常微分方程課后包括

常微分方程課后包含答案常微分方程課后包含答案105/105常微分方程課后包含答案常微分方程課后答案常微分方程1.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分別得122cex把x0,y1代入得dy2xdx,兩邊同時積分得：lnyxc,即yy2c1,故它的特解為yex。并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分別得：1dx1當y時，兩邊同時積分得；lnx11c,即y1x2dy,0yclnx11y當y時顯然也是原方程的解。當x時，代入式子得c1,故特解是00,y1y1。1ln1x3解：原式可化為：常微分方程課后答案1y22dy11y0,故分別變量得y13dxdxy3顯然y2dyxx1yxx1122222兩邊積分得2ln1ylnx2ln1xlnc(c0),即(1y)(1x)cx故原方程的解為（1y222）x)cx(1：(1y)xdy04(1x)ydx解：由y0或x是方程的解，當時，變量分別1x1yxy兩邊積分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解為lnxyxyc;y0;x0.常微分方程課后答案5:(yx)dy(yx)dx0dyyx,令ydyudu解：yxxu,yux,xdxdxdx則uxduu1,變量分別，得：u1du1dxdxu12xu11兩邊積分得：2。arctgu2ln(1u)lnxc：dyy226xxydx解：令yu,yux,dyuxdu,則原方程化為：xdxdxdux2(1u2),分別變量得：1dusgnx1dxdxx2x1u兩邊積分得：sgnxlnxcarcsinu代回原來變量，得arcsinysgnxlnxc2x別的，yx2也是方程的解。：ctgxdy07tgydx解：變量分別，得：ctgydytgxdx兩邊積分得：lncosxc.lnsiny28:dyey3xdxy解：變量分別，得ydy13xc23eey9:x(lnxlny)dyydx0解：方程可變?yōu)椋簂nydyydx0xx令uy1x,則有：dxx代回原變量得：cydyxy：edx

lnudlnulnulny。xyx解：變量分別edyedxyx兩邊積分eec常微分方程課后答案dy

xydxeyx解：變量分別，edyedxyx兩邊積分得：eecdy211.(xy)dx解：令xyt,則dydt1dxdx原方程可變?yōu)椋篸t11dx2t變量分別得：1dtdx,兩邊積分arctgtxc2t1代回變量得：arctg(xy)xc12．解令xyt，則dydt，原方程可變?yōu)閐t11dxdx1dxt2變量分別t2dt，兩邊積分tarctgtxc，代回變量t21dxxyarctg(xy)xcdy2xy113.x2y1dx解：方程組2xy10,x2y10;的解為x1,y133令xX1,yY1,則有dY2XY'33dXX2Y令YU，則方程可化為：XdU22U2U2XdX12U變量分別常微分方程課后答案dyxy514,xy2dx解：令xy5t,則dy1dt,dxdx原方程化為：dtt,變量分別(t7)dt7dx1dxt7127t7xc兩邊積分2t代回變量1(xy27(xy5)7xc.5)215．解：方程化為dyx22x116y28y18xy1(x4y1)22dxdydu，所以1du9，令1x4y，則關于求導得14u2uxdxdx4dx4分別變量1du，兩邊積分得arctg(2286x，是4u29333原方程的解。16．解：，這是齊次方程，令17.解：原方程化為令方程組則有常微分方程課后答案令當當別的y2x22，或y2x2，包含在其通解中，故原方程的解為y2x2(y2x22)5c證明方程xdy經(jīng)變換xyu可化為變量分別方程，并由此求解以下方程18.ydxf(xy)（）22)dxxdy1.y(1xy(2).xdy2x2y2ydx2x2y2證明：由于xyu,關于x求導導得yxdydy,所以xdyduy1duduudxdx1dxdx1f(u),(f(u)1)(uf(u)u)得：y(f(u)1)xxydxdx故此方程為此方程為變程。解(1):當x0或y0是原方程的解，當xy0s時，方程化為xdy221xyydx令xyu,則方程化為du1(2u3),變量分別得：du31dxdxxu2uux22y兩邊同時積分得：u2c4,即c2,y0也包含在此通解中。x2xu2x2y22故原方程的解為原yc2,x0.2y2xx2u2解(2)令xy，則原方程化為du12u)14udx2u2x2u2u2xx2y2分別變量得21，兩邊積分得lny，這也就是方程的解。xx44u19.已知f(x).解：設f(x)=y,則原方程化為兩邊求導得常微分方程課后答案y3dy;;;;;;;;;;dx1;;;;;;;;;;;;兩邊積分得xc11;;;;;所以y1dxy3dy2y22xc1x1把y代入f(x)dt2xcy0x0

12xc;;;;;;;;;;(2xcc)得0,所以12tc2x20.求擁有性質(zhì)x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x’(0)存在。解：令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。所以x(0)=0.x’(t)=)兩邊積分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]當t=0時x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]常微分方程課后答案習題求以下方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=ce-()是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e(e)常微分方程課后答案=e()e()是原方程的解。4．，n為常數(shù).解：原方程可化為：nndxdxyex(exxnexdxc)是原方程的解.5．+=解：原方程可化為：=-()(lnx21)lnx21xdxc)e2(e=是原方程的解.6．解：=+常微分方程課后答案令則=u所以：=du1dxu2u2dudx1u3xc3*）將帶入（*）中得：是原方程的解.常微分方程課后答案7.dy2y(x1)3dxx1dy2y(x3解：x11)dxP(x)x2,Q(x)(x1)31P(x)dx2dx(x1)2eex1方程的通解為：y=eP(x)dxeP(x)dxQ(x)dxc)(=(x+1)(213(x2*(x+1)dx+c)1)=(x+1)(2(x+1)dx+c)=(x+1)2((x1)2c)2即：2y=c(x+1)2+(x+1)4為方程的通解。8.dy=xydxy3dxx+y31xy2解：yydyP(y)=1,Q(y)y2yeP(y)dy1dyeyy方程的通解為：x=eP(y)dyP(y)dy(eQ(y)dyc)=y(1*y2dyc)y=y3cyy32即x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。2常微分方程課后答案dyayx1為常數(shù)xdxx解：（a,Q(x)x1Px)xxP(x)dxadxxaeexP(x)dxP(x)dx方程的通解為：y=e(eQ(x)dxc)=xa(1x+1dx+c)xax當a時，方程的通解為0y=x+ln/x/+c當a1時，方程的通解為y=cx+xln/x/-1當a01，時，方程的通解為y=cxa+x-11-aa10.xdyyx3dxdy13解：yxdxxP(x)1,Q(x)x3xP(x)dx1dxeex

1x方程的通解為：y=eP(x)dxP(x)dx(eQ(x)dxc)1(x*x3dxc)x=x3c4x方程的通解為：y=x3c4x常微分方程課后答案dyxyx3y3dxdyxy3y3解：xdx兩邊除以y3dyxy2x3y3dxdy-22(xy2x3)dxy2zdz2(xzx3)dxP(x)2x,Q(x)2x3epxe2xdx2dxex方程的通解為：z=pxepxc)edx(dxQ(x)dx=ex2(ex2(2x3)dxc)=x2cex21故方程的通解為：y2(x2cex2且0也是方程的解。1)1,y12.(ylnx2)ydxxdycx2lnx1424解：dylnxy22ydxxx兩邊除以y2dylnx2y1y2dxxxdy1lnx2y1dxxxy1dz2zdxx

zlnxxP(x)2,Q(x)lnxxx方程的通解為：zP(x)dxP(x)dxc)e(eQ(x)dxz2dx2dxlnx)dxc)x2(1(lnx)dxc)ex(ex(xx2xcx2lnx1424方程的通解為:y(cx2lnx1)1,且y=0也是解。424常微分方程課后答案132xydy(2y2x)dxdy2y2xy1dx2xyx2y這是n=-1時的xx方程。兩邊同除以，ydyy21dxx2令dz2y212z1dxxxP(x)=Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式2dx2dxzex(exdxc)=y2xx2c14兩邊同乘以令常微分方程課后答案這是n=2時的xx方程。兩邊同除以令dT1dzdT3T1dxz2dxdxxx2P（x）=Q(x)=由一階線性方程的求解公式3dx3dxTex(x21exdxc)==z(1x1cx3)12ey(1x1cx3)121x2eyceyx321x2x3eyc215dxyxy3x3dy這是n=3時的xx方程。兩邊同除以常微分方程課后答案令=P(y)=-2yQ(y)=由一階線性方程的求解公式ze2ydy2ydy(2y3edyc)==x2(y21cey2)1x2ey221cey2y2(y)eey2(1x2x2y2)cx216y=+dyxey(x)dyyexdxP(x)=1Q(x)=由一階線性方程的求解公式1dx1dxye(exedxc)==ex(xc)exxex(xc)dx0常微分方程課后答案c=1y=設函數(shù)(t)于∞<t<∞上連續(xù)，(0)存在且滿足關系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或（1）當時即∞,∞)當時====于是變量分別得積分由于，即t=0時1=c=1故試證：1）一階非齊線性方程（2.28）的任兩解之差必為相應的齊線性方程（2.3）之解；常微分方程課后答案2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，則方程（2.28）的通xx為，其中為任意常數(shù).3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.證明：（2.28）2.3）1）設，是（）的任意兩個解則（1）2）（1）-（2）得dy1y2P(x)(y1y2)dx即是滿足方程（2.3）所以，命題建立。（2）由題意得：3）4）常微分方程課后答案1）先證是（2.28）的一個解。于是得cdydyP(x)yQ(x)dxcP(x)ydxd(cyy)y)Q(x)dxP(x)(cy故是（2.28）的一個解。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式設是(2.28)的一個解則（4’）于是（4’）-（4）得d(y1y)dxP(x)(y1y)從而即所以，命題建立。3）設，是（）的任意兩個解則（5）常微分方程課后答案6）于是（5）得即其中為任意常數(shù)也就是滿足方程（2.3）5）（6）得dy3dy4P(x)y3P(x)y4dxdx即也就是滿足方程（2.3）所以命題建立。試建立分別擁有以下性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。5）曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方；6）曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標和縱坐標的等差中項；解：設為曲線上的任一點，則過點曲線的切線方程為Yyy'(Xx)從而此切線與兩坐標軸的交點坐標為常微分方程課后答案即橫截距為，縱截距為。由題意得：（5）方程變形為xdyyx2dxdy1yxdxx于是lnx(lxnc)e(xe)dxx((1dxc)x)xx((x1)dxc)xx(xc)x2cx所以，方程的通解為。（6）方程變形為dyyxx22dxdy1y1dx2x2常微分方程課后答案于是1lnx(11lnxc)e2()e2dx21112x2(()xdxc)211x1x2((2)dxc)211x2(x2c)1x2cx所以，方程的通解為。22．求解以下方程。1）解：xdx1xdxyex2ex211(2c)x1===2）常微分方程課后答案dyysin2xdxsinxcosxcosxP(x)=Q(x)=由一階線性方程的求解公式1sin2x1dxdxyesinxcosx(esinxcosxdxc)cosx===習題1、考據(jù)以下方程是適合方程，并求出方程的解。常微分方程課后答案1.解：，=1.則所以此方程是適合方程。湊微分，得：2．解：，..所以此方程為適合方程。湊微分，得3．解：N2x(xy)22x2(xy)2xyx(xy)4(xy)3.常微分方程課后答案所以此方程是適合方程。（1）（2）對（1）做的積分，則=（3）對（3）做的積分，則==則(y)(11)dylnyyyuy2lnxlnyyy2xyy2yxyyylnxylnxyxxx故此方程的通解為4、解：，..則此方程為適合方程。常微分方程課后答案湊微分，3d(x2y2)d(x4)d(x3)0得：5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0解：M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以，=，故原方程為適合方程由于sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x-)=0故所求的解為sin-cos+x-=C求以下方程的解：6．2x(y-1)dx+dy=0解：=2x,=2x所以，=，故原方程為適合方程常微分方程課后答案2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解為y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，de(x-2x+2)+d(xy)=0d[e(x-2x+2)+xy]=0故方程的解為e(x-2x+2)+xy=C8.2xydx+(x+1)dy=0解：2xydx+xdy+dy=0d(xy)+dy=0d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C9、解：兩邊同除以得常微分方程課后答案即，故方程的通解為10、解：方程可化為：即，故方程的通解為：即：同時，y=0也是方程的解。11、解：方程可化為：即：故方程的通解為：12、解：方程可化為：yddx故方程的通解為：即：13、常微分方程課后答案解：這里，方程有積分因子兩邊乘以得：方程是適合方程故方程的通解為：x3x3yc3即：14、解：這里由于故方程的通解為：即：15、解：這里方程有積分因子：兩邊乘以得：方程為適合方程故通解為：常微分方程課后答案即：16、解：兩邊同乘以得：4x3y2dx2x4ydy3x2y5dx5x3ydy0dx4y2dx3y50故方程的通解為：17、試導出方程擁有形為和的積分因子的充要條件。解：若方程擁有為積分因子，（是連續(xù)可導）MMNNyxxyMN(MN)yxyx令.，，，常微分方程課后答案方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，此時，積分因子為.令，MxdNyd(NM)dzdzxy(MxNy)d(NM)dzxyNMdxyMxNy此時的積分因子為設及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.:必要性若該方程為線性方程,則有,此方程有積分因子,只與相關.充分性若該方程有只與相關的積分因子.則為適合方程,從而,,常微分方程課后答案.其中.于是方程可化為即方程為一階線性方程.20.設函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0=uf+uy+yf=+-yf====ug+ux+xg=+-xg==故=，所以u是方程得一個積分因子21．假設方程（2.43）xx函數(shù)M（x,y）N(x,y)滿足關系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程（）常微分方程課后答案有積分因子u=exp(+)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即證u+M=u+Nu(-)=N-Mu(-)=Nef(x)-Meg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y))由已知條件上式恒建立，故原命題得證。22、求出xx方程的積分因子.解：已知xx方程為：兩邊同乘以，令，線性方程有積分因子：，故原方程的積分因子為：，證畢！23、設是方程的積分因子，從而求得可微函數(shù)，使得試證也是方程的積分因子的充要條件是其中是的可微函數(shù)。證明：若，則又常微分方程課后答案即為的一個積分因子。24、設是方程的兩個積分因子，且常數(shù)，求證（任意常數(shù)）是方程的通解。證明：由于是方程的積分因子所認為適合方程即，下面只需證的全微分沿方程xx為零事實上：21dxd1x221dxM2xNy

1dy12dx2dyyxy22dx12dxM2dxxNy22dxN1M12N2M21N2xyxy2dx12MN12MN0N2yxyx2即當時，是方程的解。證畢！習題常微分方程課后答案求解以下方程1、解：令，則，從而，于是求得方程參數(shù)形式得通解為.2、解：令，則，即，從而t312t12dtct2t4t12dtct，于是求得方程參數(shù)形式得通解為.3、解：令，則，從而常微分方程課后答案12pepp2epdpcp=，于是求得方程參數(shù)形式的通解為,別的，y=0也是方程的解.4、,為常數(shù)解：令，則，從而4acos2dc4a1cos2c2，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.5、1解：令，則，從而cos2tdtc1cos2tdtc2，常微分方程課后答案于是求得方程參數(shù)形式的通解為.6、解：令，則，得，所以，從而，于是求得方程參數(shù)形式的通解為，所以方程的通解為.習題2．解：兩邊同除以，得：ydxxdyydyx2dy1y2cx2即4．解：兩邊同除以，得常微分方程課后答案ydyxdxy1x令則即獲取，即別的也是方程的解。6．解：ydxxdyy2xdx獲取即別的也是方程的解。8.常微分方程課后答案解：令則：即獲取故即別的也是方程的解。10．解：令即而故兩邊積分獲取y1p2lnpc2所以原方程的解為，。12.解：令常微分方程課后答案則dydu1xeu1dxdx即eu1x2c2故方程的解為exy1x2c214．解：令則那么dudxu1求得：故方程的解為或可寫為16．解：令則常微分方程課后答案x11du2u1udx1du1dxu2u1x12u11cux1`即方程的解為18．解：將方程變形后得dy4x2y2dx2x3y1dx2x3y1x1dy4x2y22y4x2y2同除以得：令則3y23zcy22即原方程的解為19.X(解：方程可化為2y(令常微分方程課后答案27.解：令，，則，，，兩邊積分得即為方程的通解。別的，，即也是方程的解。28.解：兩邊同除以，方程可化為：dyy2xy(y2x2)dxx令，則xduuu2ux2(u2x2x2)dx即，du2x3dxu3u(111)du2x3dx2(u1)2(u1)u常微分方程課后答案兩邊積分得即為方程的解。29.解：令，則，，那么即兩邊積分得即為方程的解。30.解：方程可化為d(x4x2)(y3dx2x2dy3)d(y6y3)0兩邊積分得即為方程的解。常微分方程課后答案31.解：方程可化為兩邊同除以，得即令，，則dcosdctg0即兩邊積分得將代入得，即故32.解：方程可化為兩邊同加上，得（*）再由，可知）常微分方程課后答案將（*）/（）得即整理得兩邊積分得即別的，也是方程的解。求一曲線，使其切線在縱軸上之截距等于切點的橫坐標。解：設為所求曲線上的任一點，則在點的切線在軸上的截距為：xdydx由題意得即也即兩邊同除以，得即即為方程的解。常微分方程課后答案摩托艇以5米/秒的速度在靜水運動，全速時停止了發(fā)動機，過了20秒鐘后，艇的速度減至米/秒。確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。假設水的阻力與艇的運動速度成正比率。解：，又，由此mdv

k1vdt即其中，解之得lnvktc又時，；時，。故得，從而方程可化為當時，有米/秒即為所求的確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動，趕忙度等于零的時辰起，有一個和時間xx（比率系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點又碰到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度xx（比率系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點的速度與時間的關系。常微分方程課后答案解：由物理知識得：依照題意：故：即：式為一階非齊線性方程，依照其求解公式有Vek2dtk2dtm(k1temdtc)mek2tk1k2tmk1k2tc)m(tem2emk2k2又當t=0時，V=0，故c=所以，此質(zhì)點的速度與時間的關系為：解以下的xx提方程（1）解：原方程可轉(zhuǎn)變?yōu)椋河^察獲取它的一個特解為：，設它的任意一個解為，代入（*）式獲?。河桑ǎ?（*）得：變量分別得：常微分方程課后答案兩邊同時積分：即：故原方程的解為2）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個特解為，設它的任意一個解為，故dz(2sinx2sinx)zz2z2dx變量分別再兩邊同時積分得：即故原方程的解為3）解：原方程可化為：由觀察獲取，它的一個特解為，設它的任一個解為，故，該式是一個的xx方程兩邊同除以獲?。杭矗?，令，則：，依照一階非齊線性方程的求解公式得：常微分方程課后答案1dx1dxuex(exdxc)x(cen|x|)故：所以：原方程的解為：4）解：原方程可化為：由觀察獲取，它的一個特解為，設它的任一個解為，于是，這是的xx方程兩邊同除以獲?。杭矗簞t：即：故：原方程的解為：5）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個特解為，故設它的任一個解為，于是，這是的xx方程常微分方程課后答案兩邊同除以獲?。杭矗簞t：故：原方程的解為：，即.6）解：原方程可化為：由觀察獲取它的一個特解為，設它的任一個解為，于是，這是的xx方程兩邊同除以獲取：即：則：從而：故原方程的解為：即：7）解：由觀察獲取它的一個特解為，故設它的任一個解為，于是常微分方程課后答案，這是n=2的佰努利方程，兩邊同除以得：即：從而：ex(xexc)xcex故原方程的解為：習題求方程=x+y經(jīng)過點(0,0)的第三次近似解；解：取1(x)y0xy02)dxx1x2(xxdx0022(x)y0[x(x)]dx[x1x21x511x2x0022203(x)y0[x(1x21x0220=2求方程=x-y經(jīng)過點(1,0)的第三次近似解；解：令常微分方程課后答案則2(x)y0[x12(x)]dxx[x(1x2)2]dx1x21x5x002220xyx1x21x52dxx3()0[(220)]0=3題求初值問題：R：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計；解：由于M=max{}=4則h=min(a,)=則解的存在區(qū)間為==令=0;=y+dx=x+;=y+dx=x+=L則：誤差估計為：=常微分方程課后答案4題談論方程：在怎樣的地域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求經(jīng)過點（0，0）的所有解；解：由于=在yxx存在且連續(xù)；而在上連續(xù)由有：=（x+c）又由于y(0)=0所以：=x別的y=0也是方程的解；故方程的解為：=y=0;6題證明格朗瓦耳不等式：設K為非負整數(shù)，f(t)和g(t)為區(qū)間上的連續(xù)非負函數(shù)，常微分方程課后答案且滿足不等式：f(t)k+,則有：f(t)kexp(),證明：令R（t）=,則(T)=f(t)g(t)(T)-R(t)g(t)=f(t)g(t)-R(t)g(t)kg(t)(T)-R(t)g(t)kg(t);兩邊同乘以exp(-)則有：exp(-)-R(t)g(t)exp(-)kg(t)exp(-)兩邊從到t積分：R(t)exp(-)-exp(-)dsR(t)exp(-)dsf(t)1k+R(t)k+kexp(-)dsk(1-1+exp(-)=kexp()f(t)k;常微分方程課后答案7題假設函數(shù)f(x,y)于（x,y）的領域內(nèi)是y的不增函數(shù)，試證方程=f(x,y)滿足條件y(x)=y的解于xx一側(cè)最多只有一個解；證明：假設滿足條件y(x)=y的解于xx一側(cè)有兩個(x),(x)則滿足：(x)=y+dx(x)=y+dx不如假設(x)(x)，則(x)-(x)0(x)-(x)=dx-dx=dx又由于f(x,y)在（x,y）的領域內(nèi)是y的增函數(shù)，則：f(x,(x))-f(x,(x))0(x)-(x)=dx0(x)-(x)0所以(x)-(x)=0，即(x)=(x)則原命題方程滿足條件y(x)=y的解于xx一側(cè)最多常微分方程課后答案只有一個解；習題1．Proof若（1）建立則及，，使當|y0||y(x,x0,y0)|時，初值問題的解滿足對所有有,由解關于初值的對稱性，（3，1）的兩個解及都過點，由解的存在唯一性，當時故若（2）建立，取定，則，，使當|y(x,x0,y0)|1時,對所有有|y(x,x0,y0)|因初值問題的解為，由解對初值的連續(xù)依賴性，常微分方程課后答案對以上，，使當時對所有有|y(x,x0,y0)|min{,1}而當時，因|y(x,x0,y0)|min{,1}1故這樣證了然對所有有|y(x,x0,y0)|2．Proof：因及都在G內(nèi)連續(xù)，從而在G內(nèi)關于滿足局部Lipschitz條件，所以解在它的存在范圍內(nèi)關于是連續(xù)的。設由初值和足夠?。┧_定的方程解分別為，即，于是y0x(f(x,)f(x,))dxx0常微分方程課后答案y0xf(x,()))dx01x0y(因及、連續(xù)，所以f(x,())f(x,)yr1y這里擁有性質(zhì)：當時，；且當時，所以對有1x(f(x,)r1)dxy0x0yy0即是初值問題dz

f(x,

)dy

[

y

r1]zz(x0)

1z0的解，在這里看作參數(shù)0顯然，當時，上述初值問題依舊有解。依照解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理，知是的連續(xù)函數(shù)，從而存在limy0y0y00而是初值問題dzf(x,)zdxyz(x0)1常微分方程課后答案的解，不難求解fxy0expx0f(x,)dxy它顯然是的連續(xù)函數(shù)。3．解：這里滿足解對初值的可微性定理條件故：xf(x0,y0)expx0x0

f(x,)dxy(p(x0)y0Q(x0))expxp(x)dxx0xexpy0x0

f(x,)dxexpp(x)dxxyx0f(x,(x,x0,y0))p(x)(x,x0,y0)Q(x)x滿足的解為xxye0

p(x)dxxxx(0x0Q(x)ep(x)dxdxy0)故p(x0)expxxxp(x)dx(Q(x)(exp(p(x)dx))dxy0)x0x0x0x0xxxexpp(x)dx(Q(x0)p(x0)Q(x)[exp(p(x)dx)]dx)x0x0x0(p(x0)y0xp(x)dxQ(x0))expx0p(x)expxxQ(x)(exp(xy0)x0p(x)dx(p(x)dx))dxxx0x0常微分方程課后答案expxxp(x)dx(Q(x)exp(p(x)dx))x0x0p(x)(x,x0,y0)Q(x)4．解：這是在（1，0）某領域內(nèi)滿足解對初值可微性定理條件，由公式y(tǒng)(x,x0,y0)f(x0,y0xf(x,y)0(1,0))exp(dx)(1,0)x0x0yy(x,x0,y0)xf(x,y)x1y(1,0)exp(dx)(1,0)expxcosdx(1,0)x0x0yx0xx1y(x,1,0)dxexpcos1xx易見是原方程滿足初始條件的解y(x,1,0)0cosy(x,1,0)cos01x故習題(一)、解以下方程，并求奇解（若是存在的話）：1、解：令，則，兩邊對x求導，得12xp32xdpp0dx常微分方程課后答案從得時，；從得，為參數(shù)，為任意常數(shù).經(jīng)檢驗得，是方程奇解.2、解：令，則，兩邊對x求導，得，解之得，所以，y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、解：這是克萊xx方程，所以它的通解為，從中消去c,獲取奇解.4、常微分方程課后答案解：這是克萊xx方程，所以它的通解為，從中消去c,獲取奇解.5、解：令，則，兩邊對x求導，得，解之得，所以，可知此方程沒有奇解.6、解：原方程可化為，這是xx方程，所以其通解為，從中消去c，得奇解.7、解：令，則，常微分方程課后答案兩邊對x求導，得，所以，可知此方程沒有奇解.8、解：dyxadxxdyxadxx31y2x22ax239yc24xx3a2可知此方程沒有奇解.9、解：令，則，兩邊對x求導，得dpp22dx1p解之得，常微分方程課后答案所以，且也是方程的解，但不是方程的奇解.10、解：這是xx方程，所以方程的通解為，從中消去c,得方程的奇解.（二）求以下曲線族的包絡.1、:對c求導，得x+=0,,代入原方程得，，經(jīng)檢驗得，是原方程的包絡.2、解：對c求導，得，代入原方程得，即，經(jīng)檢驗得是原方程的包絡.常微分方程課后答案3、解：對c求導，得–2(x-c)-2(y-c)=0,,代入原方程得.經(jīng)檢驗,得是原方程的包絡.4、解：對c求導，得-2(x-c)=4,c=x+2,代入原方程得，,經(jīng)檢驗，得是原方程的包絡.(三)求一曲線，使它上面的每一點的切線截割坐標軸使兩截距之和等于常數(shù)c.解：設所求曲線方程為y=y(x),以X、Y表坐標系，則曲線上任一點（x,y(x)）的切線方程為，它與X軸、Y軸的截距分別為，，按條件有，化簡得，這是克萊xx方程，它的通解為一族直線，它的包絡是，消去c后得我們所求的曲線.常微分方程課后答案(四)試證：就克萊xx方程來說，p-鑒識曲線和方程通解的c-鑒識曲線同樣是方程通解的包絡，從而為方程的奇解.證：克萊xx方程y=xp+f(p)的p-鑒識曲線就是用p-消去法，從中消去p后而得的曲線；c-鑒識曲線就是用c-消去法，從通解及它對求導的所得的方程中消去c而得的曲線，顯然它們的結(jié)果是一致的，是一單因式，所以p-鑒識曲線是通解的包絡，也是方程的通解.習題設和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明：若是在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，則和在區(qū)間上線形沒關。證明：假設在，在區(qū)間上線形相關則存在不全為零的常數(shù)，，使得那么不如設不為零，則有顯然為常數(shù)，與題矛盾，即假設不行立，在區(qū)間上線形沒關常微分方程課后答案證明非齊線形方程的疊加原理：設，分別是非齊線形方程1）2）的解，則+是方程+的解。證明：由題可知，分別是方程（1），（2）的解則：（3）（4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。試考據(jù)0的基本解組為，并求方程的通解。證明：由題將代入方程0得：-=0,即是該方程的解，同理求得也是該方程的解又顯然線形沒關，故是0的基本解組。由題可設所求通解為：，則有：常微分方程課后答案解之得：故所求通解為：試考據(jù)0有基本解組t，，并求方程t-1的通解。解：由題將t代入方程0得：，即t為該方程的解同理也是該方程的解，又顯然t，線形沒關，t，是方程0的基本解組由題可設所求通解為，則有：c1ttc2tet0c1tc2tett1解之得：故所求通解為以知方程0的基本解組為，求此方程適合初始條件的基本解組（稱為標準基本解組，即有）并求出方程的適合初始條件的解。解：時間方程0的基本解組，故存在常數(shù)使得：常微分方程課后答案于是：t=0,則有方程適合初始條件，于是有：解得：故又該方程適合初始條件，于是：解得：故顯然，線形沒關，所以此方程適合初始條件的基本解組為：，而此方程同時滿足初始條件，于是：解得：故滿足要求的解。設是齊線形方程（4.2）的任意n個解。它們所構成的伏朗斯行列式記為，試證明滿足一階線形方程，所以有：ta1sdswtwt0et0ta,b解：又滿足即常微分方程課后答案wt中第行都乘以akt，加到最后一行為，，，n1kk12則：即則有：ta1sds,則兩邊從t0到t積分：lnwtt0lnwtnwt0ta1sdst0即：假設是二階齊線形方程（*）的解，這里在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：,其中為常數(shù),證：（１）x1x2x1x2a1x1x2a1x1x20x1x2a1x1x2a1x1x2a1x1x2a1x1x20x1x2a1x2a1x20x2a1x2a1x20,x10x2為(*)的解。（２）由于為方程的解，則由xx公式常微分方程課后答案x1x2ta1sds,即:x1wt0et0x2tx1x2x1x2a1sdswt0et0兩邊都乘以則有：，于是：x21etca1sdsct0dt2x11x211t即：xca1sdscx2et0dt21x2111t取c11,c20,得：x2x1a1sdset0dt,x21又：wtx1x2etsds0a1x1x2從而方程的通解可表示為：,其中為常數(shù),。試證n階非齊線形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1個線形沒關解。證：設為（4.1）對應的齊線形方程的一個基本解組，是（4.1）的一個解，則：（1），均為（4.1）的解。同時（1）是線形沒關的。事實上：假設存在常數(shù)，使得：常微分方程課后答案c1x1txtc2x2txtcnxntxtcn1xt0nn1即:cixitxtci0i1i1n1ci0我們說：i1n1nci否則，若ci0，則有：xtxit1n1ii1ci1*）的左端為非xx線形方程的解，而右端為xx線形方程的解，矛盾！從而有又為（4.1）對應的齊線形方程的一個基本解組，故有：即（1）是線形沒關的。習題解以下方程1）解：特色方程常微分方程課后答案故通解為x=(2)解：特色方程有三重根故通解為x=3）解：特色方程有三重根，2，-2故通解為4）解：特色方程有復數(shù)根-1+3i,-1-3i故通解為(5)解：特色方程有復數(shù)根故通解為(6)常微分方程課后答案解：特色方程有根a,-a當時，齊線性方程的通解為s=代入原方程解得故通解為s=-a=0時,代入原方程解得故通解為s=-(7)解：特色方程有根2,兩重根1齊線性方程的通解為x=又由于0不是特色根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1故通解為x=-4-t(8)解：特色方程故齊線性方程的通解為x=取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1常微分方程課后答案故通解為x=+(9)解：特色方程有復數(shù)根故齊線性方程的通解為取特解行如代入原方程解得A=故通解為(10)解：特色方程有根-2,1故齊線性方程的通解為x=由于+-2i不是特色根取特解行如代入原方程解得A=故通解為x=11）解：特色方程有復數(shù)根故齊線性方程的通解為1是特色方程的根，故代入原方程解得A=常微分方程課后答案故通解為+12）解：特色方程有2xx-a當a=-1時，齊線性方程的通解為s=,1是特色方程的2xx，故代入原方程解得A=通解為s=,當a-1時，齊線性方程的通解為s=,1不是特色方程的根，故代入原方程解得A=故通解為s=+13）解：特色方程有根-1,-5故齊線性方程的通解為x=2不是特色方程的根，故代入原方程解得A=故通解為x=+14）解：特色方程有根-1+i,-1-i常微分方程課后答案故齊線性方程的通解為不是特色方程的根,取特解行如代入原方程解得A=故通解為+(15)解：特色方程有根i,-i故齊線性方程的通解為,i,是方程的解代入原方程解得A=B=0故代入原方程解得A=B=0故故通解為習題給定方程組x=xx=（*）常微分方程課后答案試考據(jù)u(t)=,v(t)=分別是方程組（*）的滿足初始條件u(0)=,v(0)=的解.試考據(jù)w(t)＝cu(t)+cv(t)是方程組（*）的滿足初始條件w(0)=的解，其中是任意常數(shù).解：a)u(0)==u(t)==u(t)v(0)==v(t)===v(t)所以u(t),v(t)分別是給定初值問題的解.b)w(0)=u(0)+u(0)=+=w(t)=u(t)+v(t)+=w(t)所以w(t)是給定方程初值問題的解.將下面的初值問題化為與之等價的一階方程組的初值問題：常微分方程課后答案x+2x+7tx=e,x(1)=7,x(1)=-2x+x=te,x(0)=1,x(0)=-1,x(0)=2,x(0)=0x(0)=1,x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1解：a）令x＝x,x=x,得x1'x'x2x2'x''7tx12x2et即x＝x(1)=7x(1)=x(1)=-2于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：x＝x(1)＝其中x＝.b)令＝x＝＝＝則得：x1'x'x2x2'x''x3x3'x'''x4x4'xtetx1tet(0)=x(0)=1,=(0)=-1,(0)=(0)=2,(0)=(0)=0常微分方程課后答案于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：=x(0)=,其中x=.令w＝x，w＝，w＝y(tǒng)，w＝y(tǒng)，則原初值問題可化為：且即ww(0)=其中w＝試用漸漸逼近法求方程組＝xx＝滿足初始條件x(0)=的第三次近似解.解：1(t)0t010ds0tt101011010t01s0tt2(t)dst2t2101011212st30t010t263(t)sds101011t2212常微分方程課后答案=是方程x=x,x=，在任何不包含原點的區(qū)a上的基解矩。解：令的第一列(t)=,(t)==(t)故(t)是一個解。同若是以(t)表示第二列，我有(t)==(t)(t)也是一個解。所以是解矩。又因det=-t故是基解矩。2.考方程x=A(t)x(5.15)其中A(t)是區(qū)a上的nn矩，它的元素a(t),i,j=1,2,?,na)若是x(t),x(t),?,x(t)是(5.15)的任意n個解，那么它的伏朗斯基行列式W[x(t),x(t),?,x(t)]W(t)足下面的一性微分方程W=[a(t)+a(t)+?+a(t)]W解上面的一性微分方程，明下面公式：W(t)=W(t)et,t[a,b]解：w(t)=++?+=+?+=+?+整理后原式（a+?+a）=（a+?+a）w(t)=（a(t)+?+a(t)）w(t)常微分方程課后答案b)由于w(t)=[a(t)+?+a(t)]w(t),即=[a(t)+?+a(t)]dt兩從t到t分ln-ln=即w(t)=w(t)e,t[a,b]A(t)區(qū)a上的nn矩，方程x=A(t)x的基解矩，而x=(t)其一解，：a)于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t)(t)=常數(shù)；b)(t)方程y=-A(t)y的基解矩的充要條件是存在非奇異的常數(shù)矩C，使(t)(t)=C.a)[(t)(t)]=(t)+(t)=(t)+(t)A(t)又因=-A(t)(t)，所以=-(t)A(t)[(t)(t)]=-(t)(t)A(t)+(t)A(t)(t)=0,所以于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t)(t)=常數(shù)“”假方程y=-A(t)y的基解矩，[(t)(t)]=[(t)]+(t)

(t)=[-A(t)(t)]+

(t)A(t)

)+(t)[

A(t)(t)]=-(t)A(t)+(t)A(t)=0,

故(t)(t)=C“”若存在非奇異常數(shù)矩C，detc0,使(t)(t)=C，常微分方程課后答案[(t)(t)]=(t)+(t)=0，故(t)(t)=-(t)(t)A(t)(t)=-(t)A(t)所以(t)=-(t)A(t),(t)=-(t)A(t)即(t)方程y=-A(t)y的基解矩4.方程x=Ax（Ann常數(shù)矩）的準基解矩（即（0）=E），明:(t)=(t-t)其中t某一.明：（1）,(t-t)是基解矩。（2）由于方程x=Ax的解矩，所以(t)也是x=Ax的解矩，而當t=t，(t)(t)=E,(t-t)=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t-t)A(t),f(t)分在區(qū)axx的nn矩和n列向量，明方程x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1個性沒關解。明：x,x,?x是x=A(t)x的n個性沒關解，是x=A(t)x+f(t)的一個解，x+,x+,?,x+,都是非性方程的解，下面來明它性沒關，假存在不全零的常數(shù)C,(I=1,2,?,n)使得+c=0,從而x+,x+,?,x+,在axx性相關，此與已知矛盾，所以x+,x+,?,x+,性沒關，所以方程x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1個性沒關解。6、非性微分方程的疊加原理：常微分方程課后答案x'A(t)xf1(t)x'A(t)xf2(t)的解，則是方程組x'A(t)xf1(t)f2(t)的解。證明：（1）（2）分別將代入（1）和（2）則則[x1(t)x2(t)]'A(t)[x1(t)x2(t)]f1(t)f2(t)令即證7．考慮方程組，其中21x1sintA2xf(t)0x2costa)試考據(jù)是的基解矩陣；試求的滿足初始條件的解。常微分方程課后答案證明：a)第一考據(jù)它是基解矩陣以表示的第一列則故是方程的解若是以表示的第二列我們有故也是方程的解從而是方程的解矩陣又故是的基解矩陣；由常數(shù)變易公式可知，方程滿足初始條件的解(t)(t)1`(0)(t)t1f(s)ds0而8、試求，其中21x10A2xf(t)2t0x2e常微分方程課后答案滿足初始條件1(0)1的解。解：由第7題可知的基解矩陣則若方程滿足初始條件則有若則有9、試求以下方程的通解：a)解：xx對應的齊線性方程的基本解組為這時由公式得通解為b)解：xx對應的齊線性方程的基本解組為常微分方程課后答案x2(t)etcos3t,x3(t)etsin3t是方程的特色根故方程有形如的根代入得故方程有通解c)解：xx對應的齊線性方程對應的特色方程為故方程的一個基本解組為W[x1(t),x2(t)]e3te3tte3te6t3e3t3te3ttte3te3se3tse3ses1t13t1e3t(t)6sdsete40e42由于是對應的齊線性方程的解故也是原方程的一個解故方程的通解為10、給定方程其中f(t)在上連續(xù)，試利用常數(shù)變易公式，證明：a)若是f(t)在上有界，則上面方程的每一個解在上有界；常微分方程課后答案若是當時，，則上面方程的每一個解（當時）。證明：a)上有界存在M>0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解(t)te7tesete7ste7sesete7sf(s)dsesf(s)ds6e8s0e7s0es7e7sM(81e7t4M(t)Me7te7setesdset)t6067721又關于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數(shù)使得從而故上面方程的每一個解在上有界時，當t>N時由a)的結(jié)論x(t)c1e7tc2et(t)c1c24M4,(t)2121常微分方程課后答案故時，原命題建立11、給定方程組（5.15）這里A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設是（5.15）的一個基解矩陣，n維向量函數(shù)F(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問題：（*）的唯一解是積分方程組）的連續(xù)解。反之，（）的連續(xù)解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式(t)(t)1(t0)(t)t1(s)F(s,(s))dst0即（*）的解滿足（）反之，若是（）的解，則有(t)(t)1(t0)(t)t1(s)F(s,(s))dst0兩邊對t求導：'(t)'(t)1(t0)'t1(s)F(s,(s))ds(t)1(t)F(t,(t))(t)0'(t)[1(t0)t1(s)F(s,(s))ds]F(t,(t))0A(t)(t)[1(t0)t1(s)F(s,(s))ds]F(t,(t))0A(t)(t)F(t,(t))常微分方程課后答案即（）的解是（*）的解1、假A是nn矩，：任意常數(shù)、都有exp(A+A)=expA·expA任意整數(shù)k,都有(expA)=expkA(當k是整數(shù)，定(expA)＝[(expA)])明：a)∵（A）·（A）＝（A）·（A）exp(A+A)=expA·expAk>0，(expA)＝expA·expA??expA＝exp（A+A+??+A）＝expkAk<0，-k>0常微分方程課后答案(expA)＝[(expA)]=[exp(-A)]=exp(-A)·exp(-A)??exp(-A)exp[(-A)(-k)]＝expkAk，都有(expA)=expkA2、：若是是=Ax足初始條件＝的解，那么[expA(t-t)]明：由定理8可知＝Ф(t)Ф-1(t0)＋Ф(t)又因Ф(t)=expAt,Ф-1(t0)=(expAt0)-1=exp(-At0),f(s)=0,又因矩（At）·（-At0）=（-At0）·（At）所以＝[expA(t-t)]3、算下面矩的特色及的特色向量a）b）常微分方程課后答案c）d）解：a）det（E－A）==(－5)(+1)=0=5,=－1對應于=5的特色向量u=,()對應于=－1的特色向量v=,()det（E－A）=(+1)(+2)(－2)＝0∴＝－1，＝2，＝－2對應于＝－1的特色向量u1＝，（0）對應于＝2的特色向量u2＝，（）對應于＝－2的特色向量u3＝，（）c）det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0∴＝－1（二重），＝3對應于＝－1（二重）的特色向量u＝，（0）對應于＝3的特色向量v＝,（）常微分方程課后答案det（E－A）==(+3)(+1)(+2)=0∴＝－1，＝－2，＝－3對應于＝－1的特色向量u1＝，（0）對應于＝－2的特色向量u2＝，（）對應于＝－3的特色向量u3＝，（）4、試求方程組=Ax的一個基解矩陣，并計算expAt，其中A為：a）b）c）d）解：a）det（E－A）=0得＝，＝－對應于的特色向量為u＝，（0）對應于的特色向量為v＝，（）∴u＝，v＝是對應于，的兩個線性沒關的特色向量Ф(t)=是一個基解矩陣ExpAt=常微分方程課后答案由det（E－A）=0得＝5，＝－1解得u＝，v＝是對應于，的兩個線性沒關的特色向量則基解矩陣為Ф(t)＝(0)＝Ф－1(0)＝則expAt＝Ф(t)Ф－1(0)＝c）由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1解得基解矩陣Ф(t)＝Ф－1(0)＝expAt＝Ф(t)Ф－1(0)＝d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－解得基解矩陣Ф(t)＝則expAt＝Ф(t)Ф－1(0)＝87e3t247e(27)t247e(27)t33341567e3t122287e(27)t122287e(27)t7999327e3t2627e(27)t2627e(27)t999常微分方程課后答案5、試求方程組=Ax的基解矩陣，并求滿足初始條件a)A1234331030b)A811251171211c)A11102010解：a）由第4題（b）知，基解矩陣為332所以(t)

2e5te4e5te

ttb）由第4題（d）知，基解矩陣為(t)＝所以常微分方程課后答案527e3t4267e(27)t4267e(27)t333(t)13647e3t7481467e(27)t7481467e(27)t479992087e3t1789227e(27)t178227e(27)t99由3（c）可知，矩陣A的特色值為＝3，＝－1（二重）對應的特色向量為u1＝，u2＝∴＝＋解得(t)e3tEv1et[Et(AE)]v2＝6