微積分 全冊(cè)課件-002

引論微積分思路預(yù)備知識(shí)初等數(shù)學(xué)小結(jié)第一章函數(shù)與極限第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章不定積分第五章定積分附錄二元微分學(xué)習(xí)題答案目錄引論微積分思路目錄1第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)基本初等函數(shù)共有六大類：1.常量函數(shù)y=c(c為常數(shù))2.冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))3.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)5.三角函數(shù)6.反三角函數(shù)第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)基本初等函2第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)定義1.1若函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與有限次的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的，且用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示，則稱這樣的函數(shù)為初等函數(shù)。定義1.2已知函數(shù)定義域被分成有限個(gè)區(qū)間，若在各個(gè)區(qū)間上表示對(duì)應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣，但單獨(dú)定義各個(gè)區(qū)間公共端點(diǎn)處的函數(shù)值；或者在各個(gè)區(qū)間上表示對(duì)應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式不完全一樣,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)。第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)定義1.13第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)1.奇偶性定義1.3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意點(diǎn)x∈D，若恒有f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；若恒有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)1.奇偶性4第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)2.有界性定義1.4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開(kāi)區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間)上有定義,若存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得對(duì)于所有點(diǎn)x∈I,恒有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界;否則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無(wú)界.第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)2.有界性5第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)3.單調(diào)性定義1.5已知函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)有定義,對(duì)于開(kāi)區(qū)間J內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x2>x1時(shí),若恒有f(x2)>f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)單調(diào)增加,開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;若恒有f(x2)<f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)單調(diào)減少,開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)3.單調(diào)性6第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)4.極值定義1.6已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左右有定義,對(duì)于點(diǎn)x0左右很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)x≠x0,若恒有f(x0)>f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);若恒有f(x0)<f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)4.極值定7第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)5.最值定義1.7已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開(kāi)區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間)上有定義,且點(diǎn)x0∈I.對(duì)于任意點(diǎn)x∈I,若恒有f(x0)≥f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點(diǎn);若恒有f(x0)≤f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點(diǎn).第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)5.最值定8第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.幾何方面函數(shù)關(guān)系式(1)矩形面積S等于長(zhǎng)x與寬u的積,即

S=xu特別地,正方形面積S等于邊長(zhǎng)x的平方,即

S=x2(2)長(zhǎng)方體體積V等于底面積(矩形面積)S與高h(yuǎn)的積,即

V=Sh(3)圓柱體體積V等于底面積(圓面積)πr2(r為底半徑)與高h(yuǎn)的積,即

V=πr2h側(cè)面積(相當(dāng)于矩形面積)S等于底周長(zhǎng)2πr與高h(yuǎn)的積,即

S=2πrh第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.幾9第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.幾何方面函數(shù)關(guān)系式例1欲圍一塊面積為216m2的矩形場(chǎng)地,矩形場(chǎng)地東西方向長(zhǎng)xm、南北方向?qū)抲m,沿矩形場(chǎng)地四周建造高度相同的圍墻,并在正中間南北方向建造同樣高度的一堵墻,把矩形場(chǎng)地隔成兩塊,試將墻的總長(zhǎng)度Lm表示為矩形場(chǎng)地長(zhǎng)xm的函數(shù).解:已設(shè)矩形場(chǎng)地長(zhǎng)為xm、寬為um,如圖1—1.第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.幾10第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.幾何方面函數(shù)關(guān)系式

第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.幾11第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.幾何方面函數(shù)關(guān)系式例3欲做一個(gè)容積為V0的圓柱形封閉罐頭盒,試將圓柱形封閉罐頭盒表面積S表示為底半徑r的函數(shù).解:已設(shè)圓柱形封閉罐頭盒底半徑為r,再設(shè)高為h,如圖1—3.

第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.幾12第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式2.經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式(1)在生產(chǎn)過(guò)程中,產(chǎn)品的總成本C為產(chǎn)量x的單調(diào)增加函數(shù),記作

C=C(x)C=C(x)=C0+C1(x)

(3)產(chǎn)品全部銷售后總收益R等于產(chǎn)量x與銷售價(jià)格p的積.R=R(x)=xp(x)(4)產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)L等于總收益R減去總成本C,即

L=L(x)=R(x)-C(x)(5)需求量Q為銷售價(jià)格p的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為需求函數(shù),記作

Q=Q(p)第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式2.經(jīng)13第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式2.經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式

第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式2.經(jīng)14第一章函數(shù)與極限1.3極限的概念與基本運(yùn)算法則

第一章函數(shù)與極限1.3極限的概念與基本運(yùn)算法則

15第一章函數(shù)與極限1.3極限的概念與基本運(yùn)算法則

第一章函數(shù)與極限1.3極限的概念與基本運(yùn)算法則

16第一章函數(shù)與極限1.3極限的概念與基本運(yùn)算法則

第一章函數(shù)與極限1.3極限的概念與基本運(yùn)算法則

17第一章函數(shù)與極限1.3極限的概念與基本運(yùn)算法則推論1如果有限個(gè)變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限

lim(u1+u2+…+um)=limu1+limu2+…+limum推論2如果有限個(gè)變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限

limu1u2…um=limu1limu2…limum推論3如果極限limv存在,k為常數(shù),則極限

limkv=klimv

若分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,則直接計(jì)算其極限;若分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式不一樣,則應(yīng)分別計(jì)算其左極限與右極限,只有左極限與右極限都存在且相等,極限才存在.

第一章函數(shù)與極限1.3極限的概念與基本運(yùn)算法則推論118第一章函數(shù)與極限1.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量定義1.11若變量y的絕對(duì)值在變化過(guò)程中無(wú)限增大,則稱變量y為無(wú)窮大量,記作

limy=∞或y→∞性質(zhì)1正無(wú)窮大量與正無(wú)窮大量的和仍為正無(wú)窮大量,負(fù)無(wú)窮大量與負(fù)無(wú)窮大量的和仍為負(fù)無(wú)窮大量;性質(zhì)2無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的積仍為無(wú)窮大量.定義1.12若極限limy=0,則稱變量y為無(wú)窮小量.性質(zhì)1無(wú)窮小量與無(wú)窮小量的和、差、積仍為無(wú)窮小量;性質(zhì)2無(wú)窮小量與有界變量的積仍為無(wú)窮小量.第一章函數(shù)與極限1.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量定義1.1119第一章函數(shù)與極限1.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量定理1.4變量y的極限為A等價(jià)于變量y-A為無(wú)窮小量.

第一章函數(shù)與極限1.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量定理1.420第一章函數(shù)與極限1.5未定式極限

第一章函數(shù)與極限1.5未定式極限

21第一章函數(shù)與極限1.5未定式極限

第一章函數(shù)與極限1.5未定式極限

22第一章函數(shù)與極限1.5未定式極限

第一章函數(shù)與極限1.5未定式極限

23第一章函數(shù)與極限1.5未定式極限

第一章函數(shù)與極限1.5未定式極限

24第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

25第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

26第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

27第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

28第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

第一章函數(shù)與極限1.6兩個(gè)重要極限

29第一章函數(shù)與極限1.7函數(shù)的連續(xù)性

性質(zhì)1如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有界,存在最大值與最小值;性質(zhì)2如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且函數(shù)值f(a)與f(b)異號(hào),則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

f(ξ)=0

(a<ξ<b)性質(zhì)3如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且f(x)≠0,則對(duì)于開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)所有點(diǎn)x,函數(shù)f(x)同號(hào).第一章函數(shù)與極限1.7函數(shù)的連續(xù)性

性質(zhì)1如果函30第一章函數(shù)與極限1.7函數(shù)的連續(xù)性

第一章函數(shù)與極限1.7函數(shù)的連續(xù)性

31第一章函數(shù)與極限1.7函數(shù)的連續(xù)性

第一章函數(shù)與極限1.7函數(shù)的連續(xù)性

32第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念例1平面曲線的切線已知函數(shù)曲線y=f(x),它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0,y0),取函數(shù)曲線y=f(x)上的另外一點(diǎn)M(x0+Δx,y0+Δy),作割線M0M,如圖2—1.

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念例1平面曲線的切線33第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

34第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

35第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

36第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

37第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念

38第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念定理2.2如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).但是,在某點(diǎn)處連續(xù)的函數(shù)不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo).對(duì)于一元函數(shù),可導(dǎo)一定連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo).

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念定理2.2如果函數(shù)39第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.2導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則法則1如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)

(u±v)'=u'±v'法則2如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)

(uv)'=u'v+uv'

法則1可以推廣,它對(duì)于m個(gè)函數(shù)的代數(shù)和也是適用的.如果有限個(gè)函數(shù)u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)

(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm法則2可以推廣,它對(duì)于m個(gè)函數(shù)的積也是適用的.如果有限個(gè)函數(shù)u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)

(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.2導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則法則1如果函40第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.2導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算

定理2.4如果函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I(可以是開(kāi)區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間)上的導(dǎo)數(shù)f'(x)與g'(x)恒相等,則函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I上不一定相等,但至多相差一個(gè)常數(shù),即

f(x)=g(x)+c0

(c0為常數(shù))第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.2導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算

定理2.4如41第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.2導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.2導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算

42第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式

43第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式

3.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)y'=axlna特別地,若a=e,則得到指數(shù)函數(shù)y=ex的導(dǎo)數(shù)

y'=ex例5

(2x)'=2xln2第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式

3.指數(shù)函數(shù)y44第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式例6求函數(shù)y=xe-ex+ee的導(dǎo)數(shù).解:注意到函數(shù)y的表達(dá)式中第3項(xiàng)ee為常數(shù)項(xiàng),其導(dǎo)數(shù)等于零,所以導(dǎo)數(shù)

y'=exe-1-ex+0=exe-1-ex例7求函數(shù)y=x2ex的導(dǎo)數(shù).解:y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式例6求函數(shù)y=45第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式

(2)y=cosxy'=-sinx(3)y=tanx

y'=sec2x(4)y=cotx

y'=-csc2x第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式

(2)y=co46第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式例13求函數(shù)y=exsinx的導(dǎo)數(shù).解:y'=(ex)'sinx+ex(sinx)'=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)例15求函數(shù)y=tanx+cotx的導(dǎo)數(shù).解:y'=sec2x-csc2x

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式例13求函數(shù)y47第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.3導(dǎo)數(shù)的基本公式

48第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則如果函數(shù)u=u(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(u(x))在點(diǎn)x處可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)

y'=f'(u(x))u'(x)

在求復(fù)合函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)時(shí),首先如§1.1那樣引進(jìn)中間變量u,將復(fù)合函數(shù)y分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x),然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算導(dǎo)數(shù)y',其步驟如下:步驟1計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(u)的表達(dá)式,并表示為自變量x的函數(shù),得到f'(u(x)).在這個(gè)過(guò)程中,并不急于計(jì)算導(dǎo)數(shù)u'(x)的表達(dá)式,僅在導(dǎo)數(shù)y'的表達(dá)式中將因式u'(x)乘在因式f'(u(x))的后面;步驟2計(jì)算導(dǎo)數(shù)u'(x)的表達(dá)式:若函數(shù)u(x)為基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù),則立即求出導(dǎo)數(shù)u'(x)的表達(dá)式,因而得到導(dǎo)數(shù)y'的表達(dá)式;若函數(shù)u(x)仍為復(fù)合函數(shù),則繼續(xù)分解復(fù)合函數(shù)u=u(x),并重復(fù)上述步驟,直至最終得到導(dǎo)數(shù)y'的表達(dá)式.第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)49第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則例1求函數(shù)y=(3x+2)10的導(dǎo)數(shù).解:將復(fù)合函數(shù)y=(3x+2)10分解為

y=u10與u=3x+2根據(jù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,得到復(fù)合函數(shù)y對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)

y'=(u10)'u(3x+2)'=10u9(3x+2)'=10(3x+2)9(3x+2)'=30(3x+2)9

y'=10(3x+2)9(3x+2)'=30(3x+2)9

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則例1求函50第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

51第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

52第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

53第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

54第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

55第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

56第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.6高階導(dǎo)數(shù)

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.6高階導(dǎo)數(shù)

57第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.6高階導(dǎo)數(shù)

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.6高階導(dǎo)數(shù)

58第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.6高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)在屬于定義域的點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)值為二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中自變量x用數(shù)x0代入所得到的數(shù)值.第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.6高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)在屬于定義域的點(diǎn)59第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.6高階導(dǎo)數(shù)

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.6高階導(dǎo)數(shù)

60第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分

61第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分

62第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分

第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分

63第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分定理2.5如果函數(shù)y=f(u)可微,函數(shù)u=u(x)也可微,則函數(shù)y的微分表達(dá)式同樣具有下面的形式

dy=f'(u)du這個(gè)結(jié)論稱為微分形式不變性,它是不定積分換元積分法則的理論基礎(chǔ).第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分定理2.5如果函數(shù)y=f64第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分定理2.5如果函數(shù)y=f(u)可微,函數(shù)u=u(x)也可微,則函數(shù)y的微分表達(dá)式同樣具有下面的形式

dy=f'(u)du這個(gè)結(jié)論稱為微分形式不變性,它是不定積分換元積分法則的理論基礎(chǔ).第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.7微分定理2.5如果函數(shù)y=f65第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1洛必達(dá)法則

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1洛必達(dá)法則

66第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1洛必達(dá)法則

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1洛必達(dá)法則

67第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1洛必達(dá)法則

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1洛必達(dá)法則

68第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)曲線的切線求函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,y0)處切線方程的步驟如下:步驟1計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x),再在一階導(dǎo)數(shù)f'(x)的表達(dá)式中,自變量x用切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0代入,得到函數(shù)f(x)在切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0);步驟2若一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)為有限值,則所求切線斜率為f'(x0),所求切線方程的點(diǎn)斜式為

y-y0=f'(x0)(x-x0)當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0時(shí),所求切線方程為y=y0;若一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=∞,則所求切線方程為x=x0.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)曲線的切線求函數(shù)曲線y=f69第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)曲線的切線例2求函數(shù)曲線y=e2x+x2上點(diǎn)(0,1)處的切線方程.解:計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

y'=e2x(2x)'+2x=2e2x+2x于是所求切線斜率為

y‘|x=0=2所以所求切線方程為

y-1=2(x-0)即有

2x-y+1=0第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)曲線的切線例2求函數(shù)曲線70第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)曲線的切線

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)曲線的切線

71第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值定理3.1已知函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)可導(dǎo),那么:(1)如果在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒為正,則開(kāi)區(qū)間J為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;(2)如果在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒為負(fù),則開(kāi)區(qū)間J為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.推論如果在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒非負(fù)(或恒非正),且使得一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0的點(diǎn)x只是一些孤立的點(diǎn),則開(kāi)區(qū)間J為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間(或單調(diào)減少區(qū)間).定義3.1若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0,則稱點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),極值點(diǎn)一定為駐點(diǎn),但駐點(diǎn)不一定為極值點(diǎn),駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)與一階導(dǎo)數(shù)在其左右變號(hào)不變號(hào)有著緊密的聯(lián)系.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值定理3.172第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值定理3.2已知點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)x從駐點(diǎn)x0的左方變化到右方時(shí),那么:(1)如果一階導(dǎo)數(shù)f'(x)變號(hào),且從正號(hào)(或負(fù)號(hào))變化到負(fù)號(hào)(或正號(hào)),則駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn));(2)如果一階導(dǎo)數(shù)f'(x)不變號(hào),則駐點(diǎn)x0不為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值的步驟如下:步驟1確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D;步驟2計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x);步驟3在定義域D內(nèi),若一階導(dǎo)數(shù)f'(x)恒非負(fù)(或恒非正),則可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間(或單調(diào)減少區(qū)間)為定義域D,這時(shí)當(dāng)然無(wú)極值.否則令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,求出可導(dǎo)函數(shù)f(x)的全部駐點(diǎn),并轉(zhuǎn)入步驟4;步驟4可導(dǎo)函數(shù)f(x)的全部駐點(diǎn)將定義域D分成幾個(gè)開(kāi)區(qū)間,列表判斷在這幾個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)f'(x)的正負(fù)號(hào),于是確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn),計(jì)算極值點(diǎn)處的函數(shù)值即為極值.單調(diào)增加用記號(hào)↗表示,單調(diào)減少用記號(hào)↘表示.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值定理3.273第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值

74第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值列表如表3—2:x(0,e)e(e,+∞)f'(x)+0-f(x)↗↘

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值列表如表375第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值例5求函數(shù)f(x)=x2e-x的單調(diào)區(qū)間與極值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)e-x恒大于零,得到駐點(diǎn)x=0與x=2.列表如表3—3:所以函數(shù)f(x)=x2e-x的單調(diào)減少區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞),單調(diào)增加區(qū)間為(0,2);極小值為f(0)=0,極大值為f(2)=4e-2.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值例5求函76第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值

77第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值定理3.3已知點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),且二階導(dǎo)數(shù)f″(x)在駐點(diǎn)x0處及其左右連續(xù),那么:(1)如果二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)<0,則駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);(2)如果二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)>0,則駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).例1求函數(shù)f(x)=x2e-x的極值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)e-x恒大于零,得到駐點(diǎn)x=0與x=2.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)

f″(x)=(2-2x)e-x+(2x-x2)e-x(-x)' =(2-2x)e-x-(2x-x2)e-x=(2-4x+x2)e-x得到在駐點(diǎn)x=0處的二階導(dǎo)數(shù)值

f″(0)=2>0根據(jù)定理3.3,于是駐點(diǎn)x=0為極小值點(diǎn);又得到在駐點(diǎn)x=2處的二階導(dǎo)數(shù)值

f″(2)=-2e-2<0根據(jù)定理3.3,于是駐點(diǎn)x=2為極大值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)=x2e-x的極小值為f(0)=0,極大值為f(2)=4e-2.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值定理3.3已知點(diǎn)x78第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值定理3.4已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開(kāi)區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0,那么:(1)如果點(diǎn)x0為極大值點(diǎn),則唯一極大值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點(diǎn);(2)如果點(diǎn)x0為極小值點(diǎn),則唯一極小值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點(diǎn).開(kāi)區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定存在最大值或最小值,但若滿足定理3.4的條件,則開(kāi)區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)存在最大值或最小值.在這種情況下,求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的最值的步驟如下:步驟1確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D;步驟2計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x);步驟3令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到唯一駐點(diǎn)x0;步驟4計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x),判斷二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)的正負(fù)號(hào),確定唯一駐點(diǎn)x0為唯一極大值點(diǎn)還是唯一極小值點(diǎn),進(jìn)而得到它為最大值點(diǎn)還是最小值點(diǎn),計(jì)算最值點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)即為最值.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值定理3.4已知可導(dǎo)79第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值例2求函數(shù)f(x)=x2-8x+7在定義域內(nèi)的最值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

f'(x)=2x-8令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到唯一駐點(diǎn)x=4.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)

f″(x)=2它是常數(shù).當(dāng)然,在唯一駐點(diǎn)x=4處也不例外,有二階導(dǎo)數(shù)值

f″(4)=2>0根據(jù)定理3.3,于是唯一駐點(diǎn)x=4為唯一極小值點(diǎn),再根據(jù)定理3.4,這個(gè)唯一極小值點(diǎn)x=4也為最小值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)=x2-8x+7在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有最小值,最小值為f(4)=-9.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值例2求函數(shù)f(x)80第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:步驟1計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x),并令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,求出可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的所有駐點(diǎn);步驟2計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)f(x)在這些駐點(diǎn)處的函數(shù)值,同時(shí)計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)f(x)在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b);步驟3比較上述計(jì)算得到的函數(shù)值大小,其中最大者為所求最大值,最小者為所求最小值.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在81第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值例4求函數(shù)f(x)=x4-8x2+3在閉區(qū)間[-1,3]上的最大值與最小值.解:計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

f'(x)=4x3-16x=4x(x2-4)令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到駐點(diǎn)x=-2,x=0及x=2,容易看出駐點(diǎn)x=0與x=2在開(kāi)區(qū)間(-1,3)內(nèi),而駐點(diǎn)x=-2不在開(kāi)區(qū)間(-1,3)內(nèi).再計(jì)算函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x=0,x=2及兩個(gè)端點(diǎn)x=-1,x=3處的函數(shù)值

f(0)=3

f(2)=-13

f(-1)=-4

f(3)=12比較這些函數(shù)值的大小,得到最大者為f(3)=12,最小者為f(2)=-13.所以函數(shù)f(x)=x4-8x2+3在閉區(qū)間[-1,3]上的最大值為f(3)=12,最小值為f(2)=-13.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)的最值例4求函數(shù)f(x)82第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)定義3.2已知函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)可導(dǎo),若函數(shù)曲線y=f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)位于其上任意一點(diǎn)處切線的上方,則稱函數(shù)曲線y=f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)上凹,開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間;若函數(shù)曲線y=f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)位于其上任意一點(diǎn)處切線的下方,則稱函數(shù)曲線y=f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)下凹,開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的下凹區(qū)間.定理3.5已知函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)二階可導(dǎo),那么:(1)如果在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)恒為正,則開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間;(2)如果在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)恒為負(fù),則開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的下凹區(qū)間.推論如果在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)恒非負(fù)(或恒非正),且使得二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的點(diǎn)x只是一些孤立的點(diǎn),則開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(或下凹區(qū)間).第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)定義383第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)定義3.3在函數(shù)曲線y=f(x)上,凹向改變的分界點(diǎn)稱為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn).定理3.6已知函數(shù)f(x)二階可導(dǎo),點(diǎn)x0為二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的根,那么:(1)如果在點(diǎn)x0左右二階導(dǎo)數(shù)f″(x)變號(hào),則點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn);(2)如果在點(diǎn)x0左右二階導(dǎo)數(shù)f″(x)不變號(hào),則點(diǎn)(x0,f(x0))不為函數(shù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn).在函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)時(shí),求函數(shù)曲線y=f(x)的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)的步驟如下:步驟1確定二階可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D.步驟2計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)、二階導(dǎo)數(shù)f″(x).步驟3在定義域D內(nèi),若二階導(dǎo)數(shù)f″(x)恒非負(fù)(或恒非正),則函數(shù)曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(或下凹區(qū)間)為定義域D,這時(shí)當(dāng)然無(wú)拐點(diǎn).否則令二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0,求出全部根,并轉(zhuǎn)入步驟4.步驟4二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=0的全部根將定義域D分成幾個(gè)開(kāi)區(qū)間,列表判斷在這幾個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的正負(fù)號(hào),于是確定函數(shù)曲線y=f(x)的凹向區(qū)間、拐點(diǎn)橫坐標(biāo),計(jì)算拐點(diǎn)橫坐標(biāo)處的函數(shù)值即為拐點(diǎn)縱坐標(biāo).上凹用記號(hào)∪表示,下凹用記號(hào)∩表示.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)定義384第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)

所以函數(shù)曲線y=6x2-x3的上凹區(qū)間為(-∞,2),下凹區(qū)間為(2,+∞);拐點(diǎn)為(2,16).第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)

所以85第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)例3求函數(shù)曲線y=(x2-2)ex的凹向區(qū)間與拐點(diǎn).解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)

y'=2xex+(x2-2)ex=(x2+2x-2)ex

y″=(2x+2)ex+(x2+2x-2)ex=(x2+4x)ex令二階導(dǎo)數(shù)y″=0,得到根x=-4與x=0.列表如表3—6:所以函數(shù)曲線y=(x2-2)ex的上凹區(qū)間為(-∞,-4),(0,+∞),下凹區(qū)間為(-4,0);拐點(diǎn)為(-4,14e-4),(0,-2).第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5函數(shù)曲線的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)例386第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.6經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的邊際與彈性定義3.4總成本函數(shù)C=C(x)對(duì)產(chǎn)量x的一階導(dǎo)數(shù)C'(x)稱為邊際成本函數(shù).

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.6經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的邊際與彈性定義387第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.6經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的邊際與彈性

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.6經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的邊際與彈性

88第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化的類型有兩種:類型1求使得消耗為最小的最優(yōu)解;類型2求使得效益為最大的最優(yōu)解.幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)優(yōu)化的求解步驟如下:步驟1根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況,確定自變量與因變量,建立它們之間的函數(shù)關(guān)系即目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式;步驟2求目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn),往往也為最值點(diǎn),即得最優(yōu)解.例1一塊正方形紙板的邊長(zhǎng)為a,將其四角各截去一個(gè)大小相同的邊長(zhǎng)為x的小正方形,再將四邊折起做成一個(gè)無(wú)蓋方盒,問(wèn)所截小正方形邊長(zhǎng)x為多少時(shí),才能使得無(wú)蓋方盒容積V最大?解:已設(shè)所截小正方形邊長(zhǎng)為x,從而無(wú)蓋方盒底邊長(zhǎng)為a-2x,如圖3—8.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化幾何與89

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化90第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化例3欲做一個(gè)容積為250πm3的圓柱形無(wú)蓋蓄水池,已知池底材料價(jià)格為池周圍材料價(jià)格的2倍,問(wèn)圓柱形無(wú)蓋蓄水池池底半徑r與高h(yuǎn)各為多少時(shí),才能使得所用材料費(fèi)T最省?解:已設(shè)圓柱形無(wú)蓋蓄水池池底半徑為rm,高為hm,如圖3—10.

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化例391第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化

92第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化

93第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化

計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

L'(Q)=-12Q+24令一階導(dǎo)數(shù)L'(Q)=0,得到唯一駐點(diǎn)Q=2.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)

L″(Q)=-12<0于是唯一駐點(diǎn)Q=2為唯一極大值點(diǎn),也為最大值點(diǎn),為最優(yōu)解.計(jì)算此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值,得到L(2)=14為最優(yōu)值.所以批量Q為2t時(shí),才能使得每批商品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)L最大,最大利潤(rùn)值為14萬(wàn)元.第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化

計(jì)算94第四章不定積分4.1不定積分的概念與基本運(yùn)算法則定義4.1已知函數(shù)F(x)在區(qū)間I(可以是開(kāi)區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間)上可導(dǎo),若一階導(dǎo)數(shù)F'(x)=f(x),則稱函數(shù)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù).定理4.1如果函數(shù)F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù),則函數(shù)族F(x)+c(c為任意常數(shù))也為函數(shù)f(x)的原函數(shù),且函數(shù)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)都是這個(gè)函數(shù)族中的一個(gè)函數(shù).

第四章不定積分4.1不定積分的概念與基本運(yùn)算法則定義95第四章不定積分4.1不定積分的概念與基本運(yùn)算法則

第四章不定積分4.1不定積分的概念與基本運(yùn)算法則

96第四章不定積分4.1不定積分的概念與基本運(yùn)算法則

法則1如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都存在原函數(shù),則不定積分

∫(u±v)dx=∫udx±∫vdx法則2如果函數(shù)v=v(x)存在原函數(shù),k為非零常數(shù),則不定積分

∫kvdx=k∫vdx第四章不定積分4.1不定積分的概念與基本運(yùn)算法則

法97第四章不定積分4.2不定積分基本公式

第四章不定積分4.2不定積分基本公式

98第四章不定積分4.2不定積分基本公式

4.三角函數(shù)∫sinxdx=-cosx+c∫cosxdx=sinx+c∫sec2xdx=tanx+c∫csc2xdx=-cotx+c例9求不定積分∫tan2xdx.解:∫tan2xdx=∫(sec2x-1)dx=tanx-x+c第四章不定積分4.2不定積分基本公式

4.三角函數(shù)99第四章不定積分4.2不定積分基本公式

第四章不定積分4.2不定積分基本公式

100第四章不定積分4.2不定積分基本公式

第四章不定積分4.2不定積分基本公式

101第四章不定積分4.3湊微分

第四章不定積分4.3湊微分

102第四章不定積分4.3湊微分

第四章不定積分4.3湊微分

103第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則不定積分第一換元積分法則如果不定積分

∫f(x)dx=F(x)+c函數(shù)u=u(x)可導(dǎo),且一階導(dǎo)數(shù)u'(x)連續(xù),則對(duì)于中間變量u同樣有不定積分

∫f(u)du=F(u)+c這個(gè)法則說(shuō)明:在積分變量為自變量x的不定積分表達(dá)式中,若將自變量記號(hào)x換成中間變量記號(hào)u,則不定積分表達(dá)式仍然成立.根據(jù)中間變量u與自變量x的函數(shù)關(guān)系類型,分下列兩種基本情況討論復(fù)合函數(shù)的不定積分.1.第一種基本情況所求不定積分為

∫f(ax+b)dx

(a,b為常數(shù),且a≠0)其中被積函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f為§4.2不定積分基本公式中某個(gè)被積函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這時(shí)應(yīng)該引進(jìn)中間變量u=ax+b,它是自變量x的線性函數(shù),在求解過(guò)程中須應(yīng)用§4.3線性湊微分.第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則不定積分104第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

105第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

106第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

107第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

108第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

第四章不定積分4.4不定積分第一換元積分法則

109第四章不定積分4.5有理分式的不定積分

第四章不定積分4.5有理分式的不定積分

110第四章不定積分4.5有理分式的不定積分

第四章不定積分4.5有理分式的不定積分

111第四章不定積分4.5有理分式的不定積分

第四章不定積分4.5有理分式的不定積分

112第四章不定積分4.6不定積分第二換元積分法則不定積分第二換元積分法則已知函數(shù)f(x)連續(xù),對(duì)不定積分∫f(x)dx作變量代換x=φ(t),函數(shù)x=φ(t)單調(diào)可導(dǎo),且一階導(dǎo)數(shù)φ'(t)連續(xù),如果對(duì)于自變量t,有不定積分

∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c則對(duì)于自變量x,有不定積分

∫f(x)dx=F(x)+c

第四章不定積分4.6不定積分第二換元積分法則不定積分113第四章不定積分4.6不定積分第二換元積分法則

第四章不定積分4.6不定積分第二換元積分法則

114第四章不定積分4.7不定積分分部積分法則

第四章不定積分4.7不定積分分部積分法則

115第四章不定積分4.7不定積分分部積分法則

2.第二種基本情況(1)被積函數(shù)為乘積xnex(n為正整數(shù)),這時(shí)必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積exdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解;(2)被積函數(shù)為乘積xnsinx或xncosx(n為正整數(shù)),這時(shí)必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積sinxdx或cosxdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解;(3)被積函數(shù)為乘積xαlnx(α≠-1),這時(shí)必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積xαdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解.例3求不定積分∫xexdx.解:∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx=xex-ex+c第四章不定積分4.7不定積分分部積分法則

2.第二種116第四章不定積分4.7不定積分分部積分法則

第四章不定積分4.7不定積分分部積分法則

117第四章不定積分4.7不定積分分部積分法則例9填空題不定積分∫xd(e-x)=

.

解:根據(jù)不定積分分部積分法則,因而所求不定積分

∫xd(e-x)=xe-x-∫e-xdx=xe-x+∫e-xd(-x)=xe-x+e-x+c于是應(yīng)將“xe-x+e-x+c”直接填在空內(nèi).例10填空題已知函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)連續(xù),則不定積分∫xf″(x)dx=

.

解:應(yīng)用§4.3一般湊微分,有關(guān)系式f″(x)dx=df'(x),根據(jù)不定積分分部積分法則,并注意到函數(shù)f(x)為其一階導(dǎo)數(shù)f'(x)的一個(gè)原函數(shù),因而所求不定積分

∫xf″(x)dx=∫xdf'(x)=xf'(x)-∫f'(x)dx=xf'(x)-f(x)+c于是應(yīng)將“xf'(x)-f(x)+c”直接填在空內(nèi).第四章不定積分4.7不定積分分部積分法則例9填空題118第五章定積分5.1定積分的概念與基本運(yùn)算法則例1曲邊梯形的面積已知函數(shù)曲線y=f(x)(f(x)≥0),直線x=a,x=b,它們與x軸圍成的圖形稱為曲邊梯形,考慮其面積S,如圖5—1.用n-1個(gè)分點(diǎn)

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b將x軸上的閉區(qū)間[a,b]任意分成n個(gè)首尾相連的小閉區(qū)間

[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn]這些小閉區(qū)間的長(zhǎng)度分別為

Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,…,Δxn=xn-xn-1在各分點(diǎn)處作平行于y軸的直線,將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形.顯然,所求曲邊梯形的面積S等于這n個(gè)小曲邊梯形面積之和.第五章定積分5.1定積分的概念與基本運(yùn)算法則例1曲119第五章定積分5.1定積分的概念與基本運(yùn)算法則

第五章定積分5.1定積分的概念與基本運(yùn)算法則

120第五章定積分5.1定積分的概念與基本運(yùn)算法則

第五章定積分5.1定積分的概念與基本運(yùn)算法則

121第五章定積分5.1定積分的概念與基本運(yùn)算法則

第五章定積分5.1定積分的概念與基本運(yùn)算法則

122第五章定積分5.2變上限定積分

第五章定積分5.2變上限定積分

123第五章定積分5.2變上限定積分

第五章定積分5.2變上限定積分

124第五章定積分5.2變上限定積分

第五章定積分5.2變上限定積分

125第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

126第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

127第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

128第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

129第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

第五章定積分5.3牛頓—萊不尼茲公式

130第五章定積分5.4定積分換元積分法則

第五章定積分5.4定積分換元積分法則

131第五章定積分5.4定積分換元積分法則

第五章定積分5.4定積分換元積分法則

132第五章定積分5.4定積分換元積分法則

第五章定積分5.4定積分換元積分法則

133第五章定積分5.4定積分換元積分法則

第五章定積分5.4定積分換元積分法則

134第五章定積分5.4定積分換元積分法則

第五章定積分5.4定積分換元積分法則

135第五章定積分5.5定積分分部積分法則定積分分部積分法則如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)在閉區(qū)間[a,b]上都可導(dǎo),且一階導(dǎo)數(shù)u'(x),v'(x)在閉區(qū)間[a,b]上都連續(xù),則定積分

第五章定積分5.5定積分分部積分法則定積分分部積分法136第五章定積分5.5定積分分部積分法則

2.第二種基本情況(1)被積函數(shù)為乘積xnex(n為正整數(shù)),這時(shí)必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積exdx湊微分,然后應(yīng)用定積分分部積分法則求解;(2)被積函數(shù)為乘積xnsinx或xncosx(n為正整數(shù)),這時(shí)必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積sinxdx或cosxdx湊微分,然后應(yīng)用定積分分部積分法則求解;(3)被積函數(shù)為乘積xαlnx(α≠-1),這時(shí)必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積xαdx湊微分,然后應(yīng)用定積分分部積分法則求解.第五章定積分5.5定積分分部積分法則

2.第二種基本137第五章定積分5.5定積分分部積分法則

第五章定積分5.5定積分分部積分法則

138第五章定積分5.5定積分分部積分法則

第五章定積分5.5定積分分部積分法則

139第五章定積分5.6廣義積分

第五章定積分5.6廣義積分

140第五章定積分5.6廣義積分1.第一種基本情況2.第二種基本情況3.第三種基本情況

第五章定積分5.6廣義積分1.第一種基本情況

141第五章定積分5.6廣義積分

第五章定積分5.6廣義積分

142第五章定積分5.6廣義積分

第五章定積分5.6廣義積分

143第五章定積分5.6廣義積分

第五章定積分5.6廣義積分

144第五章定積分5.7平面圖形的面積考慮一類特殊的曲線四邊形或曲線三邊形或曲線兩邊形,如圖5—5、圖5—6、圖5—7及圖5—8,自下向上觀察其圖形,上下兩條曲線邊分別為曲線y=φ(x)與y=ψ(x)(φ(x)≥ψ(x)≥0),左右平行(重合)于y軸的直線邊分別為直線x=a與x=b或上下兩條曲線邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x=a與x=b(a<b).圖5—5圖5—6圖5—7圖5—8第五章定積分5.7平面圖形的面積考慮一類特殊的曲線四145第五章定積分5.7平面圖形的面積

第五章定積分5.7平面圖形的面積

146第五章定積分5.7平面圖形的面積例1求由曲線y=ex與直線y=x-1,x=0,x=1圍成平面圖形的面積S.解:畫出曲線y=ex與直線y=x-1,x=0,x=1,得到它們圍成的平面圖形,如圖5—9.

第五章定積分5.7平面圖形的面積例1求由曲線y=e147第五章定積分5.7平面圖形的面積

第五章定積分5.7平面圖形的面積

148第五章定積分5.7平面圖形的面積例3求由拋物線y=x2與直線x+y=2圍成平面圖形的面積S.解:畫出拋物線y=x2與直線x+y=2,得到它們圍成的平面圖形,如圖5—11.

第五章定積分5.7平面圖形的面積例3求由拋物線y=149附錄二元微分學(xué)1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

附錄二元微分學(xué)1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

150附錄二元微分學(xué)1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

附錄二元微分學(xué)1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

151附錄二元微分學(xué)1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

附錄二元微分學(xué)1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

152附錄二元微分學(xué)1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

附錄二元微分學(xué)1二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

153附錄二元微分學(xué)2二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

附錄二元微分學(xué)2二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

154附錄二元微分學(xué)2二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)例1求二元函數(shù)z=x3y2-5xy4的二階偏導(dǎo)數(shù).解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)

z'x=3x2y2-5y4

z'y=2x3y-20xy3所以二階偏導(dǎo)數(shù)

z″xx=(3x2y2-5y4)'x=6xy2

z″xy=(3x2y2-5y4)'y=6x2y-20y3

z″yx=(2x3y-20xy3)'x=6x2y-20y3

z″yy=(2x3y-20xy3)'y=2x3-60xy2在例1中有關(guān)系式:z″xy=z″yx,這反映出在某種條件下計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)的一種規(guī)律.經(jīng)過(guò)深入討論可以得到結(jié)論:如果二階偏導(dǎo)數(shù)z″xy與z″yx都連續(xù),則有關(guān)系式

z″xy=z″yx下面所討論的二元函數(shù)都滿足這個(gè)結(jié)論的條件,因此只需計(jì)算三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù).附錄二元微分學(xué)2二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)例1求二元函數(shù)155附錄二元微分學(xué)2二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

附錄二元微分學(xué)2二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

156附錄二元微分學(xué)3二元函數(shù)的全微分

定理6.1如果二元函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y)皆在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù),則二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微.二元可微函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域E上任意點(diǎn)(x,y)處的全微分值稱為二元可微函數(shù)z=f(x,y)的全微分,記作

dz=f'x(x,y)Δx+f'y(x,y)Δy二元可微函數(shù)z=f(x,y)的全微分表達(dá)式為

dz=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy附錄二元微分學(xué)3二元函數(shù)的全微分

定理6.1如果二157附錄二元微分學(xué)3二元函數(shù)的全微分

附錄二元微分學(xué)3二元函數(shù)的全微分

158附錄二元微分學(xué)3二元函數(shù)的全微分

附錄二元微分學(xué)3二元函數(shù)的全微分

159附錄二元微分學(xué)4二元函數(shù)的極值定義6.4若二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)值皆為零,即fx'(x0,y0)=0,且fy'(x0,y0)=0,則稱點(diǎn)(x0,y0)為二元函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn).定理6.2已知點(diǎn)(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn),且二階偏導(dǎo)數(shù)f″xx(x,y),f″xy(x,y),f″yy(x,y)皆在駐點(diǎn)(x0,y0)處及其附近連續(xù),引進(jìn)記號(hào)A=f″xx(x0,y0),B=f″xy(x0,y0),C=f″yy(x0,y0),那么:(1)如果關(guān)系式B2-AC<0且有A<0,則駐點(diǎn)(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的極大值點(diǎn);(2)如果關(guān)系式B2-AC<0且有A>0,則駐點(diǎn)(x0,y0)為二元可微函數(shù)f(x,y)的極小值點(diǎn);(3)如果關(guān)系式B2-AC>0,則駐點(diǎn)(x0,y0)不是二元可微函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn).附錄二元微分學(xué)4二元函數(shù)的極值定義6.4若二元函數(shù)160附錄二元微分學(xué)4二元函數(shù)的極值求二元可微函數(shù)f(x,y)的極值的步驟如下:步驟1確定二元函數(shù)f(x,y)的定義域D.步驟2計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y).步驟3令一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)=0,且f'y(x,y)=0,若此方程組無(wú)解,則二元函數(shù)f(x,y)無(wú)駐點(diǎn),當(dāng)然無(wú)極值.否則求出二元函數(shù)f(x,y)的全部駐點(diǎn),并轉(zhuǎn)入步驟4.步驟4計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)f″xx(x,y),f″xy(x,y),f″yy(x,y),得到在駐點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)值A(chǔ),B,C,根據(jù)定理6.2判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),計(jì)算極值點(diǎn)處的二元函數(shù)值即為極值.附錄二元微分學(xué)4二元函數(shù)的極值求二元可微函數(shù)f(x,161附錄二元微分學(xué)4二元函數(shù)的極值

附錄二元微分學(xué)4二元函數(shù)的極值

162附錄二元微分學(xué)4二元函數(shù)的極值

附錄二元微分學(xué)4二元函數(shù)的極值

163引論微積分思路預(yù)備知識(shí)初等數(shù)學(xué)小結(jié)第一章函數(shù)與極限第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章不定積分第五章定積分附錄二元微分學(xué)習(xí)題答案目錄引論微積分思路目錄164第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)基本初等函數(shù)共有六大類：1.常量函數(shù)y=c(c為常數(shù))2.冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))3.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)5.三角函數(shù)6.反三角函數(shù)第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)基本初等函165第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)定義1.1若函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與有限次的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的，且用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示，則稱這樣的函數(shù)為初等函數(shù)。定義1.2已知函數(shù)定義域被分成有限個(gè)區(qū)間，若在各個(gè)區(qū)間上表示對(duì)應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣，但單獨(dú)定義各個(gè)區(qū)間公共端點(diǎn)處的函數(shù)值；或者在各個(gè)區(qū)間上表示對(duì)應(yīng)規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式不完全一樣,則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)。第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)定義1.1166第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)1.奇偶性定義1.3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意點(diǎn)x∈D，若恒有f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；若恒有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)1.奇偶性167第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)2.有界性定義1.4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開(kāi)區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間)上有定義,若存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得對(duì)于所有點(diǎn)x∈I,恒有|f(x)|≤M,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界;否則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無(wú)界.第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)2.有界性168第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)3.單調(diào)性定義1.5已知函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)有定義,對(duì)于開(kāi)區(qū)間J內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x2>x1時(shí),若恒有f(x2)>f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)單調(diào)增加,開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間;若恒有f(x2)<f(x1),則稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間J內(nèi)單調(diào)減少,開(kāi)區(qū)間J為函數(shù)f(x)的單調(diào)減少區(qū)間.第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)3.單調(diào)性169第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)4.極值定義1.6已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處及其左右有定義,對(duì)于點(diǎn)x0左右很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)x≠x0,若恒有f(x0)>f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);若恒有f(x0)<f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)4.極值定170第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)5.最值定義1.7已知函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開(kāi)區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間)上有定義,且點(diǎn)x0∈I.對(duì)于任意點(diǎn)x∈I,若恒有f(x0)≥f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點(diǎn);若恒有f(x0)≤f(x),則稱函數(shù)值f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值,點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點(diǎn).第一章函數(shù)與極限1.1函數(shù)的類別與基本性質(zhì)5.最值定171第一章函數(shù)與極限1.2幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式1.