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文檔簡介
第正弦定理的證明方法
篇一:正弦定理的幾種證明
正弦定理的幾種證明
內(nèi)蒙古赤峰建筑工程學(xué)校遲冰郵編(024400)
正弦定理是解決斜三角形問題及其應(yīng)用問題(測(cè)量)的重要定理,而證明它們的方法很多,展開的思維空間很大,研究它們的證明,有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索活動(dòng)過程,也有利于教師根據(jù)不同的教學(xué)質(zhì)量要求和學(xué)次,進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇。
正弦定理的內(nèi)容:
在ABC中的三邊和三角分別是
a
sinA=b
sinB=c
sinC:a,b,c和A,B,C則:
一向量法
證明:在ABC中做單位向量
iABi(ACCB)
|sinA|i||CB|sinCi
⊥AC,,則:c
sinC
a
sinA
:bsinBa
sinAb
sinBc
sinC同理可證:即正弦定理可證
證明:在ABC中做高線CD,
則在RtADC和RtBDC中
CD=bsinA,
CD=asinB
即bsinA=asinB
a
sinA=b
sinB,同理可證:ac
sinA=sinC,
即正弦定理可證
三外接圓法
證明:做
ABC的外接圓O,過點(diǎn)C連接圓心與圓交于點(diǎn)設(shè)圓的半徑為R
∴CAD為Rt,且bRsinD,且a∠D∠B
∴b2RsinB,即b
sinB2R
同理:ac
sinA2R,sinC2R
∴ac
sinAb
sinBsinCD,連接AD,
四面積法SABC12bcsinA1
2
a
sinAabsinCb
sinB12acsinBc
sinC∴正弦定理可證:
篇二:正弦定理證明
正弦定理的證明解讀克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)曾艷
一、正弦定理的幾種證明方法1.利用三角形的高證明正弦定理(1)當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí),設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,
有CDasinB,CDbsinA。由此,得
a
sinA
b
sinB
,
c
同理可得
c
sinC
b
sinB
,D
B
ba
故有
a
sinA
b
sinB
sinC
.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.
(2)當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí),過點(diǎn)C作AB邊上的高,交AB的延長線于點(diǎn)D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,有CD得
a
sinA
asinCBDasinABC
,CDbsinA。由此,
BD
b
sinABC
,
同理可得
c
sinC
b
sinABC
故有
a
sinA
b
sinABC
c
sinC
.
a
由(1)(2)可知,在ABC中,
b
sinB
sinA
c
sinC
成立.
從而得到:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等,即
a
sinA
b
sinB
c
sinC
.
1’用知識(shí)的最近生長點(diǎn)來證明:
實(shí)際應(yīng)用問題中,我們常遇到問題:
已知點(diǎn)A,點(diǎn)B之間的距|AB|,可測(cè)量角A與角B,需要定位點(diǎn)C,即:
在如圖△ABC中,已知角A,角B,|AB|=c,求邊AC的長b
解:過C作CDAB交AB于D,則
ADccosA
DC
BDtanC
csinAsinCcosC
csinAcosC
sinC
bACADDCccosA
csinAcosC
sinC
c(sinCcosAsinAcosC)
sinC
csinBsinC
推論:
bsinB
csinC
bsinB
csinC
同理可證:
asinA
2.利用三角形面積證明正弦定理
已知△ABC,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,作AD⊥BC,垂足為D.則Rt△ADB中,sinB
1ADAB21
,∴AD=AB·sinB=csinB.
12acsinB12
1
12
∴S△ABC=aAD
2
.同理,可證S△ABC=absinC
2
12c
acsinB
bcsinA.
B
∴S△ABC=absinC
bcsinA
.∴absinc=bcsinA=acsinB,C
sinBb
D
在等式兩端同除以ABC,可得3.向量法證明正弦定理
sinCsinAa
.即
asinA
bsinB
csinC
.
(1)△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC,則j與AB的夾角為90°-A,j與CB的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得ACCBAB,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到j(luò)(ACCB)jAB
由分配律可得ACjCBjAB.B∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A).j∴asinC=csinA.∴
asinA
csinC
.AC
另外,過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90°+C,j與AB的夾角為90°+B,可得
csinC
bsinB
.
(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防止誤解為j與AC的夾角為90°-C,j與AB的夾角為90°-B)∴
asinA
bsinB
csinC
.
(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A>90°,過點(diǎn)A作與AC垂直的單位向量j,則j
A
與AB的夾角為A-90°,j與CB的夾角為90°-C.
CB=j·AB,由ACCBAB,得j·AC+j·j
即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴
asinA
csinC
AB
另外,過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90°+C,j與AB夾角為90°+B.同理,可得4.外接圓證明正弦定理
bsinB
csinC
.∴
asimA
bsinB
csinC
在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圓,O為圓心,
連結(jié)BO并延長交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到
∠BAB′=90°,∠C=∠B′,∴sinC=sinB′=sinCsinB同理,可得
asinA
asinA
2R,
bsinB
2R
c2RcsinC
.2R
csinC
2R
.
.∴
asinA
bsinB
.
這就是說,對(duì)于任意的三角形,我們得到等式
bsinB
csinC
.
二、剖析四種證明方法的本質(zhì)聯(lián)系
雖然正弦定理的有四種證明方法(也可以看成5種,對(duì)于第一種證明方法也可以用向量的形式來表示,可以看成向量CA、向量CB在向量CD方向上的投影相等),雖然每種證明方法都用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)從不同的角度去證明了正弦定理,但是仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)有一條紐帶一直聯(lián)系在正弦定理的各種證明方法之間,可以說每一種證明方法離開這條紐帶都是沒辦法成立的,這條紐帶就是:直角三角形思想。正弦定理的四種證明方法(在正弦定理的第一種證明方法中,用到的就是最基本的通過三角形作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。第二面積法,三角形的面積等于低乘高,也是把一般的三角形問題轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系來研究。第三種向量法用到的也是向量的垂直關(guān)系。第四種外接圓法也借助了直徑所對(duì)的圓周角等于
90
這個(gè)特殊的直角三角形)都是利用了直角三角形;余弦定理的平面幾何證明
方法,也是利用三角形做高轉(zhuǎn)化成直角三角形來證明;在沒學(xué)正余弦定理之前,學(xué)生直接利用初中的知識(shí)來解斜三角形,也是轉(zhuǎn)化成直角三角形來解。從這其中我們可以發(fā)現(xiàn)直角三角形它那不可替代的特殊作用。所以,我覺得正弦定理的四種證明方法的本質(zhì)聯(lián)系就是:直角三角形。
其實(shí),研究正余弦定理就是為了解斜三角形,在沒有正余弦定理之前,我們只能夠解直角三角形。而正弦定理的發(fā)現(xiàn)也是借助于直角三角形,通過直角三角
形邊角的關(guān)系發(fā)現(xiàn)了正弦定理。而我們要證明正弦定理必須得借助已經(jīng)學(xué)過的知識(shí),而在沒有學(xué)習(xí)正余弦定理之前,我們僅能解得就是直角三角形,所以正弦定理的各種證明方法都是通過建立構(gòu)造和解直角三角形的基礎(chǔ)之上,所以正弦定理的各種證明方法都會(huì)或多或少的借助“垂直”的關(guān)系。三、我對(duì)正弦定理證明的一點(diǎn)想法
1、對(duì)于正弦定理的四種證明方法,我認(rèn)為作高法和面積法是學(xué)生比較容易接受的方法,因?yàn)檎叶ɡ淼陌l(fā)現(xiàn)也好,或是初中同學(xué)們對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)也好,對(duì)于一般三角形問題通過作高轉(zhuǎn)化成直角三角形問題是大家都很熟悉的,所以接受起來特別的容易,所以用作高來證明正弦定理是最容易被學(xué)生接受和掌握的方法。而有了作高證明正弦定理的方法以后,要用面積法學(xué)生接受起來也就不會(huì)存在很大的困難,因?yàn)樗械膶W(xué)生都知道,三角形的面積等于低乘高,所以作出三角形的高以后,通過老師的恰當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生很容易就能聯(lián)想到三角形的面積等于低乘高,從而也就較容易接受和掌握面積法證明正弦定理。而對(duì)于向量法證明幾何問題學(xué)生相對(duì)比較生疏,所以不容易馬上聯(lián)想到,那么接受起來也就沒有前面的方法那么容易。所以,我覺得向量法是四種方法中學(xué)生比較不容易聯(lián)想到的一種方法。
2、對(duì)于正弦定理的四種證明方法,沒有必要讓學(xué)生全部掌握,我們可以根據(jù)自己的教學(xué)特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際需要選擇合適的方法即可,但是,不管我們要選擇那一種證明方法,都必須設(shè)置相應(yīng)適合的教學(xué)活動(dòng),讓學(xué)生能夠更能理解定理的證明,并且能夠培養(yǎng)學(xué)生一些分析問題解決問題的能力。下面針對(duì)幾種證明方法談?wù)勎易约旱慕虒W(xué)活動(dòng)上的一些想法。
為了讓學(xué)生能夠理解為什么要通過做高來證明正弦定理,我們可以在講定理之前一個(gè)斜三角形問題,然后引導(dǎo)學(xué)生利用做高轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解。例如:已知ABC中,c10km,A45,B105,求邊b和邊a的長。
學(xué)生通過對(duì)這個(gè)三角形的求解過程會(huì)發(fā)現(xiàn)斜三角形問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形來求解。那么通過直角三角形推導(dǎo)出正弦定理需要證明在銳角三角形和直角三角形中是否成立的時(shí)候,學(xué)生就會(huì)很自然的聯(lián)想到斜三角形可以通過做高轉(zhuǎn)化成直角三角形問題,從而,做高法證明正弦定理就很容的被學(xué)生接受和掌握。而有了做高法做鋪墊,可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到三角形的面積等于低乘高,從而引出面積法證明正弦定理,并能得到三角形ABC的面積
S
12
absinC
12
bcsinA
12acsinB
。
bsinB
csinC
如果要用外接圓法來證明正弦定理,我覺得從特殊的直角三角形入手是一個(gè)比較不錯(cuò)的方法:正弦定理
asinA
等于一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)常數(shù)是
什么呢?它和三角形ABC有什么關(guān)系?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在直角三角形(C=900)中有
asinA
bsinB
csinC
=c,這個(gè)常數(shù)剛好是直角三角形的斜邊,從而可以引導(dǎo)
學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形的斜邊就是其外接圓的直徑,從而引出外接圓法證明余弦定
理,并得到
asinA
bsinB
csinC
2R
對(duì)于要用向量的方法來證明正弦定理,我覺得設(shè)置這樣的幾個(gè)問題可能效果也不錯(cuò)。問題1:在我們學(xué)過的知識(shí)當(dāng)中,還有那些知識(shí)是和長度、角度之間有密切聯(lián)系的?(學(xué)生馬上會(huì)想到向量的數(shù)量積)問題2:在三角形ABC中,如果把三條邊用向量來表示,他們之間會(huì)有什么樣的關(guān)系?(學(xué)生會(huì)聯(lián)想到向量加法的三角形法則)問題3:如何用向量的方法來證明正弦定理呢?(學(xué)生可能不會(huì)馬上想到,那么可以再設(shè)置一個(gè)問題)問題4:從前面學(xué)過的證明方法會(huì)給你什么啟示嗎?(我覺得做高法這個(gè)比較容易接受的方法基本上老師都會(huì)講,所以學(xué)生在做高法的引導(dǎo)下對(duì)于做垂直向量就比較容易接受了),有了這四個(gè)問題做鋪墊,那么對(duì)于利用向量方法來證明正弦定理,學(xué)生接受起來應(yīng)該不會(huì)難。
從教學(xué)實(shí)際上來看,學(xué)生求解更容易讓學(xué)生接受,而且我們可以從知識(shí)的最近生長點(diǎn)(三角變換與解直角三角形)來引入解斜三角形,可能證明1’并不是最簡單的證明,但它扎根于學(xué)生已有的知識(shí),更符合學(xué)生的認(rèn)知水平,而且正弦定理最終是為解三角形實(shí)際問題服務(wù)的,讓學(xué)生從解決實(shí)際問題入手,能培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力,正是基于從這個(gè)角度的思考,在實(shí)際上課的過程中,使用這種方法引入,可能更容易被學(xué)生接受,在實(shí)際操作過程中,我們更傾向于,用1’此入問題,用向量法證明。
以上就是我對(duì)正弦定理的證明的一點(diǎn)想法,我知道很多老師會(huì)有更加深入的理解以及更好的設(shè)計(jì)和想法,所以希望大家能夠給予批評(píng)和指正
篇三:正弦定理的幾種證明方法
正弦定理的幾種證明方法
1.利用三角形的高證明正弦定理(1)當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí),設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,
C
有CDasinB,CDbsinA。由此,得
a
sina
sinA
b
sinB,
同理可得
c
sinC
b
sinB
,A
D
B
b故有
b
sinc
sin.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.
(2)當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí),過點(diǎn)C作AB邊上的高,交AB的延長線于點(diǎn)D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,有CDasinCBDasinABC,CDbsinA。由此,得
a
sinA
b
sinABC,
同理可得
c
sinC.
c
sinC
b
sinABC
a
故有
a
sinA
b
sinABC
由(1)(2)可知,在ABC中,
a
sinA
b
sinB
c
sinC
BD
成立.
從而得到:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等,即
a
sin
b
sin
c
sin.
1’用知識(shí)的最近生長點(diǎn)來證明:
實(shí)際應(yīng)用問題中,我們常遇到問題:
已知點(diǎn)A,點(diǎn)B之間的距|AB|,可測(cè)量角A與角B,需要定位點(diǎn)C,即:
在如圖△ABC中,已知角A,角B,|AB|=c,求邊AC的長b
解:過C作CDAB交AB于D,則
DC
ADccosA
BDcsinAcsinAcosC
sinCtanCsinCcosC
bACADDCccosA
bc
sinBsinC
csinAcosCc(sinCcosAsinAcosC)csinB
sinCsinCsinC
推論:
同理可證:
abc
sinAsinBsinC
2.
利用三角形面積證明正弦定理
已知△ABC,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,作AD⊥BC,垂足為則Rt△ADB
ADA中,sinB∴AB
111
1
∴S△ABC=aADacsinB同理,可證S△ABC=absinC
bcsinA
2222111
∴S△ABC=absinCbcsinAacsinB∴CD
222
sinCsinAsinBabc
在等式兩端同除以ABC,可得即.cabsinAsinBsinC
3.向量法證明正弦定理
(1)△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j垂直于,則j與90°-A,j與的夾角為90°-C
由向量的加法原則可得
B
的夾角為
為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的
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