2023屆高考數(shù)學試題一輪總復習考點探究與題型突破第23講 同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式 精品講義 (Word解析版)_第1頁
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第Page\*MergeFormat21頁共NUMPAGES\*MergeFormat21頁第23講同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式1.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系:sin2α+cos2α=1.(2)商數(shù)關系:eq\f(sinα,cosα)=tan_α(α≠eq\f(π,2)+kπ,k∈Z).2.三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-αeq\f(π,2)-αeq\f(π,2)+α正弦sinα-sin_α-sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α-cos_αcos_α-cos_αsin_α-sin_α正切tanαtan_α-tan_α-tan_α口訣函數(shù)名不變,符號看象限函數(shù)名改變,符號看象限考點1同角三角函數(shù)的基本關系的應用[名師點睛]1.利用同角三角函數(shù)的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關系的正用、逆用、變形.同角三角函數(shù)的基本關系本身是恒等式,也可以看作是方程,對于一些問題,可利用已知條件,結合同角三角函數(shù)的基本關系列方程組,通過解方程組達到解決問題的目的.2.若已知正切值,求一個關于正弦和余弦的齊次式的值,則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式,代入正切值就可以求出這個分式的值,這是同角三角函數(shù)關系中的一類基本題型.3.對于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個式子,知一可求二,若令sinα+cosα=t,則sinαcosα=eq\f(t2-1,2),sinα-cosα=±eq\r(2-t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號),體現(xiàn)了方程思想的應用.[典例]1.(2022·廣東惠州·一模)已知,,則(

)A. B. C. D.2.(2022·全國·模擬預測)若,則(

)A. B. C. D.3.(2022·廣東潮州·二模)已知,,則______.[舉一反三]1.(2022·北京房山·二模)已知是第一象限角,且角的終邊關于y軸對稱,則(

)A. B. C. D.2.(2022·廣西·高三階段練習)已知角a終邊落在第二象限,且,則(

)A. B.1 C. D.3.(2022·廣東·模擬預測)已知,則(

)A. B. C. D.4.(2022·河北張家口·三模)已知,則(

)A. B. C. D.5.(2022·浙江·模擬預測)若,則__________;___________.6.(2022·河北·模擬預測)若,則___________.7.(2022·河北唐山·三模)若,則___________.8.(2022·山東聊城·高三期末)已知,且,則的值為________.9.(2022·全國·高三專題練習)已知,且.(1)求的值;(2)求的值.10.(2022·全國·高三專題練習)(1)已知是角終邊上一點,求,,的值;(2)已知,求下列各式的值:①;②.考點2誘導公式的應用[名師點睛]1.學會巧妙過渡,熟知將角合理轉化的流程也就是:“負化正,大化小,化到銳角就好了.”2.明確三角函數(shù)式化簡的原則和方向(1)切化弦,統(tǒng)一名.(2)用誘導公式,統(tǒng)一角.(3)用因式分解將式子變形,化為最簡.也就是:“統(tǒng)一名,統(tǒng)一角,同角名少為終了.[典例]1.(2022·河北滄州·模擬預測)(

)A.3 B.4 C. D.2.(2022·浙江·高三專題練習)已知(1)化簡;(2)若角的終邊經(jīng)過點,求.[舉一反三]1.(2022·廣東茂名·模擬預測)已知,則(

)A. B. C. D.2.(2022·福建三明·模擬預測)若,則(

)A. B. C. D.3.(2022·湖北·襄陽五中模擬預測)已知函數(shù),且,則的值為()A.-1 B.1 C.3 D.-34.(2022·全國·高三專題練習)已知(1)化簡;(2)若且求的值;(3)求滿足的的取值集合.考點3同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式綜合應用[名師點睛]1.利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時,關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系,靈活使用公式進行變形.2.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.[典例]1.(2022·全國·高三專題練習)若,求的值.2.(2022·全國·高三專題練習)(1)已知,求的值(2)已知,,求的值.[舉一反三]1.(2022·遼寧葫蘆島·二模)若,則(

)A. B. C.-3 D.32.(2022·湖南衡陽·三模)已知為角終邊上一點,則(

)A. B. C. D.3.(2022·廣東韶關·二模)已知,則(

)A. B. C. D.4.(2022·山東·德州市教育科學研究院二模)已知角θ的終邊過點,且,則tanθ=____________.5.(2022·福建龍巖·模擬預測)已知為銳角,,則___________.6.(2022·浙江紹興·模擬預測)已知,且,則__________,__________.7.(2022·山東·聊城二中高三開學考試)已知.(1)化簡;(2)若,,求的值.8.(2022·浙江·高三專題練習)已知是關于的方程的兩個實根,且.(1)求的值;(2)求的值第23講同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式1.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系:sin2α+cos2α=1.(2)商數(shù)關系:eq\f(sinα,cosα)=tan_α(α≠eq\f(π,2)+kπ,k∈Z).2.三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-αeq\f(π,2)-αeq\f(π,2)+α正弦sinα-sin_α-sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α-cos_αcos_α-cos_αsin_α-sin_α正切tanαtan_α-tan_α-tan_α口訣函數(shù)名不變,符號看象限函數(shù)名改變,符號看象限考點1同角三角函數(shù)的基本關系的應用[名師點睛]1.利用同角三角函數(shù)的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關系的正用、逆用、變形.同角三角函數(shù)的基本關系本身是恒等式,也可以看作是方程,對于一些問題,可利用已知條件,結合同角三角函數(shù)的基本關系列方程組,通過解方程組達到解決問題的目的.2.若已知正切值,求一個關于正弦和余弦的齊次式的值,則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式,代入正切值就可以求出這個分式的值,這是同角三角函數(shù)關系中的一類基本題型.3.對于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個式子,知一可求二,若令sinα+cosα=t,則sinαcosα=eq\f(t2-1,2),sinα-cosα=±eq\r(2-t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號),體現(xiàn)了方程思想的應用.[典例]1.(2022·廣東惠州·一模)已知,,則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,且,,所以,,所以.故選:A.2.(2022·全國·模擬預測)若,則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】,,.故選:A.3.(2022·廣東潮州·二模)已知,,則______.【答案】【解析】,得,,因為,所以,故.故答案為:[舉一反三]1.(2022·北京房山·二模)已知是第一象限角,且角的終邊關于y軸對稱,則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】∵是第一象限角,∴,,∵角的終邊關于y軸對稱,∴.故選:D.2.(2022·廣西·高三階段練習)已知角a終邊落在第二象限,且,則(

)A. B.1 C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意,因為角a終邊落在第二象限,所以,則,故選:D.3.(2022·廣東·模擬預測)已知,則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】因為,所以.故選:B.4.(2022·河北張家口·三模)已知,則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】解:,所以.故選:A5.(2022·浙江·模擬預測)若,則__________;___________.【答案】

【解析】解:因為,,所以,,又,解得或(舍去),所以,故答案為:;6.(2022·河北·模擬預測)若,則___________.【答案】【解析】由題意,,因為,所以,解得.故答案為:.7.(2022·河北唐山·三模)若,則___________.【答案】4【解析】因為,兩邊同時平方得,即,所以,因此,故答案為:4.8.(2022·山東聊城·高三期末)已知,且,則的值為________.【答案】【解析】,,又,所以,所以,,故答案為:9.(2022·全國·高三專題練習)已知,且.(1)求的值;(2)求的值.【解】(1),,,,,,,.(2)由(1),可得,,,,,.10.(2022·全國·高三專題練習)(1)已知是角終邊上一點,求,,的值;(2)已知,求下列各式的值:①;②.【解】(1)是角終邊上一點,則,,.(2)由,則,①.②考點2誘導公式的應用[名師點睛]1.學會巧妙過渡,熟知將角合理轉化的流程也就是:“負化正,大化小,化到銳角就好了.”2.明確三角函數(shù)式化簡的原則和方向(1)切化弦,統(tǒng)一名.(2)用誘導公式,統(tǒng)一角.(3)用因式分解將式子變形,化為最簡.也就是:“統(tǒng)一名,統(tǒng)一角,同角名少為終了.[典例]1.(2022·河北滄州·模擬預測)(

)A.3 B.4 C. D.【答案】B【解析】==.2.(2022·浙江·高三專題練習)已知(1)化簡;(2)若角的終邊經(jīng)過點,求.【解】解:(1)(2)角的終邊經(jīng)過點,[舉一反三]1.(2022·廣東茂名·模擬預測)已知,則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】故選:B.2.(2022·福建三明·模擬預測)若,則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選:A.3.(2022·湖北·襄陽五中模擬預測)已知函數(shù),且,則的值為()A.-1 B.1 C.3 D.-3【答案】D【解析】,所以..故選:D4.(2022·全國·高三專題練習)已知(1)化簡;(2)若且求的值;(3)求滿足的的取值集合.【解】(1);(2)由(1)可得,則,,即;(3)由題意得,,,即,所以的取值集合為.考點3同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式綜合應用[名師點睛]1.利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時,關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系,靈活使用公式進行變形.2.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.[典例]1.(2022·全國·高三專題練習)若,求的值.【解】原式====-,因為,所以,所以為第一象限角或第四象限角.(1)當為第一象限角時,=,所以=,所以原式=-.(2)當為第四象限角時,=-,所以=-,所以原式=.綜上,原式=.2.(2022·全國·高三專題練習)(1)已知,求的值(2)已知,,求的值.【解】(1)所以(2)由,則,所以由,則設,則由,所以[舉一反三]1.(2022·遼寧葫蘆島·二模)若,則(

)A. B. C.-3 D.3【答案】C【解析】,分子分母同除以,,解得:故選:C2.(2022·湖南衡陽·三模)已知為角終邊上一點,則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】為角終邊上一點,,.故選:C.3.(2022·廣東韶關·二模)已知,則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知,有,所以,故選:C.4.(2022·山東·德州市教育科學研究院二模)已知角θ的終邊過點,且,則tanθ=____________.【答案】【解析】角θ的終邊過點,即點在第四象限,解得:(舍去)或.故答案為:.5.(2022·福建龍巖·模擬預測)已知為銳角,,

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