曲線擬合的最小二乘法市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第六節(jié)曲線擬合最小二乘法第1頁(yè)實(shí)例：考查某種纖維強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)關(guān)系,下表是實(shí)際測(cè)定24個(gè)纖維樣品強(qiáng)度與對(duì)應(yīng)拉伸倍數(shù)是統(tǒng)計(jì):3.6.1普通最小二乘迫近第2頁(yè)纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加而且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近必須找到一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量什么曲線最靠近全部數(shù)據(jù)點(diǎn)。第3頁(yè)普通使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差。

1.

什么是最小二乘法第4頁(yè)定義平方誤差第5頁(yè)使得第6頁(yè)第7頁(yè)由可知所以可假設(shè)所以求最小二乘解轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)2.最小二乘法求法第8頁(yè)由多元函數(shù)取極值必要條件得即第9頁(yè)即第10頁(yè)引入記號(hào)則由內(nèi)積概念可知第11頁(yè)方程組便可化為將其表示成矩陣形式第12頁(yè)而且其系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣所以法方程組系數(shù)矩陣非奇異,即依據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解第13頁(yè)即是最小值所以所以第14頁(yè)作為一個(gè)簡(jiǎn)單情況,基函數(shù)之間內(nèi)積為第15頁(yè)例1.

回到本節(jié)開(kāi)始實(shí)例，從散點(diǎn)圖能夠看出纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系故可選取線性函數(shù)為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為建立法方程組依據(jù)內(nèi)積公式，可得第16頁(yè)法方程組為解得平方誤差為第17頁(yè)擬合曲線與散點(diǎn)關(guān)系如右圖:第18頁(yè)例2.在某化學(xué)反應(yīng)里,測(cè)得生成物濃度y%與時(shí)間t數(shù)據(jù)以下，試建立y關(guān)于t經(jīng)驗(yàn)公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:含有圖示圖形曲線很多，本題特提供兩種形式第19頁(yè)兩邊取對(duì)數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為第20頁(yè)用最小二乘法得即不論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)擬合比雙曲線擬合要好平方誤差為第21頁(yè)從本例看到，擬合曲線數(shù)學(xué)模型并不是一開(kāi)始就能選好，往往要經(jīng)過(guò)分析確定若干模型之后，再經(jīng)過(guò)實(shí)際計(jì)算，才能選到很好模型。第22頁(yè)即正交多項(xiàng)式怎樣選取呢3.6.2用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合

普通多項(xiàng)式做最小二乘擬正當(dāng)方程組為病態(tài)，改用正交多項(xiàng)式。第23頁(yè)第24頁(yè)使得由正交多項(xiàng)式性質(zhì),法方程組第25頁(yè)可化為即得即為利用正交多項(xiàng)式最小二乘解第26頁(yè)平方誤差為第27頁(yè)例4.是用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)多項(xiàng)式解:從散點(diǎn)圖可知數(shù)據(jù)和二次多項(xiàng)式擬合很好所以選