浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習(xí)題以及詳解答案

浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習(xí)題以及詳解答案浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率論的基本概念L[一]寫出下列隨機試驗的樣本空間(1)記錄ー個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分數(shù)(充以百分制記分)([-]1)oln100S, ,nn nn表小班人數(shù)(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。([一]2)S={10,11,12,n,(4)對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”,連續(xù)出現(xiàn)兩個“〇”就停止檢査，或查滿4次オ停止檢查。([-](3))S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}2.[-]設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運算關(guān)系表示下列事件。(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生。表示為:A或A-(AB+AC)或A—(BUC)(2)A,B都發(fā)生,而C不發(fā)生。表示為:AB或AB-ABC或AB-C表示為:A+B+C(3)A,B,C中至少有一個發(fā)生A,B,C都發(fā)生,A,B,C都不發(fā)生，(A+B+C)或ABC表示為:ABC表示為:或S-A,B,C中不多于ー個發(fā)生，即A,B,C中至少有兩個同時不發(fā)生相當(dāng)于,中至少有一個發(fā)生。故表示為:。A,B,C中不多于二個發(fā)生。A,,C中至少有一個發(fā)生。故AC或ABCA,B,C中至少有二個發(fā)生。相當(dāng)于:AB,BC,AC中至少有一個發(fā)生。故表示為:AB+BC+AC.［三］設(shè)A,B是兩事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問(1)在什么條件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么條件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?解:由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知ABW6,(否則AB=6依互斥事件加法定理，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1與P(AUB)Wl矛盾).從而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(*)(1)從0WP(AB)WP(A)知,當(dāng)AB=A,即ACB時P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6,(2)從(*)式知，當(dāng)AUB=S時,P(AB)取最小值,最小值為P(AB)=0.6+0.7-l=0.3〇.［四］P(A)P(B)P(C)設(shè)A,B,C是三事件,且.求A,B,C至少有11,P(AB)P(BC)0,P(AC)84ー個發(fā)生的概率。解：P(A,B,C至少有一個發(fā)生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=315 0488.［五］在ー標(biāo)準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少?記A表“能排成上述單詞”2V從26個任選兩個來排列,排法有A26種。每種排法等可能。字典中的二個不同字母組成的單詞:55個:.P(A)5511130A269,在電話號碼薄中任取ー個電話號碼,求后面四個數(shù)全不相同的概率。(設(shè)后面4個數(shù)中的每ー個數(shù)都是等可能性地取自0,1,2,,,,9)記A表“后四個數(shù)全不同”マ后四個數(shù)的排法有104種,每種排法等可能。4后四個數(shù)全不同的排法有A10二4A10P(A) 0.50410.［六］在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章,任意選3人記錄其紀念章的號碼。(1)求最小的號碼為5的概率。記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件A10：10人中任選3人為ー組:選法有3種,且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于:有一人號碼為5,其余2人號碼大于5。這TOC\o"1-5"\h\z5種組合的種數(shù)有1 251 2 1P(A)1210 3(2)求最大的號碼為5的概率。記“三人中最大的號碼為5”為事件B,同上10人中任選310人,選法有3種，且每種選法等可能,又事件B相當(dāng)于:有一人4號碼為5,其余2人號碼小于5,選法有1 2種41 2 1P(B)2010 3.［七］某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶,紅漆3桶。在搬運中所標(biāo)箋脫落,交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼,問ー個定貨4桶白漆,3桶黑漆和2桶紅漆顧客,按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少?記所求事件為A。9在17桶中任取9桶的取法有C17種,且每種取法等可能。432C4C3取得4白3黑2紅的取法有C10432C10C4C3252P(A)62431c17故.[A]在1500個產(chǎn)品中有400個次品,1100個正品,任意取200個。(1)求恰有90個次品的概率。記“恰有90個次品”為事件A1500 在1500個產(chǎn)品中任取200個,取法有 200種,每種取法等可能。400 1100200個產(chǎn)品恰有90個次品,取法有 90 110種， 400 1100 90 110P(A)1500 200(2)至少有2個次品的概率。記:A表“至少有2個次品”B0表“不含有次品"，B1表”只含有一個次品”,同上,200個1100產(chǎn)品不含次品，取法有 200種,200個產(chǎn)品含ー個次品,取法有TOC\o"1-5"\h\z400 1100種1 199BOB1且BO,B1互不相容。400 1100 1 1991500 2001100 200P(A)1P()1[P(B0)P(B1)]1 1500 200.[九]從5雙不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少?記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對”10?:從10只中任取4只,取法有 4種,每種取法等可能。要4只都不配對,可在5雙中任取4雙,再在4雙中的每一雙54里任取ー只。取法有

P()4C5244C108218132121P(A)1P()1.［+-］將三個球隨機地放入4個杯子中去,問杯子中球的最大個數(shù)分別是1,2,3,的概率各為多少?記Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i個"i=l,2,3,三只球放入四只杯中,放法有43種,每種放法等可能對A1:必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332種。(選排列:好比3個球在4個位置做排列)P(A1)43261643對A2:必須三球放入兩杯,一杯裝一球,一杯裝兩球。放法有2c343種。(從3個球中選2個球,選法有C32,再將此兩個球放入ー個杯中,選法有4種,最后將剩余的1球放入其余的一個杯中,選法有3種。P(A2)2C34343916對A3:必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子,放入此3個球,選法有4種)P(A3)413164.［十二］50個抑釘隨機地取來用在10個部件,其中有三個抑釘強度太弱，每個部件用3只抑釘,若將三只強度太弱的鉀釘都裝在ー個部件上，則這個部件強度就太弱，問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少?記A表“10個部件中有一個部件強度太弱”。法一:用古典概率作：把隨機試驗E看作是用三個釘ー組，三個釘ー組去卸完10個部件(在三個釘?shù)末`組中不分先后次序。但10組釘卸完10個部件要分先后次序)3333C47C443333C47C44C23對E:抑法有C50種,每種裝法等可能對A:三個次釘必須鉀在一個部件上。這種鐘法有333C44 C23(C33C47)X10種P(A)3333[C3C47C44 C23]10333C50C47 C2310.000511960法二:用古典概率作把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列,順次釘下去,直到把部件卸完。(鉀釘要計先后次序)3對E:鉀法有A50種，每種鉀法等可能對A:三支次釘必須抑在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,，,或''28,29,30”位置上。這種釧!法有327327327327種A3A47A3A47A3A4710A3A47P(A)32710A3A4730A5010.000511960.[十三]已知P()0.3,P(B)0.4,P(A)0.5,求P(B'A)。解ー:P(A)1P()0.7,P()1P(B)0.6,AASA(B)ABA注意(AB)(A) ,故有P(AB)=P(A)-P(A)=0.7-0.5=0.2〇再由加法定理,P(AU)=P(A)+P()-P(A)=0.7+0.6-0.5=0.8于是P(B|A)P[B(A)]P(AB)0.2 0.25P(A)P(A)0.8解二:P(A)P(A)P(|A)由已知 0507P(A)P(|A)0.5521P(B|A)故P(AB)P(A)P(B|A)0.77751P(BAB)P(BA)5P(B|A)定義0.25P(A)P(A)P()P(A)0.70.60.518.[十四]解P(A)111,P(B|A),P(AB),求P(AB)o432：由解定義P(AB)P(A)P(B|A)由已知條件143P(B)1P(A|B) 有P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式,得P(AB)P(A)P(B|A)1124111 6123由加法公式,得P(AB)P(A)P(B)P(AB)1.［十五］擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點的概率(用兩種方法)。解:(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(AB),即將事件B作為樣本空間,求事件A發(fā)生的概率)。擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組(x,y)(X,y=l,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,則樣本空間為S=｛(x,y)(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)｝每種結(jié)果(x,y)等可能。A=｛擲二骰子,點數(shù)和為7時，其中有一顆為1點。故P(A)21｝63P(AB)P(B)方法二:(用公式P(A|B)S=｛(x,y)x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6｝｝每種結(jié)果均可能A="擲兩顆骰子,x,y中有一個為"1"點"，B="擲兩顆骰子,x,+y=7”。則P(B)612,P(AB)62662,22P(AB)216故P(A|B)P(B)1636.［十六］據(jù)以往資料表明,某ー3u之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P｛孩子得病｝=0.6,P(BA)=P｛母親得病|孩子得?。?0.5,P(C|AB)=P｛父親得病|母親及孩子得病｝=0.4O求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解:所求概率為P(AB)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機事件，這里不是求P(IAB)P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6X0.5=0.3,P(|AB)=1-P(CAB)=1-0.4=0.6.從而P(AB)=P(AB)?P(|AB)=0.3X0.6=0.18..［十七］已知10只晶體管中有2只次品,在其中取二次,每次隨機地取ー只,作不放回抽樣，求下列事件的概率。(1)二只都是正品(記為事件A)法一:用組合做在10只中任取兩只來組合,每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能。C8228P(A)2 0.62C1045法二:用排列做在10只中任取兩個來排列,每ー個排列看作一個基本結(jié)果,每個排列等可能。P(A)2A82A102845法三：用事件的運算和概率計算法則來作。記Al,A2分別表第一、二次取得正品。P(A)P(A1A2)P(A)P(A2|A1)8728 10945(2)二只都是次品(記為事件B)法一：P(B)2C22C10145法二：法三:P(B)2A22A10145211 10945P(B)P(12)P(1)P(2|1)(3)ー只是正品,ー只是次品(記為事件C)法一:P(C)11C8C22C101645法二：法三:P(C)112(C8C2)A22A101645P(C)P(A121A2)且Al21A2互斥P(A1)P(2|A1)P(1)P(A2|1)281682 10910945(4)第二次取出的是次品(記為事件D)法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，法二:法三：P(D)11A9A22A1015P(D)P(A1212)且A12與1A2互斥P(A1)P(2|A1)P(1)P(2|1)82211 109109522.［十八］某人忘記了電話號碼的最后ー個數(shù)字,因而隨機的撥號,求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少?如果已知最后ー個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少?記H表撥號不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號能接通。注意:第一次撥號不通,第二撥號就不再撥這個號碼。HAl1A212A3三種情況互斥P(H)P(A1)P(1)P(A2|1)P(1)P(2|1)P(A3|12)1919813 10109109810如果已知最后ー個數(shù)字是奇數(shù)(記為事件B)問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下,求H再發(fā)生的概率。P(HB)PA1|B1A2|B12A3|B)P(A1|B)P(1|B)P(A2|B1)P(1B)P(2|B1)P(A3B12)1414313 554543524.［十九］設(shè)有甲、乙二袋,甲袋中裝有n只白球m只紅球,乙袋中裝有N只白球M只紅球,今從甲袋中任取ー球放入乙袋中，再從乙袋中任取ー球,問取到(即從乙袋中取到)白球的概率是多少?(此為第三版19題(1))記Al,A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”。:.B=A1B+A2B且Al,A2互斥P(B)=P(Al)P(BAl)+P(A2)P(B|A2)nNlmNnmNMInmNM1=［十九］(2)第一只盒子裝有5只紅球,4只白球;第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后從第二盒子中任取ー只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得2只白球”。C3為“從第一盒子中取得1只紅球,1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”,顯然Cl,C2,C3兩兩互斥,C1UC2UC3=SJ由全概率公式,有P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)112C525C4C47C5653 2 2 21199C911C911C926.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人,恰好是色盲患者,問此人是男性的概率是多少?解:Al=｛男人｝,A2=｛女人｝,B=｛色盲｝,顯然A1UA2=S,AlA2=4＞由已知條件知P(A1)P(A2)1P(B|A1)5%,P(BA2)0.25%2由貝葉斯公式，有15P(A1B)P(A1)P(B|A1)2OP(A1|B) 125P(B)P(A1)P(B|Al)P(A2)P(B|A2)15212100210000[二十二]一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為P(1)若至少有一次及格則他能取2得某種資格,求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解:Ai=｛他第i次及格｝,i=l,2已知P(A1)=P(A2|A1)=P,P(A2|1)B=｛至少有一次及格｝所以｛兩次均不及格｝12；.P(B)1P()1P(12)1P(1)P(2|1)1[1P(A1)][1P(A2|1)]1(1P)(1)PP2P(A1A2)定義P(A1A2)P(A2)P23212(*)由乘法公式,有P(AlA2)=P(Al)P(A2|Al)=P2由全概率公式，有P(A2)P(A1)P(A2|A1)P(1)P(A2|1)PP(1P)PP222P2將以上兩個結(jié)果代入(*)得P(A1|A2)P2PP2222PP128.［二十五］某人下午5:00下班,他所積累的資料表明:乘汽車到0.30家的概率某日他拋?枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車,結(jié)果他是5:47到家的,試求他是乘地鐵回家的概率。解:設(shè)ん=“乘地鐵”，B=“乘汽車"，C="5:45?5:49到家”，由題意,AB=e,AUB=S已知：P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5由貝葉斯公式有P(A〇P(C|A)P(A)P(C)0.50.450.459 0.6923110.6513P(CA)P(C|B)220.350.200.100.0529.［二十四］有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只,其中10只一等品;第二箱30只,其中密只一等品。今從兩箱中任挑出ー箱,然后從該箱中取零件兩次，每次任取ー只,作不放回抽樣。試求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解:設(shè)Bi表示“第i次取到一等品"i=l,2Aj表示“第j箱產(chǎn)品”j=l,2,顯然A1UA2=S(1)P(B1)解)。A1A2=61101182 0.4(Bl=A1B+A2B由全概率公式2502305110911817P(B1B2)(2)P(B2|B1) 0.48572P(B1)5(先用條件概率定義,再求P(B1B2)時,由全概率公式解)32.［二十六(2)］如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點,假設(shè)每?繼電器接點閉合的概率為P?且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨立,求L和R是通路的概率。記Ai表第i個接點接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。TA=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥P(A)=P(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A3A5)+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(A1A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)-P(A1A2A3A4A5)又由于Al,A2,A3,A4,A5互相獨立。故P(A)=p2+p3+p2+p3—[p4+p4+p4+p4+p5+p4]45+[p5+p5+p5+p5]—p5=2p2+3p3-5p4+2p5[二十六(1)]設(shè)有4個獨立工作的元件1,2,3,4〇它們的可靠性分別為Pl,P2,P3,P4,將它們按圖(1)的方式聯(lián)接,求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作,i=l,2,3,4,A表示系統(tǒng)正常。,/A=A1A2A3+A1A4兩種情況不互斥P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)-P(A1A2A3A4)(加法公式)=P(Al)P(A2)P(A3)+P(Al)P(A4)-P(Al)P(A2)P(A3)P(A4)=P1P2P3+P1P4-P1P2P3P4(Al,A2,A3,A4獨立).［三十一］袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣,(次品硬幣的兩面均印有國徽)。在袋中任取ー只,將它投擲「次,已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少?解:設(shè)'’出現(xiàn)r次國徽面”=Br"任取ー只是正品”=A由全概率公式,有mlrn()lrmn2mnmlr()P(A)P(BrIA)mmn2P(A|Br)mlrnP(Br)mn2r()mn2mnP(Br)P(A)P(Br|A)P()P(Br|)(條件概率定義與乘法公式).甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7o飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解:高Hi表示飛機被i人擊中，i=l,2,3〇Bl,B2,B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機HlB12312312B3,三種情況互斥。H2B1B23B12B31B2B3H3B2B2B3三種情況互斥又Bl,B2,B2獨立。P(H1)P(B1)P(2)P(3)P(1)P(B2)P(3) P(1)P(2)P(B3)0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P(H2)P(B1)P(B2)P(3)P(B1)P(2)P(B3)P(1)P(B2)P(B3)0.40.50.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7=0.41P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3)=0.4X0.5X0.7=0.14又因：A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥故由全概率公式,有P(A)=P(H1)P(AHl)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(AH3)=0.36X0.2+0.41X0.6+0.14X1=0.458.［三十三］設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2%(這一事件記為A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分別為P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05?現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件,發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這ー事件記為B),試分別求P(AlB)P(A2|B),P(A3B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多,取出第一件以后不影響取第二件的概率,所以取第一、第二、第三件是互相獨立地)B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P(B)=P(A1)P(BAl)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.8X(0.98)3+0.15X(0.9)3+0.05X(0.1)3=0.8624P(A1B)P(A1)P(B|A1)O.8(0.98)3P(A1|B) 0.8731P(B)P(B)0.8624P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15(0.9)3P(A2|B) 0.1268P(B)P(B)0.8624P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05(0.1)3P(A3|B) 0.0001P(B)P(B)0.8624.［三十四］將A,B,C三個字母之一輸入信道,輸出為原字母的概率為a,而輸出為其它一字母的概率都是(1-a)/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道,輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為pl,p2,p3(pl+p2+p3=l),已知輸出為ABCA,問輸入的是AAAA的概率是多少?(設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。)解:設(shè)D表示輸出信號為ABCA,Bl、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA,BBBB,CCCC,則Bl、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi,i=l,2,3,再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推,依題意有P(A收|A發(fā)ドP(B收IB發(fā))=P(C收IC發(fā))=a,P(A收IB發(fā))=P(A收IC發(fā))=P(B收IA發(fā))=P(B收IC發(fā))=P(C收|A發(fā))=P(C收IB發(fā))=1a2又P(ABCA|AAAA)=P(D|B1)=P(A收丨A發(fā))P(B收|A發(fā))P(C收丨A發(fā))P(A收IA發(fā))=a2(1a)2,2同樣可得p(DB2)=P(DIB3)=a(1a)32于是由全概率公式,得P(D)P(B)P(D|B)iii13pla2(la21a3)(P2P3)a()22由Bayes公式，得P(AAAA|ABCA)=P(B1|D)==P(B1)P(DBl)P(D)2api2aPl(1a)(P2P3)［二十九］設(shè)第一只盒子裝有3只藍球,2只綠球,2只白球;第二只盒子裝有2只藍球,3只綠球,4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取ー只球。(1)求至少有一只藍球的概率，(2)求有一只藍球一只白球的概率,(3)已知至少有ー只藍球,求有一只藍球一只白球的概率。解:記Al、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到ー只藍球、綠球、白球,Bl、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到ー只藍球、綠球、白球。(1)記じ=｛至少有一只藍球｝C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1,5種情況互斥由概率有限可加性,得

P(C)P(A1B1)P(A1B2)P(A1B3)P(A2B1)P(A3B1)獨立性P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)111213213132333422225 79797979799(2)記?=｛有一只藍球,一只白球｝,而且知D=A1B3+A3B1兩種情況互斥P(D)P(A1B3P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A3)P(B1)342216 797963(3)P(D|C)P(CD)P(D)16 P(C)P(C)35(注意到CDD)［三十］A,B,C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話,據(jù)統(tǒng)計知,打給A,B,C的電話的概率分別為2,2,1。他們?nèi)?55111人常因工作外出，A,B,C三人外出的概率分別為,，設(shè)三244人的行動相互獨立,求(1)無人接電話的概率;(2)被呼叫人在辦公室的概率;若某ー時間斷打進了3個電話,求(3)這3個電話打給同一人的概率;(4)這3個電話打給不同人的概率;(5)這3個電話都打給B,而B卻都不在的概率。解:記Cl、C2、C3分別表示打給A,B,C的電話Dl、D2、D3分別表示A,B,C外出注意到Cl、C2、C3獨立，且P(C1)P(C2)2,5P(C3)15P(D1)11,P(D2)P(D3)24(1)P(無人接電話)=P(D1D2D3)=P(D1)P(D2)P(D3)=111244132(2)記6=“被呼叫人在辦公室”，GC1D1C2D2C3D3三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式P(G)P(C1D1)P(C2D2)P(C3D3)P(C1)P(D1|C1)P(C2)P(D2|C2)P(C3)P(D3|C3)21231313 52545420由于某人外出與否和來電話無關(guān)故P(D|C)P(D)由于某人外出與否和來電話無關(guān)故P(D|C)P(D)kkkH為“這3個電話打給同一個人”P(H)22222211117 555555555125R為“這3個電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成,每種情況為打給A,B,C的三個電話,每種情況的概率為2214 555125于是P(R)6424 125125(5)由于是知道每次打電話都給B,其概率是1,所以每一次打給B電話而B不在的概率為1,且各次情況相互獨立4于是P(3個電話都打給B,B都不在的概率)=(1)34164第二章隨機變量及其分布1.［一］ー袋中有5只乒乓球,編號為1、2、3、4、5I在其中同時取三只,以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解:X可以取值3,4,5,分布律為P(X3)P(ー球為3號,兩球為1,2號)21C23C511021C33C5P(X4)P(ー球為4號,再在1,2,3中任取兩球)310610P(X5)P(ー球為5號，再在1,2,3,4中任取兩球)2也可列為下表X：3,4,5P：136,,101010.［三］設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取ー只,作不放回抽樣,以X表示取出次品的只數(shù),（1）求X的分布律,（2）畫出分布律的圖形。解:任取三只,其中新含次品個數(shù)X可能為0,1,2個。P（X0）3C133C152235P(X1)12C2C133C1521C2C133C151235135P(X2)再列為下表X：0,1,2P：22121,,353535.［四］進行重復(fù)獨立實驗,設(shè)每次成功的概率為P,失敗的概率為q=1—P（0くPく1）(1)將實驗進行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗次數(shù),求X的分布律。(此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。)(2)將實驗進行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數(shù)，求丫的分布律。(此時稱丫服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。)(3)一籃球運動員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù),寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。解:(1)P(X=k)=qk-lpk=l,2,??Y=r+n={最后一次實驗前r+n-l次有n次失敗,且最后一次成功}P(Yrn)CrnnIqnprlpCrnnIqnpr,n0,1,2,,其中q=l~p,Irkr,kr,r1,或記r+n=k,則P{Y=k}=Ckrlp(lp)P(X=k)=(0.55)k-10.45k=l,2-P(X取偶數(shù))=P(X2k) (0.55)2k10.4511klk1 316.［六］一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備使用的概率為0.1,問在同一時刻(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少?22522P(X2)C5pqC5(0.1)2(0.9)30.0729(2)至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少?345P(X3)C5(0.1)3(0.9)2C5(0.1)4(0.9)C5(0.1)50.00856(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少?01P(X3)C5(0.9)5C50.1(0.9)4C52(0.1)2(0.9)33C5(0.1)3(0.9)20.99954(4)至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少?P(X1)1P(X0)10.590490.40951［五］一房間有3扇同樣大小的窗子,其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間,它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去,試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的ー只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求丫的分布律。(3)求試飛次數(shù)X小于丫的概率;求試飛次數(shù)丫小于X的概率。解:(1)X的可能取值為1,2,3,n,?P{X=n}=P{前n—l次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去}=(2)n11,n=l,2 33(2)丫的可能取值為1,2,3P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=13P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的ー扇,第2次飛了出去}=213213P{Y=3}=P{第1,2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去)=2!13!3(3)P{XY}P{Yk}P{XY|Yk}k133P{Yk}P{XY|Yk}k2全概率公式并注意到 P{XY|Y1}0P{Yk}P{Xk}k23111121 333 333 注意到X,Y獨立即P{XY|Yk}P{Xk}同上,P{XY}P{Yk}P{XYlYk)k131121419 P{Yk}P{Xk}1333932781k13故P{YX}1P{XY}P{XY)8.[A]甲、乙二人投籃,投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求(1)二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立,且彼此投籃也獨立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=l)P(Y=l)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)110.6(0.4)2][C30.7(0.3)2]=(0.4)3X(0.3)3+[C3[C32(0.6)20.4][C32(0.7)2.3](0.6)3(0.7)30.321(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。P(X>Y)=P(X=l,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=l)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)120.6(0.4)2](0.3)3[C3(0.6)20.4](0.3)8 =[C310.7(0.3)2](0.6)3[C32(0.6)20.4][C31(0.3)3(0.6)3[C30.7(0.3)2](0.6)33881[C32(0.7)20.3]0.2439.[十]有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯,能將甲種酒全部挑出來,算是試驗成功一次。(1)某人隨機地去猜,問他試驗成功一次的概率是多少?(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次,成功3次。試問他是猜對的,還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗是相互獨立的。)解:(1)P(一次成功)=11470C83C10((2)P(連續(xù)試驗10次,成功3次)=136973?此)()707010000概率太小,按實際推斷原理,就認為他確有區(qū)分能力。[九]有一大批產(chǎn)品,其驗收方案如下,先做第一次檢驗:從中任取10件,經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收;否則作第二次檢驗,其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品,若產(chǎn)品的次品率為10樂求(1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率(2)需作第二次檢驗的概率(3)這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標(biāo)準被接受的概率(4)這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率(5)這批產(chǎn)品被接受的概率解:X表示10件中次品的個數(shù),丫表示5件中次品的個數(shù),由于產(chǎn)品總數(shù)很大,故X?B(10,0.1),Y~B(5,0.1)(近似服從)(1)P{X=0}=0.910七0.349210.120.98C100.10.990.581(2)P{XW2}=P{X=2}+P{X=l}=C10P{Y=0}=0.95-0.590P{0<XW2,丫=0}({0<XW2}與{丫=2}獨立)=P｛〇〈XW2｝P｛Y=0｝=0.581X0.5900.343P｛X=0｝+P｛〇〈XW2,丫=0｝七〇.349+0.343=0.69212.［十三］電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率法一:法二:P(X=8)=P(X28)—P(X29)(查ト=4泊松分布表)。=0.051134-0.021363=0.029771(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。P(X>10)=P(X211)=0.002840(査表計算)［十二(2)］每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。P｛X3｝P｛X4｝0,566530［十六］以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間(以分計)，X的分布函數(shù)是1e0.4x,x0FX(x)x00484P(X8)e0.029770(直接計算)8!求下述概率:(1)P｛至多3分鐘｝;(2)P｛至少4分鐘｝;(3)P｛3分鐘至4分鐘之間｝;P｛至多3分鐘或至少4分鐘｝;(5)P｛恰好2.5分鐘｝解:(1)P｛至多3分鐘｝=P｛XW3｝=FX(3)1e1.2P｛至少4分鐘｝P(X24)=1FX(4)e1.6P｛3分鐘至4分鐘之間｝=P｛3<XW4｝=FX(4)FX(3)e1.2e1.6P｛至多3分鐘或至少4分鐘｝=P｛至多3分鐘｝+P｛至少4分鐘｝=1e1.2e1.6(5)P{恰好2.5分鐘}=P(X=2.5)=018.［十七］設(shè)隨機變量X0,x1I 的分布函數(shù)為FX(x)Inx,1xe,>1,xe.求(1)P(X<2),P{0<X<3},P(2<X<)；(2)求概率密度fX(x),解:(1)P(X近2)=FX(2)=ln2,P(0<XW3)=FX(3)-FX(0)=1,P(2X5555FX()FX(2)Inln2ln2224(2)1 ,1xe,f(x)F'(x)x0,其它20.［十八(2)］設(shè)隨機變量X的概率密度f(x)為2x2(1)f(x) 0 1x1其它(2)0x1xf(x)2xlx2其他0求X的分布函數(shù)F(x),并作出(2)中的f(x)與F(x)的圖形。解:當(dāng)一IWxWI時:22F(x)Odxx2dx Inn1x11lxx2arcsinxnn21lxx21arcsinx 22 1X當(dāng)1くx時:F(x)故分布函數(shù)為:Odxx2x2dxOdx1 1n110HlF(x)xx2arcsinxnn21x11x11x解:(2)F(x)P(Xx)xf(t)dt當(dāng)x〇時,F(x)x2當(dāng)0x1時,F(x)Odttdt02當(dāng)1x2時,F(x)當(dāng)2x時,F(x)Odttdt(2t)dt2x122tdt21(2t)dtx2Odt1故分布函數(shù)為0x2F(x)22x2x12 1x00x11x22x(2)中的f(x)與F(x)的圖形如下x22.［二十］某種型號的電子的壽命X(以小時計)具有以下的概率密度:1000f(x)x2x1000其它現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨立)。任取5只,問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少?解:ー個電子管壽命大于1500小時的概率為P(X1500)1P(X1500)11(122)331500100010001000(1)1500dx1xlOOOx2令丫表示''任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則2丫?B(5,)3,21 11P(Y2)1P(Y2)1P(Y0)P(Y1) 1 ()5C5()()433 3152112321 1 2432433523.［二十一］設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為:x1FX(x)5e,x00I其它某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開。他ー個月要到銀行5次。以Y表示ー個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),寫出Y的分布律。并求P(Y21)。解:該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為5P(X10)fX(x)dxedxe510e21051052k25k因此Y~B(5,e2).即P(Yk) e(le),(k1,2,3,4,5k15P(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e2)51(1)1(10.1353363)53890.8677510.48330.5167.xx.［二十二］設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布,求方程4x24xKK2〇有實根的概率,/K的分布密度為：1f(K)50 00K5其他要方程有根,就是要K滿足(4K)2-4X4X(K+2)20。解不等式，得K22時,方程有實根。:.P(K2)2f(x)dx51dx2550dx35.［二十三］設(shè)X?N(3.22)(1)求P(2くXW5),P(一4)くXW10),P{|X|>2},P(X>3)V:.若X?N(u,〇2),則P(a<XWB)=巾P(2<X<5)=653 ￠23=￠ 2 2 3u￠(111〇(1)-￠(-0.5)=0.8413-0.3085=0.53283.5)=0.9998-0.0002=0.9996P(|X|>2)=1-P(|X|<2)=1-P(-2<P<2)23 23 =1 2 2P(-4CXW10)=￠103 ￠ 43=￠ 2 2(3.5)-￠(-=1-￠(-0.5)+￠(-2.5)=1-0.3085+0.0062=0.6977P(X>3)=1~P(Xく3)=1—￠33 =1-0.5=0.52(2)決定C使得P(X>C)=P(XWC)得又=326.［二十四］某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū),以nun-HgP(X>C)=1-P(XWC)=P(XWC)P(XWC)=1=0.52P(XWC)=￠C3 0.5,查表可得C3022C計)服從N(110,122)在該地區(qū)任選ー18歲女青年,測量她的血壓X。求(1)P(XW105),P(100<Xく120).(2)確定最小的X使P(X>x)く0.05.解:(l)P(X105) (105110) (0.4167)1 (0.4167)10.66160.33841212011010011055P(100X120) () () () ()12126652()12(0.8333)120.797610.59526(2)P(Xx)1P(Xx)1(xHOx110)0.05 ()0.95.1212x110査表得!.645.x11019.74129.74.故最小的X129.74.1227.［二十五］由某機器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)服從參數(shù)為u=10.05,。=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格的概率是多少?設(shè)螺栓長度為XP{X不屬于于0.05—0.12,10.05+0.12)=1-P(10.05-0.12<X<10.05+0.12)(10.050.12)10.05 (10.050.12)10.05 =1-0.06 0.06=1-{4>(2)-￠(-2)}=l-{0.9772-0.0228}=0.045628.［二十六］ーエ廠生產(chǎn)的電子管的壽命X(以小時計)服從參數(shù)為H=160,〇(未知)的正態(tài)分布，若要求P(120VXW200==0.80,允許〇最大為多少?〇〇P〇(120<40 0.80〇XW200160 120160 40 200)=又對標(biāo)準正態(tài)分布有ゆ(-x)=l-4>(x)40 40 0.80.,?上式變?yōu)?□040解出便得:0.90再査表,得401.281〇〇4031.251.28130.［二十七］設(shè)隨機變量X的分布律為:X：-2,-1,0,1,P：1,511303(3)211301615115求Y二X2的分布律VY=X2：(-2)2P：(一1)216(0)215(1)2115再把X2的取值相同的合并,并按從小到大排列,就得函數(shù)Y的分布律為:,Y：0149P：151161515113031.［二十八］設(shè)隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布(1)求Y二eX的分布密度1丁X的分布密度為:f(x)00x1x為其他Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h(Y)=InY,反函數(shù)存在

且a=min[g(0),g(l)]=min(l,e)=lmax[g(0),g(l)]-max(l,e)=ef[h(y)]|h*(y)|11的分布密度為:w(y)y01yey為其他(2)求丫=-21nX的概率密度。VY=g(X)=-21nX是單調(diào)減函數(shù)Y又Xh(Y)e反函數(shù)存在。且a=min[g(0),g(1)]=min(+°°,0)=03=max[g(0),g(l)]=max(+8,〇)=4-oo:?丫的分布0yy為其他密度為:yy11ef[h(y)]；h'(y) 1ev(y) 22032.[二十九]設(shè)X?N(0,1)(1)求Y=eX的概率密度,/X的概率密度是f(x)le2nx22,xY=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h(Y)=InY反函數(shù)存在且a=min[g(—°°),g(+°°)]=min(O,+0°)=0B=max[g(-8),g(+oo)]=max(0,+°°)=+°0二Y的分布密度為:(lny)2f[h(y)]|h'(y)Ile21(lny)2f[h(y)]|h'(y)Ile21w(y) y2n00y為其他(2)求Y=2X2+1的概率密度。在這里,丫=2X2+1在(+8,—8)不是單調(diào)函數(shù),沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)丫的分布函數(shù)是FY(y),則FY(y)=P(YWy)=P(2X2+Ky)y1X2y12 =P當(dāng)yく1時:FY(y)=Oy12y12當(dāng)y》l時:Fy(y)Py1X2y1 2 le2nx22dx故Y的分布密度W(y)是:當(dāng)yWl時:W(y)=[FY(y)],=(0)*=0當(dāng)y>l時,w(y)=[FY(y)]'= y12y1212y1ex22dx=le2(y1)(3)求Y=|XI的概率密度。丁Y的分布函數(shù)為FY(y)=P(YWy)=P(X|Wy)當(dāng)yく〇時,FY(y)=0當(dāng)y2〇時，F(xiàn)Y(y)=P(IX|くy)=P(—yWXWy)=y???Y的概率密度為:當(dāng)yWO時：V(y)=[FY(y)]'=(0)'=0當(dāng)y>0時:W(y)=[FY(y)]'= y22dxenyle2nx22dxyyle2nx233.[三十](1)設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x),求Y=X3的概率密度。???Y=g(X)=X3是X單調(diào)增函數(shù),1又X=h(Y)=Y3,反函數(shù)存在,且a二min[g(―°°),g(+°°)]=min(O,+°°)=—00B=max[g(—8),g(+oo)]=max(0,+°°)=+°°Y的分布密度為:V(y)=f[h(h)]2Ih*(y)I=f1(yl)y,y,但y032(0)0(2)設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,求Y二X2的概率密度。法一:；X的分布密度為:exf(x)0Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng)xく0時y=x2反函數(shù)是x當(dāng)xく0時y=x2xy工Y?fY(y)=f(y)(y)f(yy0le=2y0y12yey,yOy0法二：Y、FY(y)P(Yy)P(yxy)P(Xy)P(Xy)yyxedx01e0 0，，yOy0，Y?lefY(y)=2y0y，，y0.y0.34.[HH一]設(shè)X的概率密度為2xf(x)n200X"X為其他求Y=sinX的概率密度。VFY(y)=P(YWy)=P(sinXWy)當(dāng)y<0時:FY(y)=0當(dāng)OWyWl時:FY(y)=P(sinXくy)=P(OWXWarcsiny或n—arcsinyWXW”)當(dāng)Ky時:FY(y)=lY的概率密度V(y)為:yWO時,w(y)=[FY(y)]'=(0)'=0〇<y<l時,w(y)=[FY(y)]'=arcsinyO2xdx2n2xdxJtarcsinyn2narcsiny02xdx2Ji2xdx兀arcsiny兀2n=2ny2iWy時，w(y)=[FY(y)]'=(1) =036.[三十三]某物體的溫度T(oF)是一個隨機變量,且有T?N(98.6,2),試求。(℃)的概率密度。[已知。5(T32)]法一:：T的概率密度為f(t)又6g(T)5(T32)990325122e(t98.6)2229,t 是單調(diào)增函數(shù)。Th(0) 反函數(shù)存在。且a=min[g(―0°),g(+°°)]-min(—+°°)=—°°B=max[g(―0°),g(+co)]=max(-8,+co)=+oo,〇的概率密度w(0)為w(0)f[h(0)]|h'(0)I12n2TOC\o"1-5"\h\z9(03298.6)254e959el081(037)2100, 0法二:根據(jù)定理:若X?N(al, 〇1).則Y=aX+b?N(aa1+b,a2。2)由于!'?N(98.6,2)故25 33352516016050T~N98.6, 2N, 29999 9 99

故〇的概率密度為:333 92()le522952 29 910e81( 37)2100,第三章多維隨機變量及其分布1.[-]在ー箱子里裝有12只開關(guān),其中2只是次品,在其中隨機地取兩次,每次取ー只?？紤]兩種試驗:(1)放回抽樣,(2)不放回抽樣。我們定義隨機變量X,丫如下:, 〇,若第一次取出的是正品X 1,若第一次取出的是次品, 〇,若第二次取出的是正品丫 1,若第二次取出的是次品試分別就(1)(2)兩種情況,寫出X和丫的聯(lián)合分布律。解:(1)放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=0,Y=0)=101025121236P(X=0,Y=1)=10P(X=l,Y=0)=P(X=l,Y=1)=或?qū)懗?51212362105 121236221 121236(2)不放回抽樣的情況P{X=0,Y=0}=10P{X=0,Y=1}=10P{X=l,Y=0}=P{X=l,Y=1}=或?qū)懗?4512116621012116621010121166211121166121166210101211662111211663.［二］盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到白球的只數(shù),求X,Y的聯(lián)合分布律。解:（X,Y）的可能取值為（i,j）,i=0,i+j22,聯(lián)合分布律為P{X=0,Y=2}=C222C2C41735P{X=l,Y=1}=C1123C2C2C46357P{X=l,Y=2}=C1213C2C2C46735P{X=2,Y=0}=C2C232C43735P{X=2,Y=1}=C2113C2C2C412P{X=2,Y=2}=C223C2C43735P{X=3,Y=0}=C313C2C42735P{X=3,Y=1}=C3C132C42735P{X=3,Y=2}=0,2,3,j=0,12,15.［三］設(shè)隨機變量(X,Y)概率密度為k(6xy),0x2,2y4f(X,y)0i其它(1)確定常數(shù)k。(2)求P{X<1,Y<3}(3)求P(X<1.5}(4)求P(X+YW4}GGDo分析:利用P{(X,Y)eG}=f(x,y)dxdy0x2,次積分,其中D。（x,y）f(x,y)dxdy再化為累解:⑴VIf(x,y)dxdy10212k(6xy)dydx,Ak3818P(X1,Y3)dx3128(6xy)dy1.5P(X1.5)P(X1.5,Y)Odx2(6xy)dy(4)P(XY4)20182732dx4xO12(6xy)dy836.(1)求第1題中的隨機變量(X、Y(2)求第2題中的隨機變量(X、Y解:(1)①放回抽樣(第1題)012536536536136x邊緣分布律為X1Y1Pi25616P2j5616②不放回抽樣(第1題)邊緣分布為XPi256456610661066166116YP2j56116(2)(X,Y)的聯(lián)合分布律如下Y的邊緣分布律168解:X的邊緣分布律X0Pi2181388YP2j83287..設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為4.8y(2x)f(x,y)00x1,0yx其它求邊緣概率密度.解:fX(x)fY(y)x4.8y(2x)dy2.4x2(2x)f(x,y)dy000x1其它1 4.8y(2x)dx2.4y(34yy2)0y1f(x,y)dxy其它〇8.［六］設(shè)二維隨機變量（X,Y）的概率密度為e,0xy求邊緣概率密度。f(x,y)0,其它.解:fX(x)eydyex,x0f(x,y)dyxx00,fY(y)f(x,y)dxy0edxye,y0,0,0,10.［七］設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為22cxy,xy1f(x,y)0,其它(1)試確定常數(shù)c。(2)求邊緣概率密度。解:1= f(x,y)dxdy Ody1yycxydxc21022421ydycc3214521212122xydyx(lx4), 1X'fX(x)x482xydyx(lx4), 1X'fX(x)x48Y~fY(y) y4dydx2y00y1其它15.第1題中的隨機變量X和Y是否相互獨立。解:放回抽樣的情況P{X=0,Y=0}=P{X=O}2P{Y=0}=2536P{X=0,Y=1}=P{X=O}P{Y=1}=P{X=l,Y=0}=P{X=1}P{Y=O}=P{X=l,Y=1}=P{X=1}P{Y=l}=在放回抽樣的情況下,X和Y是獨立的不放回抽樣的情況:P{X=0,Y=0}=10P{X=0}=10125653653613694512116692105121111116P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=10P{X=0}2P{Y=0}=55662536P{X=0,Y=0}WP{X=0}P{Y=0}二X和丫不獨立16.［十四］設(shè)X,丫是兩個相互獨立的隨機變量,X在(0,1)上服從均勻分布。丫的概率密度為lye,y0fY(y)20,y0.(1)求X和丫的聯(lián)合密度。(2)設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實根的概率。解:(1)X的概率密度為Y的概率密度為ye2,y0fY(y)2且知0,y0.l,x(0,1)fX(x)0,x,Y相互獨立,于是(X,Y)的聯(lián)合密度為y12f(x,y)fX(x)fY(y)2e00xl,y〇其它(2)由于a有實跟根，從而判別式 4X24Y0即:YX2記D{(x,y)10x1,0yx2}P(YX2)f(x,y)dxdydxD01x21x2112dydxde21e2dx0002yyx2012.50663120.341310.85550.14450Oex22dx12((1) (2))12(0.84130.5)23.設(shè)某種商品一周的需要量是ー個隨機變量,其概率密度為t te,f(t) OtOt0并設(shè)各周的需要量是相互獨立的,試求(1)兩周(2)三周的需要量的概率密度。解:(1)設(shè)第一周需要量為X,它是隨機變量設(shè)第二周需要量為Y,它是隨機變量且為同分布,其分布密度為t te,f(t) OtOt0Z二X+Y表示兩周需要的商品量,由X和Y的獨立性可知:xexyeyx0,yOf(x,y) 0其它VzNO：?當(dāng)zく。時,fz(z)=0當(dāng)z>0時,由和的概率公式知fz(z) fx(zy)fy(y)dyz(zz3z0(zy)ey)yeydy6ez3zf(z) 6e,z0Oz03(2)設(shè)z表示前兩周需要量,其概率密度為zfz)6ez,z(0設(shè),表示第三周需要量,其概率密度為:f(x) xex,x0ミOx0z與;相互獨立n=z+;表示前三周需要量貝リ:*.*H20,,??當(dāng)uく〇,fn(u)=0當(dāng)u>0時fn(u)f(uy)fg(y)dyul06(uy)3e(uy)yeydyu5120eu所以n的概率密度為zOz0u5uefn(u)120OuOu030.設(shè)某種型號的電子管的壽命(以小時計)近似地服從N(160,202)分布。隨機地選取4只求其中沒有一只壽命小于!80小時的概率。解:設(shè)XI,X2,X3,X4為4只電子管的壽命,它們相互獨立,同分布,其概率密度為:fT(t)len20(t160)2220f{X180}FX(180)令t160u200.8413u221180(t160)2dt2220220118060du()2012 1e查表設(shè)N=min{Xl,X2,X3,X4}P{N>180}=P{Xl>180,X2>180,X3>180,X4>180}=P{X>180}4={l-p[X<180]}4=(0.1587)4=0.0006327.[二十八]設(shè)隨機變量(X,Y)的分布律為(1)求P{X=2Y=2},P{Y=3|X=0}(2)求V=max(X,Y)的分布律(3)求U=min(X,Y)的分布律解:(1)由條件概率公式P{X=2|Y=2}==P{X2,Y2}P{Y2}0.050.010.030.050.050.050.080.25=0.050.2同理P{Y=3|X=O}=13(2)變量V=max{X,Y}顯然V是ー隨機變量,其取值為V：012345P{V=0}=P{X=0Y=0}=0P{V=1)=P{X=l,Y=0}+P{X=LY=l}+P{X=0,Y=l}=0.01+0.02+0.01=0.04P{V=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=l}+P{X=2,Y=2}+P{Y=2,X=0}+P{Y=2,X=l}=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P{V=3}=P{X=3,Y=0}+P{X=3,Y=l}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}+P{Y=3,X=0}+P{Y=3,X=l}+P{Y=3,X=2}=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P{V=4}=P{X=4,Y=0}+P{X=4,Y=l}+P{X=4,Y=2}+P{X=4,Y=3}=0.07+0.06+0.05+0.06-0.24P{V=5}=P{X=5,Y=0}+??+P{X=5,Y=3}=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28(3)顯然U的取值為0,1,2,3P{U=0}=P{X=0,Y=0}+,,,,+P{X=0,Y=3}+P(Y=0,X=l}+,,,,+P{Y=0,X=5}=0.28同理P{U=l}=0.30P{U=2}=0.25P{U=3}=0.17或縮寫成表格形式V012345Pk00.040.160.280.240.28UPk0120.280.300.2530.17(4)W=V+U顯然W的取值為0,1,,,,,8P{W=0}=P{V=0U=0}=0P{W=l}=P{V=0,U=1}+P{V=1U=O}VV=max{X,Y}=0又U=min{X,Y}=1不可能上式中的P{V=0,U=l}=0,又P{V=1U=0}=P{X=lY=0}+P{X=0Y=l}=0.2故P{W=l}=P{V=0,U=1}+P{V=1,U=0}=0.2P{W=2}=P{V+U=2}=P{V=2,U=0}+P{V=1,U=l}=P{X=2Y=0}+P{X=0Y=2}+P{X=1Y=l}=0.03+0.01+0.02=0.06P{W=3}=P{V+U=3}=P{V=3,U=0}+P{V=2,U=l}=P{X=3Y=0}+P{X=O?丫=3}+P{X=2,Y=l}+P{X=1,Y=2}=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13P{W=4}=P{V=4,U=0}+P{V=3,U=1}+P{V=2,U=2}=P{X=4Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}=0.19P{W=5}=P{V+U=5}=P{V=5,U=0}+P{V=5,U=l}+P{V=3,U=2}=P{X=5Y=0}+P{X=5,Y=l}+P{X=3,Y=2}+P{X=2,Y=3}=0.24P{W=6}=P{V+U=6}=P{V=5,U=l}+P{V=4,U=2}+P{V=3,U=3}=P{X=5,Y=l}+P{X=4,Y=2}+P{X=3,Y=3}=0.19P{W=7}=P{V+U=7}=P{V=5,U=2}+P{V=4,U=3}=P{V=5,U=2}+P{X=4,Y=3}=0.6+0.6=0.12P{W=8}=P{V+U=8}=P{V=5,U=3}+P{X=5,Y=3}=0.05或列表為W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05［二H^一］設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為(xy),bef(x,y),00x1,0y其它(1)試