2023屆 高三高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征 課件 92張

第7講離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及分布列1基礎(chǔ)知識(shí)整合PARTONE唯一樣本點(diǎn)明確的有限個(gè)一一列舉加權(quán)平均數(shù)平均水平01．分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．2．E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定．隨機(jī)變量X是可變的，可取不同的值，E(X)描述X取值的平均狀態(tài)．3．變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度，其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身具有相同的單位．4．方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù)的．1．某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是(

)A．第5次擊中目標(biāo)

B．第5次未擊中目標(biāo)C．前4次未擊中目標(biāo)

D．第4次擊中目標(biāo)解析因?yàn)閾糁心繕?biāo)或子彈打完就停止射擊，所以射擊次數(shù)ξ＝5，則說(shuō)明前4次均未擊中目標(biāo)．故選C.答案解析答案解析答案解析4．某街頭小攤，在不下雨的日子一天可賺到100元，在下雨的日子每天要損失10元，若該地區(qū)每年下雨的日子約為130天，則此小攤每天獲利的期望值約是(一年按365天計(jì)算)(

)A．60.82元

B．68.02元C．58.82元

D．60.28元答案解析5．(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有(

)A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2答案

X01234Pq0.40.10.20.2解析因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確；因?yàn)閅＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正確．故選ACD.解析解析6．(2020·浙江高考)一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球，每次拿一個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.12核心考向突破PARTTWO答案解析考向一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)答案解析離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．答案解析答案解析考向二求離散型隨機(jī)變量的分布列解解解離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些及每一個(gè)取值所表示的意義．(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率．(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列．(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確．

3.某校首屆安琪杯教職工運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一個(gè)撲克小游戲，游戲規(guī)則如下：甲、乙雙方每局比賽均從5張撲克牌(3張紅桃A,2張黑桃A)中輪流抽取1張，抽取到第2張黑桃A的人獲勝，并結(jié)束該局比賽．每三局比賽為一輪．(1)若在第一局比賽中甲先抽牌，求甲獲勝的概率；(2)若在一輪比賽中規(guī)定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比賽輸?shù)娜嗽谙乱痪直荣愊瘸?，每一局比賽先抽牌并獲勝的人得1分，后抽牌并獲勝的人得2分，未獲勝的人得0分．求此輪比賽中甲得分X的分布列．解解解考向三離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征多角度探究突破解解解解解離散型隨機(jī)變量的期望與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差．可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解．(2)由已知期望或方差求參數(shù)值．可依據(jù)條件利用期望、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值．(3)由已知條件，作出對(duì)兩種方案的判斷．可依據(jù)期望、方差的意義，對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出判斷．解解5．(2021·濰坊一模)在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度．為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備)．已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備)的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉．設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為r(0＜r＜1)，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)當(dāng)r＝0.9時(shí)，求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列；(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)約50萬(wàn)的經(jīng)濟(jì)損失．為減少對(duì)該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.9，更換設(shè)備硬件的總費(fèi)用為8萬(wàn)元；方案2：對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8，設(shè)備維護(hù)的總費(fèi)用為5萬(wàn)元．請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策．解(3)設(shè)方案1、方案2的總損失分別為X1，X2.采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得設(shè)備可靠度維持在0.9，由(2)可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.001，所以E(X1)＝80000＋0.001×500000＝80500.采用方案2，對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8，由(1)可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.008，所以E(X2)＝50000＋0.008×500000＝54000.E(X1)＞E(X2)，因此，從期望損失最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2.解3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE一、單項(xiàng)選擇題1．(2021·云南、貴州、四川、廣西四省名校聯(lián)考)設(shè)隨機(jī)變量X，Y滿足Y＝2X＋b(b為非零常數(shù))，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，則E(X)和D(X)分別為(

)A．4,8 B．2,8C．2,16 D．2＋b,16答案解析2．若隨機(jī)變量X的分布列為則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)解析由隨機(jī)變量X的分布列，得P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．故選C.答案解析

X－2－10123P0.10.20.20.30.10.13．一射手對(duì)靶射擊，直到命中或子彈打完為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4發(fā)子彈，則停止射擊后剩余子彈數(shù)目的均值為(

)A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.4解析X＝k表示停止射擊后剩余子彈的數(shù)目，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6，P(X＝1)＝0.42×0.6，P(X＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＋0×0.43×(0.6＋0.4)＝2.376.故選C.答案解析4．簽盒中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為(

)A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6答案解析答案解析解析答案解析答案解析答案解析二、多項(xiàng)選擇題9．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62解析由題意和分布列的性質(zhì)得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故A，B，C正確，D不正確．故選ABC.答案解析

X4a9P0.50.1b答案解析答案解析答案解析解析三、填空題13．隨機(jī)變量X的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________.答案解析

X－101Pabc14．?dāng)?shù)字1,2,3,4任意排成一排，若數(shù)字K恰好出現(xiàn)在第K個(gè)位置上，則稱為一個(gè)巧合，若巧合個(gè)數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________.答案解析答案解析1解析四、解答題17．(2021·新高考八省聯(lián)考)一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2,3需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2,0.3，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立．(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解(1)設(shè)部件1需要調(diào)整為事件A，部件2需要調(diào)整為事件B，部件3需要調(diào)整為事件C，由題意可知，P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3.部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝1－0.72＝0.28.(2)由題意可知X的取值為0,1,2,3，且P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)]·[1－P(B)]P(C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，解P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋[1－P(A)]P(C)P(B)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092.P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，故X的分布列為數(shù)學(xué)期望E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6.解

X0123P(X)0.5040.3980.0920.00618．A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別如下表：(1)在A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將x(0≤x≤100)萬(wàn)元投資項(xiàng)目A,100－x萬(wàn)元投資項(xiàng)目B，f(x)表示投資項(xiàng)目A所得利潤(rùn)的方差與投資項(xiàng)目B所得利潤(rùn)的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取得最小值．X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3解(1)根據(jù)題意，知Y1和Y2的分布列分別如下表：從而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.解Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3解19．某城市美團(tuán)外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)每月配送單數(shù)為X，若X∈[1,300]，每單提成3元，若X∈(300,600]，每單提成4元，若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元，餓了么外賣配送員底薪是每月2100元，設(shè)每月配送單數(shù)為Y，若Y∈[1,400]，每單提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每單提成4元，小王想在美團(tuán)外賣和餓了么外賣之間選擇一份配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了美團(tuán)外賣配送員甲和餓了么外賣配送員乙在2020年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：美團(tuán)外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量x(單)131416171820天數(shù)2612622表2：餓了么外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)(1)設(shè)美團(tuán)外賣配送員月工資為f(X)，餓了么外賣配送員月工資為g(Y)，當(dāng)X＝Y(jié)∈(300,600]時(shí)，比較f(X)與g(Y)的大小關(guān)系；(2)將4月份的日送餐量的頻率視為日送餐量的概率．①計(jì)算外賣配送員甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；②請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說(shuō)明理由．日送餐量y(單)111314151618天數(shù)4512351解解解20．(2021·新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p＝1，當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1；(3)根據(jù)你的理解，說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．解故f′(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；x∈(x1，x2)時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，若x2＝1，因?yàn)閒(x)在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0