《金新學(xué)案》高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 9.5空間向量的坐標(biāo)運算 文 大綱人教

第5課時空間向量的坐標(biāo)運算(9B)1．向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a＋b＝

；②a－b＝

；③λa＝

(λ∈R)；④a·b＝

；(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3編輯ppt2．夾角與距離公式(1)夾角公式：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，編輯ppt其中dA，B表示A與B兩點間的距離，這就是空間兩點間的距離公式．3．平面的法向量(1)向量垂直于平面：如果表示向量a的有向線段所在的直線

平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α.(2)平面的法向量：如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．垂直于編輯ppt1．已知向量a＝(－1,1，－1)，b＝(2,0，－3)，則a·b等于(

)A．－5

B．－4C．2D．1答案：

D編輯ppt2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a與b為共線向量，則(

)答案：C編輯ppt3．若四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，則頂點D的坐標(biāo)為(

)A.B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y，z)，∵ABCD為平行四邊形，答案：

D編輯ppt4．已知平面α和β的法向量分別是(－1,3,4)和(x,1，－2)，若α⊥β，則x＝________.解析：因為α⊥β，所以兩個平面的法向量也垂直，因此(－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即x＝－5.答案：－55．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，則向量a在向量b方向上的射影為________．答案：編輯ppt空間向量的坐標(biāo)運算類似于平面向量的坐標(biāo)運算，利用空間向量基本定理可將證明四點共面及直線與平面平行等問題轉(zhuǎn)化為解方程組．編輯ppt

已知A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)，點P(x，－1,3)在平面ABC內(nèi)，求x.解析：∵A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)、P(x，－1,3)，編輯ppt[變式訓(xùn)練]

1.若a＝(1,0,0)，b＝(1,1,0)，c＝(1,1,1)．(1)求證：a，b，c不共面；(2)試用a，b，c表示向量d＝(5,3,6)．解析：(1)證明：假設(shè)a，b，c共面，由a，b，c不共線可知，c＝λa＋μb，即(1,1,1)＝λ(1,0,0)＋μ(1,1,0)，編輯ppt編輯ppt涉及利用向量平行或向量垂直的充要條件的主要題型有兩個：一是已知向量中含有某個參數(shù)，要求我們來求參數(shù)的值；二是利用向量平行與垂直的充要條件證明“線線平行與垂直或線面平行與垂直”的問題．編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt[變式訓(xùn)練]

2.設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)當(dāng)(λa＋b)∥(a－3b)時，求λ的值；(2)當(dāng)(a－3b)⊥(λa＋b)時，求λ的值．解析：∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．編輯ppt編輯ppt利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂直．編輯ppt

如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求證：B1F⊥平面AEF.證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，令A(yù)B＝AA1＝4，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中點為N，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，編輯ppt編輯ppt編輯ppt[變式訓(xùn)練]

3.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F，(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面EFD.證明：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC＝a.(1)連接AC，AC交BD于G，連接EG.編輯ppt依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，編輯ppt編輯ppt1．空間任一點P的坐標(biāo)的確定方法：過P分別作三個坐標(biāo)平面的平行平面(或垂面)，分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點，當(dāng)與i的方向相同時，x＞0；反之x＜0，同理可確定y，z的值．2．一個向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)．即若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．3．空間向量的坐標(biāo)運算同平面向量的坐標(biāo)運算類似，只是空間向量需用唯一確定的有序?qū)崝?shù)組x，y，z表示，實質(zhì)沒有改變．編輯ppt通過近三年高考試題的統(tǒng)計分析可以看出，有以下的命題規(guī)律．1．考查熱點：空間坐標(biāo)運算的應(yīng)用．2．考查形式：多以解答題求后兩問．3．考查角度：一是對空間坐標(biāo)運算的單獨考查，試題難度較??；二是利用空間坐標(biāo)運算求空間角和距離，是整個立體幾何命題中熱點．4．命題趨勢：仍以空間幾何為載體，體現(xiàn)空間坐標(biāo)運算的應(yīng)用．編輯ppt(12分)(2009·浙江卷)如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC的中點，證明FG∥平面BOE；(2)證明在△ABO內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．編輯ppt規(guī)范解答：

(1)證明：如圖，連結(jié)OP，以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4,0,3)．由題意，得G(0,4,0)．又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE.6分編輯ppt[閱后報告]本題解答的難點是如何確定M的坐標(biāo)，再求得M坐標(biāo)后，易忽略對所求結(jié)果進(jìn)行驗證．編輯ppt1．(2010·廣東卷)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________.解析：

∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案：2編輯ppt2．(2010·湖北卷)如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠A