湖南省長沙市一中2023學(xué)年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．292．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生，，和名女生，，中各隨機選出兩名，把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（）A． B． C． D．3．在中，為邊上的中線，為的中點，且，，則（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．5．已知為拋物線的焦點，點在上，若直線與的另一個交點為，則()A． B． C． D．6．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．8．已知是圓心為坐標(biāo)原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．9．己知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．610．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．12．若均為任意實數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為．14．已知函數(shù)恰好有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為____15．“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________．16．已知兩個單位向量滿足，則向量與的夾角為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，，點為中點．（1）求證：平面平面；（2）若點為中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．（12分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．（12分）為了加強環(huán)保知識的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設(shè)置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機抽取人，將他們的得分按照、、、、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，，證明：.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【題目詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D【答案點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.2、B【答案解析】

根據(jù)組合知識，計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為，然后計算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【答案點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細心計算，考驗分析能力，屬中檔題.3、A【答案解析】

根據(jù)向量的線性運算可得,利用及，計算即可.【題目詳解】因為,所以，所以，故選：A【答案點睛】本題主要考查了向量的線性運算，向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.4、B【答案解析】

根據(jù)焦點所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點坐標(biāo)求解.【題目詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個焦點為，∴，∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【答案點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯.5、C【答案解析】

求得點坐標(biāo)，由此求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得點坐標(biāo)，進而求得【題目詳解】拋物線焦點為，令，，解得，不妨設(shè)，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【答案點睛】本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、D【答案解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【題目詳解】當(dāng)時，，但，故充分條件推不出；當(dāng)時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【答案點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7、D【答案解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【題目詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2，所以，故選：【答案點睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計算，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.8、C【答案解析】

設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【題目詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當(dāng)時，取得等號.故選：C.【答案點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.9、D【答案解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點，即可求出到的距離．【題目詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【答案點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識，屬于中檔題．10、C【答案解析】

設(shè)，計算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【題目詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【答案點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.11、C【答案解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．12、D【答案解析】

該題可以看做是圓上的動點到曲線上的動點的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動點的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個點應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點的切線垂直的問題來解決，從而求得切點坐標(biāo)，即滿足條件的點，代入求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點與以為圓心，以為半徑的圓上的點的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點，曲線有在點M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點滿足條件，其到圓心的距離為，故其結(jié)果為，故選D.【答案點睛】本題考查函數(shù)在一點處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】試題分析：由題意得，因為拋物線，即，即焦點到準(zhǔn)線的距離為.考點：拋物線的性質(zhì)．14、【答案解析】

恰好有3個不同的零點恰有三個根，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.【題目詳解】解：恰好有3個不同的零點恰有三個根，令，，在遞增；，遞減，遞增，時，在有一個零點，在有2個零點；故答案為：.【答案點睛】已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點也是難點，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.15、【答案解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列，同時它們內(nèi)部也全排列．【題目詳解】第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為．故答案為：1．【答案點睛】本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法．16、【答案解析】

由得，即得解.【題目詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【答案點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和夾角的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析．（2）【答案解析】

（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【題目詳解】（1）因為，所以平面，因為平面，所以．因為，點為中點，所以．因為，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【答案點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）點M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓（2）【答案解析】

（1）設(shè)，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進而得到最終結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)，則由知：點在圓上點的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓（2）設(shè)，由題意知的斜率存在設(shè)，代入得：則，解得：設(shè)，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點的軌跡方程為【答案點睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動點橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，進而通過化簡整理得到結(jié)果；易錯點是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.19、（1）證明見解析；（2）見解析；（3）存在，1.【答案解析】

（1），求出單調(diào)區(qū)間，進而求出，即可證明結(jié)論；（2）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點，若不恒成立，求出的解，即可求出結(jié)論；（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在都存在，不滿足，當(dāng)時，設(shè)，且，只需求出在單調(diào)遞增時的取值范圍即可.【題目詳解】（1），，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，故.（2）由題知，，，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值；②當(dāng)時，，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故在處取得極小值，無極大值.（3）不妨令，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞增，，在恒成立，所以，當(dāng)時，，由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.當(dāng)時，，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.當(dāng)時，設(shè)，因為，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此時的最小值是1.【答案點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.20、（1）（2）【答案解析】

（1）判斷公比不為1，運用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，進而得到所求通項公式；（2）求得，運用數(shù)列的錯位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.【題目詳解】解：（1）設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，可