正弦定理的證明方法

第正弦定理的證明方法

篇一：正弦定理的幾種證明

正弦定理的幾種證明

內(nèi)蒙古赤峰建筑工程學(xué)校遲冰郵編（024400）

正弦定理是解決斜三角形問題及其應(yīng)用問題（測(cè)量）的重要定理，而證明它們的方法很多，展開的思維空間很大，研究它們的證明，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索活動(dòng)過程，也有利于教師根據(jù)不同的教學(xué)質(zhì)量要求和學(xué)次，進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇。

正弦定理的內(nèi)容：

在ABC中的三邊和三角分別是

a

sinA=b

sinB=c

sinC:a,b,c和A,B,C則：

一向量法

證明：在ABC中做單位向量

iABi(ACCB)

|sinA|i||CB|sinCi

⊥AC,，則：c

sinC

a

sinA

:bsinBa

sinAb

sinBc

sinC同理可證：即正弦定理可證

證明：在ABC中做高線CD,

則在RtADC和RtBDC中

CD=bsinA,

CD=asinB

即bsinA=asinB

a

sinA=b

sinB,同理可證：ac

sinA=sinC,

即正弦定理可證

三外接圓法

證明：做

ABC的外接圓O,過點(diǎn)C連接圓心與圓交于點(diǎn)設(shè)圓的半徑為R

∴CAD為Rt,且bRsinD,且a∠D∠B

∴b2RsinB,即b

sinB2R

同理:ac

sinA2R,sinC2R

∴ac

sinAb

sinBsinCD,連接AD,

四面積法SABC12bcsinA1

2

a

sinAabsinCb

sinB12acsinBc

sinC∴正弦定理可證：

篇二：正弦定理證明

正弦定理的證明解讀克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)曾艷

一、正弦定理的幾種證明方法1.利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，

有CDasinB,CDbsinA。由此，得

a

sinA

b

sinB

，

c

同理可得

c

sinC

b

sinB

，D

B

ba

故有

a

sinA

b

sinB

sinC

.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.

（2）當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD得

a

sinA

asinCBDasinABC

，CDbsinA。由此，

BD

b

sinABC

，

同理可得

c

sinC

b

sinABC

故有

a

sinA

b

sinABC

c

sinC

.

a

由(1)(2)可知，在ABC中，

b

sinB

sinA

c

sinC

成立.

從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即

a

sinA

b

sinB

c

sinC

.

1’用知識(shí)的最近生長點(diǎn)來證明：

實(shí)際應(yīng)用問題中，我們常遇到問題：

已知點(diǎn)A，點(diǎn)B之間的距｜AB|，可測(cè)量角A與角B，需要定位點(diǎn)C，即：

在如圖△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求邊AC的長b

解：過C作CDAB交AB于D，則

ADccosA

DC

BDtanC

csinAsinCcosC

csinAcosC

sinC

bACADDCccosA

csinAcosC

sinC

c(sinCcosAsinAcosC)

sinC

csinBsinC

推論：

bsinB

csinC

bsinB

csinC

同理可證：

asinA

2.利用三角形面積證明正弦定理

已知△ABC,設(shè)BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足為D.則Rt△ADB中,sinB

1ADAB21

,∴AD=AB·sinB=csinB.

12acsinB12

1

12

∴S△ABC=aAD

2

.同理,可證S△ABC=absinC

2

12c

acsinB

bcsinA.

B

∴S△ABC=absinC

bcsinA

.∴absinc=bcsinA=acsinB,C

sinBb

D

在等式兩端同除以ABC,可得3.向量法證明正弦定理

sinCsinAa

.即

asinA

bsinB

csinC

.

(1)△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC,則j與AB的夾角為90°-A,j與CB的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得ACCBAB,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到j(luò)(ACCB)jAB

由分配律可得ACjCBjAB.B∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A).j∴asinC=csinA.∴

asinA

csinC

.AC

另外,過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90°+C,j與AB的夾角為90°+B,可得

csinC

bsinB

.

(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防止誤解為j與AC的夾角為90°-C,j與AB的夾角為90°-B)∴

asinA

bsinB

csinC

.

(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A＞90°,過點(diǎn)A作與AC垂直的單位向量j,則j

A

與AB的夾角為A-90°,j與CB的夾角為90°-C.

CB=j·AB,由ACCBAB,得j·AC+j·j

即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴

asinA

csinC

AB

另外,過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90°+C,j與AB夾角為90°+B.同理,可得4.外接圓證明正弦定理

bsinB

csinC

.∴

asimA

bsinB

csinC

在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圓,O為圓心,

連結(jié)BO并延長交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到

∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=sinCsinB同理,可得

asinA

asinA

2R,

bsinB

2R

c2RcsinC

.2R

csinC

2R

.

.∴

asinA

bsinB

.

這就是說,對(duì)于任意的三角形,我們得到等式

bsinB

csinC

.

二、剖析四種證明方法的本質(zhì)聯(lián)系

雖然正弦定理的有四種證明方法（也可以看成5種，對(duì)于第一種證明方法也可以用向量的形式來表示，可以看成向量CA、向量CB在向量CD方向上的投影相等），雖然每種證明方法都用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)從不同的角度去證明了正弦定理，但是仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)有一條紐帶一直聯(lián)系在正弦定理的各種證明方法之間，可以說每一種證明方法離開這條紐帶都是沒辦法成立的，這條紐帶就是：直角三角形思想。正弦定理的四種證明方法（在正弦定理的第一種證明方法中，用到的就是最基本的通過三角形作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。第二面積法，三角形的面積等于低乘高，也是把一般的三角形問題轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系來研究。第三種向量法用到的也是向量的垂直關(guān)系。第四種外接圓法也借助了直徑所對(duì)的圓周角等于

90

這個(gè)特殊的直角三角形）都是利用了直角三角形；余弦定理的平面幾何證明

方法，也是利用三角形做高轉(zhuǎn)化成直角三角形來證明；在沒學(xué)正余弦定理之前，學(xué)生直接利用初中的知識(shí)來解斜三角形，也是轉(zhuǎn)化成直角三角形來解。從這其中我們可以發(fā)現(xiàn)直角三角形它那不可替代的特殊作用。所以，我覺得正弦定理的四種證明方法的本質(zhì)聯(lián)系就是：直角三角形。

其實(shí)，研究正余弦定理就是為了解斜三角形，在沒有正余弦定理之前，我們只能夠解直角三角形。而正弦定理的發(fā)現(xiàn)也是借助于直角三角形，通過直角三角

形邊角的關(guān)系發(fā)現(xiàn)了正弦定理。而我們要證明正弦定理必須得借助已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，而在沒有學(xué)習(xí)正余弦定理之前，我們僅能解得就是直角三角形，所以正弦定理的各種證明方法都是通過建立構(gòu)造和解直角三角形的基礎(chǔ)之上，所以正弦定理的各種證明方法都會(huì)或多或少的借助“垂直”的關(guān)系。三、我對(duì)正弦定理證明的一點(diǎn)想法

1、對(duì)于正弦定理的四種證明方法，我認(rèn)為作高法和面積法是學(xué)生比較容易接受的方法，因?yàn)檎叶ɡ淼陌l(fā)現(xiàn)也好，或是初中同學(xué)們對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)也好，對(duì)于一般三角形問題通過作高轉(zhuǎn)化成直角三角形問題是大家都很熟悉的，所以接受起來特別的容易，所以用作高來證明正弦定理是最容易被學(xué)生接受和掌握的方法。而有了作高證明正弦定理的方法以后，要用面積法學(xué)生接受起來也就不會(huì)存在很大的困難，因?yàn)樗械膶W(xué)生都知道，三角形的面積等于低乘高，所以作出三角形的高以后，通過老師的恰當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生很容易就能聯(lián)想到三角形的面積等于低乘高，從而也就較容易接受和掌握面積法證明正弦定理。而對(duì)于向量法證明幾何問題學(xué)生相對(duì)比較生疏，所以不容易馬上聯(lián)想到，那么接受起來也就沒有前面的方法那么容易。所以，我覺得向量法是四種方法中學(xué)生比較不容易聯(lián)想到的一種方法。

2、對(duì)于正弦定理的四種證明方法，沒有必要讓學(xué)生全部掌握，我們可以根據(jù)自己的教學(xué)特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際需要選擇合適的方法即可，但是，不管我們要選擇那一種證明方法，都必須設(shè)置相應(yīng)適合的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生能夠更能理解定理的證明，并且能夠培養(yǎng)學(xué)生一些分析問題解決問題的能力。下面針對(duì)幾種證明方法談?wù)勎易约旱慕虒W(xué)活動(dòng)上的一些想法。

為了讓學(xué)生能夠理解為什么要通過做高來證明正弦定理，我們可以在講定理之前一個(gè)斜三角形問題，然后引導(dǎo)學(xué)生利用做高轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解。例如：已知ABC中，c10km，A45，B105，求邊b和邊a的長。

學(xué)生通過對(duì)這個(gè)三角形的求解過程會(huì)發(fā)現(xiàn)斜三角形問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形來求解。那么通過直角三角形推導(dǎo)出正弦定理需要證明在銳角三角形和直角三角形中是否成立的時(shí)候，學(xué)生就會(huì)很自然的聯(lián)想到斜三角形可以通過做高轉(zhuǎn)化成直角三角形問題，從而，做高法證明正弦定理就很容的被學(xué)生接受和掌握。而有了做高法做鋪墊，可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到三角形的面積等于低乘高，從而引出面積法證明正弦定理，并能得到三角形ABC的面積

S

12

absinC

12

bcsinA

12acsinB

。

bsinB

csinC

如果要用外接圓法來證明正弦定理，我覺得從特殊的直角三角形入手是一個(gè)比較不錯(cuò)的方法：正弦定理

asinA

等于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)是

什么呢？它和三角形ABC有什么關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在直角三角形（C=900）中有

asinA

bsinB

csinC

=c，這個(gè)常數(shù)剛好是直角三角形的斜邊，從而可以引導(dǎo)

學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形的斜邊就是其外接圓的直徑，從而引出外接圓法證明余弦定

理，并得到

asinA

bsinB

csinC

2R

對(duì)于要用向量的方法來證明正弦定理，我覺得設(shè)置這樣的幾個(gè)問題可能效果也不錯(cuò)。問題1：在我們學(xué)過的知識(shí)當(dāng)中，還有那些知識(shí)是和長度、角度之間有密切聯(lián)系的？（學(xué)生馬上會(huì)想到向量的數(shù)量積）問題2：在三角形ABC中，如果把三條邊用向量來表示，他們之間會(huì)有什么樣的關(guān)系？（學(xué)生會(huì)聯(lián)想到向量加法的三角形法則）問題3：如何用向量的方法來證明正弦定理呢？（學(xué)生可能不會(huì)馬上想到，那么可以再設(shè)置一個(gè)問題）問題4：從前面學(xué)過的證明方法會(huì)給你什么啟示嗎？（我覺得做高法這個(gè)比較容易接受的方法基本上老師都會(huì)講，所以學(xué)生在做高法的引導(dǎo)下對(duì)于做垂直向量就比較容易接受了），有了這四個(gè)問題做鋪墊，那么對(duì)于利用向量方法來證明正弦定理，學(xué)生接受起來應(yīng)該不會(huì)難。

從教學(xué)實(shí)際上來看，學(xué)生求解更容易讓學(xué)生接受，而且我們可以從知識(shí)的最近生長點(diǎn)（三角變換與解直角三角形）來引入解斜三角形，可能證明1’并不是最簡單的證明，但它扎根于學(xué)生已有的知識(shí)，更符合學(xué)生的認(rèn)知水平，而且正弦定理最終是為解三角形實(shí)際問題服務(wù)的，讓學(xué)生從解決實(shí)際問題入手，能培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力，正是基于從這個(gè)角度的思考，在實(shí)際上課的過程中，使用這種方法引入，可能更容易被學(xué)生接受，在實(shí)際操作過程中，我們更傾向于，用1’此入問題，用向量法證明。

以上就是我對(duì)正弦定理的證明的一點(diǎn)想法，我知道很多老師會(huì)有更加深入的理解以及更好的設(shè)計(jì)和想法，所以希望大家能夠給予批評(píng)和指正

篇三：正弦定理的幾種證明方法

正弦定理的幾種證明方法

1.利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，

C

有CDasinB,CDbsinA。由此，得

a

sina

sinA

b

sinB，

同理可得

c

sinC

b

sinB

，A

D

B

b故有

b

sinc

sin.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.

（2）當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CDasinCBDasinABC，CDbsinA。由此，得

a

sinA

b

sinABC，

同理可得

c

sinC.

c

sinC

b

sinABC

a

故有

a

sinA

b

sinABC

由(1)(2)可知，在ABC中，

a

sinA

b

sinB

c

sinC

BD

成立.

從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即

a

sin

b

sin

c

sin.

1’用知識(shí)的最近生長點(diǎn)來證明：

實(shí)際應(yīng)用問題中，我們常遇到問題：

已知點(diǎn)A，點(diǎn)B之間的距｜AB|，可測(cè)量角A與角B，需要定位點(diǎn)C，即：

在如圖△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求邊AC的長b

解：過C作CDAB交AB于D，則

DC

ADccosA

BDcsinAcsinAcosC

sinCtanCsinCcosC

bACADDCccosA

bc

sinBsinC

csinAcosCc(sinCcosAsinAcosC)csinB

sinCsinCsinC

推論：

同理可證：

abc

sinAsinBsinC

2.

利用三角形面積證明正弦定理

已知△ABC,設(shè)BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足為則Rt△ADB

ADA中,sinB∴AB

111

1

∴S△ABC=aADacsinB同理,可證S△ABC=absinC

bcsinA

2222111

∴S△ABC=absinCbcsinAacsinB∴CD

222

sinCsinAsinBabc

在等式兩端同除以ABC,可得即.cabsinAsinBsinC

3.向量法證明正弦定理

(1)△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j垂直于,則j與90°-A,j與的夾角為90°-C

由向量的加法原則可得

B

的夾角為

為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的