數(shù)概-第一章1.4等可能概型

一、古典概型的定義定義

設(shè)E是隨機試驗

,

若E滿足下列條件

:1。試驗的樣本空間只包含有限個元素;2。試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.則稱E為等可能概型.二、古典概型的計算公式定理設(shè)試驗的樣本空間

S包含n個元素,事件A包含k個基本事件,則有(4.1)式稱為等可能概型中事件概率的計算公式.A包含的基本事件

S中基本事件的總數(shù)nP

(

A)

k

三、典型例題例1

將一枚硬幣拋擲三次.設(shè)事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”求P(A1);設(shè)事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”,求P(A2

).而解

(1)

考慮如下的樣本空間:S

{HHH

,

HHT

,

HTH

,THH

,

HTT

,THT

,TTH

,TTT

}A1

{HTT

,THT

,TTH

}.A2

{TTT

},而A1{HTT

,THT

,TTH

}.12

28

8P(

A

)

1

P(

A

)

1

1

78P(

A

)

3

.(1)(2)注意當(dāng)樣本空間中的元素較多時,

一般不再將元素一一列出,

只需分別求出

S和A中元素的個數(shù)，再A2

{TTT

},用計算公式即可求得相應(yīng)的概率.抽樣.例2

一只口袋裝有6只球,

其中4只白球、2只紅球.

從袋中取球兩次,

每次隨機地取一只,

考慮兩種取球方式: (a)

第一次取一只球,

觀察其顏色后放回袋中,

攪勻后再取一球.這種取球方式叫做放回(b)

第一次取一球不放回袋中,

第二次從剩余的球中再取一球,這種取球方式叫做不放回抽樣.試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率;(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.解

(a)

放回抽樣的情況.設(shè)A:表示事件“取到的兩只球都是白球”,B：“取到的兩只球都都是紅球”,C：“取到的兩只球中至少有一只是白球”.P(

A)

4

4

4

.6

6

9P(B)

2

2

1

.6

6

9P(

A

B)

P(

A)

P(B)

5

.9(b)

不放回抽樣.9由讀者自己完成.P(C

)

P(B

)

1

P(B)

8

.例3

將n只球隨機地放入

N

(

N

n)個盒子里去,試求每個盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).解

將n只球放入

N個盒子中去,

共有N

N

N

N

n

種不同的放法

,而每個盒子中至多放一只球，共有N

(

N

1)[

N

(n

1)]種不同放法.

因而所求的概率為pN

(

N

1)(

N

n

1)N

nNN

nAn說明：許多問題和本例有相同數(shù)學(xué)模型.生日問題生日問題假設(shè)每人的生日在一年365天中任一天是等可能的,即都等于1/365,那么隨機選取n

(

365)個人,他們的生日各不相同的概率為365

364

(365

n

1)365n因而,

n個人中至少有兩人生日

相同的概率為p

1

365

364

(365

n

1)365n利用 包進行數(shù)值計算計算可得下述結(jié)果:64

個人的班級里，生日各不相同的概率為365641p

365

364

(365

64

1)

.至少有2人生日相同的概率為p

1

365

364

(365

64

1)

0.997.36564這個分布稱為幾何分布例4設(shè)有

N件產(chǎn)品

,

其中有D件次品,

今從問其中恰有

k

(k

D

)件次品的概率中任取n件,是多少?解在N件產(chǎn)品中抽取

n件,

所有可能的取法

n

共有

N

種,

恰有k

(k

D

)件次品的取法數(shù)為

k

n

k

D

N

D

，故所求概率為

D

N

D

k

n

k

p

N

n

例5

袋中有a只白球,b只紅球,k個人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽樣;(2)作不放回抽樣,求第i(i

1,2,,k

)人取到白球(記為事件B)的概率

(k

a

b).解

(1)

放回抽樣的情況,

顯然有(2)不放回抽樣的情況.各人取一只球,每種取法是一個基本事件.共有(a

b)(a

b

1)(a

b

k

1)ab

Ak

個基本事件,且由于對稱性知每個基本事件.aa

bP(B)

發(fā)生的可能性相同.

當(dāng)事件B發(fā)生時,

第i人取的應(yīng)是白球,它可以是

a只白球中的任一只,有a種取法.其余被取的

k

1只球可以是其余

a

b

1只球中中的任意

k

1只,

共有ab1(a

b

1)(a

b

2)[a

b

1

(k

1)

1]

Ak

1種取法,于是B中包含a

Ak

1

個基本事件,

故根據(jù)a

b1(4.1)式得到AkP(B)

a

Ak

1ab1

abaa

b例6

在1~2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?解

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被

6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”,

則所求概率為P(

AB

)P(

A

B)1

P(

A

B)由于62000P(

A)

333故得8333

2000

334,

2000

250,83

2000

84,2000P(B)

250200024P(

AB)

8341

[P(

A)

P(B)

P(

AB)]

3例7

將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,

這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.

問(1)

每個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)

3名優(yōu)秀生分配在同一班級的概率是多少?

5

5

5

5!5!5!解

15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù)為

15

10

5

15!

.（1）每一班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法數(shù)為3!

12!4!4!4!例7

將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,

這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.

問(1)

每個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)

3名優(yōu)秀生分配在同一班級的概率是多少?

5

5

5

解

15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù)為

15

10

5

15!

.5!5!5!(2)

將3名優(yōu)秀生分配在同一班級的分法數(shù)為3

12!2!515!例8

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,

問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的?解

假設(shè)接待站的接待時間是沒有規(guī)定,

而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么, 12次接待來訪者都在周二、周四的概率為212

7120.0000003人們在長期實踐中總結(jié)得到“概率很小的事在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”,現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了,因此有理由懷疑假設(shè)的正確性,從而推斷接待站不是每天都接待來訪者,即認(rèn)為其接待時間是有規(guī)定的.四、小結(jié)定義

設(shè)E是隨機試驗

,

若E滿足下列條件

:1。試驗的樣本空間只包含有限個元素;2。試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.則稱E為等可能概型.計算公式A包含的基本事件

S中基本事件的總數(shù)nP

(

A)

k

五、幾何概型簡介定義當(dāng)隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域，并且任意一點落在度量(長度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為P(

A)

SA

.S(其中

S

是樣本空間的度量

,

SA

是構(gòu)成事件

A的子區(qū)域的度量.)這樣借助于幾何上的度量來合理規(guī)定的概率稱為幾何概型.會面問題例1

甲、乙兩人相0

到T

這段時間內(nèi),在預(yù)定地點會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.解

設(shè)

x,

y

分別為甲、乙兩人到達的時刻,

那么0

x

T

,兩人會面的充要條件0

y

T

.x

y

txoy

x

tx

y

ttTT

若以x,y

表示平面上點的坐標(biāo),則yT

2正方形面積

T故所求的概率為p

陰影部分面積

T

2

(T

t

)2

1

(1

t

)2

.例2

甲、乙兩人約定在下午1

時到2

時之間到某站乘公共汽車

,

又這段時間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為

1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定(1)

見車就乘;(2)最多等一輛車.求