多方百計(jì)巧點(diǎn)撥,撥云見(jiàn)日助內(nèi)化

多方百計(jì)巧點(diǎn)撥，撥云見(jiàn)日助內(nèi)化——例談數(shù)學(xué)難點(diǎn)理解障礙的成因及對(duì)策上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué)關(guān)雅南【摘要】：在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，理解數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的本質(zhì)至關(guān)重要。但由于學(xué)生的思維水平和品質(zhì)有一定的局限性、教師教學(xué)策略運(yùn)用不當(dāng)造成數(shù)學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題的理解上存在諸多障礙。本文主要結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，分析學(xué)生數(shù)學(xué)理解障礙的成因，探討消除理解障礙有效的教學(xué)策略，幫助學(xué)生達(dá)成知識(shí)的內(nèi)化，為數(shù)學(xué)教師解決同類問(wèn)題提供可借鑒參考的教學(xué)案例。【關(guān)鍵詞】：難點(diǎn)、理解障礙、教學(xué)策略“噫吁嚱，艱乎難哉！數(shù)學(xué)之難，難于上青天??”有人仿李白的《蜀道難》在網(wǎng)絡(luò)上這樣大發(fā)感慨，引起許多網(wǎng)友的共鳴。的確，數(shù)學(xué)一直以來(lái)都被公認(rèn)是難學(xué)的學(xué)科之一，互聯(lián)網(wǎng)上有關(guān)數(shù)學(xué)難學(xué)的牢騷詩(shī)作、調(diào)侃段子比比皆是，這不得不引起我們教育者的思考：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感知為何這么難？誠(chéng)然，“難者不會(huì)，會(huì)者不難”，只有學(xué)生自己真正理解了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法的內(nèi)涵以及數(shù)學(xué)思想的精髓，才能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)的奧妙所在。《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（試行稿）中指出：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一；2013年《全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海卷考試手冊(cè)》中將高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)分為記憶性水平、解釋性理解水平和探究性理解水平。那么，當(dāng)學(xué)生不理解學(xué)習(xí)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思維遇到阻礙時(shí)，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)充分發(fā)掘我們的教育教學(xué)智慧，幫助學(xué)生搭建思維成長(zhǎng)的平臺(tái)，啟發(fā)、引導(dǎo)、提示、點(diǎn)撥，使學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解更為

準(zhǔn)確、深刻。蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》中說(shuō)：有經(jīng)驗(yàn)的教師在備課的時(shí)候，總是要周密地考慮，他所講授的知識(shí)將在學(xué)生的頭腦里得到怎樣的理解，并根據(jù)這一點(diǎn)來(lái)挑選教學(xué)方法。下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)例來(lái)探討高中生數(shù)學(xué)難點(diǎn)理解障礙的成因及教學(xué)的對(duì)策。1、條件晦澀難參透，生活實(shí)例巧類比有些數(shù)學(xué)問(wèn)題呈現(xiàn)的形式給人感覺(jué)像云霧繚繞，學(xué)生在審題時(shí)只識(shí)其字，不知其意，導(dǎo)致解題無(wú)從入手。例如：已知f(x)二2x+a,g(x)二x2-6x+1,對(duì)任意的xwLl,l］都能找至UxwLl,l］使得g(x)=f(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1221 學(xué)生起初的理解是有關(guān)方程解的情況，而后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的x與x并未要求相12等，于是否定了自己的想法，那題目中的“任意”、“總能找至”這樣的詞語(yǔ)究竟蘊(yùn)含什么意義呢？學(xué)生的思維陷入僵局。在教學(xué)中筆者向?qū)W生提出這樣一個(gè)問(wèn)題：小張同學(xué)手中有一些撲克牌老師也有若干撲克牌，如果小張同學(xué)任意拿出一張撲克牌，老師這都能找至一張牌與他的牌一模一樣，請(qǐng)問(wèn)，如何才能做至這一點(diǎn)呢？一石激起千層浪，同學(xué)們的思維迅速被調(diào)動(dòng)起來(lái)，“老師，你的牌一定包含了小張同學(xué)所有的牌才可以”。就這樣，同學(xué)們馬上聯(lián)想至子集的概念，理解了問(wèn)題的本質(zhì)其實(shí)是/(x)的值域是Kx)值域的子集，難題迎刃而解。數(shù)學(xué)的抽象性對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，如何幫助學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)?教師可在闡釋數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中輔以學(xué)生日常的實(shí)際問(wèn)題或常識(shí)，那么自然會(huì)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。比如在講授數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)時(shí)，可類比多米諾骨牌的玩法原理；再比如對(duì)于命題a,比多米諾骨牌的玩法原理；再比如對(duì)于命題a,b,c>0,貝I」土>ba+ca，可類比生活實(shí)例：一杯糖水，再加一勺糖會(huì)比原來(lái)更甜些等等，變抽象為形象。2、問(wèn)題瓶頸難突破，逐層設(shè)梯巧導(dǎo)引在解決陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生往往在思維發(fā)散后屢屢碰壁而苦于找不到要解決的核心問(wèn)題和有效途徑。例如在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理中，學(xué)生不應(yīng)僅僅記住定理的內(nèi)容，更應(yīng)理解各項(xiàng)系數(shù)為何會(huì)以組合數(shù)形式呈現(xiàn)。那么在教學(xué)中如何啟發(fā)才能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知與舊知的聯(lián)系？如何引導(dǎo)才不顯得生硬牽強(qiáng)？請(qǐng)看教學(xué)實(shí)例：我們將n=l,2,3,4的情況列舉如下：@*耐=旣打；@晉斫=/晉20&十&3；(a+AJ5=o5+3^+3ofr3十臚；(也十掰=/十4/丘滬+4O&5+M，問(wèn)題一：根據(jù)以上展開(kāi)式的各項(xiàng)，你能否寫出3★砂1展開(kāi)式的各項(xiàng)？引導(dǎo)學(xué)生觀察特點(diǎn)，歸納類比；問(wèn)題二：最難確定的是什么？提示學(xué)生關(guān)注系數(shù)這一焦點(diǎn)問(wèn)題；問(wèn)題三：觀察他十笳5展開(kāi)式在合并同類項(xiàng)前后的項(xiàng)數(shù)有何變化？啟發(fā)學(xué)生思考項(xiàng)的系數(shù)與同類項(xiàng)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系；問(wèn)題四：你如何確定仗十話5展開(kāi)式中同類項(xiàng)的個(gè)數(shù)？誘導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則來(lái)理解；問(wèn)題五：那么確定事件發(fā)生的個(gè)數(shù)，我們可以用已學(xué)的什么知識(shí)來(lái)解決呢？點(diǎn)撥學(xué)生反思建構(gòu)問(wèn)題解決的途徑，組合數(shù)呼之欲出。這樣誘生深入、層層引導(dǎo)，問(wèn)題解決水到渠成。如果學(xué)生真正理解了定理的本源，對(duì)于(1+2x)3(l-3x)4展開(kāi)式中x6的系數(shù)如何確定的問(wèn)題將易如反掌。數(shù)學(xué)公式、定理和性質(zhì)的教學(xué)應(yīng)注重推導(dǎo)過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生去探求它們的合理性和必要性，感受它們的嚴(yán)謹(jǐn)美和簡(jiǎn)潔美，這樣才會(huì)在應(yīng)用時(shí)體會(huì)到它們的功能與價(jià)值。3、空間圖形難立體，實(shí)物情境巧利用在立體幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生常常對(duì)實(shí)際的三維立體圖形和平面上呈現(xiàn)的形式“不一致”產(chǎn)生困惑，甚至被平面化了的圖形表象所迷惑，很難理解空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。究其原因是空間想象能力還比較弱，因此教師在授課時(shí)，應(yīng)多利用周圍實(shí)物來(lái)做演示，比如手指、書、黑板、粉筆盒、墻角等，給學(xué)生提供圖形與實(shí)物對(duì)比的平臺(tái)；也可利用三維立體動(dòng)畫來(lái)幫助學(xué)生多角度認(rèn)知識(shí)別圖形，積累從二維到三維空間跨越的視覺(jué)經(jīng)驗(yàn)；還可以創(chuàng)設(shè)具體的空間情境，使學(xué)生仿佛有身臨其境之感。有一名同學(xué)問(wèn)了我下面的一道三視圖問(wèn)題:如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2,且側(cè)棱曲底面ABC，正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，俯視圖1111如下所示，則該三棱柱的左視圖面積為 。這位同學(xué)坦言：“老師，我知道左視圖是矩形，但我就是不理解為什么矩形的寬是等邊三角形的高？”面對(duì)他的疑惑，我讓他閉上眼睛，邊聽(tīng)我描述邊想象：“現(xiàn)在，你的面前放著一個(gè)正三棱柱，你緩緩地走到它的左側(cè)，你的視線發(fā)出了無(wú)數(shù)平行光束，被三棱柱擋了一部分光束后打到了棱柱右側(cè)的一個(gè)大幕布上，那么陰影部分的圖形就是左視圖，想想，它的寬是怎么形成的？”他反復(fù)想了幾遍，突然興奮地告訴我答案：“就是那個(gè)頂點(diǎn)到底邊的距離，因?yàn)檫@一區(qū)域的平行光都被擋住了！”可見(jiàn)，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生自己去體驗(yàn)、感悟是有效的難點(diǎn)突破策略。4、正向理解難通暢，逆向?qū)α⑶赊D(zhuǎn)化在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，老師往往會(huì)總結(jié)一些常用的結(jié)論作為今后解題的基本方法，但有些同學(xué)并不理解其中的道理所在。如利用參變分離法求不等式有解的參數(shù)取值范圍問(wèn)題，部分學(xué)生很難理解這一結(jié)論：一般地，若VxgR,f(x)ela,b］貝Ut>f(x)有解ot>a。在講解中，教師引導(dǎo)學(xué)生不妨另辟蹊徑，反問(wèn)學(xué)生：“那你能確定不等式t>f(x)無(wú)解的充要條件嗎？”稍加思考便知，只能是參數(shù)t比f(wàn)(x)的最小值還小，此時(shí)沒(méi)有使不等式成立的未知數(shù)的值，緊接著追問(wèn)：“那有解的充要條件是什么？”顯然為其補(bǔ)集。因此，當(dāng)個(gè)別學(xué)生的理解力不足以解釋數(shù)學(xué)的某些問(wèn)題時(shí)，作為教師應(yīng)給他們另外一個(gè)思維暢游的空間，幫助他們以另外一種方式、換一個(gè)角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，并與其他同學(xué)達(dá)到殊途同歸的學(xué)習(xí)效果。5、內(nèi)涵外延難明確，示錯(cuò)比較巧辨析在數(shù)學(xué)概念的新授課中，學(xué)生接受新知有一個(gè)理解內(nèi)化的過(guò)程。按照結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)，概念理解就是新舊知識(shí)之間建立實(shí)質(zhì)聯(lián)系，概念的心理表象要建構(gòu)準(zhǔn)確，并與其它概念之間的聯(lián)系較為合理、豐富和緊密，舊的不合理的甚至錯(cuò)誤的聯(lián)系得到改造和調(diào)整。在高中數(shù)學(xué)教材中有一些內(nèi)涵抽象、外延豐富的難點(diǎn)概念，比如高二《曲線與方程》第一課時(shí)中“曲線的方程”和“方程的曲線”，如教學(xué)設(shè)計(jì)粗糙，學(xué)生往往像聽(tīng)繞口令似的跟著老師上完這堂課。如何使學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)——曲線上的點(diǎn)與方程的解之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系有更為深刻的理解呢？教學(xué)中在概念引入后可設(shè)計(jì)示錯(cuò)辨析環(huán)節(jié)，如下面的問(wèn)題：請(qǐng)判斷曲線與方程的關(guān)系是否正確，并說(shuō)明理由。(2)曲線C——等腰/ABC底邊BC的中線的方程是x0。學(xué)生在判斷時(shí)緊緊圍繞定義的兩個(gè)核心問(wèn)題：方程的任意一個(gè)解轉(zhuǎn)化為點(diǎn)是否都在曲線上？而曲線上的任意一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)是否都為方程的解？這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)使學(xué)生在錯(cuò)誤辨析、矛盾沖突中不斷修正自己的建構(gòu)，進(jìn)一步體會(huì)曲線的純粹性和方程的完備性，數(shù)與形完美的結(jié)合，逐步加深對(duì)概念本質(zhì)的理解。因此在概念課中可適當(dāng)應(yīng)用反例，羅列一些似是而非容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的對(duì)象讓學(xué)生辨析，或設(shè)計(jì)變式問(wèn)題串沖擊學(xué)生的思維，這是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)、確定概念外延的有效手段。另外，造成學(xué)生數(shù)學(xué)理解障礙的原因還有教師本身較弱的表達(dá)能力：詞語(yǔ)運(yùn)用貧乏、語(yǔ)言組織混亂、表述形式單一、表情呆板無(wú)力，這樣很難激發(fā)學(xué)生的求知欲，很難引起學(xué)生有質(zhì)感的思考，學(xué)生自然在理解上缺乏動(dòng)力，導(dǎo)致思維僵化，學(xué)習(xí)浮于表面。因此，教師在備課時(shí)最好寫詳案，尤其是問(wèn)題的設(shè)計(jì)上多斟酌推敲；課上與學(xué)生幽默互動(dòng)，表情生動(dòng)，多鼓勵(lì)學(xué)生思維上哪怕一點(diǎn)點(diǎn)的火花；課后反思教學(xué)過(guò)程中語(yǔ)言的亮點(diǎn)與遺憾，改進(jìn)修正自己的教學(xué)策略。當(dāng)然，在難點(diǎn)教學(xué)上筆者也遇到一些還沒(méi)有很好解決的理解障礙問(wèn)題，比如學(xué)生對(duì)于極限的認(rèn)知，即使通過(guò)實(shí)例的感知、概念的辨析、詞語(yǔ)的解讀，甚至是邏輯的嚴(yán)格證明，學(xué)生對(duì)于等式Ob二1仍會(huì)疑慮不解。希望在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐、學(xué)術(shù)研討交流、科學(xué)實(shí)證分析中，我們一起來(lái)尋找更好地解決策略?？傊?，數(shù)學(xué)教學(xué)是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)，尤其在難點(diǎn)教學(xué)上，更能彰顯教師的功底與智慧，更能