空間向量及其線性運算 練習-高二上學期數學人教A版2019選擇性必修第一冊

.1.1空間向量及其線性運算（同步檢測）一、選擇題1.在空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))等于()A．eq\o(OA,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))C.eq\o(OC,\s\up7(→)) D．eq\o(AC,\s\up7(→))2.在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))B.eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))3.[多選]判斷下列各命題正確的是()A．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反B．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同C．兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量D．有向線段就是向量，向量就是有向線段4.如果向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))滿足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|，則()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))同向 D．eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(CB,\s\up7(→))同向5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是A1C1中點，點F是AE的三等分點，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A.eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))6.設有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形7.如圖所示，已知A，B，C三點不共線，P為平面ABC內一定點，O為平面ABC外任一點，則下列能表示向量eq\o(OP,\s\up7(→))的為()A．eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))＋2eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(OA,\s\up7(→))－3eq\o(AB,\s\up7(→))－2eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(OA,\s\up7(→))＋3eq\o(AB,\s\up7(→))－2eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))二、填空題8.已知空間中任意四個點A，B，C，D，則eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝________9.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點．若eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(D1M,\s\up7(→))，則eq\o(D1M,\s\up7(→))＝________10.已知空間向量c，d不共線，設向量a＝kc＋d，b＝c－k2d，且a與b共線，則實數k的值為________11.如圖，O為△ABC所在平面外一點，M為BC的中點，若eq\o(AG,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))與eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up7(→))同時成立，則實數λ的值為__________三、解答題12.如圖所示，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中：(1)化簡eq\o(A1F1,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(FF1,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(F1A1,\s\up7(→))，并在圖中標出化簡結果的向量；(2)化簡eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(E1F1,\s\up7(→))＋eq\o(FD,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E1,\s\up7(→))，并在圖中標出化簡結果的向量．13.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點，點N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求證：eq\o(A1N,\s\up7(→))與eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．14.設A，B，C及A1，B1，C1分別是異面直線l1，l2上的三點，而M，N，P，Q分別是線段AA1，BA1，BB1，CC1的中點．求證：M，N，P，Q四點共面．15.如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是ABCD所在平面外的一點，連接PA，PB，PC，PD.設點E，F(xiàn)，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．(1)試用向量方法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關系，并用向量方法證明你的判斷．參考答案及解析：一、選擇題1.C解析：eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，故選C.2.C解析：∵eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＝－eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，∴M與A，B，C必共面．3.BC解析：A．不正確，若a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的；B.正確；C.正確，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；D.不正確，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段．4.D解析：∵|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|，∴A，B，C共線且點C在AB之間，即eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(CB,\s\up7(→))同向．5.D解析：如圖所示，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))，eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))，eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))，故選D.6.A解析：∵eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|.∴四邊形ABCD為平行四邊形．7.C解析：因為A，B，C，P四點共面，所以可設eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，即eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，由圖可知x＝3，y＝－2，故選C.二、填空題8.答案：eq\o(BA,\s\up7(→))解析：法一：eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→)))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→)).法二：eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋(eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→)).9.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析：eq\o(D1M,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.10.答案：－1解析：因為c，d不共線，所以c≠0，且d≠0.由a與b共線知，存在λ∈R使a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－k2d)，整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,1＋λk2＝0，))解得k＝λ＝－1.11.答案：eq\f(1,2)解析：eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以1－λ＝eq\f(1,2)，eq\f(λ,2)＝eq\f(1,4)，解得λ＝eq\f(1,2).三、解答題12.解：(1)eq\o(A1F1,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(FF1,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(F1A1,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\o(AB1,\s\up7(→))＋0＝eq\o(AE,\s\up7(→))＋eq\o(ED1,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→)).作出eq\o(AD1,\s\up7(→))如圖所示．(2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(E1F1,\s\up7(→))＋eq\o(FD,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E1,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(FD,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＝eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(FD,\s\up7(→))＋eq\o(BD1,\s\up7(→))＝0eq\a\vs4\al(＋)eq\o(BD1,\s\up7(→))＝eq\o(BD1,\s\up7(→)).作出eq\o(BD1,\s\up7(→))如圖所示．13.證明：∵eq\o(A1B,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))＝eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1M,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up7(→))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))與eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．14.證明：如圖，過B1作l3∥l1，取點C2∈l3且BC＝B1C2，取CC2的中點P1.因為eq\o(NM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(NP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up7(→))，所以eq\o(BA,\s\up7(→))＝2eq\o(NM,\s\up7(→))，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝2eq\o(NP,\s\up7(→)).因為A，B，C及A1，B1，C1分別共線，所以eq\o(BC,\s\up7(→))＝λeq\o(BA,\s\up7(→))＝2λeq\o(NM,\s\up7(→))，eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝μeq\o(A1B1,\s\up7(→))＝2μeq\o(NP,\s\up7(→)).于是eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\o(PP1,\s\up7(→))＋eq\o(P1Q,\s\up7(→))＝eq\o(B1C2,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C2C1,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(C2B1,\s\up7(→))－eq\o(C1B1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(2λeq\o(NM,\s\up7(→))＋2μeq\o(NP,\s\up7(→)))＝λeq\o(NM,\s\up7(→))＋μeq\o(NP,\s\up7(→)).因此eq\o(PQ,\s\up7(→))，eq\o(NM,\s\up7(→))，eq\o(NP,\s\up7(→))共面．故M，N，P，Q四點共面．15.證明：(1)分別連接PE，PF，PG，PH并延長，交對邊于點M，N，Q，R，連接MN，NQ，QR，RM，∵E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在邊的中點，且eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up7(→))，eq\o(PF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up7(→))，eq\o(PG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up7(→))，eq\o(PH,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR