八年級數(shù)學競賽培訓提優(yōu)講義12講

目錄本內(nèi)容適合八年級學生競賽拔高使用。注重中考與競賽的有機結合，重點落實在中考中難以上題、奧賽方面的基礎知識和基本技能培訓和提高。本內(nèi)容難度適中，講練結合，由淺入深，講解與練習同步，重在提高學生的數(shù)學分析能力與解題能力。另外在本次培訓中，內(nèi)容的編排大多大于120分鐘的容量，因此在實際教學過程中可以根據(jù)學生的具體狀況和層次，由任課教師適當?shù)恼{(diào)整順序和選擇內(nèi)容（如專題復習可以提前上）。注：有(*)標注的為選做內(nèi)容。本次培訓具體計劃如下，以供參考：HYPERLINK第一講 HYPERLINK如何做幾何證明題HYPERLINK第二講 HYPERLINK平行四邊形（一）HYPERLINK第三講 HYPERLINK平行四邊形（二）HYPERLINK第四講 梯形HYPERLINK第五講 中位線及其應用HYPERLINK第六講 HYPERLINK一元二次方程的解法HYPERLINK第七講 一元二次方程的HYPERLINK判別式第八講 一元二次方程的HYPERLINK根與系數(shù)的關系HYPERLINK第九講 HYPERLINK一元二次方程的應用HYPERLINK第十講 專題復習一：因式分解、二次根式、分式第十一講 專題復習二：代數(shù)式的恒等變形第十二講 專題復習三：相似三角形第一講：如何做幾何證明題【知識梳理】1、幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關系；二是有關平面圖形的位置關系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補的問題。2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關定義、定理、公理的應用，逐步向前推進，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設與結論的距離，最后達到證明目的。3、掌握構造基本圖形的方法：復雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構造基本圖形，在構造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的?！纠}精講】【專題一】證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到?！纠?】已知：如圖所示，中，。求證：DE＝DF【鞏固】如圖所示，已知為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連結CE、DE。求證：EC＝ED【例2】已知：如圖所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F【專題二】證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關系來證，也可通過邊對應成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證?！纠?】如圖所示，設BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KH∥BC【例4】已知：如圖所示，AB＝AC，。求證：FD⊥ED【專題三】證明線段和的問題（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）【例5】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是AB上一個動點，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°；求證：BC＝AD＋AE【鞏固】已知：如圖，在中，，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。求證：AC＝AE＋CD（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補短法）【例6】已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。求證：EF＝BE＋DF【專題四】證明幾何不等式：【例7】已知：如圖所示，在中，AD平分∠BAC，。求證：【拓展】中，于D，求證：第二講：平行四邊形（一）【知識梳理】1、平行四邊形：平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質(zhì)：（1）平行四邊形對角相等；（2）平行四邊形對邊相等；（3）平行四邊形對角線互相平分。除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：（1）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。2、特殊平行四邊形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形（2）矩形的四個角都是直角；（3）矩形的對角線相等。（4）矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（5）矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形二、菱形（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.（2）定理1:菱形的四條邊都相等（3）菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角.（4）菱形的面積等于菱形的對角線相乘除以2（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（6）菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。三、正方形（1）有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（2）性質(zhì)：①四個角都是直角，四條邊相等 ②對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角（3）判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形 ②有一個角是直角的菱形是正方形【例題精講】【例1】填空題：平行四邊形具有的是：平行四邊形具有的是：矩形具有的是：菱形具有的是：正方形具有的是：在下列特征中，四條邊都相等對角線互相平分對角線相等對角線互相垂直四個角都是直角每一條對角線平分一組對角對邊相等且平行鄰角互補【鞏固】1、下列說法中錯誤的是（）A.四個角相等的四邊形是矩形B.四條邊相等的四邊形是正方形C.對角線相等的菱形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形2、如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個四邊形是()A.矩形B.菱形C.正方形D.菱形、矩形或正方形3、下面結論中，正確的是（）A.對角線相等的四邊形是矩形B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形4、如圖，在中，點D、E、F分別在邊、、上，且，．下列四種說法：①四邊形是平行四邊形；②如果，那么四邊形是矩形；③如果平分，那么四邊形是菱形；④如果且，那么四邊形是菱形.其中，正確的有.（只填寫序號）ＡＡＦＣＤＢＥ【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.AAEDCFB【鞏固】已知，如圖9，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由．【例3】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于點E．求證：四邊形AECD是菱形．【例4】如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點F，連結CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．【鞏固】如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD．（1）試判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由；（2）若AB＝6，BC＝8，求四邊形OCED的面積．【例5】如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.CBADCBADFE（2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）①當△ABC滿足_________________________條件時，四邊形DAEF是矩形；②當△ABC滿足_________________________條件時，四邊形DAEF是菱形；③當△ABC滿足_________________________條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在.第三講：平行四邊形（二）【知識梳理】由平行四邊形的結構知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平行線的有關性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識和平行線性質(zhì)的有機結合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構造平行四邊形成為解幾何題的有力工具?！纠}精講】【例1】四邊形四條邊的長分別為，且滿足，則這個四邊形是（）A.平行四邊形B.對角線互相垂直的四邊形C.平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形D.對角線相等的四邊形【例2】如圖①，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F.(1)求證：DE－BF＝EF．(2)當點G為BC邊中點時，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)若點G為CB延長線上一點，其余條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數(shù)量關系（不需要證明）．【鞏固】如圖1，在邊長為5的正方形中，點、分別是、邊上的點，且，.（1）求∶的值；（2）延長交正方形外角平分線（如圖13－2），試判斷的大小關系，并說明理由；（3）在圖2的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．圖1圖1ADCBE圖2BCEDAFPF【例3】如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值?！纠?】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GF∥AC。【例5】如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F。求證：AE＝CF?！眷柟獭咳鐖D，在平行四邊形ABCD中，∠B，∠D的平分線分別交對邊于點E、F，交四邊形的對角線AC于點G、H。求證：AH＝CG。第四講：梯形【知識梳理】與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來研究它們的有關性質(zhì)的應用。一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。通過作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的基本思路，常用的輔助線的作法是：平移腰：過一頂點作一腰的平行線；平移對角線：過一頂點作一條對角線的平行線；過底的頂點作另一底的垂線。熟悉以下基本圖形、基本結論：【例題精講】中位線概念：(1)三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．(2)梯形中位線定義：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半?！纠}精講】【例1】如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的長.【例2】如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長.【例3】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，BD＝6cm.求梯形ABCD的面積.【例4】如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論.【鞏固】1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長.2、如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的長.3、如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長.【例5】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，且AE⊥BE.求證：AD＋BC＝AB【鞏固】如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，且AD＋BC＝AB求證：DE⊥AE?！纠?】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AD、BC的中點，若∠B＋∠C＝90°.AD＝7，BC＝15，求EF．第五講：中位線及其應用【知識梳理】1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2、中位線性質(zhì)定理的結論，兼有位置和大小關系，可以用它判定平行，計算線段的長度，確定線段的和、差、倍關系。3、運用中位線性質(zhì)的關鍵是從出現(xiàn)的線段中點，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等②經(jīng)過三角形一邊中點而平行于另一邊的直線，必平分第三邊③經(jīng)過梯形一腰中點而平行于兩底的直線，必平分另一腰5、有關線段中點的其他定理還有：①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形④線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點作用必須全面考慮?！纠}精講】【例1】已知△ABC中，D是AB上一點，AD=AC，AE⊥CD于E，F(xiàn)是BC的中點，試說明BD=2EF?！眷柟獭恳阎凇鰽BC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點.求證：【例2】已知E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點則①四邊形EFGH是__________形②當AC＝BD時，四邊形EFGH是__________形③當AC⊥BD時，四邊形EFGH是__________形④當AC和BD__________時，四邊形EFGH是正方形?！眷柟獭咳鐖D，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點。（1）求證：四邊形MENF是菱形；（2）若四邊形MENF是正方形，請?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關系，并證明你的結論?！纠?】梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別是AC、BD的中點。求證：MN＝（AB－CD）【鞏固】如圖，在四邊形ABCD中，AB＞CD，E、F分別是對角線BD、AC的中點。求證：EF＞【拓展】E、F為四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的中點，若EF＝，問：四邊形ABCD為什么四邊形？請說明理由?！纠?】四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點，AB=CD.BA、CD的延長線交HG的延長線于E、F。求證：∠BEH=∠CFH.【例5】如圖，△ABC的三邊長分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線AD上一點，且BP⊥AD，M為BC的中點，求PM的長?！眷柟獭恳阎骸鰽BC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點。求證：PM＝PN第六講：一元二次方程的解法【知識梳理】形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學過的全部代數(shù)運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題；它展示了數(shù)學的簡潔美?！纠}精講】【例1】選用恰當?shù)姆椒ń夥匠蹋ɑA題）：（1）x2–2x=0（2）x2–9=0（3）(1－3x)2＝1；（4）（t－2）（t＋1）＝0（5）x2＋8x＝2 （6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）x（x－6）＝2（14）（2x＋1）2＝3（2x＋1）（15）（16）（17）（18）（19）（20）； 【例2】用適當?shù)姆椒ń庀铝嘘P于的方程（提高題）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）?！眷柟獭坑眠m當?shù)姆椒ń庀铝嘘P于的方程：（1）；（2）；（3）。（4）?！就卣埂拷夥匠蹋?；【例3】解方程：?！眷柟獭拷夥匠蹋海?）；（2）?！纠?】解關于的方程：。【鞏固】解關于的方程：。【例5】已知方程與有公共根。（1）求的值；（2）求二方程的所有公共根和所有相異根?！眷柟獭渴欠翊嬖谀硞€實數(shù)，使得方程和有且只有一個公共的實根？如果存在，求出這個實數(shù)及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由。第七講：一元二次方程的判別式【知識梳理】一、一元二次方程根的情況：令。1、若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根：；2、若，則方程有兩個相等的實數(shù)根：；3、若，則方程無實根（不代表沒有解）。二、1、利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性；2、運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；3、通過判別式，證明與方程有關的代數(shù)問題；4、借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題。【例題精講】【例1】已知方程；則①當取什么值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？②當取什么值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？③當取什么值時，方程沒有實數(shù)根？【鞏固】1、已知關于的方程。求證：無論取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根；2、已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍?！就卣埂筷P于的方程有有理根，求整數(shù)的值?！纠?】已知關于的方程。（1）求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長?！眷柟獭?、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的長是關于的方程的兩根，則___________。2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為，已知，和是關于的方程的兩個實數(shù)根，求三角形ABC的周長?！就卣埂恳阎獙τ谡龜?shù)，方程沒有實數(shù)根，求證：以長的線段為邊能組成一個三角形?！纠?】設方程有三個不相等的實數(shù)根，求的值和相應的3個根。【鞏固】已知關于的方程有且只有一個實根，則實數(shù)的取值范圍是___________________?！纠?】設，證明在方程中，至少有兩個方程有不相等的實數(shù)根。第八講：一元二次方程根與系數(shù)的關系【知識梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關系（韋達定理）設方程的兩個根，則。韋達定理用途比較廣泛，運用時，常需要作下列變形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）?！纠}精講】【例1】求下列方程的兩根之和，兩根之積。（1）x2－2x＋1＝0；（2）x2－9x＋10＝0；解：______，解：______，（3）2x2－9x＋5＝0；（4）4x2－7x＋1＝0；解：______，解：______，（5）2x2－5x＝0；（6）x2－1＝0解：______，解：______，【例2】設x1，x2是方程2x2+4x－3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）=_______；（2）x12x2+x1x22=_______；（3）=_______（4）（x1+x2）2=_______；（5）（x1－x2）2=_______；（6）x13+x23=_______．【例3】解答下列問題：（1）設關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，問是否存在的情況？（2）已知：是關于的方程的；兩個實數(shù)根，且，求的值?！眷柟獭?、已知關于的方程有兩個實數(shù)根，且，則_____________。2、已知是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為_________。【例4】已知關于的方程：。（1）求證：無論取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根；（2）若這個方程的兩個實根滿足，求的值及相應的?！眷柟獭恳阎P于的方程。（1）當為何值時，此方程有實數(shù)根；（2）若此方程的兩個實數(shù)根滿足，求的值?！纠?】CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是多少？【鞏固】已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于二次方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5。（1）為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（2）為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長。第九講：一元二次方程的應用【知識梳理】方程是刻畫現(xiàn)實問題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實際問題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。列一元二次方程解應用題的一般步驟與列一元一次方程解應用題的一般步驟基本相同，解題的關鍵是恰當設未知數(shù)、分析數(shù)量關系，將實際問題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學問題，建立二次方程模型解決問題。【例題精講】【例1】要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)省材料，雞場的一邊靠著原有的一條墻，墻長m，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m。（1）求雞場的長和寬各為多少？（2）題中墻的長度m對題目的解起著怎樣的作用？票價（元）人數(shù)（人）票價（元）人數(shù)（人）20151057000600050004000300020001000【例3】將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，問為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這時應進貨多少個？【例4】甲、乙二人同時從同一地點相背而行，1小時后分別到達各自的終點 A與B，若讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達的目的地，則甲將在乙到達A之后35分鐘到達B，求甲與乙的速度之比?！纠?】一支士兵隊伍長1200米，在行軍途中，隊伍正中間的某士兵接受任務，追趕隊伍的排頭兵，并在到達排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊伍正中間，在他完成任務時，隊伍已經(jīng)前進了1200米，如果行軍途中隊伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？【例6】象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，如果平局，兩個選手各記1分，今有4個同學統(tǒng)計了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是1980、1981、1993、1994，經(jīng)核實確實有一位同學統(tǒng)計無誤，試計算這次比賽中共有多少名選手參加?！眷柟獭?、在青島市開展的創(chuàng)城活動中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成（如圖所示），若設花園的BC邊長為m，花園的面積為m2。（1）求與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；BCDA（2）滿足條件的花園面積能達到200m2BCDA（3）當取何值時，花園的面積最大？最大面積為多大？2、某水果批發(fā)商場有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米處，然后繼續(xù)前進，都到達對岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米處，如果認為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時不耽誤時間，問河有多寬？4、一支士兵隊伍長100米，在行軍途中，隊伍正中間的某士兵接受任務，追趕隊伍排頭，并在到達排頭后立即回到隊伍的末尾，然后再立即返回隊伍正中間，在他完成任務時，隊伍已前進了100米，如果行軍途中隊伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？5、象棋比賽共有奇數(shù)個選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分辦法是勝一盤得1分，和一盤各得0.5分，負一盤得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？第十講：專題復習：因式分解、分式和根式【知識梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：；完全平方公式：；；；；立方和（差）公式：；；2、許多多項式分解因式后的結果在解題中經(jīng)常用到，我們應熟悉以下的常用結果：；；；；；。二、分式：1、分式的意義形如（為整式），其中B中含有字母的式子叫分式。當分子為零且分母不為零時，分式的值為零，而當分母為零時，分式?jīng)]有意義。2、分式的性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：（其中M是不為零的整式）。分式的符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變。倒數(shù)的性質(zhì)：；若，則（，是整數(shù)）；。3、分式的運算分式的運算法則有：；（是正整數(shù)）。4、分式的變形分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設參法（主要用于連比式或連等式），拆項法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等。三、二次根式：1、當時，稱為二次根式，顯然。2、二次根式具有如下性質(zhì)：（1）；（2）（3）；（4）。3、二次根式的運算法則如下：（1）；（2）。4、設，且不是完全平方數(shù)，則當且僅當時，?！纠}精講】【例1】分解因式：【鞏固】分解因式：1、；2、；【例2】已知是一個三角形的三邊，則的值是（）A.恒正B.恒負C.可正可負D.非負3、為何值時，多項式能分解成兩個一次因式的積？【例3】已知是實數(shù)，且，問之間有怎樣的關系？請推導?！緦ｎ}訓練】1、已知，求的值為_____________；2、多項式的一個因式是，試確定的值為_____________；3、設，求的值。4、若，且設，則___________5、已知，，，則_______________；6、已知，，，且，則______________________7、當變化時，分式的最小值為______________8、設，則____________________； 9、已知實數(shù)滿足，則__________________；10、化簡____________________；11、已知，則__________________12、設的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則_____________；13、設等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，其中兩兩不同，則__________________；14、使等式成立的整數(shù)對的個數(shù)為__________________；15、設正整數(shù)滿足，則這樣的的取值有______組；16、求和：17、已知，化簡。18、若，計算的值。19、計算：20、設，它的小數(shù)部分為P，求的值。第十一講：專題復習：代數(shù)式的恒等變形【知識梳理】1、恒等式的意義兩個代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個代數(shù)式恒等。2、代數(shù)式的恒等變形把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等。3、基本思路（1）由繁到簡，即從比較復雜的一邊入手進行恒等變形推到另一邊；（2）兩邊同時變形為同一代數(shù)式；（3）證明：，或，此時。4、基本方法在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】【例1】已知，求證：。思路點撥：由繁到簡，化簡左邊，使左邊等于右邊?！眷柟獭恳阎獮槿齻€不相等的實數(shù)，且，求證：。【拓展】若，，求證：?！纠?】證明：。思路點撥：本題可采用比差法以及拆分法兩種方法進行證明。【鞏固】1、求證。2、求證：?！就卣埂壳笞C：【例3】已知，求證：思路點撥：左邊和右邊，變形為同一個代數(shù)式?！眷柟獭恳阎笞C：。【拓展】已知實數(shù)滿足，求證：，其中是正整數(shù)?！纠?】已知，且，求證：?！眷柟獭?、已知，求證：2、設。求證：【拓展】設，且，求證：。【例5】已知正數(shù)滿足，求證：。思路點撥：本題采用綜合法。所謂綜合法就是從條件開始進行推理，一步一步地推到我們所要證明的結論，就是我們平時說的“正面突破”。第十二講：專題復習：相似三角形【知識梳理】1、比例線段的有關概念：b、d叫后項，d叫第四比例項，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中項。2、平行線分線段成比例定理：①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3。②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。4、相似三角形的判定：①兩角對應相等，兩個三角形相似②兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似③三邊對應成比例，兩三角形相似④如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角形相似5、相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對應角相等②相似三角形的對應邊成比例③相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比④相似三角形周長的比等于相似比⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方3、常見三角形相似的基本圖形、基本條件和基本結論：（1）如圖1，當時，（2）如圖2，當時，。（3）如圖3，當時，。（4）如圖4，如圖1，當AB∥ED時，則△∽△