北師大九上數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)公開(kāi)課課件123 矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

第一章特殊平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第3課時(shí)矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用第一章特殊平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第3課1題型利用矩形的判定和性質(zhì)解和差問(wèn)題如圖①，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，D.(1)求證：BD＝PE＋PF.(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變．如圖②，BD，PE，PF之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．1題型利用矩形的判定和性質(zhì)解和差問(wèn)題如圖①，在△ABC中，A(1)如圖，作BH⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四邊形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.證明：(1)如圖，作BH⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.證明：又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.則PE＝PH.∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.

即BD＝PE＋PF.又∵∠HPB＝∠FPC，(2)不成立，PE＝BD＋PF.

理由：作BH⊥PF交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

與(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.解：(2)不成立，PE＝BD＋PF.解：2．如圖，已知點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接

AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)連接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；

(2)在(1)的條件下，若△AFD

是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4，求四邊形ABFC的面積．2題型利用矩形的判定和性質(zhì)解面積問(wèn)題2．如圖，已知點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接2題型利用(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.

又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE.

又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，證明：又AB∥CF，∴四邊形ABFC為平行四邊形．∴AE＝EF.∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.∴四邊形ABFC為矩形．又AB∥CF，(2)∵四邊形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.

又∵△AFD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4，∴CF＝CD＝＝2.∴AC＝∴S矩形ABFC＝解：(2)∵四邊形ABFC是矩形，解：3．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)

O，且DE∥AC，AE∥BD.

求證：四邊形AODE是矩形．3題型利用矩形的定義判定與菱形有關(guān)的矩形3．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)3題型利用矩∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴四邊形AODE是矩形．證明：∵DE∥AC，AE∥BD，證明：4．如圖，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分別是AB，CD的中點(diǎn)，判斷MN與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．4題型利用直角三角形斜邊上中線性質(zhì)判斷直線位置關(guān)系4．如圖，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分別4題型利MN⊥CD.理由如下：如圖，連接ND，NC.在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是AB的中點(diǎn)，∴ND＝AB.同理可證NC＝AB.∴ND＝NC.∴△NDC是等腰三角形．在等腰三角形NDC中，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴MN⊥CD.解：MN⊥CD.理由如下：解：5．閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題：如圖①，我們把一個(gè)四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，

H依次連接起來(lái)得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？5題型利用矩形、菱形的判定探究條件5．閱讀下面材料：5題型利用矩形、菱形的判定探究條件小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：連接AC.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)EF∥GHEF＝AC點(diǎn)G，H分別是CD，AD的中點(diǎn)GH∥ACGH＝ACEF∥GHEF＝GH四邊形EFGH是平行四邊形小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：連接AC.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，參考小敏思考問(wèn)題的方法，解決以下問(wèn)題：(1)若只改變圖①中四邊形ABCD的形狀(如圖②)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖②，在(1)的條件下，若連接AC，BD.①當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？寫(xiě)出結(jié)論并說(shuō)明理由．②當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．直接寫(xiě)出結(jié)論．參考小敏思考問(wèn)題的方法，解決以下問(wèn)題：(1)四邊形EFGH還是平行四邊形．理由如下：連接AC.∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF＝AC.∵G，H分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴GH∥AC,GH＝AC.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四邊形EFGH是平行四邊形．解：(1)四邊形EFGH還是平行四邊形．理由如下：解：(2)①當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．理由如下：由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)AC＝BD時(shí)，F(xiàn)G＝BD，EF＝AC，∴FG＝EF.∴四邊形EFGH是菱形．②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形．：(2)②中由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形，(2)①當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC.∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.∵G，F(xiàn)分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴FG∥BD.∵EF⊥BD，∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°.∴四邊形EFGH是矩形．∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，6．已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且

BE＝BC，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是EC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BD于點(diǎn)R.6題型利用矩形的性質(zhì)探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題6．已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且6題型利用(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC的中點(diǎn)時(shí)，求證：PR＋PQ＝(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)E，點(diǎn)

C重合)時(shí)，其他條件不變，則(1)中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，其他條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC的中點(diǎn)時(shí)，(1)連接BP，作CH⊥BD于點(diǎn)H.∵BE＝BC，點(diǎn)P為CE的中點(diǎn)，∴BP是∠EBC的平分線．∵PR⊥BE，PQ⊥BC，∴PR＝PQ.

在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，

BC＝4，CD＝AB＝3，∴證明：(1)連接BP，作CH⊥BD于點(diǎn)H.證明：由S△BCD＝BC·CD＝BD·CH，得CH＝∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，∴又∵BE＝BC，∴PR＋PQ＝由S△BCD＝BC·CD＝BD·CH，(2)(1)中結(jié)論P(yáng)R＋PQ＝仍成立．證明：連接BP，作CH⊥BD于H.∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，∴又∵BE＝BC，∴PR＋PQ＝CH.而CH＝∴PR＋PQ＝∴(1)中結(jié)論成立．(3)猜想：PR－PQ＝解：解：(2)(1)中結(jié)論P(yáng)R＋PQ＝仍成立．解：解：第一章特殊平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第3課時(shí)矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用第一章特殊平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定第3課1題型利用矩形的判定和性質(zhì)解和差問(wèn)題如圖①，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，D.(1)求證：BD＝PE＋PF.(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變．如圖②，BD，PE，PF之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．1題型利用矩形的判定和性質(zhì)解和差問(wèn)題如圖①，在△ABC中，A(1)如圖，作BH⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四邊形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.證明：(1)如圖，作BH⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.證明：又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.則PE＝PH.∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.

即BD＝PE＋PF.又∵∠HPB＝∠FPC，(2)不成立，PE＝BD＋PF.

理由：作BH⊥PF交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

與(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.解：(2)不成立，PE＝BD＋PF.解：2．如圖，已知點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接

AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)連接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；

(2)在(1)的條件下，若△AFD

是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4，求四邊形ABFC的面積．2題型利用矩形的判定和性質(zhì)解面積問(wèn)題2．如圖，已知點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接2題型利用(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.

又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE.

又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，證明：又AB∥CF，∴四邊形ABFC為平行四邊形．∴AE＝EF.∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.∴四邊形ABFC為矩形．又AB∥CF，(2)∵四邊形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.

又∵△AFD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4，∴CF＝CD＝＝2.∴AC＝∴S矩形ABFC＝解：(2)∵四邊形ABFC是矩形，解：3．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)

O，且DE∥AC，AE∥BD.

求證：四邊形AODE是矩形．3題型利用矩形的定義判定與菱形有關(guān)的矩形3．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)3題型利用矩∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴四邊形AODE是矩形．證明：∵DE∥AC，AE∥BD，證明：4．如圖，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分別是AB，CD的中點(diǎn)，判斷MN與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．4題型利用直角三角形斜邊上中線性質(zhì)判斷直線位置關(guān)系4．如圖，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分別4題型利MN⊥CD.理由如下：如圖，連接ND，NC.在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是AB的中點(diǎn)，∴ND＝AB.同理可證NC＝AB.∴ND＝NC.∴△NDC是等腰三角形．在等腰三角形NDC中，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴MN⊥CD.解：MN⊥CD.理由如下：解：5．閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題：如圖①，我們把一個(gè)四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，

H依次連接起來(lái)得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？5題型利用矩形、菱形的判定探究條件5．閱讀下面材料：5題型利用矩形、菱形的判定探究條件小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：連接AC.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)EF∥GHEF＝AC點(diǎn)G，H分別是CD，AD的中點(diǎn)GH∥ACGH＝ACEF∥GHEF＝GH四邊形EFGH是平行四邊形小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：連接AC.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，參考小敏思考問(wèn)題的方法，解決以下問(wèn)題：(1)若只改變圖①中四邊形ABCD的形狀(如圖②)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖②，在(1)的條件下，若連接AC，BD.①當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？寫(xiě)出結(jié)論并說(shuō)明理由．②當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．直接寫(xiě)出結(jié)論．參考小敏思考問(wèn)題的方法，解決以下問(wèn)題：(1)四邊形EFGH還是平行四邊形．理由如下：連接AC.∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF＝AC.∵G，H分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴GH∥AC,GH＝AC.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四邊形EFGH是平行四邊形．解：(1)四邊形EFGH還是平行四邊形．理由如下：解：(2)①當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．理由如下：由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)AC＝BD時(shí)，F(xiàn)G＝BD，EF＝AC，∴FG＝EF.∴四邊形EFGH是菱形．②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形．：(2)②中由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形，(2)①當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC.∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.∵G，F(xiàn)分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴FG∥BD.∵EF⊥BD，∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°.∴四邊形EFGH是矩形．∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，6．已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且

BE＝BC，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是EC上的一動(dòng)點(diǎn)，且