2021年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十三高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2021年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十三高級中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的值域為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A2.設(shè)，若存在使則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.已知圓的方程為，過點(1,2)的該圓的所有弦中，最短弦的長為（）A. B.1 C.2 D.4參考答案：C試題分析：，最短的弦長為，選C.考點：直線與圓位置關(guān)系4.已知集合A到B的映射f：x→y=3x+1，若B中的一個元素為7，則對應(yīng)的A中原像為（）A．22 B．17 C．7 D．2參考答案：D【考點】映射．【分析】由題意和映射的定義得3x+1=7，解此方程即可得出B中的元素7對應(yīng)A中對應(yīng)的元素．【解答】解：由題意，得3x+1=7，解得x=2，則B中的元素7對應(yīng)A中對應(yīng)的元素為2．故選D．5.已知tanθsinθ＜0，且|sinθ+cosθ|＜1，則角θ是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角參考答案：B【考點】象限角、軸線角．【分析】根據(jù)題意可求得cosθ＜0，sinθ＞0，從而可得答案．【解答】解：∵tanθsinθ=?sinθ=＜0，∴cosθ＜0；又|sinθ+cosθ|＜1，∴兩邊平方得：1+2sinθ?cosθ＜1，∴2sinθ?cosθ＜0，而cosθ＜0，∴sinθ＞0，∴角θ是第二象限角．故選B．6.已知集合，，則集合與的關(guān)系是（

）A．=

B．

C．

D．

參考答案：C7.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，那么△ABC一定是(

)A.銳角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形參考答案：C略8.A

-4

B

4

C

-2

D

2參考答案：C略9.已知數(shù)列｛an｝滿足，則＝（）A.9 B.15 C.18 D.30參考答案：C由an＋1－an＝2可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.10.設(shè)集合S={1，2，3}，A與B是S的兩個子集，若AB=S，則稱（A，B）為集合S的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A=B時（A，B）與（B，A）是同一種分拆。那么集合S的不同的分拆種數(shù)是A．8

B．9

C．26

D．27參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.三條直線兩兩平行，則過其中任意兩條直線可確定

▲

個平面．參考答案：1或312.已知方程3x+x=5的根在區(qū)間[k，k+1）（k∈Z），則k的值為．參考答案：1【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】方程3x+x=5的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=3x+x﹣5的零點問題，把區(qū)間端點函數(shù)值代入驗證即可．【解答】解：令f（x）=3x+x﹣5，由y=3x和y=x﹣5均為增函數(shù)，故f（x）=3x+x﹣5在R上為增函數(shù)，故f（x）=3x+x﹣5至多有一個零點，∵f（1）=3+1﹣5＜0f（2）=9+2﹣5＞0∴f（x）=3x+x﹣5在區(qū)間[1，2]有一個零點，即方程方程3x+x=5的解所在區(qū)間為[1，2]，故k=1，故答案為：1【點評】考查方程的根和函數(shù)零點之間的關(guān)系，即函數(shù)零點的判定定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬基礎(chǔ)題．13.將進(jìn)價為8元的商品，按每件10元售出，每天可銷售200件，若每件售價漲價0.5元，其銷售量就減少10件，為使所賺利潤最大，則售價定為 .參考答案：1414.（3分）已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1，則a+b的值為

．參考答案：1考點： 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 首先把函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）轉(zhuǎn)化為頂點式g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，從而確定函數(shù)的對稱軸方程x=1，又因為a＞0，所以x∈[1，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1，所以g（2）=1，g（3）=4，進(jìn)一步建立方程組求的結(jié)果．解答： 函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b轉(zhuǎn)化為：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a∴函數(shù)的對稱軸方程x=1，∵a＞0，∴x∈[1，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1，∴即解得∴a+b=1故答案為：1點評： 本題重點考查的知識點：二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化，單調(diào)性在函數(shù)值中的應(yīng)用，及相關(guān)的運算問題．15.已知函數(shù)f（x）滿足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則++++的值為

．參考答案：30【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】題中條件：f（p+q）=f（p）f（q），利用賦值法得到=2和f（2n）=f2（n），后化簡所求式子即得．【解答】解：由f（p+q）=f（p）f（q），令p=q=n，得f2（n）=f（2n）．原式=+++++=2f（1）++++=10f（1）=30，故答案為：3016.在中，角，，的對邊分別為，，，且，，面積，則______________．參考答案：17.已知扇形的面積為4cm2，扇形的圓心角為2弧度，則扇形的弧長為．參考答案：4cm【考點】弧長公式．【分析】利用扇形的面積求出扇形的半徑，然后由弧長公式求出弧長的值即可得解．【解答】解：設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，扇形的面積為S，則：r2===4．解得r=2，∴扇形的弧長為l=rα=2×2=4cm，故答案為：4cm．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（8分）已知甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；

乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．（1）分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差；（3）根據(jù)計算結(jié)果，估計一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些．參考答案：考點： 極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題： 計算題；概率與統(tǒng)計．分析： （1）根據(jù)平均數(shù)的公式：平均數(shù)=所有數(shù)之和再除以數(shù)的個數(shù)，分別做出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（2）方差就是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，根據(jù)方差公式計算即可，所以計算方差前要先算出平均數(shù)，然后再利用方差公式計算，（3）根據(jù)方差越小，成績越穩(wěn)定，反之也成立，從方差來看乙的方差較小，乙的射擊成績較穩(wěn)定．解答： （1）=（8+6+7+8+6+5+9+10+4+7）=7（環(huán)），=（6+7+7+8+6+7+8+7+9+5）=7（環(huán)）．（2）由方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]可求得S甲2=[（8﹣7）2+（6﹣7）2+…+（7﹣7）2]=3.0（環(huán)2），S乙2=[（6﹣7）2+（7﹣7）2+…+（5﹣7）2]=1.2（環(huán)2）．（3）由S甲=S乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng)；又S甲2＞S乙2，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動大，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定．點評： 本題考查平均數(shù)、方差的定義，方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中程度，求平均數(shù)的方法是所有數(shù)之和再除以數(shù)的個數(shù)．19.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù)．當(dāng)x不超過4（尾/立方米）時，v的值為2（千克/年）；當(dāng)4≤x≤20時，v是x的一次函數(shù)；當(dāng)x達(dá)到20（尾/立方米）時，因缺氧等原因，v的值為0（千克/年）．（1）當(dāng)0＜x≤20時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）f（x）=x?v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；綜合題．【分析】（1）由題意：當(dāng)0＜x≤4時，v（x）=2．當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在[4，20]是減函數(shù)，由已知得，能求出函數(shù)v（x）．（2）依題意并由（1），得f（x）=，當(dāng)0≤x≤4時，f（x）為增函數(shù)，由此能求出fmax（x）=f（4），由此能求出結(jié)果．【解答】解：（1）由題意：當(dāng)0＜x≤4時，v（x）=2．…當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v（x）=ax+b，顯然v（x）=ax+b在[4，20]是減函數(shù)，由已知得，解得…故函數(shù)v（x）=…（2）依題意并由（1），得f（x）=，…當(dāng)0≤x≤4時，f（x）為增函數(shù)，故fmax（x）=f（4）=4×2=8．…當(dāng)4≤x≤20時，f（x）=﹣=﹣=﹣+，fmax（x）=f（10）=12.5．…所以，當(dāng)0＜x≤20時，f（x）的最大值為12.5．當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值約為12.5千克/立方米．…【點評】本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法，考查函數(shù)最大值的求法及其應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)有生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用．20.某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組；第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）若成績大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；（2）設(shè)m，n表示該班某兩位同學(xué)的百米測試成績，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．參考答案：解：（1）由直方圖知，成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)為：50×0.16+50×0.38=27（人），所以該班成績良好的人數(shù)為27人、（2）由直方圖知，成績在[13，14）的人數(shù)為50×0.06=3人，設(shè)為為x，y，z；成績在[17，18]的人數(shù)為50×0.08=4人，設(shè)為A、B、C、D．若m，n∈[13，14）時，有xy，xz，yz共3種情況；若m，n∈[17，18]時，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6種情況；若m，n分別在[13，14）和[17，18]內(nèi)時，

ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD有12種情況、所以，基本事件總數(shù)為3+6+12=21種，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件個數(shù)有12種、∴考點：用樣本的頻率分布估計總體分布；頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式．專題：計算題．分析：（1）利用頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距求出績大于或等于14秒且小于16秒的頻率；利用頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量求出該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)．（2）按照（1）的方法求出成績在[13，14）及在[17，18]的人數(shù)；通過列舉得到m，n都在[13，14）間或都在[17，18]間或一個在[13，14）間一個在[17，18]間的方法數(shù)，三種情況的和為總基本事件的個數(shù)；分布在兩段的情況數(shù)是事件“|m﹣n|＞1”包含的基本事件數(shù)；利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．解答： 解：（1）由直方圖知，成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)為：50×0.16+50×0.38=27（人），所以該班成績良好的人數(shù)為27人、（2）由直方圖知，成績在[13，14）的人數(shù)為50×0.06=3人，設(shè)為為x，y，z；成績在[17，18]的人數(shù)為50×0.08=4人，設(shè)為A、B、C、D．若m，n∈[13，14）時，有xy，xz，yz共3種情況；若m，n∈[17，18]時，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6種情況；若m，n分別在[13，14）和[17，18]內(nèi)時，

ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD有12種情況、所以，基本事件總數(shù)為3+6+12=21種，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件個數(shù)有12種、∴點評：本題考查頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距、考查頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量、考查列舉法求完成事件的方法數(shù)、考查古典概型的概率公式21.已知函數(shù)(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在上，總存在使得成立，求的取值范圍．

參考答案：（1）

…………4分

由，解得：…………6分

，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和…8分

（2）時，，，

…………10分

，解得：

…………12分

略22.已知函數(shù)f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）當(dāng)a=k=1時，求函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)a∈[3，4]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，m]上的最大值為f（m），試求實數(shù)m的取值范圍；（3）當(dāng)a∈[1，2]時，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）對任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）將a=k=1代入函數(shù)，求出函數(shù)y=f（x）+g（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等價于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上遞增，顯然F（x）為分段函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性對每一段函