初中二次函數(shù)的解題方法

.11.1班 沈陽14號(hào)初中二次函數(shù)的解題方法第一回顧一下初中二次函數(shù)的重要性質(zhì)和基本表達(dá)式：一般式：y=a2+bx+c(a≠0,b、c為常數(shù)標(biāo)為(-b/2a,4ac-b2/4a);極點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(0,、k為常數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)為x=h口方向與函數(shù)y=ax2的圖像同樣，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成極點(diǎn)式。交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)0x軸即y=0有交點(diǎn)A(x10)和B(x2，0)的拋物線b^2-4a≥0]由一般式變成交點(diǎn)式的步驟：∵X1+x2=-b/ay=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)重要看法：。二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 x=h也許x=-b/2a對(duì)稱軸與二次函數(shù)圖像獨(dú)一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的極點(diǎn)。特別地，當(dāng)h=0稱軸是y同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左b=0,對(duì)稱軸是y軸異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸右邊;....;..;..二次函數(shù)圖像有一個(gè)極點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(h,k) h=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，P在x軸上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的張口方向和大a>0;a<0|a|越大，則二次函數(shù)圖像的張口越小。有時(shí)也可以考慮圖像的整體性質(zhì)、特別點(diǎn)的地址及二次方程的聯(lián)系，結(jié)合韋達(dá)定理和鑒識(shí)式定理確立 a,b,c, △及系數(shù)的代數(shù)符號(hào)。常有問題1、拋物線中特別點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題 ：拋物線線的特別三角形主要有兩類：（1）、拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和與y軸的交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形； （2）、拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和極點(diǎn)所構(gòu)成的三角形。解決策略是：應(yīng)用平面幾何的有關(guān)定理，如等腰三角形的三線合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜邊中線定理等結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及二次方程的求根公式、鑒識(shí)式定理、韋達(dá)定理等知識(shí)求解。用到的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合、分類議論、轉(zhuǎn)變等。2、二次函數(shù)的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)問題 ：求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的直線或曲線一般采納消去參數(shù)法，即消去參數(shù)今后的方程即為動(dòng)點(diǎn)需滿足的函數(shù)解析式。解決定點(diǎn)問題有兩個(gè)解決方法： （1）特別值法，即令參取兩個(gè)切合條件的特別值，經(jīng)過解方程組求解，解即為極點(diǎn)坐標(biāo)。（2）轉(zhuǎn)變成參數(shù)為主元的方程問題，即方程有無量多解，獲得系數(shù)為零的條件再議論解決。3、求拋物線的極點(diǎn)、兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及拋物線與其它圖象的交點(diǎn)等點(diǎn)所構(gòu)成的面積，要點(diǎn)是用含系數(shù) a、bc的代數(shù)式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長(zhǎng)，使面積問題與系數(shù)聯(lián)系．4、二次函數(shù)與整數(shù)問題

a、bc建立二次函數(shù)與整數(shù)問題的聯(lián)姻主要表此刻系數(shù) a、b、c為整數(shù)、整點(diǎn)以及某范圍內(nèi)的參數(shù)的整數(shù)值等．解題時(shí)常常要用到一些整數(shù)的解析方法．5、二次函數(shù)的最值問題定義域是閉區(qū)間時(shí)，二次函數(shù)存在兩個(gè)最值 (最大值和最值)．假如極點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，則在極點(diǎn)處與距極點(diǎn)較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處各取一個(gè)最值；假如極點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，則在區(qū)間兩端點(diǎn)處各取一個(gè)最值．定義域是開區(qū)間時(shí)，二次函數(shù)只有其極點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)的才在極點(diǎn)處獲得一個(gè)最值，不然不存在最值．在初中數(shù)學(xué)比賽中，二次函數(shù)是解決一些實(shí)詰問題的有效工具，二次函數(shù)自己也包含著豐富的內(nèi)涵，所以，在近幾年的全國(guó)數(shù)學(xué)比賽中，有關(guān)二次函數(shù)試題頻頻出現(xiàn)，并有不停拓展和加深的趨向。1拋物線y=ax2+bx+c的極點(diǎn)為(4，－11)，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)．則a、bc中為正數(shù)的（）aBbC、只有cDa年的全國(guó)數(shù)學(xué)比賽中，有關(guān)二次函數(shù)試題頻頻出現(xiàn)，并有不停拓展和加深的趨向。1拋物線y=ax2+bx+c的極點(diǎn)為(4，－11)，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)．則a、bc中為正數(shù)的（）aBbC、只有cDab(411)，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，知a>0．設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x，xxx為方ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，由題設(shè)xx<0c<0c<0，又對(duì)1 2 1 21 2稱軸為=4知－xb2a已知二次函數(shù)a>0b<0(A)．2f(x)=ax2+bx+ca、b、c都是整數(shù)，而且f(19)=f(99)=1999 ，|c|<1000，則c=．a(chǎn)x2+bx+c=a(x－19)(x－99)+1999=ax2－(19+99)x+19×99a+1999c=1999+1881a．|c|<1000，aa≠0a=－1c=1999－1881=118．3a，b，cy=ax2+bx+cx個(gè)不同樣的交點(diǎn)、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求a+b+c的最小值．解：設(shè)、B的坐標(biāo)分別為A(10)，B(2，0)，且1<2，則x，xax2+bx+c=0的兩個(gè)根．1 2x1 x2 b∴ acx1x2 0,a

0,∴x<0，x<01 2又由題設(shè)可知△=b2－4ac>0，∴b>2 ac ①∵|OA|=| x|<1|OB|=|x|<11<x，x<0，1 2 1 2②c∴=xx<1，∴c<a②c1 2a∵拋物線y=ax2+bx+c張口向上，且當(dāng)x=－1y>0，∴a(－1)2+b(－1)+c>0a+c>b．∵b，a+c都是整數(shù)，∴a+c≥b+1 ③由①，③得a+c>2 ac+1，∴(a c)2>1，又由②知a c>1，a c+1，即a>( c+1)2≥(1+1)2=4∴a≥5，又b>2 ac≥251>4，∴b≥5a=5，b=5，c=1時(shí)，拋物線y=5x2+5x+1a+b+c的最小值為5+5+1=11．例4 假如y=x2－(k－1)x－k－1與x軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)為C，那么△ABC的面積的最小值是（ ）、1 B 、2 C 、3 D 、4=(k1)2+4(k+1)=(k+1)2+4>0，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x，12，則：|AB|= (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 k2 2k5又拋物線的極點(diǎn)c坐標(biāo)是( k2

1, k2 4

5)，33

△ABC

1 2 2kk2k

5 ·k2 2k 4

128

2k 5)k2+2k+5=(k+1)2+4≥4，當(dāng)k=－1時(shí)等于建立，所以，S ≥△ABC

14 138例5 y已知二次函數(shù)y=x2－－2及實(shí)數(shù)a>－2．求：2<xa的最小值；函數(shù)在a≤x≤a+2 的最小值

－2－10 1 2x解：函數(shù)y=x21

x2的圖象如圖1

·(1, 9)(1)若－2<a< ， 2x=a

=a2－a－2a1

x=

=－9．2 2 1 4 3(2)若－2<a且a+2< ，即－2<a<－，當(dāng)x=a+2時(shí)，

最小值2 1 2

3 1 1=(a+2)

2－(a+2)－2=a2+3aa<

≤a+2，即－≤a< ，當(dāng)x=．時(shí)，y 9．最小值

2 2 2 21 4ax=a2

=a2－a－2．例6 當(dāng)|x+1| ≤6時(shí)，函數(shù)y=x|x|－2x+1 的最大值是 ．解：由|+1|≤6，得－7≤≤5，當(dāng)0≤≤5時(shí)，y=x2－2+1=(x－1)2，此時(shí)y =(5－1)2=16．最大值2 2當(dāng)－7≤x<0，y=－x－2x+1=2－(x+1)，此時(shí)y =2．最大值說明：對(duì)于含有絕對(duì)值的二次函數(shù)，平時(shí)是先分區(qū)間議論，間函數(shù)的最值．7y=x^2+(k+2)x+k+5xk的值應(yīng)為（)A.k＞4或kB.-5＜k＜-4C.k≥-4或k≤-5D.-5≤k≤-4X2個(gè)交點(diǎn)所以b^2-4ac=(k+2)^2-4(k+5)>0 ——(1)x軸交點(diǎn)分別為x1x2則x1+x2=-（k+2）>0——（2）x1*x2=k+5>0 —— （3）-5<k<-4B8.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1,0），（1，-2），當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是 [3/4，+∝） .解析：把點(diǎn)（-1,0），（1，-2）代入二次函數(shù)數(shù)，可解得b=-3/2 函數(shù)的對(duì)稱軸為 x=-（-3/2）/2=3/4a=1＞0.9.

[3/4，+∝）二次函數(shù)y=ax^2+bx+c ，當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，y值也是整數(shù)，這樣的a0.5點(diǎn)二次函數(shù)，若存在請(qǐng)寫出一個(gè)，若不存在請(qǐng)說明原由。解答：（1）（反證法）a的絕對(duì)值小于0.5的整點(diǎn)二次函數(shù)，（a0)x=0y=cc為整數(shù)，x=1y=a+b+c=m，x=-1y=a-b+c=nm、n都應(yīng)為整數(shù)，兩式相加，2a+2c=m+n ，推知2a也應(yīng)為整數(shù)，而|a|<0.5 ，即|2a|<1 ，矛盾。所以不存在a的絕對(duì)值小于0.5的整點(diǎn)二次函數(shù)。（2）x＝0y＝c是整數(shù)x＝1y＝a＋b＋c是整數(shù)x＝－1y＝abc是整數(shù)∴(abc)＋(a－b＋c)＝2a＋2c2c是整數(shù)10.已知y=x2-│x┃-12的圖象與x軸交于相異兩點(diǎn)另一拋物y=ax2+bx+c 過A,B，極點(diǎn)為P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，cA,B(-4,0),(4,0).y=ax2+bx+c 過A,B,所以b=0,c/a=-16,P 點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,-16a)APBAB^2=AP^2+BP^2,求出a=±1/4.所以a=1/4,b=0,c=-4 也許a=-1/4,b=0,c=4.11.y=x2-│x┃-12的圖象與x軸交于相異兩點(diǎn)y=ax2+bx+cA,B，極點(diǎn)為PAPB是等腰直角三角形，ab，c解答：明顯A,B坐標(biāo)為(-4,0),(4,0).y=ax2+bx+c 過A,B,所以b=0,c/a=-16,P 點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,-16a)APBAB^2=AP^2+BP^2,求出a=±1/4.所以/r/