第二章 二次函數(shù) 專題訓練：探究二次函數(shù)中存在性問題課件

階段方法技巧訓練（二）專訓2探究二次函數(shù)中

存在性問題習題課階段方法技巧訓練（二）專訓2探究二次函數(shù)中習題課存在性問題是近年來中考的熱點，這類問題的知識覆蓋面廣，綜合性強，題型構思精巧，解題方法靈活，求解時常常要猜想或者假設問題的某種關系或結論存在，再經(jīng)過分析、歸納、演算、推理找出最后的答案．常見的類型有：探索與特殊幾何圖形有關的存在性問題，探索與周長有關的存在性問題，探索與面積有關的存在性問題．存在性問題是近年來中考的熱點，這類問題的知1類型探索與特殊幾何圖形有關的存在性問題【2017·內(nèi)江】如圖，在平面直角坐標系中，拋物

線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與y軸交于點C(0，3)，與x

軸交于A，B兩點，

點B的坐標為(4，0)，

拋物線的對稱軸方程

為x＝1.1類型探索與特殊幾何圖形有關的存在性問題【2017·內(nèi)江】(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式．∵點B的坐標為(4，0)，拋物線的對稱軸方程為x＝1，∴A(－2，0)．把點A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)的坐標分別代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，得解得∴該拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－x2＋

x＋3.解：(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式．∵點B的坐標為(4，0)，拋(2)點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度

的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段

BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中

一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設

△MBN的面積為S，點M的運動時間為t(s)，試求S

與t的函數(shù)關系式，并求S的最大值．由題意得AM＝3t，BN＝t.∴MB＝6－3t.∵點C的坐標為(0，3)，點B的坐標為(4，0)，∴OC＝3，OB＝4.解：(2)點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度由題意得在Rt△BOC中，BC＝過點N作NH⊥AB于點H.∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴

即

∴HN＝

t.∴S＝

MB·HN＝(6－3t)·t＝－

t2＋

t

＝－(t－1)2＋

，又易知0＜t＜2，∴當t＝1時，S最大值＝.在Rt△BOC中，BC＝(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN

為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說

明理由．存在．在Rt△OBC中，cos∠OBC＝當∠MNB＝90°時，cos∠MBN＝即化簡，得17t＝24，解得

t＝解：(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN存在．當∠BMN＝90°時，cos∠MBN＝即化簡，得19t＝30，解得t＝

綜上所述，當t＝

或t＝

時，△MBN為直角三角形．當∠BMN＝90°時，cos∠MBN＝2探索與周長有關的存在性問題類型2．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(－2，0)，

OB＝OA，且∠AOB＝120°.2探索與周長有關的存在性問題類型2．如圖，在直角坐標系中，點(1)求點B的坐標．(1)如圖，過點B作BD⊥y軸于點D，

則∠BOD＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA＝2，

∴OB＝2.

于是在Rt△BOD中，易得BD＝1，OD＝.∴點B的坐標為(1，)．解：(1)求點B的坐標．(1)如圖，過點B作BD⊥y軸于點D，解(2)求經(jīng)過A，O，B三點的拋物線的解析式．(2)由拋物線經(jīng)過點A(－2，0)，O(0，0)

可設拋物線的解析式為y＝ax(x＋2)，

將點B的坐標(1，)代入，得a＝

因此所求拋物線的解析式為y＝

x2＋

x.解：(2)求經(jīng)過A，O，B三點的拋物線的解析式．(2)由拋物線經(jīng)(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC

的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，

請說明理由．(3)存在．如圖，易知拋物線的對稱軸是直線x＝－1，

當點C是拋物線的對稱軸與線段AB的交點時，

△BOC的周長最?。?/p>

設直線AB的解析式為y＝kx＋b，解：(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC∴y＝x＋.

當x＝－1時，y＝

因此點C的坐標為∴y＝x＋.3探索與面積有關的存在性問題類型3．【2017·深圳】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過

點A(－1，0)，B(4，0)，交y軸于點C.(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式(用一般式表示)．3探索與面積有關的存在性問題類型3．【2017·深圳】如圖，(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過點A(－1，0)，B(4，0)，∴解得∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－

x2＋

x＋2.解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過點A(－1，0)，B((2)點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使

S△ABC＝

S△ABD？若存在，請直接寫出點D的

坐標；若不存在，請說明理由．(2)存在滿足條件的點D，其坐標為(1，3)

或(2，3)或(5，－3)．解：(2)點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使(2)存在滿(3)將直線BC繞點B順時針旋轉45°，與拋物線交

于另一點E，求BE的長．∵AO＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴AC＝

BC＝∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC為直角三角形，且BC⊥AC.解：(3)將直線BC繞點B順時針旋轉45°，與拋物線交∵AO如圖，設直線AC與直線BE交于點F，過點F作FM⊥x軸于點M，由題意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝由題易知即解得OM＝2.如圖，設直線AC與直線BE交于點F，過點F作FM⊥x軸于點M又由題易知即解得FM＝6，∴F(2，6)．設直線BE對應的函數(shù)表達式為y＝kx＋m，則可得解得∴直線BE對應的函數(shù)表達式為y＝－3x＋12.又由題易知聯(lián)立直線BE和拋物線對應的函數(shù)表達式可得解得或∴E(5，－3)，∴BE＝聯(lián)立直線BE和拋物線對應的函數(shù)表達式可得階段方法技巧訓練（二）專訓2探究二次函數(shù)中

存在性問題習題課階段方法技巧訓練（二）專訓2探究二次函數(shù)中習題課存在性問題是近年來中考的熱點，這類問題的知識覆蓋面廣，綜合性強，題型構思精巧，解題方法靈活，求解時常常要猜想或者假設問題的某種關系或結論存在，再經(jīng)過分析、歸納、演算、推理找出最后的答案．常見的類型有：探索與特殊幾何圖形有關的存在性問題，探索與周長有關的存在性問題，探索與面積有關的存在性問題．存在性問題是近年來中考的熱點，這類問題的知1類型探索與特殊幾何圖形有關的存在性問題【2017·內(nèi)江】如圖，在平面直角坐標系中，拋物

線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與y軸交于點C(0，3)，與x

軸交于A，B兩點，

點B的坐標為(4，0)，

拋物線的對稱軸方程

為x＝1.1類型探索與特殊幾何圖形有關的存在性問題【2017·內(nèi)江】(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式．∵點B的坐標為(4，0)，拋物線的對稱軸方程為x＝1，∴A(－2，0)．把點A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)的坐標分別代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，得解得∴該拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－x2＋

x＋3.解：(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式．∵點B的坐標為(4，0)，拋(2)點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度

的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段

BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中

一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設

△MBN的面積為S，點M的運動時間為t(s)，試求S

與t的函數(shù)關系式，并求S的最大值．由題意得AM＝3t，BN＝t.∴MB＝6－3t.∵點C的坐標為(0，3)，點B的坐標為(4，0)，∴OC＝3，OB＝4.解：(2)點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度由題意得在Rt△BOC中，BC＝過點N作NH⊥AB于點H.∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴

即

∴HN＝

t.∴S＝

MB·HN＝(6－3t)·t＝－

t2＋

t

＝－(t－1)2＋

，又易知0＜t＜2，∴當t＝1時，S最大值＝.在Rt△BOC中，BC＝(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN

為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說

明理由．存在．在Rt△OBC中，cos∠OBC＝當∠MNB＝90°時，cos∠MBN＝即化簡，得17t＝24，解得

t＝解：(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN存在．當∠BMN＝90°時，cos∠MBN＝即化簡，得19t＝30，解得t＝

綜上所述，當t＝

或t＝

時，△MBN為直角三角形．當∠BMN＝90°時，cos∠MBN＝2探索與周長有關的存在性問題類型2．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(－2，0)，

OB＝OA，且∠AOB＝120°.2探索與周長有關的存在性問題類型2．如圖，在直角坐標系中，點(1)求點B的坐標．(1)如圖，過點B作BD⊥y軸于點D，

則∠BOD＝120°－90°＝30°.由A(－2，0)可得OA＝2，

∴OB＝2.

于是在Rt△BOD中，易得BD＝1，OD＝.∴點B的坐標為(1，)．解：(1)求點B的坐標．(1)如圖，過點B作BD⊥y軸于點D，解(2)求經(jīng)過A，O，B三點的拋物線的解析式．(2)由拋物線經(jīng)過點A(－2，0)，O(0，0)

可設拋物線的解析式為y＝ax(x＋2)，

將點B的坐標(1，)代入，得a＝

因此所求拋物線的解析式為y＝

x2＋

x.解：(2)求經(jīng)過A，O，B三點的拋物線的解析式．(2)由拋物線經(jīng)(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC

的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，

請說明理由．(3)存在．如圖，易知拋物線的對稱軸是直線x＝－1，

當點C是拋物線的對稱軸與線段AB的交點時，

△BOC的周長最?。?/p>

設直線AB的解析式為y＝kx＋b，解：(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC∴y＝x＋.

當x＝－1時，y＝

因此點C的坐標為∴y＝x＋.3探索與面積有關的存在性問題類型3．【2017·深圳】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過

點A(－1，0)，B(4，0)，交y軸于點C.(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式(用一般式表示)．3探索與面積有關的存在性問題類型3．【2017·深圳】如圖，(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過點A(－1，0)，B(4，0)，∴解得∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－

x2＋

x＋2.解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過點A(－1，0)，B((2)點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使

S