彎曲變形 市公開課一等獎省賽課獲獎課件

第六章彎曲變形彎曲變形第1頁6.1工程中彎曲變形問題受彎桿件除滿足強度要求外，往往還要滿足剛度要求。彎曲變形第2頁6.1工程中彎曲變形問題彎曲變形第3頁6.1工程中彎曲變形問題彎曲變形第4頁6.2撓曲線微分方程一、基本概念撓曲線方程：因為小變形，截面形心在x方向位移忽略不計撓度轉角關系為：撓曲線撓度轉角撓度w：截面形心在y方向位移,向上為正。轉角θ：截面繞中性軸轉過角度，逆時針為正。彎曲變形第5頁二、撓曲線近似微分方程純彎曲情況下，推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形影響6.2撓曲線微分方程彎曲變形第6頁由數(shù)學知識可知：所以因為在小變形情況下：6.2撓曲線微分方程彎曲變形第7頁ww撓曲線近似微分方程為：

由上式進行積分，就能夠求出梁橫截面轉角和撓度。6.2撓曲線微分方程彎曲變形第8頁6.3用積分法求彎曲變形撓曲線近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：彎曲變形第9頁

積分常數(shù)C、D由梁位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。FABCFD位移邊界條件：連續(xù)條件：光滑條件：6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第10頁剛度條件：6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第11頁例6-1求梁轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁EI已知。解:1）由梁整體平衡分析可得：2）寫出x截面彎矩方程ABF彎曲變形第12頁3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第13頁5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度ABF6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第14頁積分法求解梁位移思緒：①建立適當坐標系；②求彎矩方程M(x)；③建立近似微分方程：⑤用約束條件或連續(xù)條件，確定積分常數(shù)；⑥普通求極值可用數(shù)學方法，也可由撓曲線直接判別。④積分求和6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第15頁例6-2

求梁轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁EI已知，l=a+b，a>b。解1)由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第16頁3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第17頁4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第18頁5）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第19頁6）確定最大轉角和最大撓度令得，令得，6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第20頁練習題：由積分法求圖示梁wA、A,，EI已知。MABl作業(yè)：P198題6.4（d）6.3用積分法求彎曲變形彎曲變形第21頁6.4用疊加法求彎曲變形因為：1）小變形，軸向位移可忽略；2）線彈性范圍工作。所以，梁撓度和轉角與載荷成線性關系。當梁承受復雜載荷時，可將其分解成幾個簡單載荷，利用梁在簡單載荷作用下位移計算結果（表6-1，P188），疊加后得到梁在復雜載荷作用下?lián)隙群娃D角，這就是疊加法。

彎曲變形第22頁6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第23頁

設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上彎矩為M(x)，轉角為θ，撓度為w，則有：若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉角為，撓度為，則有：由彎矩疊加原理知：所以，6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第24頁故因為梁邊界條件不變，所以主要結論：梁在若干個載荷共同作用時撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時撓度或轉角代數(shù)和。這就是計算彎曲變形疊加原理。6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第25頁例6-3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面撓度ωC

；B截面轉角B。1）將梁上載荷分解ωC1ωC2ωC32）查表得3種情形下C截面撓度和B截面轉角。解彎曲變形第26頁ωC1ωC2ωC33）應用疊加法，將簡單載荷作用時結果求和

彎曲變形第27頁例6-4已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面撓度wC和轉角C1）首先，將梁上載荷變成有表可查情形

為了利用梁全長承受均布載荷已知結果，先將均布載荷延長至梁全長，為了不改變原來載荷作用效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反均布載荷。解彎曲變形第28頁3）將結果疊加

2）再將處理后梁分解為簡單載荷作用情形，計算各自C截面撓度和轉角。彎曲變形第29頁作業(yè)：P201題6.10（d）6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第30頁思索1：用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI外伸梁C截面撓度和轉角以及D截面撓度。ACaaaF=qaBDEI解：可將外伸梁看成是圖a和b所表示簡支梁和懸臂梁疊加。F=qaAEIDBqaqa2/2(a)qBC(b)q6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第31頁F=qaAEIDBqaqa2/2(a)（1）對圖a，其又可看成為圖c和d所表示荷載組合。AF=qa(c)qa2/2(d)6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第32頁AF=qa(c)圖c中D截面撓度和B截面轉角為：圖d中D截面撓度和B截面轉角為：qa2/2(d)DB6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第33頁將對應位移進行疊加，即得：（）（）（2）對圖b，C截面撓度和轉角分別為：BC(b)q6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第34頁所以：原外伸梁C端撓度和轉角也可按疊加原理求得，即：（向下）（順時針）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqB×awCqq6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第35頁思索2：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI中間鉸梁鉸接點B處撓度和B點右截面轉角以及D截面撓度，其中：F=2qa。AEIEIFBCa/2Daaq解：可在鉸接點處將梁分成圖a和b所表示兩部分，并可求得鉸接點處一對作用力與反作用力為：6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第36頁F/2ωB直線BωDFω/2F/2ωBAF(a)BCq(b)圖a和b中分別給出了兩部分變形情況。+qBCF/2BC(c)而且圖b又可分解為圖c所表示兩種載荷組合。6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第37頁（1）對圖b，可得其B截面撓度和轉角為：進行對應疊加可得：（）（）6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第38頁（2）圖a可看成為右支座有一定豎直位移（位移量為ωB）簡支梁，此時D截面撓度為：F/2ωB直線BωDFω/2AF(a)D（）6.4用疊加法求彎曲變形彎曲變形第39頁6.5變形比較法解簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目梁多出約束：從維持平衡角度而言,多出約束超靜定次數(shù)：多出約束或多出支反力數(shù)目。2.求解方法：解除多出約束，建立相當系統(tǒng)——比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件——由物理關系建立補充方程——利用靜力平衡條件求其它約束反力。相當系統(tǒng)：用多出約束力代替多出約束靜定系統(tǒng)彎曲變形第40頁解例6-5求梁支反力，梁抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數(shù)2）解除多出約束，建立相當系統(tǒng)3）進行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件6.5變形比較法解簡單超靜定梁彎曲變形第41頁4）由物理關系，列出補充方程所以4）由整體平衡條件求其它約束反力6.5變形比較法解簡單超靜定梁彎曲變形第42頁思索：梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁剪力圖和彎矩圖。

FBMAFAωB1FB‘MCFCωB2從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：物理關系解6.5變形比較法解簡單超靜定梁彎曲變形第43頁代入得補充方程：FBMAFAωB1FB‘MCFCωB2確定A端約束力6.5變形比較法解簡單超靜定梁彎曲變形第44頁確定B端約束力FBMAFAωB1FB‘MCFCωB26.5變形比較法解簡單超靜定梁彎曲變形第45頁MAFAMCFCA、B端約束力已求出最終作梁剪力圖和彎矩圖6.5變形比較法解簡單超靜定梁彎曲變形第46頁各種載荷下彎曲變形情況動畫演示BEAM系列彎曲變形第47頁6.6剛度條件及提升彎曲剛度辦法1.剛度條件建筑鋼梁許可撓度：機械傳動軸許可轉角：精密機床許可轉角：彎曲變形第48頁

依據(jù)要求，圓軸必須含有足夠剛度，以確保軸承B處轉角不超出許用數(shù)值。

B1）由撓度表中查得承受集中載荷外伸梁B處轉角為：

解例6-6

已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝1m，l＝2m，E=206GPa。軸承B處許可轉角θ=0.5°。依據(jù)剛度要求確定軸直徑d。2）由剛度條件確定軸直徑：6.6剛度條件及提升彎曲剛度辦法彎曲變形第49頁2.提升梁剛度辦法彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條件、梁截面慣性矩I、材料彈性模量E相關。6.6剛度條件及提升彎曲剛度辦法彎曲變形第50頁1）選擇合理截面形狀不一樣形狀截面，盡管面積相等，但慣性矩卻并不一定相等。6.6剛度條件及提升彎曲剛度辦法彎曲變形第51頁2）改進結構形式，降低彎矩數(shù)值改變支座