基于水平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)渑c形狀優(yōu)化技術(shù)及應(yīng)用研究

技 MEMS結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，研究了熱-彈、電-熱-MEMS結(jié)構(gòu)拓最后，基于本文所水平集結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，在VC++6.0的開發(fā)環(huán)境下開發(fā)了基 技 Structuralshandtopologyoptimizationisabranchofmechanicswhichisestablishedinrelatingtothedevelopmentofcomputerhardwareandsoftwareandthefiniteelementmethod.Structuralshandtopologyoptimizationhaveexperiencedmuchdevelopmentinthepastyears,buttherearestillsomeimportantissuesremainedtobesolved.Thelevelset-basedstructuraloptimizationmethodisbasedonanimplicitgeometryboundaryrepresentation.Comparedtomostconventionalshandtopologyoptimizationmethods,ithasadvantageofsimultaneouslyimplementingshandtopologychangeswhileremainingasmoothboundary.However,therearesomericalproblemsinstandardlevelset-basedtopologyoptimizationmethod,whichgreatlyrestrictitsfurtherapplicationadvantages.Inthisthesis,somemethodsarepresentedtosolvethenumericalproblemswhichexistinthestandardlevelsetmethodandalsoextendedthesemethodstothecompliantmechanismdesign,structuraldynamicsoptimaldesignandmulti-physicsactuatorsdesigninmicroly,consideringthenumericalproblemsinstandardlevelsetmethod,suchasthetimestepoftheupwindschememustbesufficientlysmalltosatisfytheCourant-Friedrichs-Lewy(CFL)condition,leadingtoatime-consumingoptimizationprocess.Furthermore,thefinaldesignhighlydependsontheinitialguessasnomechanismshavebeenincludedtogeneratenewholesinsidethematerialandnewholescanonlybecreatedthroughboundarychanges.Thisstudyemploysasemi-implicitadditiveoperatorsplitting(AOS)schemeratherthanexplicitschemesinstandardlevelsetmethodstosolvethelevelsetequation(Hamilton-JacobiPDE).Thesemi-implicitAOSschemeisbeingstableforanypracticaltimestepsandwithoutstrictconsiderationofCFLcondition.Asaresult,thepresentmethodisfreefromCFLconditionandabletocutcomputationalexpenseoftopologyoptimizationprocess.Furthermore,thismethodcangeneratenewholesinsidethematerialandthefinalSecondly,Instandardlevelsetmethods,inordertoaddresstheproblemthattheboundaryevolutionisoftenimplementedbydirectlysolvingtheHamilton-JacobiPDE,whichmakesthismethodcannotbecombinedwithsomeefficientoptimizationalgorithmsandalsodifficultlytohandlethemulti-constraintproblems.Furthermore,riodicreinitializationisrequiredtobeincludedtorecurrentthebehaviorofthelevelsetsurfaceintheoptimizationprocess.Inthiswork,thecompactlysupportedradialbasisfunctions(CS-RBF)isintroducedtothelevelsetmethodsoastoproposeaparameterizationlevelsetmethod.Inthismethod, 技 thehigher-dimensionallevelsetsurfaceisexpressedviatheCS-RBFinterpolationratherthanthediscreteform.Inngso,theoriginalmoredifficultshandtopologyoptimizationisfullychangedtoarelativelyeasiessizeoptimizationoftheexpansioncoefficients,towhichtheoptimalitycriteriaandthemathematicalprogrammingmethodscanbeused.ItiswellknownthattheCS-RBFcanapproximateascalarlevel-setfunctiontomeettherequirementsoftheglobalsmoothnessandcontinuity.Hence,itisunnecessarytoreinitializethelevelsetsurfaceperiodicallytorecoverthebehaviorofthelevelsetfunction.TheparametriclevelsetmethodcannotonlyretaintheadvantagesoftheimplicitfreeboundaryrepresentationThirdly,thisstudyyzesthereasonofde-factohingesthatwillappearintheresultingmechanismsinevitablywhenthetopologyoptimizationmethodisappliedtodesigncompliantmechanismsusingthewell-knownspringmodel.Accordingtothegeometricfeaturesoflevelsetmethods,thequadraticenergyfunctionoriginallyusedinimageysisisintroducedintothelevelsetmethodtocontrolthegeometricaldimensionofcompliantmechanisms.Thus,thede-factohingeincompliantmechanismscanbereasonablycontrolledandakindofstrip-likecompliantmechanismwithdistributedstrainenergydensitycanbeobtained,whichisabletoFourthly,anewmethodisproposedforizingtheeigenfrequencyofcontinuumstructuresbycombiningthestandardlevelsetmethodswiththeoptimalitycriteriamethod.Andtheproposedmethodisusedtostudytopologicalsh optimizationofizingtheeigenfrequencyforbothtwoandthreedimensionalelasticstructures.Atthesametime,theCS-RBFbasedparameterizationlevelsetmethodisappliedtomulti-physicsactuatorsinmicro-electro-mechanicalsystems(MEMS)inwhichlinearandnonlinearstructuresareinvolved.Finally,asoftwaresystemisdevelopedbasedontheproposedlevel-setshandtopologyoptimizationmethodsintheVC++6.0develoenvironment,whichincludesthemodulesofmodeling,finiteelementysis,sensitivityysisandthelevelsetfunctionupdating.Itcanbeusedtosolveshandtopologyoptimizationproblemsofizingstructuralstiffnessandtheeigenfrequencyofstructuraldynamicsfortwoorthreedimensionalstructures,andalsoithastheinterfaceforCAD/CAEsoftware.Thissystemhasexcellentexpandabilityandcanbeusedtomoreadvancedtopologyoptimizationproblems.Thissystemhaslaidafoundationforresearchonthevisualizationofthealgorithmandtheengineeringoftheresearchresults.Keyword:Levelsetmethod,Topologyoptimization,Sh optimization,Optimalitycriteriamethod,Eigenfrequency,Compliantmechanisms,MEMS獨(dú)創(chuàng)本人所呈交的是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除文中已經(jīng)標(biāo)明的內(nèi)容外，本不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)或撰寫過的研究成果。對(duì)本文的研究做出貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全本的作者簽名：日期： 年 月 使用本作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用的規(guī)定，即：學(xué)校保留并向國(guó)家關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交的復(fù)印件和，允許被查閱和借閱。本人華技大學(xué)可以將本的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等保本。

(請(qǐng)?jiān)谝陨戏娇騼?nèi)打作者簽名 指導(dǎo)教師簽名日期 日期 技 緒課題概課題來源本課題受國(guó)家“863”高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃“復(fù)雜產(chǎn)品多領(lǐng)域建模、分析與優(yōu)本課題受創(chuàng)新科技基金(ITF)“電子工業(yè)制造設(shè)備的高頻特性結(jié)構(gòu)優(yōu)研究背景 技 如方法多孔狀結(jié)構(gòu)，不易制造；P優(yōu)化收斂速度慢，求解效率不高；不能生成新孔，優(yōu)化結(jié)果嚴(yán)重依賴初始設(shè)計(jì)；不研究目的和意義化方法在建筑設(shè)計(jì)、航空航械制造、微機(jī)電系統(tǒng)等方面發(fā)揮出了越來越重要的作設(shè)計(jì)的重要之一。是仍然存在著不足之處。尺寸優(yōu)化過拓?fù)浜托螤铌P(guān)系固定不變，通過優(yōu)化策略尋求對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行重分析的基礎(chǔ)之上，形狀優(yōu)化過，結(jié)構(gòu)的初始拓?fù)湫问焦潭ú蛔儯ㄟ^優(yōu)化過程以尋求結(jié)構(gòu)最理想的邊界形式。形狀優(yōu)化過設(shè)計(jì)域的形狀不斷發(fā)生變化，單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)在優(yōu)化過隨著結(jié)構(gòu)邊界的變化同時(shí)在不斷發(fā)生變化，一旦結(jié)構(gòu)的拓 技 入結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的概念。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是在結(jié)構(gòu)的初始拓?fù)潢P(guān)系未知的情況自從Sethia和i于2000年率先將水平集方法引入到結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域并引起了題邊界變分方法的水平集模型在邊界移動(dòng)的過往往會(huì)造成設(shè)計(jì)邊界與分析模型的網(wǎng)格不協(xié)調(diào)的問題，給邊界附近的靈敏度分析帶來了，從而引起了多種有限元方法、)過無限維的邊界設(shè)計(jì)的離散化導(dǎo)致傳統(tǒng)的多種穩(wěn)定高效的優(yōu)化方法(規(guī)劃法等解決標(biāo)準(zhǔn)水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化中存在的問題 技 是采用半隱式的加性算子(AOS)算法代替標(biāo)準(zhǔn)水平集方法中顯式的逆風(fēng)差分格式來設(shè)計(jì)的依賴。另法就是基于徑向基函數(shù)(RBF)的參數(shù)化水平集方法，該方法采用過不能生成新孔和處理多約束的問題?；谒郊椒ǖ慕Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)湫螤顑?yōu)化研究力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的文獻(xiàn)比較少。雖然結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)較之初期以有了長(zhǎng)足的發(fā)解決柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中的偽鉸鏈問題存在使得柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果容易出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，在抗疲勞破壞方面表現(xiàn)非常 技 多物理場(chǎng)環(huán)境下微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)基于水平集方法的拓?fù)湫螤顑?yōu)化原型系統(tǒng)開發(fā)文獻(xiàn)綜述拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的發(fā)展 技 于一個(gè)新的設(shè)計(jì)問題，在優(yōu)化過它要求能夠產(chǎn)生新的孔，其拓?fù)浜托螤顩]有先驗(yàn)信結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是從桁架結(jié)構(gòu)研究開始的，可以追溯到1904年Mic[3]桁架結(jié)體拓?fù)鋬?yōu)化尚處在早期發(fā)展階段。1974年P(guān)rager[4]應(yīng)用解析方法求解了桁架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題，奠定了這一研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)。Kirsc[5]在1990年、等[6]在，建出最優(yōu)的結(jié)構(gòu)。列研究進(jìn)展，包括1984年Lurie等[10]用G-收斂理論解釋拓?fù)鋬?yōu)化過的非光滑現(xiàn)象；和均勻化之間的關(guān)系；Murat和[12]引入了特征函數(shù)來處理拓?fù)鋬?yōu)化的問題，并方法被提出，如“帶懲罰指數(shù)的固體各向同性微結(jié)構(gòu)模型”(SIMPSolidIsotropicMicrostructureswithPenalization)方法[15,16、結(jié)構(gòu)進(jìn)化法(ESO)[17,18、冒泡法(BubbleMethod)[19]以及水平集方evelSetMethod)[20,21]等各種各樣的方法。這些方法已經(jīng)在工程技術(shù)領(lǐng)域均勻化方法的數(shù)學(xué)理論是20世紀(jì)70年代在與復(fù)合材料等效的均勻化材料的宏 技 集合{0，1}上取值的問題，使其可以在區(qū)間[01]上取值，這種設(shè)計(jì)空間的拓展，保證了和Kikuchi[24]，Hassani和Hinton[25]，F(xiàn)ernandes等[26]對(duì)此方法進(jìn)行不斷完善和發(fā)展，并由容易實(shí)現(xiàn)，計(jì)算效率高，已經(jīng)成為最重要的拓?fù)鋬?yōu)化方法，著名的拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)化結(jié)構(gòu)法(ESO源于等應(yīng)力結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，其基本思想就是設(shè)計(jì)域中的低應(yīng)力或者低和Steve]者對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步研究，例如rr等[33]設(shè)計(jì)的軟殺死方法，Hinto和Sien[34]設(shè)和Steve[35] 技 冒泡法(Bubble)是為了解決經(jīng)典的形狀優(yōu)化方法中不能改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問題由Eschenauer等[19]在1994年。在經(jīng)典的形狀優(yōu)化方法中，邊界通常由一系列離散的參數(shù)顯式地控制，在結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化過需要重新劃分網(wǎng)格。冒泡法的基本機(jī)制就是當(dāng)一個(gè)設(shè)計(jì)問題應(yīng)用形狀優(yōu)化方法不能再進(jìn)一步改進(jìn)的時(shí)候，通過在結(jié)構(gòu)中一個(gè)小圓孔，然后再應(yīng)用形狀優(yōu)化方法來改變形狀和大小，以便更進(jìn)一步改進(jìn)優(yōu)化結(jié)果?？拙鶆蚧椒?、P方法以及進(jìn)化結(jié)構(gòu)法都是屬于基于材料分布的拓?fù)鋬?yōu)化方法，而冒泡法則屬于基于幾何邊界的拓?fù)鋬?yōu)化方法?；趲缀芜吔绲耐?fù)鋬?yōu)化方法分為兩[36,37]研究了給定外載荷和支撐條件下的彈性體拓?fù)鋬?yōu)化，提出修改的滿應(yīng)力法，獲得出了獨(dú)立、連續(xù)、(ICM)方法，并將其成功應(yīng)用到骨架與連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。吳長(zhǎng)春和袁振等人[43,44]研究了非協(xié)調(diào)元和雜交元方法在結(jié)構(gòu)強(qiáng)度拓?fù)鋬?yōu)化中的應(yīng)用,并研究了復(fù)合材料周期性線彈性微結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。榮見華等[45,46]對(duì)進(jìn)化結(jié)構(gòu)法出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，并將拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用到熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。等[49,50]提出水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化水平集方法是r和Sethia]1988年在研究曲線(或曲面)以曲率相關(guān)的速度演化集函數(shù):RnRRS作為) 技 Osher和Sethian提出了水平集方法，并構(gòu)造了水平集方程的高精度穩(wěn)定數(shù)值解法[52,53]，算法設(shè)計(jì)的基本思想包括非震蕩插值、單調(diào)差分格式和逆風(fēng)差分格式等。水平為提高水平集方程的求解效率，193年Copp[54]提出了窄帶水平集思想，在此基礎(chǔ)上，1995年Adalsteinsso和Sethia[55]構(gòu)造出了具體的窄帶水平集算法其思想就是在求解面求解技術(shù)]是4]在1993年研究極小曲面計(jì)算時(shí)，其目的是使水平集函數(shù)在界面追蹤過程中始終保持為符號(hào)距離函數(shù)，以提高界面的描述精度。Sussma等[56]在1994年成功構(gòu)造了一個(gè)偏微分方程，通過跌代求解這個(gè)偏微分方程可以實(shí)現(xiàn)符號(hào)距離函數(shù)的重新初始化，這種方法也被稱為偏微分方程的符號(hào)距離初始化方法。符號(hào)距離重新初始化實(shí)質(zhì)上就是求al方程的穩(wěn)態(tài)解，針對(duì)這個(gè)方程，1996年Setian和Helmese55]應(yīng)用Rou-算法，迎風(fēng)差分和堆排序的思想，這就是著名的快速行進(jìn)法。1999年Sethia[59]又構(gòu)造出了二階精度的快速行進(jìn)法。度，并應(yīng)用水平集模型描述結(jié)構(gòu)邊界的運(yùn)動(dòng)和拓?fù)渥兓?001年Osher和Santosa[61]也開 技 標(biāo)準(zhǔn)水平集方法[20,21]顯示了其在拓?fù)湫螤顑?yōu)化過強(qiáng)大的描述拓?fù)湫螤钭兓哪芰Γ侨匀淮嬖谝恍┤秉c(diǎn)：(1)最終的優(yōu)化結(jié)果嚴(yán)重依賴初始設(shè)計(jì)，這是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)水平集方法優(yōu)化過不能生成新孔，只能通過邊界的合并來生成孔。(2)步長(zhǎng)必須足夠小，以滿足逆風(fēng)差分格式中CF條件的限制，這導(dǎo)致優(yōu)化過程的收斂速度非常慢，通常需要幾百步甚至上千步的迭代。(3)優(yōu)化過為了保證數(shù)值穩(wěn)定性和求解精度，需要對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行耗時(shí)的周期性初始化。)結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤钛莼仨毻ㄟ^求解一個(gè)Hamilto-Jacob為了解決標(biāo)準(zhǔn)水平集方法優(yōu)化過不能生成新孔的問題，等[65]和[66]是和We[67]采用AOS方過性66最初是用來評(píng)價(jià)在設(shè)計(jì)域的某個(gè)位置開一個(gè)小孔對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。Novotny等]在形狀導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上提出了另外一種拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的定義。盡管將拓同時(shí)為了提高水平集方法的優(yōu)化收斂速度，提高效率，減少因?yàn)槟骘L(fēng)差分格式中CF等[71]等[72]Amstut和[73]等[74]提出了一種半拉格朗日的水平集方法，擺脫步長(zhǎng)限制，很好地提高了優(yōu)化效率，但該方法穩(wěn)定性比較差。Chen等[75]將函數(shù)和BgS等[76] 技 LuoZ等[78]在徑向基函數(shù)方法的基礎(chǔ)上采用緊支徑向基函數(shù)(CS-RBF)建立了一種參數(shù)化的分段水平集拓?fù)鋬?yōu)化方法，但該種方法用來處理多材料問題的優(yōu)化才更能體現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)。的求解效率。[83,84]等將水平集結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法應(yīng)用到應(yīng)力約束下拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)以及優(yōu)化算法發(fā)展計(jì)技術(shù)的發(fā)展過，出現(xiàn)了許多優(yōu)化算法，主要分為兩大類：一類是確定性的優(yōu)化算法，另一類是隨機(jī)性的算法。確定性的算法主要有最優(yōu)化準(zhǔn)則法(OptimalityCriteriaMethod(OC))和數(shù)學(xué)規(guī)劃法(MathematicalProgramming(MP))。最優(yōu)化準(zhǔn)則法一種可以替代數(shù)學(xué)規(guī)劃法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，準(zhǔn)則法最初的基本思想見于Mic在 技 接的方式試圖滿足一系列與結(jié)構(gòu)行為相關(guān)的準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則或者來源于設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)世紀(jì)七十年代，人們把數(shù)學(xué)中最優(yōu)解應(yīng)滿足的Kuhn-Tucker(-)條件作為結(jié)構(gòu)優(yōu)用于拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)這樣具有幾萬個(gè)甚至上百萬個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。)設(shè)計(jì)變量本身的求解；(2)對(duì)于不具有凸性的目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)則法不容易構(gòu)造設(shè)計(jì)變量的則法或多或少是一種啟發(fā)式的準(zhǔn)則(Ma[28],Nishiwaki[29])；(3)考慮穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能等數(shù)學(xué)規(guī)劃法數(shù)學(xué)規(guī)劃法將優(yōu)化問題歸結(jié)為在設(shè)計(jì)空間中由等式約束超曲面和不等式約束半空60的理論奠基人之一的S首先將結(jié)構(gòu)有限元分析方法和非線性規(guī)劃算法結(jié)合起來，求解超靜定結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。0年代中期St和Farsh[88]進(jìn)一步提出了結(jié)構(gòu)優(yōu)化的近似的優(yōu)線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)和 技 的方法有：?jiǎn)渭冃畏ê托拚膯渭冃畏╗89]、橢球算法[90]、卡馬卡算法[91]等。(2)對(duì)于非在實(shí)際的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中，凸規(guī)劃方法已逐漸成為一種很有效的求解算法。t和Farsh[88]1974年首先將凸規(guī)劃方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)中，現(xiàn)在已推廣到Fleur和ri[92]于1986N:xinSvanber99]:tdfigyms和“全局收斂的移動(dòng)漸近線方法”GCMMAytrnfedfgSQP:SequentilQudraticProgramming、Zhan和Fleur[95]的“對(duì)角二次近似法”DQAagonalQuadrticApproximatio。Zhn等[96]的帶等式約束“廣義的移動(dòng)漸進(jìn)線方法”MM:GeneralizedMethodofMoving。中一種高效的適合于求解具有復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)和多約束條件的高級(jí)優(yōu)化求解器。關(guān)于性規(guī)劃的對(duì)偶理論和優(yōu)化準(zhǔn)則方法有機(jī)結(jié)合起來，形成結(jié)構(gòu)優(yōu)化的對(duì)偶理論。Zhang和隨機(jī)性的優(yōu)化算法 技 的隨機(jī)性優(yōu)化算法有基于生命科學(xué)的遺傳算法、蟻群系統(tǒng)算法、粒子群算法、模擬模糊優(yōu)化算法和灰色系統(tǒng)優(yōu)化算法等。(1)遺傳算法[101]最早是由Michigan大學(xué)的J.H.Holland教授于1975年。主要思想是利用二進(jìn)制串來表示來模擬生物料的多學(xué)科拓?fù)鋬?yōu)化問題。(2)由于一般的優(yōu)化算法缺乏處理模糊性和不確定性因素的等[106])。(3)灰色系統(tǒng)方法類似于模糊優(yōu)化法[107]，它是由我國(guó)學(xué)者鄧聚龍教授于80年代初?；疑当疚难芯?jī)?nèi)容，創(chuàng)新點(diǎn)與組織結(jié)構(gòu)研究?jī)?nèi)容撲形狀優(yōu)化原型系統(tǒng)開發(fā)。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn) 技 時(shí)優(yōu)化過也不再對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行初始化，提高了優(yōu)化過程的收斂速度。針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)水平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化只能通過求解Hamilton-Jacobi偏微分方程來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)邊界的演化，不能同優(yōu)化領(lǐng)域中現(xiàn)有的成高效的優(yōu)化算法(如：最優(yōu)基于水平集方法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化的應(yīng)用。為更好體現(xiàn)水平集結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的特點(diǎn)以場(chǎng)的微機(jī)電結(jié)構(gòu)(MEMS)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，研究了多物理場(chǎng)作用下的線性，幾何非線性全文組織結(jié)構(gòu)集方法結(jié)構(gòu)優(yōu)化過具有幾何信息的特點(diǎn)，提出了具有幾何約束的柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化 技 緒圖1.1 技 本章小研究的主要內(nèi)容、主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)進(jìn)行了描述。最后介紹了本的組織結(jié)構(gòu)形式。 技 半隱式AOS格式的水平集拓?fù)湫螤顑?yōu)化方法引如前所述，標(biāo)準(zhǔn)水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化]存在多個(gè)問題，如：用于求解水平集方程的逆風(fēng)差分格式步長(zhǎng)受L條件限制，優(yōu)化過程收斂速度緩慢；只能通過邊界的合并或斷開生成孔，不能產(chǎn)生新孔，優(yōu)化結(jié)果受初值影響大；為了保證數(shù)值的穩(wěn)定，優(yōu)化過需要對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行耗時(shí)的周期性初始化；結(jié)構(gòu)邊界演化通過求解水平集方程實(shí)現(xiàn)，不能同成優(yōu)化算法相結(jié)合，難以處理多約束問題等。本章針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)水集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化中存在的問題，提出采用半隱式格式的加性分離算子算法(AO)來求解水平集方程的方法，因?yàn)榘腚[式的差分格式為無條件穩(wěn)定的，所以其步長(zhǎng)不受水平集方法邊界表達(dá)水平集方法的基本思想就是將曲線(或曲面)隱式地表達(dá)為一個(gè)函數(shù)的等值面，個(gè)函數(shù)(x)滿足:(x)0x(x)0x (x)0xD 技 (a)設(shè)計(jì) (b)水平集模圖2.1從結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的角度理解就是在有材料的區(qū)域(x)值大于零，在孔的位置(x)小于零，邊界上(x)等于零。:R3R，包含在三中，也就是：x){xRd|x)0}(d2or3) 公式中x是空間里函數(shù)零等值面上的一點(diǎn)，換句話說，x為三中組成了的零(t){x(t):(x(t),t) dxv 考慮到法向速度vnvn而n定義為n(2.4)就定

||0，(x,0) 方程(2.5)定義了一個(gè)初始值問題。水平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化可以被認(rèn)為是讓由目標(biāo)函數(shù)和約束條件決定的速度場(chǎng)vn驅(qū)動(dòng)下的水平集面上點(diǎn)的移動(dòng)vn,使得在該速度場(chǎng)vn的驅(qū)動(dòng)下得到考慮目標(biāo)函數(shù)和約束條 技 平集函數(shù)進(jìn)行離散的處理，例如基于歐拉方法的顯式有限差分，但是就像Wang等[20]指出的那樣，Hamilton-Jacobi類型的偏微分方程的求解是非常復(fù)雜的，在求解過需要定性，整個(gè)求解過水平集函數(shù)需要始終保持為一個(gè)符號(hào)距離函數(shù)，因此求解過需要對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行周期性的重新初始化。式結(jié)構(gòu)邊界的描述優(yōu)勢(shì)，在此基礎(chǔ)上，采用半隱式的加性算子(AOS)算法代替原來優(yōu)化模型及優(yōu)化算法水平集拓?fù)湫螤顑?yōu)化模型Minimize:J()

E(u)(u)H 2 ijkl Subjectto:a(u,v,)l(v,),vU,u| V()

DH()dJ(為目標(biāo)函數(shù)，不等式表示設(shè)計(jì)域內(nèi)最大允許材料量的上限體積VmaxH(x)1,if ,(x) 0,if 能量雙線性形式a(u,v)和載荷線性形式l(v)分別表a(u,v,)DEijklij(u)kll(v,)DfvH()dDpv()d

技 au,v,)lv,)為彈性平衡方程的弱形式，u表示位移域，v表示在動(dòng)力學(xué)上允許的位移域空間UEijklijp表示體積力，f是應(yīng)用在邊界t上的牽引力。u0描述的是在邊界u上的位移。結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化設(shè)計(jì)問題就是找到的最優(yōu)邊界使得描述的具體的物理或者幾何類型目標(biāo)函數(shù)J()獲得最小值。這是連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)概念[32]。在求解優(yōu)化問題(2.6)時(shí)，水平集面演化過不等式的體積約束通常很難實(shí)現(xiàn)。在子是固定的，因此優(yōu)化過很難保證體積約束得到滿足。體積約束實(shí)現(xiàn)的另外體積不可能保持不變，這種方法導(dǎo)致優(yōu)化過體積不斷蕩。因此，在數(shù)值執(zhí)行過，需要精確計(jì)算拉格朗日乘子，這樣才能保證優(yōu)化過體積約束一直得到滿足。增廣拉格朗日方法增廣拉格朗日方法是將二元性概念和外部懲罰方法相結(jié)合的法，因其應(yīng)用朗日方法在基于水平集方法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中也能夠很好地應(yīng)用(Wei等[79。增廣拉格朗日方法最初是由Hestenes[108]和Powell[109]在1969年分別獨(dú)立。方法時(shí)造成很多。因此在過去的幾十，有多種改進(jìn)的增廣拉格朗日乘子方法被提出來。例如改進(jìn)的函數(shù)方法(ModifiedBarrierFunctionMethod(MBFM))[111]，改進(jìn)的增廣拉格朗日法(ModifedBarrierAugmentedLagrangianMethod(MBALM))[112]，拉格朗日乘子冪指數(shù)法(ExponentialMethodofMultipliers(EMM))[113]等。Birgin[114]對(duì)上面幾種增廣拉格朗日方法在不等式約束的非線性規(guī)劃問題框架下進(jìn)行了穩(wěn)定性AOS差 技 x

f(x)subjecttogi(x)0,i1, , nL(x,,)f(x)(gi(x),i,

研究各種各樣能夠使得增廣拉格朗日方法求解特性更好的懲罰函數(shù)是增廣拉格朗日Birgin[114]采用不同的數(shù)值算例對(duì)各種增廣拉格朗日乘子法進(jìn)行了詳盡而且完整的朗日方法中，懲罰函數(shù)g1g ifg0(g,,)

ifg其中拉格朗日乘子i和懲罰參數(shù)是通過下面的式子(2.13)進(jìn)行更k1max(kg(x)/k i1, , k1(0,kL(x,,)f(x)

g(x),

g( i i 朗日乘子震蕩的現(xiàn)象。因此，在實(shí)際的執(zhí)行過，初始階段僅執(zhí)行方程(2.12)中的懲罰部分g2/以獲得實(shí)際拉格朗日乘子的近似值，然后再轉(zhuǎn)入增廣拉格朗日法。數(shù)值結(jié) 技 敏度分形狀導(dǎo)數(shù)(Sokolowski[1],Haug等[115])。為更好定義形狀導(dǎo)數(shù)，如圖2.2所示，幾何形狀的變化可以被看作是通過一個(gè)虛擬的時(shí)間t從x到x(t)的 可以被看作是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，則定義所有可能的集合(t)為：圖2.2(t)(Id圖2.2

其中Id為標(biāo)示，而:RdRd為一小的規(guī)則操作。那么如果足夠的小，則就可以保證G():以及():R的存在。因此有I）G()I on 式(2.16)中n:Sd1表示邊界上的單位，則目標(biāo)函數(shù)J((t))可以表達(dá)為J((t))J()J'()n 其中J'()為關(guān)于虛擬時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)，也就是形狀導(dǎo)數(shù)或者形狀梯度，它是在W1,(Rd，Rd)上連續(xù)的線性函數(shù)。根據(jù)Sokolowski[1]在上的體積積分以及在邊界f(xW1,1(RN)且

fx)dx,則(() ((x)f(x))dx(x)n(x)f(x) 技 f(x)W2,1(RN且)

f(x)dx,則( (x)n(x)f(x) n f(x) 速度域求解在水平集結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法中，最關(guān)鍵是找到一個(gè)合適的速度場(chǎng)vn，使得目標(biāo)函數(shù)下降。中同樣采用形狀導(dǎo)數(shù)敏度分析方法找到使得目標(biāo)函數(shù)下降的速度場(chǎng)vn。)),J((t)) (u)H()d (u)(u)

d ijkl 2Dijkl a((t))

(v)H()d Dijkl Dijkl DEijklij(u)kl(v)()tl((t)) [fvdiv(pvn)]H()d[fvdiv(pvn)]() DEijklij(u)kl(v)H()D[fvdiv(將方程auv)lv,)兩邊對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo)得到a(u,v,(t))l(v, DDEijklij(u)kl(v)H()d[fvdiv(pvn)Eijklij(u)kl(v)]()vndD因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)剛度最大化問題為自伴隨問題(Wang等[20],Allaire等[21])，則可以得到DDEijklij(u)kl(u)H()d[fudiv(pun)Eijklij(u)kl(u)]()vD

J((t)) [fudiv(pun)

E(u)(u)]()v 2ijkl 技 tV((t))D((x))vnd 拉格朗日法將原來的約束問題轉(zhuǎn)換成如式(2.29)J()J() H()d

1 H()

max 2 maxk1k1 H() ,k1(0,k k max為懲罰參數(shù)。在數(shù)值執(zhí)行過，設(shè)為一很小正數(shù)，其通過式子k1*k，來確定。對(duì)于拓?fù)鋬?yōu)化問題，數(shù)值算例顯示，當(dāng)0.10.5這樣就可以計(jì)算得到增廣JJ

((t))

1 H() 2 tJ t max 2 DG()()v

G()fudiv(pun)1E(u)(u)1H() ijkl max因?yàn)関nvn，所以式子 可以寫為J((t))

G()()vn vn來更新水平集函數(shù)，根據(jù)參數(shù)文獻(xiàn)(Wang等[20],Allaire等[21])，最簡(jiǎn)單的方法就是采用vnJ((t)) G2()()d 這樣速度場(chǎng)vn就可以保證結(jié)構(gòu)邊界一直沿著使目標(biāo)函數(shù)下降的方向演化

技 vNvnkdiv(||為隱式函數(shù)的曲半隱式的AOS差分格

展，提出了加性算子(AOS)策略，其最初主要是用于求解圖像處理和計(jì)算機(jī)圖形中的非線性擴(kuò)散濾波方程AOSm維的空間問題剖分成uk1uk

gk

l ll1jNl(i

i(ukuk)2h2 u(x,0u(x)ukgkuxtg(u(x,tN(i i i 結(jié)點(diǎn)i在l方向的兩個(gè)相鄰結(jié)點(diǎn)的集合，而mluk1ukm iuk1ukm lA表示在lA(uk)a(uk，其中a 1(gkgk jNl2h l 1 2h2(gjgn i 設(shè)圖像u(x)的一個(gè)濾波圖像u(x,t)被定義為方程(2.40)在適當(dāng)邊界條件下的一個(gè)解。 技 u(x,t)a(x)b(x)u(x),u(x,0)u(

線性濾波方程得到(Weickert等[117])。考慮到水平集函數(shù)(xt)的定義(Sethian[52];Osher和Fedkiw[53])，假設(shè)ax),bx)1且(x)Bx，得到公式(2.41)：B(x),(x,0)( k1

k iAl(k)l

B(x),0 從式(2.42)可以看到k1并不能直接獲得，必須通過求解方程(2.43)mk1[IA(k)]1kB(x),0 從理論上來說，式(2.43)這個(gè)半隱式的求解策略對(duì)于任何0的時(shí)間步長(zhǎng)都是穩(wěn)定做加性算子(AOS)策略，其表達(dá)式如方程(2.44)。k11 k1k m

[ Al )] B(B(k)ImA(k表示在x 將由敏度分析式子(2.36)得到的速度的vN帶入水平集方程(2.5)可以得到tNdivtN

k1 i

k kA( v

根據(jù)式(2.44)給出的AOS差分格式，水平集函數(shù)可以通過下面的式子(2.47)來進(jìn)行更 技 k11m k1k k m

vN Al(kaij(k，而aij(k)hhl

k

k

jNl

2

h 2 ,i h l lnN(i)il A1xkx A2yky k11(I2A(k))1(I2A(k))1kv(x)k ()(I2A(k))1kv(x) ()(I2A(k))1kv(x) 1和2通過Thomas方法可以很容易的求得(Weickert等[117])思想是將問題分解成多個(gè)一維問題，進(jìn)一步提高了求解效率。盡管式(2.51)中出現(xiàn) 技 數(shù)值技巧 x H(x)

,|x 2

x但是在實(shí)際執(zhí)行過，需要對(duì)||進(jìn)行如式(2.55)那樣的一個(gè)范圍約束，以保證數(shù)值min(1e4,max(,1e vNvNmax(vN 數(shù)值算算例F1，左下角固定，右下腳簡(jiǎn)支。整個(gè)設(shè)計(jì)域采用8040 技 圖2.4 圖2.5所示為采用半隱式的AOS格式，時(shí)間步長(zhǎng)15，曲率系數(shù)1e6時(shí)優(yōu)化過水平集更新需要時(shí)間，tFEM為每次有限元迭代需要的時(shí)間。表2.1逆風(fēng)格式和AOSJtlstFEMNAOS 技 過僅需要考慮實(shí)際問題來選擇步長(zhǎng)，因?yàn)椴介L(zhǎng)的大小會(huì)對(duì)優(yōu)化結(jié)果有比較大的影響(Hassani和Hinto[22]過(a)Step (b)Step(c)Step (d)Step(e)Step (f)圖2.5采用半隱式的AOS圖2.7為采用AOS式集化過標(biāo)積曲。從圖中可以看到在最初的30個(gè)迭代步內(nèi)目標(biāo)函數(shù)首先從1.790增加到22.532在最初階段結(jié)構(gòu)體積大于體積約束。在體積滿足體積約束以后，可以看到目標(biāo)函數(shù)從22.532下降到18.690局部302.8所示為采用標(biāo)準(zhǔn)水平集方法優(yōu)化時(shí)的目標(biāo)函數(shù)和體積比的收斂曲線。從圖中可以看到，在最初的421步迭代中，目標(biāo)函數(shù)應(yīng)變能從12.709增加到23.160，而最終又從23.160下降收斂到19.635。間(Wang等[20])。在標(biāo)準(zhǔn)的水平集方法拓?fù)鋬?yōu)化過，水平集面(2D)演化的非常慢，因華技大學(xué)博士華技大學(xué)博士 (a)Step (b)Step(c)Step (d)Step (e)Step (f)Step圖2.6圖2.7AOS圖2.8逆風(fēng)格式求解時(shí)優(yōu)化過應(yīng)變能和體積比收斂曲為考慮CFL條件的限制，時(shí)間步長(zhǎng)非常小。為了減小有限元分析的時(shí)間，通常每5步水算例圖2.9DLH2:1的矩形區(qū)域，左端固定，圖2.9初始設(shè)計(jì)的影響在標(biāo)準(zhǔn)的水平集方法中(Wang等[20];Allaire等[21])，為了能夠獲得比較好的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)(Burger等[65];Allaire和Jouve[66];Wang和Wei[67])只能通過邊界的合并來生成孔，而不能生極容易收斂于局部最優(yōu)解。在本章所基于AOS格式的水平集優(yōu)化方法中，優(yōu)化過 (a)初始設(shè) (b)Step(c)Step (d)Step Step (f)最終圖2.10初始設(shè)計(jì)有7優(yōu)化結(jié)果。同采用SIMP方法(Sigmund[15])獲得的優(yōu)化結(jié)果以及標(biāo)準(zhǔn)水平集方法(Wang[20];Allaire等[21])優(yōu)化結(jié)果近似。圖2.11所示為有3個(gè)孔的初始設(shè)計(jì)的優(yōu)化過程，從圖中 技 以看到，在本章所半隱式AOS格式水平集方法，具有3個(gè)孔的初始設(shè)計(jì)一樣獲得初始設(shè)計(jì)的優(yōu)化過程如圖2.12所示。從圖2.12中可以看到，本章中半隱式AOS格 (a)初始設(shè) (b)Step(c)Step (d)Step(e)Step (f)最終圖2.11初始設(shè)計(jì)有3對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的逆風(fēng)格式水平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)演化過只能通過是非常的(Wang和Wei[67];Allaire和Jouve[66])。水平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化最大的優(yōu)點(diǎn)就是結(jié)構(gòu)邊界是隱式表達(dá)，通過邊的合并和斷開來產(chǎn)生新孔，可以方便地同時(shí)表達(dá)結(jié)構(gòu)的拓?fù)浜托螤钭兓１菊滤腚[式AOS格式的水平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化既保留了這樣的優(yōu)點(diǎn)，又解決了其不能 技 (a)初始設(shè) (b)Step(c)Step (d)Step(e)Step (f)JTsJTs(s)(totalNFig10.(a)with7Fig12.(a)without曲率系數(shù)的影響在半隱式AOS格式的水平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化中，曲率系數(shù)為一個(gè)重要的參都采用相同的初始設(shè)計(jì)，步長(zhǎng)為10，均采用8040的矩形網(wǎng)格離散。最終的設(shè)計(jì)結(jié) 技 2.3可以看到，在初始設(shè)計(jì)相同的情況下，不同的曲率系數(shù)將得到不同的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果產(chǎn)生，過小則優(yōu)化速度慢，因此優(yōu)化過選擇合適的曲率系數(shù)非常重要。曲率系數(shù)表2.3JTs(N1e-1e-1e-步長(zhǎng)對(duì)結(jié)果的影響時(shí)間步長(zhǎng)，在這一部分中同樣采用三個(gè)例子來驗(yàn)證時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)最終拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影化結(jié)果如表2.4所示。從表2.4中可以看到，AOS格式中的時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果有著顯著AOSHamilto-Jacob的作用和M方法中的步長(zhǎng)是一致的Sigmnd]。通常來說，一個(gè)過大的步長(zhǎng)會(huì)使得優(yōu)化方法本身對(duì)于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的2.4 技 表2.4s初始設(shè) J T 最終結(jié)s 表2.5初始設(shè) J Ts( 最終結(jié) 80 120 160 網(wǎng)格對(duì)結(jié)果的影響為了驗(yàn)證網(wǎng)格對(duì)于最終優(yōu)化結(jié)果的影響，將設(shè)計(jì)域分別離散成8040，12060和16080三種情況，這三種情況都采用步長(zhǎng)101e6，其相關(guān)結(jié)果比 技 從懸臂梁拓?fù)鋬?yōu)化的例子可以看到在本章基于半隱式AOS格式的水平集優(yōu)以獲得相似的優(yōu)化結(jié)果，因此半隱式AOS格式的水平集方法完全擺脫了CFL條件限制，本章小結(jié)分格式變得高效且穩(wěn)定，優(yōu)化過不用再對(duì)的水平集函數(shù)進(jìn)行耗時(shí)的周期性的初 技 基于RBF的參數(shù)化水平集拓?fù)湫螤顑?yōu)化方法引件限制。另外，在標(biāo)準(zhǔn)水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化過，除步長(zhǎng)必須滿足CFL條件外，將徑向基函數(shù)引入到水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化最初是由Wan等[76,77]，其用一種全局的徑向基函數(shù)(GlobalSupportedRadialasisFunctionsS-RBF函數(shù)e(IMQ)作為優(yōu)化過的隱式邊界描述函數(shù)。通過這種方法將原來的Hamito-Jacob偏微分方程轉(zhuǎn)換成為常微分方程，降低了求解的復(fù)雜性。同時(shí)因?yàn)镼插值函數(shù)滿足拓?fù)鋬?yōu)化過對(duì)水平集函數(shù)連續(xù)性和光滑性要求，不需要再對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行重新初始化。Luo等[78]將緊支徑向基函數(shù)tyrdadialasis-RBF引入到水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化中，以插值函數(shù)擴(kuò)展系數(shù)作為設(shè)計(jì)變基函數(shù)引入到標(biāo)準(zhǔn)水平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化中，以插值函數(shù)擴(kuò)展系數(shù)作為設(shè)計(jì)變狀優(yōu)化方法。原先的基于i偏微分方程的水平集結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化被轉(zhuǎn)換 技 徑向基函數(shù)徑向基函數(shù)(RBF)方法是一種發(fā)展的完善的用一個(gè)全局連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)來近似或基于徑向基函數(shù)的插值在將函數(shù)近似成為一系列標(biāo)量數(shù)據(jù)或者大量變量上非常有效。徑向基函數(shù)是在這樣的一個(gè)函數(shù)空間[119]：給定一個(gè)一元函數(shù)RR，在定義域xRd上，所有的形如(xc)(||xc||)及其線性組合的函數(shù)空間稱為由函數(shù)其表達(dá)與計(jì)算均非常簡(jiǎn)單(由一個(gè)給定的一元函數(shù)表達(dá))；具有很強(qiáng)的近功能，可以gi(x)g(||xxi||),xi 其中||||Rdix為控制點(diǎn)(Kont)gR，g(00基函數(shù)在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，其大致可以分為兩類，一類是全局徑向基函數(shù)(GS-RBF)，另外一類是緊支徑向基函數(shù)(CS-RBF)全局徑向基函數(shù)(GS-這一部分中用Multiquadrickernel函數(shù)來說明徑向基函數(shù)模型的概念，Multiquadric(xxi)(xxi) 技 表3.1全局徑向基函數(shù)(GS- g(r)(r||xxi

r2lnr2nln

xRn1,xRSobolev rvKv(r v0,Kv:BesselMaternspline

ecrKvecrrr2rr2

v0,ccccN(x)gi(x)ip(其中i為在第i個(gè)控制點(diǎn)xi處的徑向基函數(shù)插值函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)

px)是為保證g)p(x)p0p1 p,pppx的系數(shù)，而(,R2xR2 Ni

ii

ii

(x)gT

g[g1( gN( 1 ]R( 技 p2]R(N A

g11(g11(gg12g22(g1N( g2N 1212

2

gN1 gN2 gNN(

N N

N

0

p 0 0 0 p 0 1 0 p 2 緊支徑向基函數(shù)(CS-系數(shù)矩陣A不是稀疏矩陣，使得計(jì)算消耗很大，而且優(yōu)化過局部的參數(shù)變化對(duì)全局C2:g(r)(max(0,1r))4(4r C4:g(r)(max(0,1r))6(35r218r 技 C6:g(r)(max(0,1r))8(32r325r28r 在二維歐拉空間，空間距離r定義為：表3.2Wendland緊支徑向基函d

g(r)(r||xxig1,0(1r

Cg

(1r)3(3r Cdd

(1r)5(8r25r C(1r) C(1r)4(4r C(1r)6(35r218r C(1r)8(32r325r28r C(1r C(1r)5(5r C(1r)7(16r27r Cr (xxi)2(yyiR

C:g(x,y)(max(0,1r))3(20r) C:g(x,y)(max(0,1r))3(20r) 華技大學(xué)博士華技大學(xué)博士C:g(x,y)(max(0,1r))5(140r2160r36) C:g(x,y)(max(0,1r))5(140r2160r36) C:g(x,y)(max(0,1r))7(160r3246r2106r36) C:g(x,y)(max(0,1r))7(160r3246r2106r36) xxR(xxi)2(yyiyyR(xxi)2(yyi

圖3.1C2C4和C6階CS-RBF華技大學(xué)博士華技大學(xué)博士圖3.2C6階CS-RBF在X,Y圖3.3C4階CS-RBF在X,Y圖3.4C2階CS-RBF在X,Y圖3.1為C2C4和C6階緊支徑向基函數(shù)(CS-RBF)形狀。圖3.2-4為各階緊支徑向基C2階連續(xù)的緊支徑向基函數(shù)插值就可以滿足拓?fù)鋬?yōu)化過程參數(shù)化水平集拓?fù)湫螤顑?yōu)化方法基于RBF水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化傳統(tǒng)基于離散格式的水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化中，水平集函數(shù)是一個(gè)離散的函C0階形狀函數(shù)描述。在應(yīng)用歐拉方法求解水平集方程時(shí)，采用的是固定網(wǎng)格上的有限差分法]用。歐拉方法的一個(gè)重要步驟就是應(yīng)用結(jié)點(diǎn)的值和形狀函數(shù)來描述幾何形狀，以保證獲得的設(shè)計(jì)結(jié)果在形狀上足夠的光滑[124]。但在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)槎囗?xiàng)式的振顫問題lili僅C0問題時(shí)候，多項(xiàng)式插值很容易導(dǎo)致奇異或者使求導(dǎo)結(jié)果精度比較差[125]，因此，僅僅隱式函數(shù)網(wǎng)格必須足夠的精細(xì)才能夠保證偏導(dǎo)的精確性，從而避免求解時(shí)候出現(xiàn)的數(shù)值奇異問來替代離散點(diǎn)和形狀函數(shù)的方法描述水平集函數(shù)將原來的偏微分方程轉(zhuǎn)換成一個(gè)常微分方程。在這個(gè)方法中，水平集函數(shù)被轉(zhuǎn)換成了一個(gè)和時(shí)間相關(guān)的參數(shù)形式：(x,t)gT(x) 其中g(shù)(x)為一個(gè)徑向基函數(shù)的插值函數(shù)集合，(t)為在迭代過和時(shí)間相關(guān)的擴(kuò)展dgT(x)

|(g(x))T(t)| 獲得了速度場(chǎng)vn就可以得到參數(shù)的迭代方式。通過這種方法，將原來基于 技 可以采用常微分方程求解方法來求解，例如一階向前歐拉法、高階Runge-Kutta法、不能應(yīng)用成優(yōu)化算法(如最優(yōu)化準(zhǔn)則法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法)進(jìn)行求解，求解策略缺乏數(shù)學(xué)平集結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化方法，將水平集方法同優(yōu)化領(lǐng)域中成高效的優(yōu)化算法相結(jié)參數(shù)化水平集拓?fù)湫螤顑?yōu)化模型本章參數(shù)化水平集結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化方法中，水平集函數(shù)采用C2階連續(xù)的緊支徑向基函數(shù)來描述，以緊支插值函數(shù)擴(kuò)展系數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，并采用移動(dòng)漸近線Minimize:J()1

E(u)(u)H (1,2,,N

Dijkl Subjectto:a(u,v,)l(v,),vU,u| V()DH()d j,minj 性平衡方程弱形式中的能量雙線性形式a(u,v,)和載荷線性形式l(v,)分別a(u,v,)DEijklij(u)kll(v,)DfvH()dDpv()d

u表示位移域，v表示在動(dòng)力學(xué)上允許的位移域空間U中的一個(gè)虛擬位移域，Eijkl為彈ijpf是應(yīng)用在邊界的部分邊界t上的牽引力。而u0描述的是在邊界的部分邊界u上的位移。 技 變量(12,,NT附加的上限和下限。數(shù)值實(shí)現(xiàn)

j,min和j,max敏度分析基于徑向基函數(shù)的參數(shù)化水平集方法優(yōu)化模型同標(biāo)準(zhǔn)水平集方法的拓?fù)湫螤顑?yōu)化方法模型是完全一樣的，目標(biāo)函數(shù)的形狀導(dǎo)數(shù)也完全一樣，由式)可以得到目標(biāo)函J()

G()()vn

fudiv(pun)1

(pu)

(pu)

G()

在標(biāo)準(zhǔn)水平集方法拓?fù)湫螤顑?yōu)化中，假設(shè)vnG(為使得目標(biāo)函數(shù)獲得最優(yōu)的最速下N(x)gi(x)ip(x)gT( (x)就值函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)參數(shù)化。在得到擴(kuò)展系數(shù)以后，水平集函數(shù)(x)可以由方程(3.30)(x，通過式子A1可以得到參數(shù)。線性系統(tǒng)方程(3.30)所建立的離散水平集函數(shù)值同擴(kuò)展系數(shù)特性就體現(xiàn)在優(yōu)化過對(duì)擴(kuò)展系數(shù)更新上。在參數(shù)化的水平集方法中，通過應(yīng)用徑 技 向基函數(shù)將水平集方法拓?fù)浜托螤顑?yōu)化模型轉(zhuǎn)換成一個(gè)參數(shù)化的問題，根據(jù)gT(x)(t)|(g(x))T(t)|nv(t)d由方程(3.31)就可以得到邊界法向速度vn和擴(kuò)展系數(shù)

v |(g(x))T(t)

gT(x) J((t))

G()()

gT(

|(g(x))T (t) G() gT(xD | (t) D G()()gT(x)(t) DG()()Ng(x)(t

i1 G()()Ng(x)(t i1 G()()g(x)didi1 dJ NdJd i1 比較方程(3.34)和方程(3.35)，可以很容易得到敏度dJd

G()

水平集方法的框架下將作為設(shè)計(jì)變量，用優(yōu)化領(lǐng)域中成高效的優(yōu)化算法(如最優(yōu) 技 本章所提出參數(shù)化水平集方法采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法來進(jìn)行參數(shù)的更新，因?yàn)閮?yōu)化過不再求Hamilton-Jacobi偏微分方程，步長(zhǎng)不再受標(biāo)準(zhǔn)水平集方法中逆風(fēng)差分格式中的CFL條件限制。在數(shù)學(xué)規(guī)劃法中，雖然有時(shí)候也有一定的步長(zhǎng)限制，但是這和CFL步長(zhǎng)慢。而參數(shù)化的水平集方法可以應(yīng)用任意的成優(yōu)化算法，如最優(yōu)化準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)優(yōu)化算法最優(yōu)化準(zhǔn)則法這里的準(zhǔn)則指基于Kuhn-Tucker(-)[22]最優(yōu)化條件的優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，即所謂的理性準(zhǔn)則。而傳統(tǒng)的“滿應(yīng)力準(zhǔn)則”和“同步實(shí)效準(zhǔn)則”屬于準(zhǔn)則的范疇。K-T將有約束的非線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題。最優(yōu)化準(zhǔn)則(OC：OptimalityCriteria)方法是數(shù)學(xué)規(guī)劃法(MP：MathematicalProgramming)的一種替代方法，它不直接法的發(fā)展經(jīng)歷了連續(xù)體的優(yōu)化準(zhǔn)則方法(COC:Continuum-basedOptimalityCriteria)方法[85]和基于有限元技術(shù)的離散連續(xù)形式的最優(yōu)化準(zhǔn)則法(DCOC:DiscretizedContinuumtypeOptimalityCriteria)[86] 技 格朗日乘子，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L為如下形式： LJ()(V() ) x) 2(x j

xj,minxjxj,max用，設(shè)計(jì)變量是主動(dòng)變量。主動(dòng)變量在迭代過作為設(shè)計(jì)變量允許發(fā)生改變 120

xj時(shí)，僅設(shè)計(jì)變量下限約束起作用，設(shè)計(jì)變量為變量 1020

xj時(shí)，僅設(shè)計(jì)變量上限約束起作用，設(shè)計(jì)變量也為變量 10,20。變量在迭代過不能變化，只能由側(cè)面約束的邊界值來確定。 xminx

xmaxL函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量和拉格朗日乘子1、2、) ( V(

若xj

x

x 12 若 x x

j 若xjxj

(j1,2,...,n

H()d

max

DH()dVmax0,(

j,minxj)1( x)0,10,(j1,2,...,n

2(x )0,20,(j1,2,...,n j 非線性方程組(3.38)共提供了3n1個(gè)方程n為單元的數(shù)目)，解這些非線性方程即 技 min{(1m)x(k), },if(D(k))x(k)min{(1m)x(k), j x(k1)

(D(k))x(k), }{(D(k))x(k)min{(1m)x(k), (

j,maxmax{(1m)xk, },if(D(k))x(k)max{(1m)x(k), 其中(0JJj

1)D(k)jmax,(k)V()j (k)

MMA方法法是求解數(shù)學(xué)規(guī)劃類問題時(shí)常見的方法，目前已用于連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題中。MM方法更適于處理目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜且具有多約束的拓?fù)鋬?yōu)化問題，只要求約束函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的微分可以通過解析或者數(shù)值方法求得，對(duì)此類復(fù)雜的拓?fù)鋬?yōu)化問方法具有更好的適定性。MM)子優(yōu)化問題P(k)由“對(duì)偶法”(Fleury[99])或“原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法”(Svanberg[93])等求解。XXf0(XfiXXfXX*XX1圖3.5INConveLinearizationMethod)。Svanberg(1987)[93]在CONLIN方法中引入一系列可動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)優(yōu)化 技 L(k)和U(k)，將CONLIN方法推廣為MMAMMA Minimize:f(k)(X)az

(c

1dy2) )

i 2iiX=(x,x,,x1

f(k)(X)azyf?,i1,2,...,

x

,j1,2,...,Subject z0,yi0,i1,2,..., Equilibriumx(k)為設(shè)計(jì)變量，滿足max{xmin,(k)}x(k)min{xmax(kj1,2,n)。(k) j j j j j j j j(k)maxxmin,0.9L(k)0.1x(k和(k)minxmax,0.9U(k)0.1x(kj j j j j j j j L(k)x(k)0.1(xmaxx U(k)x(k)0.1(xmax 目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的MMA近似形式表示為 (k (k

iif(x)ii

( )

(k)

(k (k)

(k(k (k

(k (k)j() U Ujx j() xj 其中，漸近線L(k)和U(k) (k)和(k) 導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，同一時(shí)間只有一個(gè)漸進(jìn)線L(k)或U(k) 對(duì)所有的設(shè)計(jì)函數(shù)，MMA近似方法都使用相同的漸近線L(k)或U(k)來形成近似 p(k)

(U(k)x(k))2f(x(k))x, f(x(k))x f(x(k))x q(k)

技 (x(k)L(k))2f(x(k))x, f(x(k))x f(x(k))x L(k)和U(k)按照式(3.42)和式(3.43) MMA的求解過程：由設(shè)計(jì)點(diǎn)xk開始，求解子問題，通過共軛梯度(ConjugateGradient)類算法解一系列線性方程來求得子優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量xk*xk*xk1，接著開始下一步迭代，反復(fù)迭代到原問題收斂n是單元的數(shù)目，i0,1,2,..mGBMMA方法，以及具有單調(diào)和非單調(diào)性的GBMMA-MMA和數(shù)值算在這一部分中，采用兩個(gè)拓?fù)鋬?yōu)化文獻(xiàn)中廣泛應(yīng)用的算例來驗(yàn)證本章所基于松比0.3。水平集函數(shù)被初始化為一個(gè)符號(hào)距離函數(shù)，優(yōu)化迭代終止的條件為兩個(gè)迭算例F1作用，體積約束為0.45。其初始設(shè)計(jì)如圖3.7(a)，整個(gè)設(shè)計(jì)域采用8040的四邊形單元離散。 技 圖3.6以C2R0.1。圖3.7過90步的迭代以后得到。圖3.8為拓?fù)湫螤顑?yōu)化過水平集面的演化過程，從圖3.8可數(shù)，采用C2階連續(xù)的緊支徑向基函數(shù)來插值水平集函數(shù)時(shí)候，優(yōu)化過水平集函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和體積收斂曲線，可以看到31步，目標(biāo)函數(shù)從46.35上升到73.20，這是因 技 (a)初始設(shè) (b)Step(c)Step (d)Step(e)Step (f)圖3.7優(yōu)化過結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤钛莼^初始設(shè)計(jì)影響在標(biāo)準(zhǔn)水平集方法結(jié)構(gòu)優(yōu)化中(Wang等[20];Allaire等[21])，為了能夠獲得比較好的拓過結(jié)構(gòu)邊界的演化不需要再通過求解水平集方程來實(shí)現(xiàn)，而是用數(shù)學(xué)規(guī)劃法中的MMA方法對(duì)徑向基函數(shù)插值函數(shù)的擴(kuò)展系數(shù)進(jìn)行更新，這樣引入了許多參數(shù)化拓?fù)鋬?yōu)化的特點(diǎn)，其中就包括能夠開孔。華技大學(xué)博士華技大學(xué)博士 (a)初始函 (b)Step(c)Step (d)Step(e)Step (f)最終圖3.8優(yōu)化過水平集函數(shù)演化過圖3.9優(yōu)化過應(yīng)變能和體積比收斂過(a)初始設(shè) (b)Step(c)Step (d)Step(e)Step (f)最終3.103 (a)初始設(shè) (b)Step(c)Step (d)Step (e)Step (f)最終圖3.11初始設(shè)計(jì)有3得了和圖3.7(f)一致的優(yōu)化結(jié)果為了進(jìn)一步驗(yàn)證本章中所參數(shù)化水平集方法的特的參數(shù)化水平集方法能夠在設(shè)計(jì)域內(nèi)的產(chǎn)生新孔，因此，獲得了和圖3.7(f)和表3.1JNFig3.10(a)with3 技 者拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)法等[65,66]被引入到水平集方法結(jié)構(gòu)中，用以在優(yōu)化過產(chǎn)生新孔，但這種方法中形狀導(dǎo)數(shù)和拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)之間的轉(zhuǎn)換非常(Wang和Wei[67];Allaire和Jouve[66])。水新孔，可以方便地表達(dá)結(jié)構(gòu)的拓?fù)浜托螤钭兓?。本章基于緊支徑向基函數(shù)的參數(shù)平集方法結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤顑?yōu)化中來，使得其在優(yōu)化過能夠生成新孔，降低了最終表3.2JRN 緊支域半徑影響8040的四邊形網(wǎng)格離散。最終的設(shè)計(jì)結(jié)果比較如表3.2RN為總的迭代步數(shù)，Ts為總的優(yōu)化時(shí)間。從表3.2可以看 技 網(wǎng)格影響8040，12060和16080三種情況，這三種情況都采用緊支域半徑R0.1，對(duì)應(yīng)的優(yōu)即使這樣還是不能保證獲得全局最優(yōu)解。但網(wǎng)格對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化過的有限元計(jì)算精度有表 JN80 120 160 算例圖3.12DL:H4:1的矩形區(qū)域，左下半用8040的四邊形的網(wǎng)格離散，初始設(shè)計(jì)如圖3.13(a)。 技 采用C2階緊支徑向基函數(shù)參數(shù)化作為優(yōu)化過的拓?fù)湫螤蠲枋龊瘮?shù)，緊支域半R0.13.13所示為利用對(duì)稱性的簡(jiǎn)支梁拓?fù)湫螤顑?yōu)化過程，最終優(yōu)化結(jié)果如圖3.13(f)703.14所示為利用對(duì)稱性得到的簡(jiǎn)支梁整體拓一致。圖3.15所示為優(yōu)化過水平集面的演化過程，從圖3.15中可以看到，采用緊支徑向基函數(shù)插值能夠得到一個(gè)滿足全局連續(xù)要求和光滑性要求的函數(shù)，優(yōu)化過不(a)初始設(shè) (b)Step(c)Step (d)Step(e)Step (f)最終結(jié)圖3.13優(yōu)化過結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤钛莼^華技大學(xué)博士華技大學(xué)博士圖3.14(a)初始函 (b)Step(c)Step (d)Step(e)Step (f)最終結(jié)3.15簡(jiǎn)支梁優(yōu)化過水平集函數(shù)演化過圖3.16簡(jiǎn)支梁優(yōu)化過應(yīng)變能和體積比收斂過圖3.16所示為懸臂梁優(yōu)化過