2023屆 高三高考數(shù)學一輪復(fù)習 離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征 課件 92張

第7講離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征第十一章計數(shù)原理、概率、隨機變量及分布列1基礎(chǔ)知識整合PARTONE唯一樣本點明確的有限個一一列舉加權(quán)平均數(shù)平均水平01．分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．(2)隨機變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關(guān)事件的概率．2．E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定．隨機變量X是可變的，可取不同的值，E(X)描述X取值的平均狀態(tài)．3．變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度，其中標準差與隨機變量本身具有相同的單位．4．方差也是一個常數(shù)，它不具有隨機性，方差的值一定是非負的．1．某人進行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝5”表示的試驗結(jié)果是(

)A．第5次擊中目標

B．第5次未擊中目標C．前4次未擊中目標

D．第4次擊中目標解析因為擊中目標或子彈打完就停止射擊，所以射擊次數(shù)ξ＝5，則說明前4次均未擊中目標．故選C.答案解析答案解析答案解析4．某街頭小攤，在不下雨的日子一天可賺到100元，在下雨的日子每天要損失10元，若該地區(qū)每年下雨的日子約為130天，則此小攤每天獲利的期望值約是(一年按365天計算)(

)A．60.82元

B．68.02元C．58.82元

D．60.28元答案解析5．(多選)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有(

)A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2答案

X01234Pq0.40.10.20.2解析因為q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確；因為Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正確．故選ACD.解析解析6．(2020·浙江高考)一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.12核心考向突破PARTTWO答案解析考向一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)答案解析離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)．(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)取值的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機變量的各個取值的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．答案解析答案解析考向二求離散型隨機變量的分布列解解解離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些及每一個取值所表示的意義．(2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率．(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列．(4)做檢驗：利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確．

3.某校首屆安琪杯教職工運動會上有一個撲克小游戲，游戲規(guī)則如下：甲、乙雙方每局比賽均從5張撲克牌(3張紅桃A,2張黑桃A)中輪流抽取1張，抽取到第2張黑桃A的人獲勝，并結(jié)束該局比賽．每三局比賽為一輪．(1)若在第一局比賽中甲先抽牌，求甲獲勝的概率；(2)若在一輪比賽中規(guī)定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比賽輸?shù)娜嗽谙乱痪直荣愊瘸椋恳痪直荣愊瘸榕撇@勝的人得1分，后抽牌并獲勝的人得2分，未獲勝的人得0分．求此輪比賽中甲得分X的分布列．解解解考向三離散型隨機變量的數(shù)字特征多角度探究突破解解解解解離散型隨機變量的期望與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機變量的期望與方差．可依題設(shè)條件求出離散型隨機變量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解．(2)由已知期望或方差求參數(shù)值．可依據(jù)條件利用期望、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值．(3)由已知條件，作出對兩種方案的判斷．可依據(jù)期望、方差的意義，對實際問題作出判斷．解解5．(2021·濰坊一模)在一個系統(tǒng)中，每一個設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度．為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)備)．已知某計算機網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備)的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉．設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為r(0＜r＜1)，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)當r＝0.9時，求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列；(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當前的計算機網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗可知，計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟損失．為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.9，更換設(shè)備硬件的總費用為8萬元；方案2：對系統(tǒng)的設(shè)備進行維護，使得設(shè)備可靠度維持在0.8，設(shè)備維護的總費用為5萬元．請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策．解(3)設(shè)方案1、方案2的總損失分別為X1，X2.采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得設(shè)備可靠度維持在0.9，由(2)可知計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.001，所以E(X1)＝80000＋0.001×500000＝80500.采用方案2，對系統(tǒng)的設(shè)備進行維護，使得設(shè)備可靠度維持在0.8，由(1)可知計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為0.008，所以E(X2)＝50000＋0.008×500000＝54000.E(X1)＞E(X2)，因此，從期望損失最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2.解3課時作業(yè)PARTTHREE一、單項選擇題1．(2021·云南、貴州、四川、廣西四省名校聯(lián)考)設(shè)隨機變量X，Y滿足Y＝2X＋b(b為非零常數(shù))，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，則E(X)和D(X)分別為(

)A．4,8 B．2,8C．2,16 D．2＋b,16答案解析2．若隨機變量X的分布列為則當P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)解析由隨機變量X的分布列，得P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，則當P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1,2]．故選C.答案解析

X－2－10123P0.10.20.20.30.10.13．一射手對靶射擊，直到命中或子彈打完為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4發(fā)子彈，則停止射擊后剩余子彈數(shù)目的均值為(

)A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.4解析X＝k表示停止射擊后剩余子彈的數(shù)目，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6，P(X＝1)＝0.42×0.6，P(X＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＋0×0.43×(0.6＋0.4)＝2.376.故選C.答案解析4．簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學期望為(

)A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6答案解析答案解析解析答案解析答案解析答案解析二、多項選擇題9．已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62解析由題意和分布列的性質(zhì)得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故A，B，C正確，D不正確．故選ABC.答案解析

X4a9P0.50.1b答案解析答案解析答案解析解析三、填空題13．隨機變量X的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________.答案解析

X－101Pabc14．數(shù)字1,2,3,4任意排成一排，若數(shù)字K恰好出現(xiàn)在第K個位置上，則稱為一個巧合，若巧合個數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________.答案解析答案解析1解析四、解答題17．(2021·新高考八省聯(lián)考)一臺設(shè)備由三個部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運轉(zhuǎn)中，部件1,2,3需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2,0.3，各部件的狀態(tài)相互獨立．(1)求設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中，部件1,2中至少有1個需要調(diào)整的概率；(2)記設(shè)備在一天的運轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．解(1)設(shè)部件1需要調(diào)整為事件A，部件2需要調(diào)整為事件B，部件3需要調(diào)整為事件C，由題意可知，P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3.部件1,2中至少有1個需要調(diào)整的概率為1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝1－0.72＝0.28.(2)由題意可知X的取值為0,1,2,3，且P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)]·[1－P(B)]P(C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，解P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋[1－P(A)]P(C)P(B)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092.P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，故X的分布列為數(shù)學期望E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6.解

X0123P(X)0.5040.3980.0920.00618．A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2，根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別如下表：(1)在A，B兩個投資項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將x(0≤x≤100)萬元投資項目A,100－x萬元投資項目B，f(x)表示投資項目A所得利潤的方差與投資項目B所得利潤的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取得最小值．X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3解(1)根據(jù)題意，知Y1和Y2的分布列分別如下表：從而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.解Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3解19．某城市美團外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)每月配送單數(shù)為X，若X∈[1,300]，每單提成3元，若X∈(300,600]，每單提成4元，若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元，餓了么外賣配送員底薪是每月2100元，設(shè)每月配送單數(shù)為Y，若Y∈[1,400]，每單提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每單提成4元，小王想在美團外賣和餓了么外賣之間選擇一份配送員工作，他隨機調(diào)查了美團外賣配送員甲和餓了么外賣配送員乙在2020年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：美團外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計日送餐量x(單)131416171820天數(shù)2612622表2：餓了么外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(1)設(shè)美團外賣配送員月工資為f(X)，餓了么外賣配送員月工資為g(Y)，當X＝Y(jié)∈(300,600]時，比較f(X)與g(Y)的大小關(guān)系；(2)將4月份的日送餐量的頻率視為日送餐量的概率．①計算外賣配送員甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；②請利用所學的統(tǒng)計學知識為小王作出選擇，并說明理由．日送餐量y(單)111314151618天數(shù)4512351解解解20．(2021·新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，求證：當E(X)≤1時，p＝1，當E(X)>1時，p<1；(3)根據(jù)你的理解，說明(2)問結(jié)論的實際含義．解故f′(x)有兩個不同零點x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)時，f′(x)>0；x∈(x1，x2)時，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，若x2＝1，因為f(x)在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0