高中數(shù)學(xué)排列組合問題的幾種基本方法

高中數(shù)學(xué)排列組合問題的幾種基本方法第1頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞2④要明確堆的順序時(shí)，必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個(gè)數(shù)作全排列.②若干個(gè)不同的元素局部“等分”有ｍ個(gè)均等堆,要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以m!①若干個(gè)不同的元素“等分”為ｍ個(gè)堆,要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以m!③非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積.分組（堆）問題的六個(gè)模型：①無序不等分；②無序等分；③無序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)處理問題的原則：1.分組（堆）問題第2頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞3

例1.有四項(xiàng)不同的工程，要發(fā)包給三個(gè)工程隊(duì)，要求每個(gè)工程隊(duì)至少要得到一項(xiàng)工程.共有多少種不同的發(fā)包方式？

解：要完成發(fā)包這件事，可以分為兩個(gè)步驟：⑴先將四項(xiàng)工程分為三“堆”，有種分法；⑵再將分好的三“堆”依次給三個(gè)工程隊(duì)，有3!＝6種給法.∴共有6×6＝36種不同的發(fā)包方式.1.分組（堆）問題第3頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞4例2.7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？♀♀♀

♀♀解：分兩步進(jìn)行：♀♀幾個(gè)元素不能相鄰時(shí),先排一般元素，再讓特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插孔)：↑

↑

↑

↑

↑↑解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.2.插空法：第4頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞5相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個(gè)”元素，然后再進(jìn)行整體排列.3.捆綁法例3.6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法?♀♀♀

♀♀

♀解：（1）分兩步進(jìn)行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆綁)：第二步，甲乙兩個(gè)人的梱看作一個(gè)元素與其它的排隊(duì)：♀♀幾個(gè)元素必須相鄰時(shí),先捆綁成一個(gè)元素，再與其它的進(jìn)行排列.第5頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞6例4.5個(gè)人站成一排，甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法？幾個(gè)元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個(gè)元素的順序.或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.4.消序法(留空法)解法1：將5個(gè)人依次站成一排，有解法2：先讓甲乙之外的三人從5個(gè)位置選出3個(gè)站好，有種站法，然后再消去甲乙之間的順序數(shù)∴甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為種站法，留下的兩個(gè)位置自然給甲乙有1種站法∴甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為第6頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞7變式：如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?解:如圖所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7將一條路經(jīng)抽象為如下的一個(gè)排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四個(gè)↑和七個(gè)→組成!所以,四個(gè)↑和七個(gè)→一個(gè)排序就對(duì)應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有條不同的路徑.4.消序法(留空法)也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④順序一定的排列，有種排法.第7頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞8n個(gè)相同小球放入m(m≤n)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.例5.某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的1-4個(gè)教學(xué)班,每班至少一個(gè)名額,則不同的分配方案共有___種.5.剪截法（隔板法）：解：?jiǎn)栴}等價(jià)于把16個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問題.將16個(gè)小球串成一串，截為4段有種截?cái)喾?，?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.因此，不同的分配方案共有455種.第8頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞9n個(gè)相同小球放入m(m≤n)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.變式：某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的1-4個(gè)教學(xué)班,每班的名額不少于該班的序號(hào)數(shù),則不同的分配方案共有___種.5.剪截法：解：?jiǎn)栴}等價(jià)于先給2班1個(gè)，3班2個(gè)，4班3個(gè)，再把余下的10個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問題.將10個(gè)小球串成一串，截為4段有種截?cái)喾?，?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.因此，不同的分配方案共有84種.第9頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞10編號(hào)為1至n的n個(gè)小球放入編號(hào)為1到n的n個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球.要求小球與盒子的編號(hào)都不同,這種排列稱為錯(cuò)位排列.6.錯(cuò)位法：特別當(dāng)n=2,3,4,5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1,2,9,44.例6.編號(hào)為1至6的6個(gè)小球放入編號(hào)為1至6的6個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球,其中恰有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的放法有____種.解：選取編號(hào)相同的兩組球和盒子的方法有種,其余4組球與盒子需錯(cuò)位排列有9種放法.故所求方法有15×9＝135種.第10頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞117.剔除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.例7.從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條.解：所有這樣的直線共有條，其中不過原點(diǎn)的直線有條，∴所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有210-180＝30條.排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.第11頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞12BB鞏固練習(xí)第12頁，共14頁，2022年，5月20日，9點(diǎn)24分，星期四2022/9/9新疆奎屯市第一高級(jí)中學(xué)特級(jí)教師王新敞13A4.5個(gè)人排成一排，其中甲、乙不相鄰的排法種數(shù)是（）A.6B.12C.72D.144C鞏固