北師大版八年級數(shù)學上冊第二章名師課件：二次根式及其性質(zhì)

7二次根式第1課時

二次根式及其性質(zhì)7二次根式第1課時二次根式及其性質(zhì)新知導入觀察下列代數(shù)式：可以發(fā)現(xiàn)，這些式子我們在前面都已學習過，它們的共同特征是：都含有開平方運算，并且被開方數(shù)都是非負數(shù).新知導入觀察下列代數(shù)式：新知講解二次根式的定義形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中a為整式或分式，a叫做被開方式．特點：①都是形如的式子，②a都是非負數(shù).新知講解二次根式的定義形如(a≥0新知講解例1

判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由．

導引：判斷一個式子是不是二次根式，實質(zhì)是看它是否具備二次根式定義的條件，緊扣定義進行識別．解：(1)不是．理由：因為的根指數(shù)是3，所以不是二次根式．(2)是．理由：因為不論x為何值，都有x2＋1＞0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．新知講解例1判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由．新知講解(3)不一定是．理由：當－5a≥0，即a≤0時，是二次

根式；當a＞0時，－5a＜0，則不是二次根

式．所以不一定是二次根式．(4)不是．理由：(a≥0)只能稱為含有二次根式的代

數(shù)式，不能稱為二次根式．新知講解(3)不一定是．理由：當－5a≥0，即a≤0時，新知講解(5)不一定是．理由：當a＝4，即a－4＝0時，是二次根式；當a≠4時，－(a－4)2＜0，所以不是二次根式．所以不一定是二次根式．(6)是．理由：因為x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．(7)是．理由：因為|x|≥0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．新知講解(5)不一定是．理由：當a＝4，即a－4＝0時，新知講解二次根式的識別方法：判斷一個式子是否為二次根式，一定要緊扣二次根式的定義，看所給的式子是否同時具備二次根式的兩個特征：(1)含根號且根指數(shù)為2(通常省略不寫)；(2)被開方數(shù)(式)為非負數(shù)．總

結新知講解二次根式的識別方法：判斷一個式子是否為二次根式，一定新知講解

例2

當x取怎樣的數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？導引：要使二次根式有意義，則被開方數(shù)是非負數(shù)．解：(1)欲使有意義，則必有2x－6≥0且x－5≠0，所以x≥3且

x≠5.(2)欲使有意義，則必有x－2≥0且5－x≥0，所以2≤x≤5.新知講解例2當x取怎樣的數(shù)時，下列各式在實數(shù)范新知講解求式子有意義時字母的取值范圍的方法：第一步，明確式子有意義的條件，對于單個的二次根式只需滿足被開方數(shù)為非負數(shù)；對于含有多個二次根式的，則必須滿足多個被開方數(shù)同時為非負數(shù)；對于零指數(shù)，則必須滿足底數(shù)不能為零．第二步，利用式子中所有有意義的條件，建立不等關系．第三步，由不等關系得出字母的取值范圍．總

結新知講解求式子有意義時字母的取值范圍的方法：總結新知講解1下列式子一定是二次根式的是()(中考·武漢)若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(

)A．x≥－2B．x>－2C．x≥2D．x≤22CC練一練：新知講解1下列式子一定是二次根式的是()2新知講解二次根式的性質(zhì)做一做（1）計算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根據(jù)上面的猜想，估計下面每組兩個式子是否相等，借助計算器驗證，并與同伴進行交流.新知講解二次根式的性質(zhì)做一做新知講解二次根式的性質(zhì)：

積的算術平方根，等于______________________;商的算術平方根，等于______________________;算術平方根的積算術平方根的商新知講解二次根式的性質(zhì)：算術平方根的積算術平方根的商新知講解知識點例3化簡：解：新知講解知識點例3化簡：解：新知講解知識點例4〈易錯題〉化簡：

導引：應用積的算術平方根性質(zhì)的前提是乘積的算術平方根，如不是，則需將它們轉化為積的形式，其次是每個因數(shù)(式)必須是非負數(shù)．(1)(2)中被開方數(shù)為數(shù)，(3)(4)中被開方數(shù)是含有字母的單項式，都可利用

進行化簡．新知講解知識點例4〈易錯題〉化簡：新知講解知識點解：新知講解知識點解：新知講解商的算術平方根再探索(1)商的算術平方根的性質(zhì)的實質(zhì)是逆用二次根式的除法法則；(2)應用商的算術平方根的前提條件是商中被除式是非負數(shù)，除式是正數(shù)；(3)商的算術平方根的性質(zhì)的作用是化簡二次根式，將分母中的根號化去．總

結新知講解商的算術平方根再探索總結新知講解分母有理化(1)定義：化去分母中根號的變形叫做分母有理化；(2)依據(jù)：分式的基本性質(zhì)及(a≥0)；(3)方法：將分子和分母都乘分母的有理化因式．總

結新知講解分母有理化總結新知講解1(中考·荊門)當1＜a＜2時，代數(shù)式的值是(

)A．－1B．1C．2a－3D．3－2aB練一練：新知講解1(中考·荊門)當1＜a＜2時，代數(shù)式新知講解下列結果正確的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個2C新知講解下列結果正確的有()2C新知講解最簡二次根式1.定義：一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式必須滿足：(1)被開方數(shù)不含分母，也就是被開方數(shù)必須是整數(shù)(式)；(2)被開方數(shù)中每個因數(shù)(式)的指數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個因數(shù)(式)的指數(shù)都是1.新知講解最簡二次根式1.定義：一般地，被開方數(shù)不含分母，也不新知講解2．將一個二次根式化簡成最簡二次根式的方法步驟：(1)“一分”，即利用因數(shù)(式)分解的方法把被開方數(shù)的分子、分母都化成質(zhì)因數(shù)(式)的冪的乘積形式；(2)“二移”，即把能開得盡方的因數(shù)(式)用它的算術平方根代替，移到根號外，其中把根號內(nèi)的分母中的因式移到根號外時，要注意應寫在分母的位置上；(3)“三化”，即將分母有理化——化去被開方數(shù)中的分母．

注意：(1)分母中含有根式的式子不是最簡二次根式；(2)去根號時，忽視隱含條件，誤將負數(shù)移到根號外；(3)去根號后漏掉括號．新知講解2．將一個二次根式化簡成最簡二次根式的方法步驟：新知講解例5

下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是最簡二次根式？不是最簡二次根式的，請說明理由．解：(1)不是最簡二次根式，因為被開方數(shù)中含有分母．(2)是最簡二次根式．(3)不是最簡二次根式，因為被開方數(shù)是小數(shù)(即含有分母)．(4)不是最簡二次根式，因為被開方數(shù)24x中含有能開得盡方的因數(shù)4，4＝22.(5)不是最簡二次根式，因為x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x

＋3)2，被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式．(6)不是最簡二次根式，因為分母中有二次根式．新知講解例5下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是最新知講解判斷一個二次根式是否是最簡二次根式的方法：利用最簡二次根式需要同時滿足的兩個條件進行判斷：(1)被開方數(shù)不含分母，即被開方數(shù)必須是整數(shù)(式)；(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)(式)，即被開方數(shù)

中每個因數(shù)(式)的指數(shù)都小于根指數(shù)2；另外還要具

備分母中不含二次根式的條件．總

結新知講解判斷一個二次根式是否是最簡二次根式的方法：利用最簡二新知講解知識點例6

化簡：若被開方數(shù)是小數(shù)，則先將其化為分數(shù)，再化簡．解：

導引：新知講解知識點例6化簡：若被開方數(shù)是小數(shù)，則先將其化為新知講解被開方數(shù)是數(shù)的二次根式的化簡技巧：(1)當被開方數(shù)是整數(shù)時，應先將它分解因數(shù)；(2)當被開方數(shù)是小數(shù)或帶分數(shù)時，應先將小數(shù)化成分數(shù)或帶分數(shù)化成假分數(shù)的形式；(3)當被開方數(shù)是整數(shù)或分數(shù)的和差時，應先將這個和差的結果求出．總

結新知講解被開方數(shù)是數(shù)的二次根式的化簡技巧：總結新知講解1(中考·淮安)下列式子為最簡二次根式的是(

)在下列根式中，不是最簡二次根式的是(

)2AD練一練：新知講解1(中考·淮安)下列式子為最簡二次根式的是()2課堂總結通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？與同伴交流.當a≥0時，當a≥0時，3.課堂總結通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？與同伴交流.當a≥07二次根式第1課時

二次根式及其性質(zhì)7二次根式第1課時二次根式及其性質(zhì)新知導入觀察下列代數(shù)式：可以發(fā)現(xiàn)，這些式子我們在前面都已學習過，它們的共同特征是：都含有開平方運算，并且被開方數(shù)都是非負數(shù).新知導入觀察下列代數(shù)式：新知講解二次根式的定義形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中a為整式或分式，a叫做被開方式．特點：①都是形如的式子，②a都是非負數(shù).新知講解二次根式的定義形如(a≥0新知講解例1

判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由．

導引：判斷一個式子是不是二次根式，實質(zhì)是看它是否具備二次根式定義的條件，緊扣定義進行識別．解：(1)不是．理由：因為的根指數(shù)是3，所以不是二次根式．(2)是．理由：因為不論x為何值，都有x2＋1＞0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．新知講解例1判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由．新知講解(3)不一定是．理由：當－5a≥0，即a≤0時，是二次

根式；當a＞0時，－5a＜0，則不是二次根

式．所以不一定是二次根式．(4)不是．理由：(a≥0)只能稱為含有二次根式的代

數(shù)式，不能稱為二次根式．新知講解(3)不一定是．理由：當－5a≥0，即a≤0時，新知講解(5)不一定是．理由：當a＝4，即a－4＝0時，是二次根式；當a≠4時，－(a－4)2＜0，所以不是二次根式．所以不一定是二次根式．(6)是．理由：因為x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．(7)是．理由：因為|x|≥0，且的根指數(shù)為2，所以是二次根式．新知講解(5)不一定是．理由：當a＝4，即a－4＝0時，新知講解二次根式的識別方法：判斷一個式子是否為二次根式，一定要緊扣二次根式的定義，看所給的式子是否同時具備二次根式的兩個特征：(1)含根號且根指數(shù)為2(通常省略不寫)；(2)被開方數(shù)(式)為非負數(shù)．總

結新知講解二次根式的識別方法：判斷一個式子是否為二次根式，一定新知講解

例2

當x取怎樣的數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？導引：要使二次根式有意義，則被開方數(shù)是非負數(shù)．解：(1)欲使有意義，則必有2x－6≥0且x－5≠0，所以x≥3且

x≠5.(2)欲使有意義，則必有x－2≥0且5－x≥0，所以2≤x≤5.新知講解例2當x取怎樣的數(shù)時，下列各式在實數(shù)范新知講解求式子有意義時字母的取值范圍的方法：第一步，明確式子有意義的條件，對于單個的二次根式只需滿足被開方數(shù)為非負數(shù)；對于含有多個二次根式的，則必須滿足多個被開方數(shù)同時為非負數(shù)；對于零指數(shù)，則必須滿足底數(shù)不能為零．第二步，利用式子中所有有意義的條件，建立不等關系．第三步，由不等關系得出字母的取值范圍．總

結新知講解求式子有意義時字母的取值范圍的方法：總結新知講解1下列式子一定是二次根式的是()(中考·武漢)若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(

)A．x≥－2B．x>－2C．x≥2D．x≤22CC練一練：新知講解1下列式子一定是二次根式的是()2新知講解二次根式的性質(zhì)做一做（1）計算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根據(jù)上面的猜想，估計下面每組兩個式子是否相等，借助計算器驗證，并與同伴進行交流.新知講解二次根式的性質(zhì)做一做新知講解二次根式的性質(zhì)：

積的算術平方根，等于______________________;商的算術平方根，等于______________________;算術平方根的積算術平方根的商新知講解二次根式的性質(zhì)：算術平方根的積算術平方根的商新知講解知識點例3化簡：解：新知講解知識點例3化簡：解：新知講解知識點例4〈易錯題〉化簡：

導引：應用積的算術平方根性質(zhì)的前提是乘積的算術平方根，如不是，則需將它們轉化為積的形式，其次是每個因數(shù)(式)必須是非負數(shù)．(1)(2)中被開方數(shù)為數(shù)，(3)(4)中被開方數(shù)是含有字母的單項式，都可利用

進行化簡．新知講解知識點例4〈易錯題〉化簡：新知講解知識點解：新知講解知識點解：新知講解商的算術平方根再探索(1)商的算術平方根的性質(zhì)的實質(zhì)是逆用二次根式的除法法則；(2)應用商的算術平方根的前提條件是商中被除式是非負數(shù)，除式是正數(shù)；(3)商的算術平方根的性質(zhì)的作用是化簡二次根式，將分母中的根號化去．總

結新知講解商的算術平方根再探索總結新知講解分母有理化(1)定義：化去分母中根號的變形叫做分母有理化；(2)依據(jù)：分式的基本性質(zhì)及(a≥0)；(3)方法：將分子和分母都乘分母的有理化因式．總

結新知講解分母有理化總結新知講解1(中考·荊門)當1＜a＜2時，代數(shù)式的值是(

)A．－1B．1C．2a－3D．3－2aB練一練：新知講解1(中考·荊門)當1＜a＜2時，代數(shù)式新知講解下列結果正確的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個2C新知講解下列結果正確的有()2C新知講解最簡二次根式1.定義：一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式必須滿足：(1)被開方數(shù)不含分母，也就是被開方數(shù)必須是整數(shù)(式)；(2)被開方數(shù)中每個因數(shù)(式)的指數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個因數(shù)(式)的指數(shù)都是1.新知講解最簡二次根式1.定義：一般地，被開方數(shù)不含分母，也不新知講解2．將一個二次根式化簡成最簡二次根式的方法步驟：(1)“一分”，即利用因數(shù)(式)分解的方法把被開方數(shù)的分子、分母都化成質(zhì)因數(shù)(式)的冪的乘積形式；(2)“二移”，即把能開得盡方的因數(shù)(式)用它的算術平方根代替，移到根號外，其中把根號內(nèi)的分母中的因式移到根號外時，要注意應寫在分母的位置上；(3)“三化”，即將分母有理化——化去被開方數(shù)中的分母．

注意：(1)分母中含有根式的式子不是最簡二次根式；(2)去根號時，忽視隱含條件，誤將負數(shù)移到根號外；(3)去根號后漏掉括號．新知講解2．將一個二次根式化簡成最簡二次根式的方法步驟：新知講解例5

下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是最簡二次根式？不是最簡二次根式的，請說明理由．解：(1)不是最簡二次