湘教版八年級上冊數(shù)學(xué) 第二章 22 命題與證明 第三課時(shí)課件

湘教版SHUXUE八年級上本節(jié)內(nèi)容2.2命題與證明(三)湘教版SHUXUE八年級上本節(jié)內(nèi)容2.2命題與證明(三)abab動腦筋復(fù)習(xí)回顧判斷一個(gè)命題是不是真命題需要講道理，講道理的過程叫證明。如何證明？從一個(gè)命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)推理的過程叫作證明。怎樣判斷一個(gè)命題是真命題？如圖，線段a、b一樣長嗎？abab動腦筋復(fù)習(xí)回顧判斷一個(gè)命題是不是真命題需要講道理，講圖中兩個(gè)正方形哪個(gè)大？

觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識事物的重要手段，而且人們可以從中猜測發(fā)現(xiàn)出一些結(jié)論.直觀是重要的,但它有時(shí)也會騙人.圖中兩個(gè)正方形哪個(gè)大？觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識事物

做一做采用剪拼或度量的方法，猜測“三角形的外角和”等于多少度.從剪拼或度量可以猜測三角形的三個(gè)外角之和等于360°

，但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是接近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能接近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得360°．

另外，由于不同形狀的三角形有無數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量的方法來一一驗(yàn)證，因此，我們只能猜測任何一個(gè)三角形的外角和都為360°．此時(shí)猜測出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題．要確定這個(gè)命題是真命題，還需要通過推理的方法加以證明.做一做采用剪拼或度量的方法，從剪拼或度量可以猜測第一步：根據(jù)題意，畫出圖形；證明命題“三角形的外角和為360°”是真命題.動腦筋第二步：結(jié)合圖形，寫出已知求證；已知：∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個(gè)外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.第三步：寫出證明過程，并且步步有依據(jù)。證明:如圖，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性質(zhì)).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第一步：根據(jù)題意，畫出圖形；證明命題“三角形的外角和為360經(jīng)過剛才三站的“證明”之旅，你能說出完整的幾何命題證明需要哪幾個(gè)步驟嗎？（1）根據(jù)題意，畫出圖形。（2）結(jié)合圖形，寫出已知求證（3）寫出證明過程，并且步步有依據(jù)。結(jié)論依據(jù)(定義)(定理)(推論)(基本事實(shí))（真命題）條件結(jié)論數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí)，通常從命題的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論，通過一步步的推理，最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立.

證明的每一步都必須要有根據(jù).推理經(jīng)過剛才三站的“證明”之旅，你能說出完整的幾何命題證明需要哪例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA的延長線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.舉例證明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性質(zhì)）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）.∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）例1已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題的結(jié)論是“至少有一個(gè)”，也就是說可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.如果直接來證明，將很繁瑣，因此，我們將從另外一個(gè)角度來證明.證明假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒有一個(gè)角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠

像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論，通過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為反證法.

反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論”.反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結(jié)論正確結(jié)論像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以先假(1).證明命題：一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且方向相同，則這兩個(gè)角相等。已知：如圖，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求證：∠B=∠B’

證明：∵AB∥A’B’

（）

∴∠B’=∠α（）∵BC∥B’C’

（）∴∠B=∠α（）∴∠B=∠B’()已知兩直線平行，同位角相等

已知兩直線平行，同位角相等等量代換練習(xí)1.在括號內(nèi)填上理由.(1).證明命題：一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且方(2).已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證明：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°（

）.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)2.已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截，∠1=∠2.求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.證明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（兩直線平行,內(nèi)錯角相等）∠3+∠4=180°（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）(2).已知：如圖，∠A+∠B=180°.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩3.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.求證：∠A+∠C=∠B+∠D.證明：∵

AB與CD相交于點(diǎn)E，∴∠AEC=∠BED（對頂角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如圖有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.求證：a//bAabc證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。那么過點(diǎn)A

就有兩條直線a、b分別與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾,故假設(shè)不成立。

∴a//b.3.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.證明：∵AB與已知：如圖，AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD，EG、FH分別是∠AEF和∠EFD的平分線；求證：EG∥FH1)兩條平行線的一對內(nèi)錯角的平分線互相平行.ABCDEFGH2)垂直于同一直線的兩直線平行；3)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；鞏固練習(xí)abc1233)abc122)2、3題請畫出圖形，寫出已知、求證。1、證明下述命題。已知：如圖，AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD，EG、F2、如圖，AB∥CD，MG、NH分別平分∠BMF和∠CNE，求證：MG∥NH3、如圖，已知AB∥CD，∠C=∠D，求證∠AMB=∠ENFNABCHMEFGD(2題)ABCMNFED(3題)中考試題1.如圖∠1=∠2，那么∠3+∠4=

。2、如圖AB∥CD，∠1=115°，∠A=75°，則∠E=

。abcd12341題ABCDE12題180°40°2、如圖，AB∥CD，MG、NH分別平分∠BMF和∠CNE，中考試題3、如圖AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC=32°，則∠CAB=

.4、如圖AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，則∠C=

.5、已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBD=37°，則∠BDE=

.6、如圖AD∥BC，∠EAD=50°，∠ACB=40°，則∠BAC=

.ABCD3題ABCDE124題ACBDE5題ADBCE50°40°6題122°20°63°90°中考3、如圖AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC=32°，4、如證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)，一般有以下步驟：第一步第二步第三步畫出圖形寫出已知、求證寫出證明的過程根據(jù)題意根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形通過分析，找出證明的途徑小結(jié)拓展思考:∠B=∠D成立，圖中會有哪些使得∠B=∠D成立的條件.ABCDEF作業(yè)：P59A6、7B8、9證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)，一般有以下步驟：第一步第二步第三步畫湘教版SHUXUE八年級上本節(jié)內(nèi)容2.2命題與證明(三)湘教版SHUXUE八年級上本節(jié)內(nèi)容2.2命題與證明(三)abab動腦筋復(fù)習(xí)回顧判斷一個(gè)命題是不是真命題需要講道理，講道理的過程叫證明。如何證明？從一個(gè)命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)推理的過程叫作證明。怎樣判斷一個(gè)命題是真命題？如圖，線段a、b一樣長嗎？abab動腦筋復(fù)習(xí)回顧判斷一個(gè)命題是不是真命題需要講道理，講圖中兩個(gè)正方形哪個(gè)大？

觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識事物的重要手段，而且人們可以從中猜測發(fā)現(xiàn)出一些結(jié)論.直觀是重要的,但它有時(shí)也會騙人.圖中兩個(gè)正方形哪個(gè)大？觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識事物

做一做采用剪拼或度量的方法，猜測“三角形的外角和”等于多少度.從剪拼或度量可以猜測三角形的三個(gè)外角之和等于360°

，但是剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是接近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能接近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得360°．

另外，由于不同形狀的三角形有無數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量的方法來一一驗(yàn)證，因此，我們只能猜測任何一個(gè)三角形的外角和都為360°．此時(shí)猜測出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題．要確定這個(gè)命題是真命題，還需要通過推理的方法加以證明.做一做采用剪拼或度量的方法，從剪拼或度量可以猜測第一步：根據(jù)題意，畫出圖形；證明命題“三角形的外角和為360°”是真命題.動腦筋第二步：結(jié)合圖形，寫出已知求證；已知：∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個(gè)外角.求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.第三步：寫出證明過程，并且步步有依據(jù)。證明:如圖，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性質(zhì)).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第一步：根據(jù)題意，畫出圖形；證明命題“三角形的外角和為360經(jīng)過剛才三站的“證明”之旅，你能說出完整的幾何命題證明需要哪幾個(gè)步驟嗎？（1）根據(jù)題意，畫出圖形。（2）結(jié)合圖形，寫出已知求證（3）寫出證明過程，并且步步有依據(jù)。結(jié)論依據(jù)(定義)(定理)(推論)(基本事實(shí))（真命題）條件結(jié)論數(shù)學(xué)上證明一個(gè)命題時(shí)，通常從命題的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證明了的定理和推論，通過一步步的推理，最后證實(shí)這個(gè)命題的結(jié)論成立.

證明的每一步都必須要有根據(jù).推理經(jīng)過剛才三站的“證明”之旅，你能說出完整的幾何命題證明需要哪例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA的延長線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.舉例證明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性質(zhì)）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）.∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）例1已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線段BA例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題的結(jié)論是“至少有一個(gè)”，也就是說可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.如果直接來證明，將很繁瑣，因此，我們將從另外一個(gè)角度來證明.證明假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒有一個(gè)角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°.例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠

像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以先假設(shè)命題不成立，然后利用命題的條件或有關(guān)的結(jié)論，通過推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為反證法.

反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，肯定結(jié)論”.反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結(jié)論正確結(jié)論像這樣，當(dāng)直接證明一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們可以先假(1).證明命題：一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且方向相同，則這兩個(gè)角相等。已知：如圖，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求證：∠B=∠B’

證明：∵AB∥A’B’

（）

∴∠B’=∠α（）∵BC∥B’C’

（）∴∠B=∠α（）∴∠B=∠B’()已知兩直線平行，同位角相等

已知兩直線平行，同位角相等等量代換練習(xí)1.在括號內(nèi)填上理由.(1).證明命題：一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且方(2).已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證明：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°（

）.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)2.已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截，∠1=∠2.求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.證明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（兩直線平行,內(nèi)錯角相等）∠3+∠4=180°（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）(2).已知：如圖，∠A+∠B=180°.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩3.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.求證：∠A+∠C=∠B+∠D.證明：∵

AB與CD相交于點(diǎn)E，∴∠AEC=∠BED（對頂角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如圖有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.求證：a//bAabc證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。那么過點(diǎn)A

就有兩條直線a、b分別與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾,故假設(shè)不成立。

∴a//b.3.已知：如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E.證明：∵AB與已知：如圖，AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD，EG、FH分別是∠AEF和∠EFD的平分線；求證：EG∥FH1)兩條平行線的一對內(nèi)錯角的平分線互相平行.ABCDEFGH2)垂直于同一直線的兩直線平行；3)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；鞏固練習(xí)abc1233)abc122)2、3題請畫出圖形，寫出已知、求證。