變式教學(xué)與變異理論課件

變式教學(xué)與變異理論

陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系主任張雄教授編輯ppt變式教學(xué)與變異理論

陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系主任張雄教授1

一、背景：三個相關(guān)的研究二、聚焦變式教學(xué)

三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）

編輯ppt編輯ppt2一、背景：三個相關(guān)的研究1、多角度理解知識：中美數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)知識理解的比較研究

馬立平（Ma,1999)發(fā)現(xiàn)，中國教師強(qiáng)調(diào)對概念進(jìn)行多角度理解，而美國教師則比較重視操作過程。例如，美國教師往往只知道如何計算，但不清楚相關(guān)算法的合理性；中國教師不僅注意對算法的熟練掌握，也非常重視如何才能更為迅速、更為合理地去完成計算。在教學(xué)中注意提倡多種不同的算法和多種不同理解被認(rèn)為是“中國數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要特征?！本庉媝pt一、背景：三個相關(guān)的研究1、多角度理解知識：中美數(shù)學(xué)32、有層次推進(jìn)教學(xué)：對中國教學(xué)模式和新教師入職教育的研究

彭恩霖（Paine,1990)根據(jù)她1986-1987年對中國教學(xué)的實地研究，把中國教學(xué)法描述為“鑒賞家”模式。這一模式的特征是，課堂在教師言語控制下由淺入深逐層推進(jìn)，學(xué)生則始終作為聽眾。她認(rèn)為，中國課堂教學(xué)用清晰優(yōu)美的語言把知識由淺入深地傳授給學(xué)生，這一過程的展開包含著藝術(shù)的成分。近來，基于對上海教師入職教育的定性研究，她認(rèn)為通過合作探究的在職教師培訓(xùn)實踐，在一起討論教學(xué)重點、難點和關(guān)鍵，對中國數(shù)學(xué)教師“深刻理解數(shù)學(xué)”有很大作用。編輯ppt2、有層次推進(jìn)教學(xué)：對中國教學(xué)模式和新教師入43、尋找不同的問題解決途徑：對東西方數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的比較研究

上世紀(jì)80年代，密歇根大學(xué)斯蒂文森（Stevenson)領(lǐng)導(dǎo)的研究小組對中、日、美三國學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行了一系列比較研究。發(fā)現(xiàn)來自日本、中國大陸和臺灣的學(xué)生數(shù)學(xué)能力遠(yuǎn)高于美國學(xué)生。這些研究是基于對800節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課的課堂觀察，采用系統(tǒng)時間抽樣和敘事觀察的方法。有以下結(jié)論：在東亞課堂中，同一數(shù)學(xué)概念用不同方法表征的實踐普遍比美國課堂多。中日兩國教師通常會在一個抽象概念之后提供一些具體操作的鞏固練習(xí)，美國教師則較少這么做。學(xué)生數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量依賴于學(xué)生對問題的反應(yīng)和教師如何提出問題兩個方面。與東亞相比，美國教師不太會采用什么技巧去激發(fā)學(xué)生的建設(shè)性思考和對數(shù)學(xué)的概念性理解。編輯ppt3、尋找不同的問題解決途徑：對東西方數(shù)學(xué)課堂5二、聚焦變式教學(xué)

先以“青浦實驗”有關(guān)變式教學(xué)的實驗和研究為基礎(chǔ)，介紹“變式教學(xué)”的概念和特征。變式教學(xué)在中國由來已久。

顧泠沅（1981）系統(tǒng)地分析和綜合了變式教學(xué)的概念，確認(rèn)和說明了兩種變式：“概念性變式”和“過程性變式”。

變式教學(xué)是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方法之一。即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)屬性。目的在于使學(xué)生理解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對一事物形成科學(xué)概念。編輯ppt二、聚焦變式教學(xué)先以“青浦實驗61、概念性變式：對概念的多角度理解概念性變式主要包括以下兩類變式：A.改變概念的外延，稱為概念變式；B.改變一些能混淆概念外延的屬性，比如舉反例，稱為非概念變式。目的是讓學(xué)生獲得對概念的多角度理解。下面的例子可以說明這兩種變式的作用。編輯ppt1、概念性變式：對概念的多角度理解概念性變式主要包括以下兩類7（1）通過直觀或具體的變式引入概念

以“異面直線”概念的教學(xué)為例。

難點有：概念抽象不易理解；異面直線屬于三維圖象，用片平面直觀圖去表示會造成視覺上的失真，對概念的對象即外延就難以鑒別。

有經(jīng)驗的教師通常會借助兩類變式：直觀材料；圖形變式作為直觀材料和抽象概念之間的過渡。編輯ppt（1）通過直觀或具體的變式引入概念

以“異面直8（2）通過非標(biāo)準(zhǔn)形式突出概念的本質(zhì)屬性標(biāo)準(zhǔn)圖形非標(biāo)準(zhǔn)圖形垂直菱形三角形的高幾何概念的標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)的圖形變式

既然數(shù)學(xué)概念包含清晰的外延，掌握一個概念就意味著能夠分辨一個對象是否屬于概念的外延集合。因此，一個有效途徑就是通過類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。在概念的外延集合中，盡管從邏輯角度看，每個對象都是等價的，其實有些對象具有特殊的地位。比如，由于受到感性經(jīng)驗的影響，或者在引入概念時先入為主，進(jìn)而成為相關(guān)概念的標(biāo)準(zhǔn)形式。標(biāo)準(zhǔn)形式雖然有利于學(xué)生對概念的準(zhǔn)確把握，但也很容易限制思維的靈活性，甚至縮小概念的外延。解決這個問題的有效方法是充分利用非標(biāo)準(zhǔn)形式，通過變換概念的非本質(zhì)屬性，突出其本質(zhì)屬性。編輯ppt（2）通過非標(biāo)準(zhǔn)形式突出概念的本質(zhì)屬性標(biāo)準(zhǔn)圖形非標(biāo)準(zhǔn)圖形垂直9（3）非概念變式

概念的內(nèi)涵和外延是對立統(tǒng)一的。內(nèi)涵明確則外延清晰，反之亦然。因此概念教學(xué)需明晰概念的內(nèi)涵，并對概念的外延集合有一個界定。不同概念之間的關(guān)系可以用下圖表示。

比如，B是A的上位概念，C是A的下位概念，A和D是相交關(guān)系，A和E是矛盾關(guān)系。要明確概念的外延就必須劃清概念與其周邊概念之間的界限。編輯ppt（3）非概念變式比如，B是A的上位概念，C是10

使用“非概念變式”可以有效達(dá)到這一目的。比如，通過比較非概念圖形和概念圖形，可以直觀地理解概念的本質(zhì)屬性。如下圖。編輯ppt使用“非概念變式”可以有效達(dá)到這一目的。比如，通過11

非概念圖形變式的形式有很多，反例變式是常用的一種，如下圖。與半徑垂直的直線是圓的切線嗎？對角線互相垂直的四邊形一定是菱形嗎？編輯ppt非概念圖形變式的形式有很多，反例變式是常用的一種，122、過程性變式：數(shù)學(xué)活動的有層次推進(jìn)

數(shù)學(xué)教學(xué)包括兩種類型的活動：一是教陳述性知識（即概念），二是教程序性知識（即過程）。由于程序性知識（問題解決和元認(rèn)知策略）是動態(tài)的，采取靜止的概念性變式不能促進(jìn)其學(xué)習(xí)過程。數(shù)學(xué)活動過程的基本特征是層次性，它包含為解決問題而采取的一系列不同步驟和策略。采取過程性變式，學(xué)生能夠解決問題，并形成不同概念之間的層次關(guān)系或獲得多種方法。過程性變式的作用：（1）促進(jìn)概念的形成當(dāng)概念是靜止對象時，概念性變式是卓有成效的教學(xué)方法。然而，如果概念是通過一系列過程的發(fā)展而形成的，那么對過程的理解也是掌握概念的重要方面。為了掌握概念，允許學(xué)生體驗概念的形成過程，尤其是引入新概念的必要性，是很有幫助的。編輯ppt2、過程性變式：數(shù)學(xué)活動的有層次推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)包括13

例如方程概念的教學(xué)。如果只是讓學(xué)生記住定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”，并給出一些具體的概念性變式讓學(xué)生鑒別的話，學(xué)生通常能夠鑒別哪些是方程，哪些不是，但這時學(xué)生對方程的理解是形式的、外延的，并沒有真正理解概念的本質(zhì)屬性?？刹捎谩斑^程性變式”來幫助學(xué)生逐步建立方程的概念。鋪墊一：用具體的事物表示未知量?！靶∶骰藘稍X買了三塊橡皮，結(jié)果找給他兩角錢。問每塊橡皮多少錢？”

=2角2元—或2元—3=2角鋪墊二：用間記符號表示未知量2元—3x=2角或20––3x=2

以上三種表達(dá)形式，反映了代數(shù)符號系統(tǒng)發(fā)展的三個階段：象形代數(shù)，簡寫代數(shù)和符號代數(shù)。過程性變式和概念性變式有本質(zhì)的區(qū)別。前者的目的是提供逐步形成概念的過程，而后者是為了從多種角度來理解某一概念。鋪墊三：用符號“”替換x:20–3=2編輯ppt例如方程概念的教學(xué)。=2角2元—或2元14（2）問題解決的鋪墊數(shù)學(xué)問題解決的一個基本思路是把沒有解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題，復(fù)雜的問題化歸為簡單的問題（Polya,1945).由于在未解決問題（復(fù)雜問題）和解決了的問題之間沒有清晰的聯(lián)系，因此有必要為完成這種化歸設(shè)置一些路徑。

已知問題變式1變式2未知問題化歸化歸化歸推出推出推出問題解決的變式

運用變式為化歸作鋪墊是中國教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在一定程度上就體現(xiàn)在變式問題的豐富性以及化歸策略的多樣性上。編輯ppt（2）問題解決的鋪墊已知問題變式1變式2未知問題化歸化歸化歸15（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗體系設(shè)計過程性變式的目的是增加活動途徑的多樣性和活動過程的層次性。每個數(shù)學(xué)活動都包含一個或一系列過程性變式，這些變式包括化歸或探索的步驟和策略。所有這些變式構(gòu)成一個層次策略的經(jīng)驗系統(tǒng)，可內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個重要部分。

構(gòu)成特定經(jīng)驗系統(tǒng)的變式來自問題解決的三個維度：改變某一問題；同一問題的不同解決過程作為變式，形成一個問題的多種解決方法；同一方法解決多種問題，將某一方法用于解決一類相似的問題。

編輯ppt（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗體系編輯ppt16概念性變式與本質(zhì)聯(lián)系

通過使用“概念性變式”，學(xué)生可以多角度地理解概念：從具體到抽象，從特殊到一般，通過排除背景干擾突出概念的本質(zhì)屬性，闡明概念的內(nèi)涵。這樣，通過概念性變式教學(xué)，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)和建立本質(zhì)的聯(lián)系。過程性變式與合理聯(lián)系通過使用“過程性變式”，學(xué)生可以理解知識的起源以及用什么方法和在什么地方運用它們。這樣可建立良好的知識結(jié)構(gòu)。通過使用這種變式，幫助學(xué)生形成概念，解決問題，構(gòu)建一個活動經(jīng)驗系統(tǒng)，進(jìn)一步可以幫助學(xué)生理解知識的不同組成部分和完善知識結(jié)構(gòu)。編輯ppt概念性變式與本質(zhì)聯(lián)系通過使用“概念性變式”17

三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）

1、Dienes關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的理論

Dienes受皮亞杰(Piaget,1952)理論熏陶，并曾與布魯納（Bruner)在哈佛大學(xué)一起從事數(shù)學(xué)實驗項目，Dienes形成了他的一套數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是與數(shù)有關(guān)的概念（純數(shù)學(xué)）和現(xiàn)實世界（應(yīng)用數(shù)學(xué)）之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)意味著學(xué)會這種聯(lián)系，其中，既包括它們的符號體系，也包括應(yīng)用結(jié)果來解決現(xiàn)實問題的能力。Dienes（1973）提出四條數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本原理：（1）動態(tài)原理；（2）建構(gòu)原理；（3）數(shù)學(xué)可變性原理；（4）感知可變性原理。

編輯ppt三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）編輯pp18數(shù)學(xué)可變性原理是指，在學(xué)習(xí)含有變量的概念時，應(yīng)該體會盡可能多的變化，給予學(xué)生最大量的經(jīng)驗和結(jié)構(gòu)來促進(jìn)概念的發(fā)展。這里似乎有一個預(yù)設(shè)，希望在保持概念完整性的情況下，使所有的變量都發(fā)生變化。感知可變性原理是指，提供看上去很不一樣，但實質(zhì)是同一概念結(jié)構(gòu)的問題，它們可以幫助學(xué)生從千資百態(tài)的載體中辨析出概念的結(jié)構(gòu)。也就是說，在不改變概念結(jié)構(gòu)的同時使外部表征多樣化。學(xué)習(xí)者在這些不同的表征中發(fā)現(xiàn)共性，這種共性特征就是數(shù)學(xué)概念。編輯ppt數(shù)學(xué)可變性原理是指，在學(xué)習(xí)含有變量的概念時，應(yīng)該體會盡可19

2、馬頓的變異理論（1）學(xué)習(xí)的意義

馬頓（Marton)理論源于30年來對不同領(lǐng)域?qū)W習(xí)的研究，至今仍在發(fā)展。（如，馬頓等人2004年的論述）

我們對世界的看法決定我們的行為。因此，如果我們希望學(xué)生能夠有效地應(yīng)對世界，我們就應(yīng)該使他們能有效地認(rèn)識這個世界。有效的方法就是能分辨事物的關(guān)鍵特征并能同時聚焦于這個特征。“關(guān)鍵特征”與學(xué)習(xí)者要獲得的東西有重要的聯(lián)系。學(xué)習(xí)者在某種情境下是否能夠分辨關(guān)鍵特征并學(xué)習(xí)去分辨，依賴于這個情境中變異/不變異的兩個方面。（因為我們僅只能分辨變異的部分）編輯ppt2、馬頓的變異理論（1）學(xué)習(xí)的意義編輯20

比如：如果我們生活在一個全是綠色的世界上，我們就不能明白“綠色是什么”，也就不能掌握綠色的概念。如果我們每時每刻都一樣幸福，則我們也就無法感到幸福。如果我們才開始喝第一杯酒，我們就無法體會這種酒和其它酒的區(qū)別（無變異），也只能體會它和以前喝過的飲料的區(qū)別（變異）。（如此說來，才喝第一次酒和一直喝同一種酒是一樣的）

重要的不是關(guān)注人和事的特征，我們只注意人和事的差異，或人和事特征的不同。例如，我們或許認(rèn)為某人的特征是黑、高、聰明，但這注意的是這一特殊個體與其他個體之間的差別。如果每個人都一樣黑、一樣高、一樣聰明，那么這些特征都會消失。當(dāng)我們第一次注意某人的某個特征時，確實會感到他有這樣或那樣的特征，這實際上是關(guān)注到此人與我們以前認(rèn)識的人之間的差別。編輯ppt比如：如果我們生活在一個全是綠色的世界上，我們21學(xué)習(xí)源于變異。學(xué)習(xí)就是鑒別。有比較（差異）才能鑒別。

“以某種方式學(xué)習(xí)認(rèn)識事物或現(xiàn)象就是從對象中區(qū)分出一些主要的特征并將注意力同時聚焦于這些特征”。比如，小孩在初學(xué)認(rèn)字時，常分不清“金”與“全”、“令”與“今”、“于”與“干”、“力”與“刀”、“內(nèi)”與“肉”、“我”與“找”、“草”與“革”、“角”與“用”、“夏”與“復(fù)”、“西”與“四”、“生”與“牛”等等。鑒別依賴于對差異的認(rèn)識。編輯ppt學(xué)習(xí)源于變異。學(xué)習(xí)就是鑒別。有比較（差異）才能鑒別。22

主體所能同時經(jīng)驗到的關(guān)于對象的各個方面的變異的維數(shù)直接決定了可能的學(xué)習(xí)空間。即在各個情景下學(xué)生可能經(jīng)驗到什么樣的變異應(yīng)被看成對于學(xué)習(xí)活動的最大限制。教師應(yīng)當(dāng)通過變異維數(shù)的擴(kuò)展引導(dǎo)學(xué)生更好地去認(rèn)識對象的各個方面。只有通過體驗變異，才能為未來的變異作準(zhǔn)備。所以，與重復(fù)練習(xí)的數(shù)量相比，關(guān)注練習(xí)中的變異性質(zhì)應(yīng)該更為重要。編輯ppt主體所能同時經(jīng)驗到的關(guān)于對象的各個方面的變異的維數(shù)23

（2）變異/不變異模式常用的變異/不變異模式是所謂的“一般化”。不變的是概念、解法等，變的則是對應(yīng)于概念的不同例子或者解法應(yīng)用于不同的個案。例子或個案中，焦點在于什么是不變的，其思想是把問題中概念或解法的關(guān)鍵性質(zhì)從其他不相關(guān)的因素（例子中的其他特征）中析離出來。

編輯ppt（2）變異/不變異模式編輯ppt24謝謝大家！編輯ppt謝謝大家！編輯ppt25變式教學(xué)與變異理論

陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系主任張雄教授編輯ppt變式教學(xué)與變異理論

陜西教育學(xué)院數(shù)理工程系主任張雄教授26

一、背景：三個相關(guān)的研究二、聚焦變式教學(xué)

三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）

編輯ppt編輯ppt27一、背景：三個相關(guān)的研究1、多角度理解知識：中美數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)知識理解的比較研究

馬立平（Ma,1999)發(fā)現(xiàn)，中國教師強(qiáng)調(diào)對概念進(jìn)行多角度理解，而美國教師則比較重視操作過程。例如，美國教師往往只知道如何計算，但不清楚相關(guān)算法的合理性；中國教師不僅注意對算法的熟練掌握，也非常重視如何才能更為迅速、更為合理地去完成計算。在教學(xué)中注意提倡多種不同的算法和多種不同理解被認(rèn)為是“中國數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要特征。”編輯ppt一、背景：三個相關(guān)的研究1、多角度理解知識：中美數(shù)學(xué)282、有層次推進(jìn)教學(xué)：對中國教學(xué)模式和新教師入職教育的研究

彭恩霖（Paine,1990)根據(jù)她1986-1987年對中國教學(xué)的實地研究，把中國教學(xué)法描述為“鑒賞家”模式。這一模式的特征是，課堂在教師言語控制下由淺入深逐層推進(jìn)，學(xué)生則始終作為聽眾。她認(rèn)為，中國課堂教學(xué)用清晰優(yōu)美的語言把知識由淺入深地傳授給學(xué)生，這一過程的展開包含著藝術(shù)的成分。近來，基于對上海教師入職教育的定性研究，她認(rèn)為通過合作探究的在職教師培訓(xùn)實踐，在一起討論教學(xué)重點、難點和關(guān)鍵，對中國數(shù)學(xué)教師“深刻理解數(shù)學(xué)”有很大作用。編輯ppt2、有層次推進(jìn)教學(xué)：對中國教學(xué)模式和新教師入293、尋找不同的問題解決途徑：對東西方數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的比較研究

上世紀(jì)80年代，密歇根大學(xué)斯蒂文森（Stevenson)領(lǐng)導(dǎo)的研究小組對中、日、美三國學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行了一系列比較研究。發(fā)現(xiàn)來自日本、中國大陸和臺灣的學(xué)生數(shù)學(xué)能力遠(yuǎn)高于美國學(xué)生。這些研究是基于對800節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課的課堂觀察，采用系統(tǒng)時間抽樣和敘事觀察的方法。有以下結(jié)論：在東亞課堂中，同一數(shù)學(xué)概念用不同方法表征的實踐普遍比美國課堂多。中日兩國教師通常會在一個抽象概念之后提供一些具體操作的鞏固練習(xí)，美國教師則較少這么做。學(xué)生數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量依賴于學(xué)生對問題的反應(yīng)和教師如何提出問題兩個方面。與東亞相比，美國教師不太會采用什么技巧去激發(fā)學(xué)生的建設(shè)性思考和對數(shù)學(xué)的概念性理解。編輯ppt3、尋找不同的問題解決途徑：對東西方數(shù)學(xué)課堂30二、聚焦變式教學(xué)

先以“青浦實驗”有關(guān)變式教學(xué)的實驗和研究為基礎(chǔ)，介紹“變式教學(xué)”的概念和特征。變式教學(xué)在中國由來已久。

顧泠沅（1981）系統(tǒng)地分析和綜合了變式教學(xué)的概念，確認(rèn)和說明了兩種變式：“概念性變式”和“過程性變式”。

變式教學(xué)是在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方法之一。即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)屬性。目的在于使學(xué)生理解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對一事物形成科學(xué)概念。編輯ppt二、聚焦變式教學(xué)先以“青浦實驗311、概念性變式：對概念的多角度理解概念性變式主要包括以下兩類變式：A.改變概念的外延，稱為概念變式；B.改變一些能混淆概念外延的屬性，比如舉反例，稱為非概念變式。目的是讓學(xué)生獲得對概念的多角度理解。下面的例子可以說明這兩種變式的作用。編輯ppt1、概念性變式：對概念的多角度理解概念性變式主要包括以下兩類32（1）通過直觀或具體的變式引入概念

以“異面直線”概念的教學(xué)為例。

難點有：概念抽象不易理解；異面直線屬于三維圖象，用片平面直觀圖去表示會造成視覺上的失真，對概念的對象即外延就難以鑒別。

有經(jīng)驗的教師通常會借助兩類變式：直觀材料；圖形變式作為直觀材料和抽象概念之間的過渡。編輯ppt（1）通過直觀或具體的變式引入概念

以“異面直33（2）通過非標(biāo)準(zhǔn)形式突出概念的本質(zhì)屬性標(biāo)準(zhǔn)圖形非標(biāo)準(zhǔn)圖形垂直菱形三角形的高幾何概念的標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)的圖形變式

既然數(shù)學(xué)概念包含清晰的外延，掌握一個概念就意味著能夠分辨一個對象是否屬于概念的外延集合。因此，一個有效途徑就是通過類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。在概念的外延集合中，盡管從邏輯角度看，每個對象都是等價的，其實有些對象具有特殊的地位。比如，由于受到感性經(jīng)驗的影響，或者在引入概念時先入為主，進(jìn)而成為相關(guān)概念的標(biāo)準(zhǔn)形式。標(biāo)準(zhǔn)形式雖然有利于學(xué)生對概念的準(zhǔn)確把握，但也很容易限制思維的靈活性，甚至縮小概念的外延。解決這個問題的有效方法是充分利用非標(biāo)準(zhǔn)形式，通過變換概念的非本質(zhì)屬性，突出其本質(zhì)屬性。編輯ppt（2）通過非標(biāo)準(zhǔn)形式突出概念的本質(zhì)屬性標(biāo)準(zhǔn)圖形非標(biāo)準(zhǔn)圖形垂直34（3）非概念變式

概念的內(nèi)涵和外延是對立統(tǒng)一的。內(nèi)涵明確則外延清晰，反之亦然。因此概念教學(xué)需明晰概念的內(nèi)涵，并對概念的外延集合有一個界定。不同概念之間的關(guān)系可以用下圖表示。

比如，B是A的上位概念，C是A的下位概念，A和D是相交關(guān)系，A和E是矛盾關(guān)系。要明確概念的外延就必須劃清概念與其周邊概念之間的界限。編輯ppt（3）非概念變式比如，B是A的上位概念，C是35

使用“非概念變式”可以有效達(dá)到這一目的。比如，通過比較非概念圖形和概念圖形，可以直觀地理解概念的本質(zhì)屬性。如下圖。編輯ppt使用“非概念變式”可以有效達(dá)到這一目的。比如，通過36

非概念圖形變式的形式有很多，反例變式是常用的一種，如下圖。與半徑垂直的直線是圓的切線嗎？對角線互相垂直的四邊形一定是菱形嗎？編輯ppt非概念圖形變式的形式有很多，反例變式是常用的一種，372、過程性變式：數(shù)學(xué)活動的有層次推進(jìn)

數(shù)學(xué)教學(xué)包括兩種類型的活動：一是教陳述性知識（即概念），二是教程序性知識（即過程）。由于程序性知識（問題解決和元認(rèn)知策略）是動態(tài)的，采取靜止的概念性變式不能促進(jìn)其學(xué)習(xí)過程。數(shù)學(xué)活動過程的基本特征是層次性，它包含為解決問題而采取的一系列不同步驟和策略。采取過程性變式，學(xué)生能夠解決問題，并形成不同概念之間的層次關(guān)系或獲得多種方法。過程性變式的作用：（1）促進(jìn)概念的形成當(dāng)概念是靜止對象時，概念性變式是卓有成效的教學(xué)方法。然而，如果概念是通過一系列過程的發(fā)展而形成的，那么對過程的理解也是掌握概念的重要方面。為了掌握概念，允許學(xué)生體驗概念的形成過程，尤其是引入新概念的必要性，是很有幫助的。編輯ppt2、過程性變式：數(shù)學(xué)活動的有層次推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)包括38

例如方程概念的教學(xué)。如果只是讓學(xué)生記住定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”，并給出一些具體的概念性變式讓學(xué)生鑒別的話，學(xué)生通常能夠鑒別哪些是方程，哪些不是，但這時學(xué)生對方程的理解是形式的、外延的，并沒有真正理解概念的本質(zhì)屬性?？刹捎谩斑^程性變式”來幫助學(xué)生逐步建立方程的概念。鋪墊一：用具體的事物表示未知量?！靶∶骰藘稍X買了三塊橡皮，結(jié)果找給他兩角錢。問每塊橡皮多少錢？”

=2角2元—或2元—3=2角鋪墊二：用間記符號表示未知量2元—3x=2角或20––3x=2

以上三種表達(dá)形式，反映了代數(shù)符號系統(tǒng)發(fā)展的三個階段：象形代數(shù)，簡寫代數(shù)和符號代數(shù)。過程性變式和概念性變式有本質(zhì)的區(qū)別。前者的目的是提供逐步形成概念的過程，而后者是為了從多種角度來理解某一概念。鋪墊三：用符號“”替換x:20–3=2編輯ppt例如方程概念的教學(xué)。=2角2元—或2元39（2）問題解決的鋪墊數(shù)學(xué)問題解決的一個基本思路是把沒有解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題，復(fù)雜的問題化歸為簡單的問題（Polya,1945).由于在未解決問題（復(fù)雜問題）和解決了的問題之間沒有清晰的聯(lián)系，因此有必要為完成這種化歸設(shè)置一些路徑。

已知問題變式1變式2未知問題化歸化歸化歸推出推出推出問題解決的變式

運用變式為化歸作鋪墊是中國教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在一定程度上就體現(xiàn)在變式問題的豐富性以及化歸策略的多樣性上。編輯ppt（2）問題解決的鋪墊已知問題變式1變式2未知問題化歸化歸化歸40（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗體系設(shè)計過程性變式的目的是增加活動途徑的多樣性和活動過程的層次性。每個數(shù)學(xué)活動都包含一個或一系列過程性變式，這些變式包括化歸或探索的步驟和策略。所有這些變式構(gòu)成一個層次策略的經(jīng)驗系統(tǒng)，可內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個重要部分。

構(gòu)成特定經(jīng)驗系統(tǒng)的變式來自問題解決的三個維度：改變某一問題；同一問題的不同解決過程作為變式，形成一個問題的多種解決方法；同一方法解決多種問題，將某一方法用于解決一類相似的問題。

編輯ppt（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)驗體系編輯ppt41概念性變式與本質(zhì)聯(lián)系

通過使用“概念性變式”，學(xué)生可以多角度地理解概念：從具體到抽象，從特殊到一般，通過排除背景干擾突出概念的本質(zhì)屬性，闡明概念的內(nèi)涵。這樣，通過概念性變式教學(xué)，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)和建立本質(zhì)的聯(lián)系。過程性變式與合理聯(lián)系通過使用“過程性變式”，學(xué)生可以理解知識的起源以及用什么方法和在什么地方運用它們。這樣可建立良好的知識結(jié)構(gòu)。通過使用這種變式，幫助學(xué)生形成概念，解決問題，構(gòu)建一個活動經(jīng)驗系統(tǒng)，進(jìn)一步可以幫助學(xué)生理解知識的不同組成部分和完善知識結(jié)構(gòu)。編輯ppt概念性變式與本質(zhì)聯(lián)系通過使用“概念性變式”42

三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）

1、Dienes關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的理論

Dienes受皮亞杰(Piaget,1952)理論熏陶，并曾與布魯納（Bruner)在哈佛大學(xué)一起從事數(shù)學(xué)實驗項目，Dienes形成了他的一套數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是與數(shù)有關(guān)的概念（純數(shù)學(xué)）和現(xiàn)實世界（應(yīng)用數(shù)學(xué)）之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)意味著學(xué)會這種聯(lián)系，其中，既包括它們的符號體系，也包括應(yīng)用結(jié)果來解決現(xiàn)實問題的能力。Dienes（1973）提出四條數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本原理：（1）動態(tài)原理；（2）建構(gòu)原理；（3）數(shù)學(xué)可變性原理；（4）感知可變性原理。

編輯ppt三、變式教學(xué)的理論建構(gòu)（變異理論）編輯pp43數(shù)學(xué)可變性原理是指，在學(xué)習(xí)含有變量的概念時，應(yīng)該體會盡可能多的變化，給予學(xué)生最大量的經(jīng)驗和結(jié)構(gòu)來促進(jìn)概念的發(fā)展。這里似乎有一個預(yù)設(shè)，希望在保持概念完整性的情況下，使所有的變量都發(fā)生變化。感知可變性原理是指，提供看上去很不一樣，但實質(zhì)是同一概念結(jié)構(gòu)的問題，它們可以幫助學(xué)生從千資百態(tài)的載體中辨析出概念的結(jié)構(gòu)。也就是說，在不改變概念結(jié)構(gòu)的同時使外部表征多樣化。學(xué)習(xí)者在這些不同的表征中發(fā)現(xiàn)共性，這種共性特征就是數(shù)學(xué)概念。編輯ppt數(shù)學(xué)可變性原理是指，在學(xué)習(xí)含有變量的概念時，應(yīng)該體會盡可44

2、馬頓的變異理論（1）學(xué)習(xí)的意義

馬頓（Marton)理論源于30年來對不同領(lǐng)域?qū)W習(xí)的研究，至今仍在發(fā)展。（如，馬頓等人2004年的論述）

我們對世界的看法決定我們的行為。因此，如果我們希望學(xué)生能夠有效地應(yīng)對世界，