變式教學(xué)與變異理論課件

變式教學(xué)與變異理論

陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系主任張雄教授編輯ppt變式教學(xué)與變異理論

陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系主任張雄教授1

一、背景：三個(gè)相關(guān)的研究二、聚焦變式教學(xué)

三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）

編輯ppt編輯ppt2一、背景：三個(gè)相關(guān)的研究1、多角度理解知識(shí)：中美數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的比較研究

馬立平（Ma,1999)發(fā)現(xiàn)，中國(guó)教師強(qiáng)調(diào)對(duì)概念進(jìn)行多角度理解，而美國(guó)教師則比較重視操作過(guò)程。例如，美國(guó)教師往往只知道如何計(jì)算，但不清楚相關(guān)算法的合理性；中國(guó)教師不僅注意對(duì)算法的熟練掌握，也非常重視如何才能更為迅速、更為合理地去完成計(jì)算。在教學(xué)中注意提倡多種不同的算法和多種不同理解被認(rèn)為是“中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要特征。”編輯ppt一、背景：三個(gè)相關(guān)的研究1、多角度理解知識(shí)：中美數(shù)學(xué)32、有層次推進(jìn)教學(xué)：對(duì)中國(guó)教學(xué)模式和新教師入職教育的研究

彭恩霖（Paine,1990)根據(jù)她1986-1987年對(duì)中國(guó)教學(xué)的實(shí)地研究，把中國(guó)教學(xué)法描述為“鑒賞家”模式。這一模式的特征是，課堂在教師言語(yǔ)控制下由淺入深逐層推進(jìn)，學(xué)生則始終作為聽(tīng)眾。她認(rèn)為，中國(guó)課堂教學(xué)用清晰優(yōu)美的語(yǔ)言把知識(shí)由淺入深地傳授給學(xué)生，這一過(guò)程的展開(kāi)包含著藝術(shù)的成分。近來(lái)，基于對(duì)上海教師入職教育的定性研究，她認(rèn)為通過(guò)合作探究的在職教師培訓(xùn)實(shí)踐，在一起討論教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教師“深刻理解數(shù)學(xué)”有很大作用。編輯ppt2、有層次推進(jìn)教學(xué)：對(duì)中國(guó)教學(xué)模式和新教師入43、尋找不同的問(wèn)題解決途徑：對(duì)東西方數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的比較研究

上世紀(jì)80年代，密歇根大學(xué)斯蒂文森（Stevenson)領(lǐng)導(dǎo)的研究小組對(duì)中、日、美三國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了一系列比較研究。發(fā)現(xiàn)來(lái)自日本、中國(guó)大陸和臺(tái)灣的學(xué)生數(shù)學(xué)能力遠(yuǎn)高于美國(guó)學(xué)生。這些研究是基于對(duì)800節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課的課堂觀察，采用系統(tǒng)時(shí)間抽樣和敘事觀察的方法。有以下結(jié)論：在東亞課堂中，同一數(shù)學(xué)概念用不同方法表征的實(shí)踐普遍比美國(guó)課堂多。中日兩國(guó)教師通常會(huì)在一個(gè)抽象概念之后提供一些具體操作的鞏固練習(xí)，美國(guó)教師則較少這么做。學(xué)生數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量依賴于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的反應(yīng)和教師如何提出問(wèn)題兩個(gè)方面。與東亞相比，美國(guó)教師不太會(huì)采用什么技巧去激發(fā)學(xué)生的建設(shè)性思考和對(duì)數(shù)學(xué)的概念性理解。編輯ppt3、尋找不同的問(wèn)題解決途徑：對(duì)東西方數(shù)學(xué)課堂5二、聚焦變式教學(xué)

先以“青浦實(shí)驗(yàn)”有關(guān)變式教學(xué)的實(shí)驗(yàn)和研究為基礎(chǔ)，介紹“變式教學(xué)”的概念和特征。變式教學(xué)在中國(guó)由來(lái)已久。

顧泠沅（1981）系統(tǒng)地分析和綜合了變式教學(xué)的概念，確認(rèn)和說(shuō)明了兩種變式：“概念性變式”和“過(guò)程性變式”。

變式教學(xué)是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方法之一。即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類(lèi)事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)屬性。目的在于使學(xué)生理解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對(duì)一事物形成科學(xué)概念。編輯ppt二、聚焦變式教學(xué)先以“青浦實(shí)驗(yàn)61、概念性變式：對(duì)概念的多角度理解概念性變式主要包括以下兩類(lèi)變式：A.改變概念的外延，稱為概念變式；B.改變一些能混淆概念外延的屬性，比如舉反例，稱為非概念變式。目的是讓學(xué)生獲得對(duì)概念的多角度理解。下面的例子可以說(shuō)明這兩種變式的作用。編輯ppt1、概念性變式：對(duì)概念的多角度理解概念性變式主要包括以下兩類(lèi)7（1）通過(guò)直觀或具體的變式引入概念

以“異面直線”概念的教學(xué)為例。

難點(diǎn)有：概念抽象不易理解；異面直線屬于三維圖象，用片平面直觀圖去表示會(huì)造成視覺(jué)上的失真，對(duì)概念的對(duì)象即外延就難以鑒別。

有經(jīng)驗(yàn)的教師通常會(huì)借助兩類(lèi)變式：直觀材料；圖形變式作為直觀材料和抽象概念之間的過(guò)渡。編輯ppt（1）通過(guò)直觀或具體的變式引入概念

以“異面直8（2）通過(guò)非標(biāo)準(zhǔn)形式突出概念的本質(zhì)屬性標(biāo)準(zhǔn)圖形非標(biāo)準(zhǔn)圖形垂直菱形三角形的高幾何概念的標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)的圖形變式

既然數(shù)學(xué)概念包含清晰的外延，掌握一個(gè)概念就意味著能夠分辨一個(gè)對(duì)象是否屬于概念的外延集合。因此，一個(gè)有效途徑就是通過(guò)類(lèi)化不同變式的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。在概念的外延集合中，盡管從邏輯角度看，每個(gè)對(duì)象都是等價(jià)的，其實(shí)有些對(duì)象具有特殊的地位。比如，由于受到感性經(jīng)驗(yàn)的影響，或者在引入概念時(shí)先入為主，進(jìn)而成為相關(guān)概念的標(biāo)準(zhǔn)形式。標(biāo)準(zhǔn)形式雖然有利于學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確把握，但也很容易限制思維的靈活性，甚至縮小概念的外延。解決這個(gè)問(wèn)題的有效方法是充分利用非標(biāo)準(zhǔn)形式，通過(guò)變換概念的非本質(zhì)屬性，突出其本質(zhì)屬性。編輯ppt（2）通過(guò)非標(biāo)準(zhǔn)形式突出概念的本質(zhì)屬性標(biāo)準(zhǔn)圖形非標(biāo)準(zhǔn)圖形垂直9（3）非概念變式

概念的內(nèi)涵和外延是對(duì)立統(tǒng)一的。內(nèi)涵明確則外延清晰，反之亦然。因此概念教學(xué)需明晰概念的內(nèi)涵，并對(duì)概念的外延集合有一個(gè)界定。不同概念之間的關(guān)系可以用下圖表示。

比如，B是A的上位概念，C是A的下位概念，A和D是相交關(guān)系，A和E是矛盾關(guān)系。要明確概念的外延就必須劃清概念與其周邊概念之間的界限。編輯ppt（3）非概念變式比如，B是A的上位概念，C是10

使用“非概念變式”可以有效達(dá)到這一目的。比如，通過(guò)比較非概念圖形和概念圖形，可以直觀地理解概念的本質(zhì)屬性。如下圖。編輯ppt使用“非概念變式”可以有效達(dá)到這一目的。比如，通過(guò)11

非概念圖形變式的形式有很多，反例變式是常用的一種，如下圖。與半徑垂直的直線是圓的切線嗎？對(duì)角線互相垂直的四邊形一定是菱形嗎？編輯ppt非概念圖形變式的形式有很多，反例變式是常用的一種，122、過(guò)程性變式：數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)

數(shù)學(xué)教學(xué)包括兩種類(lèi)型的活動(dòng)：一是教陳述性知識(shí)（即概念），二是教程序性知識(shí)（即過(guò)程）。由于程序性知識(shí)（問(wèn)題解決和元認(rèn)知策略）是動(dòng)態(tài)的，采取靜止的概念性變式不能促進(jìn)其學(xué)習(xí)過(guò)程。數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的基本特征是層次性，它包含為解決問(wèn)題而采取的一系列不同步驟和策略。采取過(guò)程性變式，學(xué)生能夠解決問(wèn)題，并形成不同概念之間的層次關(guān)系或獲得多種方法。過(guò)程性變式的作用：（1）促進(jìn)概念的形成當(dāng)概念是靜止對(duì)象時(shí)，概念性變式是卓有成效的教學(xué)方法。然而，如果概念是通過(guò)一系列過(guò)程的發(fā)展而形成的，那么對(duì)過(guò)程的理解也是掌握概念的重要方面。為了掌握概念，允許學(xué)生體驗(yàn)概念的形成過(guò)程，尤其是引入新概念的必要性，是很有幫助的。編輯ppt2、過(guò)程性變式：數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)包括13

例如方程概念的教學(xué)。如果只是讓學(xué)生記住定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”，并給出一些具體的概念性變式讓學(xué)生鑒別的話，學(xué)生通常能夠鑒別哪些是方程，哪些不是，但這時(shí)學(xué)生對(duì)方程的理解是形式的、外延的，并沒(méi)有真正理解概念的本質(zhì)屬性。可采用“過(guò)程性變式”來(lái)幫助學(xué)生逐步建立方程的概念。鋪墊一：用具體的事物表示未知量?！靶∶骰藘稍X(qián)買(mǎi)了三塊橡皮，結(jié)果找給他兩角錢(qián)。問(wèn)每塊橡皮多少錢(qián)？”

=2角2元—或2元—3=2角鋪墊二：用間記符號(hào)表示未知量2元—3x=2角或20––3x=2

以上三種表達(dá)形式，反映了代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)發(fā)展的三個(gè)階段：象形代數(shù)，簡(jiǎn)寫(xiě)代數(shù)和符號(hào)代數(shù)。過(guò)程性變式和概念性變式有本質(zhì)的區(qū)別。前者的目的是提供逐步形成概念的過(guò)程，而后者是為了從多種角度來(lái)理解某一概念。鋪墊三：用符號(hào)“”替換x:20–3=2編輯ppt例如方程概念的教學(xué)。=2角2元—或2元14（2）問(wèn)題解決的鋪墊數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一個(gè)基本思路是把沒(méi)有解決的問(wèn)題化歸為已經(jīng)解決的問(wèn)題，復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題（Polya,1945).由于在未解決問(wèn)題（復(fù)雜問(wèn)題）和解決了的問(wèn)題之間沒(méi)有清晰的聯(lián)系，因此有必要為完成這種化歸設(shè)置一些路徑。

已知問(wèn)題變式1變式2未知問(wèn)題化歸化歸化歸推出推出推出問(wèn)題解決的變式

運(yùn)用變式為化歸作鋪墊是中國(guó)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在一定程度上就體現(xiàn)在變式問(wèn)題的豐富性以及化歸策略的多樣性上。編輯ppt（2）問(wèn)題解決的鋪墊已知問(wèn)題變式1變式2未知問(wèn)題化歸化歸化歸15（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)體系設(shè)計(jì)過(guò)程性變式的目的是增加活動(dòng)途徑的多樣性和活動(dòng)過(guò)程的層次性。每個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)都包含一個(gè)或一系列過(guò)程性變式，這些變式包括化歸或探索的步驟和策略。所有這些變式構(gòu)成一個(gè)層次策略的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，可內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要部分。

構(gòu)成特定經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的變式來(lái)自問(wèn)題解決的三個(gè)維度：改變某一問(wèn)題；同一問(wèn)題的不同解決過(guò)程作為變式，形成一個(gè)問(wèn)題的多種解決方法；同一方法解決多種問(wèn)題，將某一方法用于解決一類(lèi)相似的問(wèn)題。

編輯ppt（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)體系編輯ppt16概念性變式與本質(zhì)聯(lián)系

通過(guò)使用“概念性變式”，學(xué)生可以多角度地理解概念：從具體到抽象，從特殊到一般，通過(guò)排除背景干擾突出概念的本質(zhì)屬性，闡明概念的內(nèi)涵。這樣，通過(guò)概念性變式教學(xué)，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)和建立本質(zhì)的聯(lián)系。過(guò)程性變式與合理聯(lián)系通過(guò)使用“過(guò)程性變式”，學(xué)生可以理解知識(shí)的起源以及用什么方法和在什么地方運(yùn)用它們。這樣可建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。通過(guò)使用這種變式，幫助學(xué)生形成概念，解決問(wèn)題，構(gòu)建一個(gè)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，進(jìn)一步可以幫助學(xué)生理解知識(shí)的不同組成部分和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。編輯ppt概念性變式與本質(zhì)聯(lián)系通過(guò)使用“概念性變式”17

三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）

1、Dienes關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的理論

Dienes受皮亞杰(Piaget,1952)理論熏陶，并曾與布魯納（Bruner)在哈佛大學(xué)一起從事數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，Dienes形成了他的一套數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是與數(shù)有關(guān)的概念（純數(shù)學(xué)）和現(xiàn)實(shí)世界（應(yīng)用數(shù)學(xué)）之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)意味著學(xué)會(huì)這種聯(lián)系，其中，既包括它們的符號(hào)體系，也包括應(yīng)用結(jié)果來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。Dienes（1973）提出四條數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本原理：（1）動(dòng)態(tài)原理；（2）建構(gòu)原理；（3）數(shù)學(xué)可變性原理；（4）感知可變性原理。

編輯ppt三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）編輯pp18數(shù)學(xué)可變性原理是指，在學(xué)習(xí)含有變量的概念時(shí)，應(yīng)該體會(huì)盡可能多的變化，給予學(xué)生最大量的經(jīng)驗(yàn)和結(jié)構(gòu)來(lái)促進(jìn)概念的發(fā)展。這里似乎有一個(gè)預(yù)設(shè)，希望在保持概念完整性的情況下，使所有的變量都發(fā)生變化。感知可變性原理是指，提供看上去很不一樣，但實(shí)質(zhì)是同一概念結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，它們可以幫助學(xué)生從千資百態(tài)的載體中辨析出概念的結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，在不改變概念結(jié)構(gòu)的同時(shí)使外部表征多樣化。學(xué)習(xí)者在這些不同的表征中發(fā)現(xiàn)共性，這種共性特征就是數(shù)學(xué)概念。編輯ppt數(shù)學(xué)可變性原理是指，在學(xué)習(xí)含有變量的概念時(shí)，應(yīng)該體會(huì)盡可19

2、馬頓的變異理論（1）學(xué)習(xí)的意義

馬頓（Marton)理論源于30年來(lái)對(duì)不同領(lǐng)域?qū)W習(xí)的研究，至今仍在發(fā)展。（如，馬頓等人2004年的論述）

我們對(duì)世界的看法決定我們的行為。因此，如果我們希望學(xué)生能夠有效地應(yīng)對(duì)世界，我們就應(yīng)該使他們能有效地認(rèn)識(shí)這個(gè)世界。有效的方法就是能分辨事物的關(guān)鍵特征并能同時(shí)聚焦于這個(gè)特征?！瓣P(guān)鍵特征”與學(xué)習(xí)者要獲得的東西有重要的聯(lián)系。學(xué)習(xí)者在某種情境下是否能夠分辨關(guān)鍵特征并學(xué)習(xí)去分辨，依賴于這個(gè)情境中變異/不變異的兩個(gè)方面。（因?yàn)槲覀儍H只能分辨變異的部分）編輯ppt2、馬頓的變異理論（1）學(xué)習(xí)的意義編輯20

比如：如果我們生活在一個(gè)全是綠色的世界上，我們就不能明白“綠色是什么”，也就不能掌握綠色的概念。如果我們每時(shí)每刻都一樣幸福，則我們也就無(wú)法感到幸福。如果我們才開(kāi)始喝第一杯酒，我們就無(wú)法體會(huì)這種酒和其它酒的區(qū)別（無(wú)變異），也只能體會(huì)它和以前喝過(guò)的飲料的區(qū)別（變異）。（如此說(shuō)來(lái)，才喝第一次酒和一直喝同一種酒是一樣的）

重要的不是關(guān)注人和事的特征，我們只注意人和事的差異，或人和事特征的不同。例如，我們或許認(rèn)為某人的特征是黑、高、聰明，但這注意的是這一特殊個(gè)體與其他個(gè)體之間的差別。如果每個(gè)人都一樣黑、一樣高、一樣聰明，那么這些特征都會(huì)消失。當(dāng)我們第一次注意某人的某個(gè)特征時(shí)，確實(shí)會(huì)感到他有這樣或那樣的特征，這實(shí)際上是關(guān)注到此人與我們以前認(rèn)識(shí)的人之間的差別。編輯ppt比如：如果我們生活在一個(gè)全是綠色的世界上，我們21學(xué)習(xí)源于變異。學(xué)習(xí)就是鑒別。有比較（差異）才能鑒別。

“以某種方式學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)事物或現(xiàn)象就是從對(duì)象中區(qū)分出一些主要的特征并將注意力同時(shí)聚焦于這些特征”。比如，小孩在初學(xué)認(rèn)字時(shí)，常分不清“金”與“全”、“令”與“今”、“于”與“干”、“力”與“刀”、“內(nèi)”與“肉”、“我”與“找”、“草”與“革”、“角”與“用”、“夏”與“復(fù)”、“西”與“四”、“生”與“?！钡鹊?。鑒別依賴于對(duì)差異的認(rèn)識(shí)。編輯ppt學(xué)習(xí)源于變異。學(xué)習(xí)就是鑒別。有比較（差異）才能鑒別。22

主體所能同時(shí)經(jīng)驗(yàn)到的關(guān)于對(duì)象的各個(gè)方面的變異的維數(shù)直接決定了可能的學(xué)習(xí)空間。即在各個(gè)情景下學(xué)生可能經(jīng)驗(yàn)到什么樣的變異應(yīng)被看成對(duì)于學(xué)習(xí)活動(dòng)的最大限制。教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)變異維數(shù)的擴(kuò)展引導(dǎo)學(xué)生更好地去認(rèn)識(shí)對(duì)象的各個(gè)方面。只有通過(guò)體驗(yàn)變異，才能為未來(lái)的變異作準(zhǔn)備。所以，與重復(fù)練習(xí)的數(shù)量相比，關(guān)注練習(xí)中的變異性質(zhì)應(yīng)該更為重要。編輯ppt主體所能同時(shí)經(jīng)驗(yàn)到的關(guān)于對(duì)象的各個(gè)方面的變異的維數(shù)23

（2）變異/不變異模式常用的變異/不變異模式是所謂的“一般化”。不變的是概念、解法等，變的則是對(duì)應(yīng)于概念的不同例子或者解法應(yīng)用于不同的個(gè)案。例子或個(gè)案中，焦點(diǎn)在于什么是不變的，其思想是把問(wèn)題中概念或解法的關(guān)鍵性質(zhì)從其他不相關(guān)的因素（例子中的其他特征）中析離出來(lái)。

編輯ppt（2）變異/不變異模式編輯ppt24謝謝大家！編輯ppt謝謝大家！編輯ppt25變式教學(xué)與變異理論

陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系主任張雄教授編輯ppt變式教學(xué)與變異理論

陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系主任張雄教授26

一、背景：三個(gè)相關(guān)的研究二、聚焦變式教學(xué)

三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）

編輯ppt編輯ppt27一、背景：三個(gè)相關(guān)的研究1、多角度理解知識(shí)：中美數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的比較研究

馬立平（Ma,1999)發(fā)現(xiàn)，中國(guó)教師強(qiáng)調(diào)對(duì)概念進(jìn)行多角度理解，而美國(guó)教師則比較重視操作過(guò)程。例如，美國(guó)教師往往只知道如何計(jì)算，但不清楚相關(guān)算法的合理性；中國(guó)教師不僅注意對(duì)算法的熟練掌握，也非常重視如何才能更為迅速、更為合理地去完成計(jì)算。在教學(xué)中注意提倡多種不同的算法和多種不同理解被認(rèn)為是“中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要特征?！本庉媝pt一、背景：三個(gè)相關(guān)的研究1、多角度理解知識(shí)：中美數(shù)學(xué)282、有層次推進(jìn)教學(xué)：對(duì)中國(guó)教學(xué)模式和新教師入職教育的研究

彭恩霖（Paine,1990)根據(jù)她1986-1987年對(duì)中國(guó)教學(xué)的實(shí)地研究，把中國(guó)教學(xué)法描述為“鑒賞家”模式。這一模式的特征是，課堂在教師言語(yǔ)控制下由淺入深逐層推進(jìn)，學(xué)生則始終作為聽(tīng)眾。她認(rèn)為，中國(guó)課堂教學(xué)用清晰優(yōu)美的語(yǔ)言把知識(shí)由淺入深地傳授給學(xué)生，這一過(guò)程的展開(kāi)包含著藝術(shù)的成分。近來(lái)，基于對(duì)上海教師入職教育的定性研究，她認(rèn)為通過(guò)合作探究的在職教師培訓(xùn)實(shí)踐，在一起討論教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教師“深刻理解數(shù)學(xué)”有很大作用。編輯ppt2、有層次推進(jìn)教學(xué)：對(duì)中國(guó)教學(xué)模式和新教師入293、尋找不同的問(wèn)題解決途徑：對(duì)東西方數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的比較研究

上世紀(jì)80年代，密歇根大學(xué)斯蒂文森（Stevenson)領(lǐng)導(dǎo)的研究小組對(duì)中、日、美三國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了一系列比較研究。發(fā)現(xiàn)來(lái)自日本、中國(guó)大陸和臺(tái)灣的學(xué)生數(shù)學(xué)能力遠(yuǎn)高于美國(guó)學(xué)生。這些研究是基于對(duì)800節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課的課堂觀察，采用系統(tǒng)時(shí)間抽樣和敘事觀察的方法。有以下結(jié)論：在東亞課堂中，同一數(shù)學(xué)概念用不同方法表征的實(shí)踐普遍比美國(guó)課堂多。中日兩國(guó)教師通常會(huì)在一個(gè)抽象概念之后提供一些具體操作的鞏固練習(xí)，美國(guó)教師則較少這么做。學(xué)生數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量依賴于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的反應(yīng)和教師如何提出問(wèn)題兩個(gè)方面。與東亞相比，美國(guó)教師不太會(huì)采用什么技巧去激發(fā)學(xué)生的建設(shè)性思考和對(duì)數(shù)學(xué)的概念性理解。編輯ppt3、尋找不同的問(wèn)題解決途徑：對(duì)東西方數(shù)學(xué)課堂30二、聚焦變式教學(xué)

先以“青浦實(shí)驗(yàn)”有關(guān)變式教學(xué)的實(shí)驗(yàn)和研究為基礎(chǔ)，介紹“變式教學(xué)”的概念和特征。變式教學(xué)在中國(guó)由來(lái)已久。

顧泠沅（1981）系統(tǒng)地分析和綜合了變式教學(xué)的概念，確認(rèn)和說(shuō)明了兩種變式：“概念性變式”和“過(guò)程性變式”。

變式教學(xué)是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方法之一。即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類(lèi)事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)屬性。目的在于使學(xué)生理解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對(duì)一事物形成科學(xué)概念。編輯ppt二、聚焦變式教學(xué)先以“青浦實(shí)驗(yàn)311、概念性變式：對(duì)概念的多角度理解概念性變式主要包括以下兩類(lèi)變式：A.改變概念的外延，稱為概念變式；B.改變一些能混淆概念外延的屬性，比如舉反例，稱為非概念變式。目的是讓學(xué)生獲得對(duì)概念的多角度理解。下面的例子可以說(shuō)明這兩種變式的作用。編輯ppt1、概念性變式：對(duì)概念的多角度理解概念性變式主要包括以下兩類(lèi)32（1）通過(guò)直觀或具體的變式引入概念

以“異面直線”概念的教學(xué)為例。

難點(diǎn)有：概念抽象不易理解；異面直線屬于三維圖象，用片平面直觀圖去表示會(huì)造成視覺(jué)上的失真，對(duì)概念的對(duì)象即外延就難以鑒別。

有經(jīng)驗(yàn)的教師通常會(huì)借助兩類(lèi)變式：直觀材料；圖形變式作為直觀材料和抽象概念之間的過(guò)渡。編輯ppt（1）通過(guò)直觀或具體的變式引入概念

以“異面直33（2）通過(guò)非標(biāo)準(zhǔn)形式突出概念的本質(zhì)屬性標(biāo)準(zhǔn)圖形非標(biāo)準(zhǔn)圖形垂直菱形三角形的高幾何概念的標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)的圖形變式

既然數(shù)學(xué)概念包含清晰的外延，掌握一個(gè)概念就意味著能夠分辨一個(gè)對(duì)象是否屬于概念的外延集合。因此，一個(gè)有效途徑就是通過(guò)類(lèi)化不同變式的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。在概念的外延集合中，盡管從邏輯角度看，每個(gè)對(duì)象都是等價(jià)的，其實(shí)有些對(duì)象具有特殊的地位。比如，由于受到感性經(jīng)驗(yàn)的影響，或者在引入概念時(shí)先入為主，進(jìn)而成為相關(guān)概念的標(biāo)準(zhǔn)形式。標(biāo)準(zhǔn)形式雖然有利于學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確把握，但也很容易限制思維的靈活性，甚至縮小概念的外延。解決這個(gè)問(wèn)題的有效方法是充分利用非標(biāo)準(zhǔn)形式，通過(guò)變換概念的非本質(zhì)屬性，突出其本質(zhì)屬性。編輯ppt（2）通過(guò)非標(biāo)準(zhǔn)形式突出概念的本質(zhì)屬性標(biāo)準(zhǔn)圖形非標(biāo)準(zhǔn)圖形垂直34（3）非概念變式

概念的內(nèi)涵和外延是對(duì)立統(tǒng)一的。內(nèi)涵明確則外延清晰，反之亦然。因此概念教學(xué)需明晰概念的內(nèi)涵，并對(duì)概念的外延集合有一個(gè)界定。不同概念之間的關(guān)系可以用下圖表示。

比如，B是A的上位概念，C是A的下位概念，A和D是相交關(guān)系，A和E是矛盾關(guān)系。要明確概念的外延就必須劃清概念與其周邊概念之間的界限。編輯ppt（3）非概念變式比如，B是A的上位概念，C是35

使用“非概念變式”可以有效達(dá)到這一目的。比如，通過(guò)比較非概念圖形和概念圖形，可以直觀地理解概念的本質(zhì)屬性。如下圖。編輯ppt使用“非概念變式”可以有效達(dá)到這一目的。比如，通過(guò)36

非概念圖形變式的形式有很多，反例變式是常用的一種，如下圖。與半徑垂直的直線是圓的切線嗎？對(duì)角線互相垂直的四邊形一定是菱形嗎？編輯ppt非概念圖形變式的形式有很多，反例變式是常用的一種，372、過(guò)程性變式：數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)

數(shù)學(xué)教學(xué)包括兩種類(lèi)型的活動(dòng)：一是教陳述性知識(shí)（即概念），二是教程序性知識(shí)（即過(guò)程）。由于程序性知識(shí)（問(wèn)題解決和元認(rèn)知策略）是動(dòng)態(tài)的，采取靜止的概念性變式不能促進(jìn)其學(xué)習(xí)過(guò)程。數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的基本特征是層次性，它包含為解決問(wèn)題而采取的一系列不同步驟和策略。采取過(guò)程性變式，學(xué)生能夠解決問(wèn)題，并形成不同概念之間的層次關(guān)系或獲得多種方法。過(guò)程性變式的作用：（1）促進(jìn)概念的形成當(dāng)概念是靜止對(duì)象時(shí)，概念性變式是卓有成效的教學(xué)方法。然而，如果概念是通過(guò)一系列過(guò)程的發(fā)展而形成的，那么對(duì)過(guò)程的理解也是掌握概念的重要方面。為了掌握概念，允許學(xué)生體驗(yàn)概念的形成過(guò)程，尤其是引入新概念的必要性，是很有幫助的。編輯ppt2、過(guò)程性變式：數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)包括38

例如方程概念的教學(xué)。如果只是讓學(xué)生記住定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”，并給出一些具體的概念性變式讓學(xué)生鑒別的話，學(xué)生通常能夠鑒別哪些是方程，哪些不是，但這時(shí)學(xué)生對(duì)方程的理解是形式的、外延的，并沒(méi)有真正理解概念的本質(zhì)屬性?？刹捎谩斑^(guò)程性變式”來(lái)幫助學(xué)生逐步建立方程的概念。鋪墊一：用具體的事物表示未知量?！靶∶骰藘稍X(qián)買(mǎi)了三塊橡皮，結(jié)果找給他兩角錢(qián)。問(wèn)每塊橡皮多少錢(qián)？”

=2角2元—或2元—3=2角鋪墊二：用間記符號(hào)表示未知量2元—3x=2角或20––3x=2

以上三種表達(dá)形式，反映了代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)發(fā)展的三個(gè)階段：象形代數(shù)，簡(jiǎn)寫(xiě)代數(shù)和符號(hào)代數(shù)。過(guò)程性變式和概念性變式有本質(zhì)的區(qū)別。前者的目的是提供逐步形成概念的過(guò)程，而后者是為了從多種角度來(lái)理解某一概念。鋪墊三：用符號(hào)“”替換x:20–3=2編輯ppt例如方程概念的教學(xué)。=2角2元—或2元39（2）問(wèn)題解決的鋪墊數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一個(gè)基本思路是把沒(méi)有解決的問(wèn)題化歸為已經(jīng)解決的問(wèn)題，復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題（Polya,1945).由于在未解決問(wèn)題（復(fù)雜問(wèn)題）和解決了的問(wèn)題之間沒(méi)有清晰的聯(lián)系，因此有必要為完成這種化歸設(shè)置一些路徑。

已知問(wèn)題變式1變式2未知問(wèn)題化歸化歸化歸推出推出推出問(wèn)題解決的變式

運(yùn)用變式為化歸作鋪墊是中國(guó)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在一定程度上就體現(xiàn)在變式問(wèn)題的豐富性以及化歸策略的多樣性上。編輯ppt（2）問(wèn)題解決的鋪墊已知問(wèn)題變式1變式2未知問(wèn)題化歸化歸化歸40（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)體系設(shè)計(jì)過(guò)程性變式的目的是增加活動(dòng)途徑的多樣性和活動(dòng)過(guò)程的層次性。每個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)都包含一個(gè)或一系列過(guò)程性變式，這些變式包括化歸或探索的步驟和策略。所有這些變式構(gòu)成一個(gè)層次策略的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，可內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要部分。

構(gòu)成特定經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的變式來(lái)自問(wèn)題解決的三個(gè)維度：改變某一問(wèn)題；同一問(wèn)題的不同解決過(guò)程作為變式，形成一個(gè)問(wèn)題的多種解決方法；同一方法解決多種問(wèn)題，將某一方法用于解決一類(lèi)相似的問(wèn)題。

編輯ppt（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)體系編輯ppt41概念性變式與本質(zhì)聯(lián)系

通過(guò)使用“概念性變式”，學(xué)生可以多角度地理解概念：從具體到抽象，從特殊到一般，通過(guò)排除背景干擾突出概念的本質(zhì)屬性，闡明概念的內(nèi)涵。這樣，通過(guò)概念性變式教學(xué)，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)和建立本質(zhì)的聯(lián)系。過(guò)程性變式與合理聯(lián)系通過(guò)使用“過(guò)程性變式”，學(xué)生可以理解知識(shí)的起源以及用什么方法和在什么地方運(yùn)用它們。這樣可建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。通過(guò)使用這種變式，幫助學(xué)生形成概念，解決問(wèn)題，構(gòu)建一個(gè)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，進(jìn)一步可以幫助學(xué)生理解知識(shí)的不同組成部分和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。編輯ppt概念性變式與本質(zhì)聯(lián)系通過(guò)使用“概念性變式”42

三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）

1、Dienes關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的理論

Dienes受皮亞杰(Piaget,1952)理論熏陶，并曾與布魯納（Bruner)在哈佛大學(xué)一起從事數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，Dienes形成了他的一套數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是與數(shù)有關(guān)的概念（純數(shù)學(xué)）和現(xiàn)實(shí)世界（應(yīng)用數(shù)學(xué)）之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)意味著學(xué)會(huì)這種聯(lián)系，其中，既包括它們的符號(hào)體系，也包括應(yīng)用結(jié)果來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。Dienes（1973）提出四條數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本原理：（1）動(dòng)態(tài)原理；（2）建構(gòu)原理；（3）數(shù)學(xué)可變性原理；（4）感知可變性原理。

編輯ppt三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）編輯pp43數(shù)學(xué)可變性原理是指，在學(xué)習(xí)含有變量的概念時(shí)，應(yīng)該體會(huì)盡可能多的變化，給予學(xué)生最大量的經(jīng)驗(yàn)和結(jié)構(gòu)來(lái)促進(jìn)概念的發(fā)展。這里似乎有一個(gè)預(yù)設(shè)，希望在保持概念完整性的情況下，使所有的變量都發(fā)生變化。感知可變性原理是指，提供看上去很不一樣，但實(shí)質(zhì)是同一概念結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，它們可以幫助學(xué)生從千資百態(tài)的載體中辨析出概念的結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，在不改變概念結(jié)構(gòu)的同時(shí)使外部表征多樣化。學(xué)習(xí)者在這些不同的表征中發(fā)現(xiàn)共性，這種共性特征就是數(shù)學(xué)概念。編輯ppt數(shù)學(xué)可變性原理是指，在學(xué)習(xí)含有變量的概念時(shí)，應(yīng)該體會(huì)盡可44

2、馬頓的變異理論（1）學(xué)習(xí)的意義

馬頓（Marton)理論源于30年來(lái)對(duì)不同領(lǐng)域?qū)W習(xí)的研究，至今仍在發(fā)展。（如，馬頓等人2004年的論述）

我們對(duì)世界的看法決定我們的行為。因此，如果我們希望學(xué)生能夠有效地應(yīng)對(duì)世界，