2020年高考數(shù)學(xué)試題全國Ⅰ卷(理科)(純word版)

2020年高考數(shù)學(xué)試題全國Ⅰ卷理科試題及其解答一、選擇題：（本題有12小題，每小題5分，共60分。）1．(2020全國Ⅰ理)若z=1+i，則|z2-2z|=(D)A.0B.1C.D.22．(2020全國Ⅰ理)設(shè)集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，則a=(B)A.-4B.-2C.2D.43．(2020全國Ⅰ理)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比為(C)A.C.B.D.解析：如圖，設(shè)四棱錐的高為h，底面邊長為a，側(cè)面三角形底邊上的高為b，則4．(2020全國Ⅰ理)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為9,則p=(C)A.-2B.3C.6D.9解析：設(shè)A(x0,y0)，則x0=9，且x0+=12，解得p=6.5．(2020全國Ⅰ理)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，與實驗數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=1,2,…,20）得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是(D)A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx解析：用光滑曲線順次連結(jié)圖中各點，觀察圖象的大致走向，可知此函數(shù)是對數(shù)函數(shù)類型，故選D.6．(2020全國Ⅰ理)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點（1，f(1)）處的切線方程為(B)A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1解析：∵f′(x)=4x3-6x2，∴切線斜率為k=f′(1)=-2.又f(1)=-1，切線方程為y+1=-2(x-1)即y=-2x+1.7．(2020全國Ⅰ理)設(shè)函數(shù)的圖像大致如下圖，則的最小正周期為(C)A.B.C.D.解析：8．(2020全國Ⅰ理)的展開式中的系數(shù)為(C)A.-5B.10C15D.20解析：∴的系數(shù)為5+10=15.9．(2020全國Ⅰ理)已知α∈（0，π），且3cos2α-8cosα=5，則sinα=(A)A.B.C.D.解析：由原式可得3cos2α-4cosα-4=0，解得cosα=-2/3或cosα=2（舍去），又α∈（0，π），∴sinα=10．(2020全國Ⅰ理)已知A,B,C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球O的表面積為(A)/3.A.64πB.48πC.36πD.32π解析：設(shè)AB=a，⊙O1的半徑為r，球O的半徑為R，則πr=4π，∴r=2.11．(2020全國Ⅰ理)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線：2x+y+2=0，P為上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，且切點為A,B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為(D)A.2x-y-4=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0解析：∵⊙M：(x-1)2+(y-1)2=4，∴圓心M(1,1)，半徑r=2.當(dāng)|PM|·|AB|最小時，|PM|有最小值，此時PM⊥，.設(shè)PM⊥AB于D，則∴AB//,∴可設(shè)AB的方程為2x+y+c=0，解得c=1,∴直線AB的方程為2x+y+1=0.方法2：∵⊙M：(x-1)2+(y-1)2=4，∴圓心M(1,1)，半徑r=2.當(dāng)|PM|·|AB|最小時，|PM|有最小值，此時PM⊥，PM的方程為x-2y+1=0,∴可得PM與的交點為P(-1,0)，由此易得直線AB的方程為2x+y+1=0.12．(2020全國Ⅰ理)若2a+log2a=4b+2log4b，則(B)A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2解析：由題設(shè)知a,b均為正數(shù)，且2a+log2a=22b+log2b=22b+log2(2b)-1＜22b+log2(2b).設(shè)函數(shù)f(x)=2x+log2x，則上式等價于f(a)<f(2b).易知f(x)是(0,+∞)的增函數(shù)，∴a<2b，∴答案為B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(2020全國Ⅰ理)若x,y滿足約束條件的最大值為1，則解析：作出可行域如圖，由圖可知，當(dāng)目標函數(shù)對應(yīng)的直線經(jīng)過點A(1,0)時,取最大值1.14．(2020全國Ⅰ理)設(shè)為單位向量，且，則解析：15．(2020全國Ⅰ理)已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點且BF垂直x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為2解析：由題設(shè)可得A(a,0)，F(xiàn)(c,0)，，16．(2020全國Ⅰ理)如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=1，AB=AD=則cos∠FCB=-1/4，AB垂直AC，AB垂直AD，∠CAE=30°，解析：由題設(shè)得BD=AB=，∵D,E,F重合于點P，∴AE=AD=，BF=BD=.在△ACE中，由余弦定理得CE=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=1，∴CE=CF=1.在△BCF中，由余弦定理得三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．(2020全國Ⅰ理)(12分)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項.(1)求{an}的公比；(2)若a1=1，求數(shù)列{nan}的前項和.解析：(1)由題設(shè)得2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，∵a1≠0，∴q2+q-2=0，q=－2或q=1（舍去）.(2)由(1)知，.設(shè)數(shù)列{nan}的前項和為，則18．(2020全國Ⅰ理)(12分)如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，.(1)證明：PA⊥平面PBC.(2)求二面角B-PC-E的余弦值.解析：(1)設(shè)⊙O的半徑為1，則OA=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=AC=，,同理可得，又PB∩PC=P，∴PA⊥平面PBC.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則設(shè)平面PBC的法向量為同理可得平面PCE的法向量為∴二面角B-PC-E的余弦值為.19．(2020全國Ⅰ理)(12分)甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，預(yù)定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首次比賽的兩個人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為(1)求甲連勝四場的概率；.(2)求需要進行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率.解析：(1)甲連勝四場只能是前四場全勝，∴其概率為(2)第一種情況：前三場個負一場：第二種情況：前三場結(jié)束后乙被淘汰（其中甲勝一場），再賽兩場結(jié)束（甲勝或丙勝）：前三場結(jié)束后乙被淘汰（其中甲勝三場），再賽兩場結(jié)束（甲勝或丙勝）：前三場結(jié)束后甲被淘汰（其中乙勝一場），再賽兩場結(jié)束（乙勝或丙勝）：前三場結(jié)束后甲被淘汰（其中乙勝三場），再賽兩場結(jié)束（乙勝或丙勝）：∴需要進行第五場比賽的概率為(3)前三場各負一場：前三場結(jié)束后乙被淘汰（其中甲勝一場），再賽兩場結(jié)束，丙勝：前三場結(jié)束后乙被淘汰（其中甲勝三場），再賽兩場結(jié)束，丙勝：前三場結(jié)束后甲被淘汰（其中乙勝一場），再賽兩場結(jié)束，丙勝：前三場結(jié)束后甲被淘汰（其中乙勝三場），再賽兩場結(jié)束，丙勝：只打四場，前三場結(jié)束后丙連勝兩場（其中甲或乙被淘汰），最后丙勝：∴丙最終獲勝的概率為20．(2020全國Ⅰ理)(12分)已知A,B分別為橢圓的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點.解析：(1)∵A(-a,0)，B(a,0)，G(0,1)，∴=a2-1=8，∴a=3，=(a,1)，=(a,-1)，∴橢圓E的方程為(2)∵A(-3,0)，B(3,0)，設(shè)P(6,m)，則直線PA的方程為，代入得：.∵-3和是以上方程的兩根，∴,,，即.∵直線PB的方程為，代入得：.∵3和是以上方程的兩根，∴,,，即.當(dāng)時，此時直線CD過定點.當(dāng)時，，直線CD也過定點.綜上可知，直線CD恒過定點21．(2020全國Ⅰ理)(12分)已知函數(shù)..(1)當(dāng)(2)當(dāng)時，討論時，的單調(diào)性；，求的取值范圍.解析：(1)當(dāng)時，，?！鄁(x)在(-∞,0)上為減函數(shù)，在(0,+∞)上為增函數(shù).(2)，即，即.當(dāng)x=0時，①式顯然成立.當(dāng)x>0時，①式化為，即.∴在(0,+∞)上為減函數(shù).∴對任意，都有，∴在(0,+∞)上為減函數(shù)，，于是，當(dāng)0<x<2時，為增函數(shù)；當(dāng)x>2時，為減函數(shù)，故綜上，的取值范圍是22．(2020全國Ⅰ理)(選修4-4：坐標系與參數(shù)方程)(10分)在直角坐標系xOy中，曲線x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線(1)當(dāng)k=1時，(2)當(dāng)k=4時，求的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，的極坐標方程為.是什么曲線？與的公共點的直角坐標.解析：(1)當(dāng)k=1時，的參數(shù)方程為普通方程為,它表示以原點為圓心，1為半徑的圓.(2)當(dāng)k=4時，的參數(shù)方程為直角坐標方程.∵∴的直角坐標方程為4x-16y+3