè)行向量，構(gòu)成To-1，并使To-1為非奇異。

例9.32

設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測(cè)性；若不完全能觀測(cè)，試將該系統(tǒng)按能觀測(cè)性進(jìn)行分解。解系統(tǒng)能觀測(cè)性判別陣rankQo=2<n

所以系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的。第83頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五即其中是任意的，只要能保證非奇異即可。

變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式能觀測(cè)子系統(tǒng)為第84頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五3.線性系統(tǒng)的規(guī)范分解引理系統(tǒng)(A,B,C)完全能控且完全能觀測(cè)的充要條件是：證明能控的充要條件：rankQc=n

能觀的充要條件：rankQo=n又由Sylvester不等式：其中，因此，系統(tǒng)完全能控且完全能觀測(cè)，則必有定理不完全能控、不完全能觀測(cè)的n階系統(tǒng)(A,B,C)則可通過(guò)非奇異變換,將原系統(tǒng)(A,B,C)變換為按能控性和能觀測(cè)性規(guī)范分解的系統(tǒng)（Aco,Bco,Cco）有：第85頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五(1)能控

√ √

能觀測(cè)

√√為能控且能觀測(cè)子系統(tǒng)。

5-5第86頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行規(guī)范分解的步驟:是狀態(tài)不完全能控和不完全能觀測(cè)的，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。

可只須經(jīng)過(guò)一次變換對(duì)系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，但變換陣的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐步分解的方法。

(1)先將系統(tǒng)按能控性分解；

(2)將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解；

(3)將能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解；

(4)綜合以上三次變換，導(dǎo)出系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解的表達(dá)式。

例9.33

已知系統(tǒng)第87頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五解前例已將該系統(tǒng)按能控性分解不能控子空間是能觀測(cè)的，無(wú)需再進(jìn)行分解。將能控子空間按能觀測(cè)性進(jìn)行分解。第88頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五即

綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性分解為

第89頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五本節(jié)作業(yè)

劉豹.

P1383-1(1)3-23-3(1)第90頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五一、用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)的極點(diǎn)

定理：用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)極點(diǎn)的充要條件是：受控系統(tǒng)可控。9.4狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器9.29.39.1uxy

b∫C

Av

狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖k-第91頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五結(jié)論：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。第92頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五例9.35

設(shè)受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置在－2，－1±j。畫(huà)出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式

判斷系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置在-2±j。若能，求出狀態(tài)反饋陣并畫(huà)出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。例9.34第93頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

解該單輸入—單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，故可控。其可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)為（1×3）狀態(tài)反饋陣為

k=[k0

k1

k2]期望極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征方程為k=[k0

k1

k2]=[441]比較兩特征方程，得狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征方程為第94頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第95頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第96頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五第97頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五yux

B∫

C

Ava)輸出反饋至參考輸入

h-

uxy

B∫

C

Ab)輸出反饋至狀態(tài)微分

h-二、輸出反饋與極點(diǎn)配置第98頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五三、狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)

狀態(tài)觀測(cè)器及其實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖u

B∫

C

A

H

uxy

B∫

C

A

K

－v

－第99頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

定理：若受控系統(tǒng)可觀測(cè)，則其狀態(tài)可用形如的全維觀測(cè)器給出估值。矩陣H按任意配置極點(diǎn)的要求來(lái)選擇，以決定狀態(tài)誤差衰減的速率。第100頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

試設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器，將極點(diǎn)配置在-10，-10。畫(huà)出全維觀測(cè)器及受控對(duì)象的狀態(tài)變量圖。例9.36

設(shè)受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為解：因?yàn)榈?01頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五四、降維狀態(tài)觀測(cè)器所以，全維狀態(tài)觀測(cè)器為u(t)2y(t)∫∫22∫∫232/8.58.5----x2(t)x1(t)-畫(huà)法1.畫(huà)觀測(cè)器與原系統(tǒng)一樣:畫(huà)法2.觀測(cè)器用其方程畫(huà)（課后自畫(huà)）。第102頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五本節(jié)作業(yè)

劉豹.

P2065-15-35-10第103頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性9.5.1向量和矩陣的范數(shù)

9.5.1.1向量的范數(shù)

其范數(shù)||x||為一實(shí)數(shù)，具有性質(zhì)：(1)若x0則||x||>0;當(dāng)x=0,則||x||=0(2)||x||=||||x||,為任意標(biāo)量.(3)對(duì)于兩個(gè)向量x,y有

||x+y||≤||x||+||y||.(三角不等式)幾種常見(jiàn)的向量范數(shù)：

——n維空間上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。第104頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5.1.2

矩陣的范數(shù)(x的范數(shù)也定義：

矩陣A=[aij]nm，其范數(shù)||A||滿(mǎn)足:(1)當(dāng)A0時(shí)，||A||>0；當(dāng)A=0時(shí)，||A||=0；(2)

||A||=||||A||為任意向量；(3)

||A+B||||A||+||B||；(4)

||AB||||A||||B||；第105頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五

幾種常見(jiàn)的矩陣范數(shù)：2——范數(shù)1——范數(shù)第106頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5.2平衡狀態(tài)和穩(wěn)定性9.5.2.1平衡狀態(tài)（平衡點(diǎn)）xe

xe——一個(gè)狀態(tài)變量，一旦系統(tǒng)到達(dá)此狀態(tài)，則以后在無(wú)外力及擾動(dòng)的情況下，總處于此狀態(tài)。任意狀態(tài)x(t)可表達(dá)為：x(t)=Ф(t;t0,x(t0),u(t))

平衡狀態(tài)xe——零輸入狀態(tài)下的不變狀態(tài)，有

xe=Ф(t;t0,xe,0)=常量對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)：xe為平衡狀態(tài)線性定常離散系統(tǒng)：

x(k+1)=Gx(k)(2)第107頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5.2.2

幾個(gè)穩(wěn)定性概念可見(jiàn)，由線性定常連續(xù)系統(tǒng)（1）、離散系統(tǒng)（2）：xe=0線性定常系統(tǒng)：xe=0是唯一的漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。(1)李亞普若夫意義下的穩(wěn)定性

(SisL——Stabilityinthesenseoflyapunov或i.s.L穩(wěn)定)xe——平衡狀態(tài)，x0——初始狀態(tài)（t0時(shí)刻）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任一實(shí)數(shù)

>0，對(duì)應(yīng)地存在一個(gè)實(shí)數(shù)

>0，使：||x0-xe||≤時(shí)，從任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的零輸入響應(yīng)Ф(t;t0

,x0

,0)都滿(mǎn)足||Ф(t;t0,x0,0)-xe||≤,

t≥t0則稱(chēng)xe為lyapunov意義下穩(wěn)定的（SisL）。

第108頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五——球域s()，半徑為

；——球域s()，半徑為

。s()內(nèi)的狀態(tài)的自由運(yùn)動(dòng)總在s()內(nèi)。若與t0無(wú)關(guān)，則稱(chēng)此平衡態(tài)xe是i.s.L一致穩(wěn)定的，如下圖。一般，

=

(,t0)，即與和t0有關(guān)；狀態(tài)空間，以xe為原點(diǎn)，對(duì)給定正實(shí)數(shù)，以xe為球心、為半徑構(gòu)造一個(gè)超球體，球域記為s(

)。

幾何解釋?zhuān)?/p>

第109頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五(2)漸近穩(wěn)定（AS—asymptoticstability）稱(chēng)平衡態(tài)xe是漸近穩(wěn)定（AS）的，如果滿(mǎn)足：①xe是i.s.L穩(wěn)定的；②對(duì)于

(,t0)和任意給定的實(shí)數(shù)>0，對(duì)應(yīng)地存在實(shí)數(shù)

T(

,,t0)>0使得滿(mǎn)足①的任一初態(tài)x0出發(fā)的零輸入響應(yīng)都滿(mǎn)足：

||Ф(t;t0,x0,0)-xe||<

,t≥t0+T(

,,t0),而且

第110頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五如果從任一初態(tài)x0的受擾運(yùn)動(dòng)均為漸近穩(wěn)定的，<5><6><4><3><2><1>線性系統(tǒng)：漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定。記：<1>=Sisl.

<2>=一致Sisl.<3>=AS.

<4>=一致AS.<5>=大范圍AS.<6>=大范圍一致AS.幾種穩(wěn)定定義的包含關(guān)系：線性系統(tǒng)：<3><5>

則稱(chēng)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定也稱(chēng)為全局漸近穩(wěn)定。（小范圍漸近穩(wěn)定也稱(chēng)為局部漸近穩(wěn)定。）

xe為大范圍漸近穩(wěn)定：<4><6>

第111頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5.3

李亞普若夫第一法9.5.3.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性線性定常連續(xù)系統(tǒng)：若u(t)=0,t≥0;對(duì)任意x(0),有稱(chēng)為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

定理4.1

[特征值判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部，即i——A的特征值。第112頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五幾個(gè)判據(jù)

1．[必要條件判據(jù)]

若線性定常系統(tǒng)為AS，則特征多項(xiàng)式的系數(shù)

i(i=0,1,???,n-1)必全為正。系統(tǒng)為AS

i>0

(i=0,1,???,n-1)；有缺項(xiàng)或有負(fù)的系統(tǒng)不是AS

。第113頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五2．Hurwitz行列式判據(jù):[線性定常系統(tǒng)為AS的充要條件判據(jù)]第114頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五3．Lienard——chipart

判據(jù)——只需要計(jì)算一半Hurwitz行列式。例9.37

例9.38

第115頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5.3.2線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性若對(duì)于任意x(0),有定理4.2[特征值判據(jù)]

線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為：G的所有特征值的幅值均小于1，即（即G的特征值i均位于Z平面的單位內(nèi)）。第116頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5.4李亞普若夫第二法基本思路：從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析：1)如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移逐漸衰減，到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)，能量將達(dá)最小值，則這個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；

2)反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲(chǔ)能越來(lái)越大，則這個(gè)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；

3)如果系統(tǒng)的儲(chǔ)能既不增加，也不消耗，則這個(gè)平衡狀態(tài)就是Lyapunov意義下的穩(wěn)定。

由于實(shí)際系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性，往往不能直觀地找到一個(gè)能量函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)的能量關(guān)系;

于是Lyapunov定義了一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，用其一階微分的符號(hào)特征來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第117頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5.4.1(實(shí))二次型

一般的一個(gè)實(shí)二次型是指n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式可寫(xiě)成：其中qij=qji

。其系數(shù)確定了一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣：第118頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五Q稱(chēng)為二次型(2)的矩陣。設(shè)x=[x1,x2,

···,xn]T，則實(shí)二次型(2)可記為：f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

定義

(實(shí))二次型是x∈Rn的標(biāo)量函數(shù)

f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

式中，Q為一實(shí)對(duì)稱(chēng)nn矩陣，稱(chēng)為二次型f的矩陣，并將Q的秩稱(chēng)為二次型f的秩。x

0,若xTQx>0,則稱(chēng)二次型f為正定的，Q稱(chēng)為正定矩陣，記為Q>0。x

0,若xTQx≥0,，則稱(chēng)二次型f為半正定的，Q稱(chēng)為半正定矩陣，記為為Q≥0。若xTQx<0(≤0),稱(chēng)f為負(fù)定的(半負(fù)定的)，Q稱(chēng)為負(fù)定(半負(fù)定)矩陣，記為Q<0(≤0)。若f既不是半正定又不是半負(fù)定，則稱(chēng)為不定的。第119頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五二次型函數(shù)的定號(hào)性判別準(zhǔn)則

——Sylvester（希爾維斯特）判據(jù)：

二次型f(x1,x2,

···,xn)=xTQx為正定的充要條件是Q的行列式以及它的多階順序主子式均為正，即第120頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)43分，星期五9.5.4.2Lyapunov穩(wěn)定性定理引例如圖所示:外力F0=0，得齊次方程則：平衡狀態(tài)：cF0ykm第121頁(yè)，共130頁(yè)，2022年，