中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)05《一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用》知識講解+鞏固練習(xí)（提高版）（含答案）

PAGE中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用—知識講解（提高）【考綱要求】1.理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2.會解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：把方程變成的形式，當m＞0時，方程的解為；當m＝0時，方程的解；當m＜0時，方程沒有實數(shù)解．（2）配方法：通過配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開平方法求得方程的解．（3）公式法：對于一元二次方程，當時，它的解為．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個一次因式積的形式，使每一個因式等于零，就得到兩個一元一次方程，分別解這兩個方程，就得到原方程的解．要點詮釋：直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．易錯知識辨析：（1）判斷一個方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進行整理，化成一般形式后再進行判斷，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時要先化成一般形式.（3）用配方法時二次項系數(shù)要化1.（4）用直接開平方的方法時要記得取正、負.3．一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個不相等的實數(shù)根；△＝0方程有兩個相等的實數(shù)根；△<0方程沒有實數(shù)根．上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．要點詮釋：△≥0方程有實數(shù)根.4．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程(a≠0)的兩個根是，那么．要點詮釋：（1）對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．（2）解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．（3）一元二次方程(a≠0)的根的判別式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情況；②根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；③解與根有關(guān)的證明題．（4）一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；②已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；③已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．考點二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程．要點詮釋：（1）分式方程的三個重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于的方程和都是分式方程，而關(guān)于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，換元法．3.解分式方程的一般步驟

(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程；

(2)解這個整式方程；

(3)驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗”.

要點詮釋：解分式方程時，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗根．增根的產(chǎn)生的原因：

對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根.

考點三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1．應(yīng)用問題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型(1)數(shù)字問題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會表示一個兩位數(shù)或三位數(shù)，對于日歷中的數(shù)字問題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律．(2)體積變化問題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3)打折銷售問題其中的幾個關(guān)系式：利潤＝售價-成本價(進價)，利潤率＝×100%．明確這幾個關(guān)系式是解決這類問題的關(guān)鍵．(4)關(guān)于兩個或多個未知量的問題重點是尋找到多個等量關(guān)系，使能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.(5)行程問題對于相遇問題和追及問題是列方程解應(yīng)用題的重點問題，也是易出錯的問題，一定要分析其中的特點，同向而行一般是追及問題，相向而行一般是相遇問題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問題增長量＝原有量×增長率；現(xiàn)有量＝原有量+增長量；現(xiàn)有量＝原有量-降低量．2．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．要點詮釋：方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思想用數(shù)學(xué)表達式表示與數(shù)量有關(guān)的語句的數(shù)學(xué)思想．注意：①設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹單位；③列方程時，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗是否適合方程，還要檢驗是否符合題意．【典型例題】類型一、一元二次方程 1．閱讀材料：為解方程，我們可以將看作一個整體，然后設(shè)，那么原方程可化為……①，解得，，當時，，，；當時，，，，故原方程的解為，，，．解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用________法達到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）請利用以上知識解方程．【思路點撥】此題考查了學(xué)生學(xué)以致用的能力，解題的關(guān)鍵是掌握換元思想．【答案與解析】（1）換元法；（2）設(shè)，那么原方程可化為解得；當時，；當時，不符合題意，舍去．所以原方程的解為，．【總結(jié)升華】應(yīng)用換元法解方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.舉一反三：【高清課程名稱：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用高清ID號：405754關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例3】【變式】設(shè)m是實數(shù)，求關(guān)于x的方程的根．【答案】x1=1,x2=m+2.2．（2015?肇慶二模）設(shè)x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．【思路點撥】先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計算即可．【答案與解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=﹣2，x1?x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．【總結(jié)升華】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．舉一反三：【變式】（2015?潛江）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實數(shù)根為x1，x2，且滿足5x1+2x2=2，求實數(shù)m的值．【答案】解：（1）∵方程有實數(shù)根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，∴m≤4；（2）∵x1+x2=4，∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2，∴x1=﹣2，把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．類型二、分式方程3．解方程：【思路點撥】把原方程右邊化為代入原方程求解較為簡單.【答案與解析】原方程變?yōu)榻?jīng)檢驗，是原方程的根.【總結(jié)升華】因為，，所以最簡公分母為：，若采用去分母的通常方法，運算量較大，可采用上面的方法較好.舉一反三：【變式1】解方程：【答案】原方程化為方程兩邊通分，得化簡得解得經(jīng)檢驗：是原方程的根.【變式2】【答案】 解此方程此方程無解. 4．m為何值時，關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根？【思路點撥】先把原方程化為整式方程，使分母為0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得整理，得【總結(jié)升華】分式方程的增根，一定是使最簡公分母為零的根.舉一反三：【變式】當m為何值時，方程會產(chǎn)生增根()

A.2B.－1C.3D.－3

【答案】分式方程，去分母得，將增根代入，得m＝3.所以，當m＝3時，原分式方程會產(chǎn)生增根.故選C.

類型三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用5．要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機器零件，如果甲單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨做則要超過3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨做，正好按期完成.問規(guī)定日期是多少天？【思路點撥】設(shè)規(guī)定日期是x天，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，工作總量為1.【答案與解析】設(shè)規(guī)定日期為x天根據(jù)題意，得解得經(jīng)檢驗是原方程的根答：規(guī)定日期是6天.【總結(jié)升華】工程問題涉及的量有三個，即每天的工作量、工作的天數(shù)、工作的總量．它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=每天的工作量×工作的天數(shù)．舉一反三：【高清課程名稱：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用高清ID號：405754關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例4-例5】【變式】據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國槐樹葉的片數(shù)相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量．【答案】設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，由題意得，解得：x=22，

經(jīng)檢驗：x=22是原分式方程的解，且符合題意．

答：一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22毫克．6．某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊工程費共8700元，乙、丙兩隊合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊工程費共9500元，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊工程費共5500元．

⑴求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由．

【思路點撥】第一問是工程問題，工程問題中有三個量：工作總量，工作效率，工作時間，這三個量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時間第二問只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊多少錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工作所需的天數(shù)，即可求出在規(guī)定時間內(nèi)單獨完成此項工程哪個隊花錢最少.【答案與解析】⑴設(shè)甲隊單獨做需天完成，乙隊單獨做需天完成，丙隊單獨做需天完成，依題意，得

①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④

④－①×，得＝，即z＝30，

④－②×，得＝，即x＝10，

④－③×，得＝，即y＝15．

經(jīng)檢驗，x＝10，y＝15，z＝30是原方程組的解．

⑵設(shè)甲隊做一天廠家需付元，乙隊做一天廠家需付元，丙隊做一天廠家需付元，

根據(jù)題意，得

由⑴可知完成此工程不超過工期只有兩個隊：甲隊和乙隊．

此工程由甲隊單獨完成需花錢元；此工程由乙隊單獨完成需花錢元.

所以，由甲隊單獨完成此工程花錢最少．【總結(jié)升華】這是一道聯(lián)系實際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量．對于工期，一般情況下把整個工作量看成1，設(shè)出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工程所需時間分別為天，天，天，可列出分式方程組．在求解時，把，，分別看成一個整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解．中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.已知方程有一個根是，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）A．B．C．D．2．（2015?泰安模擬）方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一個公共根，則a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．33．若方程的兩根為、，則的值為( ).A．3 B．－3 C． D．4．如果關(guān)于x的方程A. B. C. D.35．如圖，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要551米2，則修建的路寬應(yīng)為（）A．1米 B．1.5米C．2米 D．2.5米6．關(guān)于的方程有實數(shù)根，則整數(shù)的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題7．（2015?平房區(qū)二模）方程﹣1=的解為8．關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．9．已知x1=－1是方程的一個根，則m的值為；方程的另一根x2=.10．某市政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品經(jīng)過兩次降價，由每盒72元調(diào)至56元．若每次平均降價的百分率為，由題意可列方程為________．11．若關(guān)于ｘ的方程－１＝０有增根，則ａ的值為.12．當k的值是時，方程=只有一個實數(shù)根.三、解答題13．（2015?寶應(yīng)縣校級模擬）解下列分式方程：（1）；（2）．14.若關(guān)于x的方程－＝只有一個解，試求ｋ值與方程的解．15．某省為解決農(nóng)村飲用水問題，省財政部門共投資20億元對各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予以一定比例的補助．2010年，A市在省財政補助的基礎(chǔ)上投入600萬元用于“改水工程”，計劃以后每年以相同的增長率投資，2012年該市計劃投資“改水工程”1176萬元．（1）求A市投資“改水工程”的年平均增長率；（2）從2010年到2012年，A市三年共投資“改水工程”多少萬元？16.從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計分．題甲：若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）設(shè)，求t的最小值．圖（16）P圖（16）PQDCBA題乙：如圖（16），在矩形ABCD中，P是BC邊上一點，連結(jié)DP并延長，交AB的延長線于點Q．（1）若，求的值；（2）若點P為BC邊上的任意一點，求證．我選做的是_______題．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】將－a代入中，則a2－ab+a=0，則a－b+1=0∴a－b=－1（恒為常數(shù)）.2.【答案】C；【解析】∵方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一個公共根，∴（a+1）x+a+1=0，解得x=﹣1，當x=﹣1時，a=2，故選C．3.【答案】B；【解析】.4.【答案】B；【解析】把方程兩邊都乘以若方程有增根，則x=3,即5+m=3,m=-2.5.【答案】A；【解析】如圖將路平移，設(shè)路寬為x米，可列方程為：（30－x）（20－x）=551，解得：x=1或者x=49（舍去）.6.【答案】C；【解析】由題意得方程有實數(shù)根，則分兩種情況，當a－6=0時，a=6,此時x=，當a－6≠0時，△=b2－4ac≥0，解得a≤，綜合兩種情況得整數(shù)的最大值是8.二、填空題7．【答案】x=；【解析】方程的兩邊同乘2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3，解得x=．檢驗：把x=代入2（3x﹣1）=1≠0．∴原方程的解為：x=．8．【答案】且；【解析】△＞0且m-1≠0.9．【答案】m=－4；x2=5；【解析】由題意得：解得m=－4當m=－4時，方程為解得：x1=－1x2=5所以方程的另一根x2=5.10．【答案】；【解析】平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)11．【答案】－１；【解析】原方程可化為：（ａ－１）ｘ＝－２．∵分式方程有增根,∴ｘ=1把ｘ=1代入整式方程有ａ＝－１.12．【答案】－１，０，３；【解析】原方程可化為：ｘ２＋２ｘ－ｋ＝０當⊿=２２＋４ｋ＝０，即ｋ＝－１時，ｘ１＝ｘ２＝－１當⊿=２２＋４ｋ＞０，即ｋ＞－１時，方程有兩個不等實數(shù)根．由題意可知：①當