中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題(含答案)

-.z.中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題面積類1．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)〔不與B，C重合〕，過(guò)M作MN∥y軸交拋物線于N，假設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)．〔3〕在〔2〕的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．解答：解：〔1〕設(shè)拋物線的解析式為：y=a〔*+1〕〔*﹣3〕，則：a〔0+1〕〔0﹣3〕=3，a=﹣1；∴拋物線的解析式：y=﹣〔*+1〕〔*﹣3〕=﹣*2+2*+3．〔2〕設(shè)直線BC的解析式為：y=k*+b，則有：，解得；故直線BC的解析式：y=﹣*+3．點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MN∥y，則M〔m，﹣m+3〕、N〔m，﹣m2+2m+3〕；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣〔﹣m+3〕=﹣m2+3m〔0＜m〔3〕如圖；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN〔OD+DB〕=MN?OB，∴S△BNC=〔﹣m2+3m〕?3=﹣〔m﹣〕2+〔0＜m＜3〕；∴當(dāng)m=時(shí)，△BNC的面積最大，最大值為．2．如圖，拋物線的圖象與*軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為〔4，0〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：〔1〕將B〔4，0〕代入拋物線的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴拋物線的解析式為：y=*2﹣*﹣2．〔2〕由〔1〕的函數(shù)解析式可求得：A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣2〕；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：〔，0〕．〔3〕已求得：B〔4，0〕、C〔0，﹣2〕，可得直線BC的解析式為：y=*﹣2；設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=*+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：*+b=*2﹣*﹣2，即：*2﹣2*﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×〔﹣2﹣b〕=0，即b=﹣4；∴直線l：y=*﹣4．所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：，解得：即M〔2，﹣3〕．過(guò)M點(diǎn)作MN⊥*軸于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×〔2+3〕+×2×3﹣×2×4=4．平行四邊形類3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=*2+m*+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔3，0〕、B〔0，﹣3〕，點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作*軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．〔1〕分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．〔2〕假設(shè)點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求△ABM的面積．〔3〕是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔1〕分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A〔3，0〕B〔0，﹣3〕分別代入y=*2+m*+n與y=k*+b，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔t，t﹣3〕，則M〔t，t2﹣2t﹣3〕，用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長(zhǎng)，即PM=〔t﹣3〕﹣〔t2﹣2t﹣3〕=﹣t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=﹣=時(shí)，PM最長(zhǎng)為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計(jì)算即可；〔3〕由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，〔t2﹣2t﹣3〕﹣〔t﹣3〕=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．解答：解：〔1〕把A〔3，0〕B〔0，﹣3〕代入y=*2+m*+n，得解得，所以拋物線的解析式是y=*2﹣2*﹣3．設(shè)直線AB的解析式是y=k*+b，把A〔3，0〕B〔0，﹣3〕代入y=k*+b，得，解得，所以直線AB的解析式是y=*﹣3；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔t，t﹣3〕，則M〔t，t2﹣2t﹣3〕，因?yàn)閜在第四象限，所以PM=〔t﹣3〕﹣〔t2﹣2t﹣3〕=﹣t2+3t，當(dāng)t=﹣=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長(zhǎng)值為=，則S△ABM=S△BPM+S△APM==．〔3〕存在，理由如下：∵PM∥OB，∴當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能有PM=3．②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，〔t2﹣2t﹣3〕﹣〔t﹣3〕=3，解得t1=，t2=〔舍去〕，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=〔舍去〕，t2=，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O．〔1〕一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；〔2〕設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？假設(shè)存在，請(qǐng)求出P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3〕在〔2〕的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫(xiě)出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)．解：〔1〕△A′B′O是由△ABO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，又A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，∴A′〔﹣1，0〕，B′〔0，2〕．方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=a*2+b*+c〔a≠0〕，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′、B，∴，解得：，∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣*2+*+2．方法二：∵A′〔﹣1，0〕，B′〔0，2〕，B〔2，0〕，設(shè)拋物線的解析式為：y=a〔*+1〕〔*﹣2〕將B′〔0，2〕代入得出：2=a〔0+1〕〔0﹣2〕，解得：a=﹣1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣〔*+1〕〔*﹣2〕=﹣*2+*+2；〔2〕∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P〔*，y〕，則*＞0，y＞0，P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=﹣*2+*+2．連接PB，PO，PB′，∴S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×*+×2×y，=*+〔﹣*2+*+2〕+1，=﹣*2+2*+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：×1×2=1，假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則4=﹣*2+2*+3，即*2﹣2*+1=0，解得：*1=*2=1，此時(shí)y=﹣12+1+2=2，即P〔1，2〕．∴存在點(diǎn)P〔1，2〕，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．〔3〕四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個(gè)均可．①等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；②等腰梯形對(duì)角線相等；③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔10分〕或用符號(hào)表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．5．如圖，拋物線y=*2﹣2*+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=*﹣5上．〔1〕求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與*軸交于點(diǎn)C、D〔C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)〕，試判斷△ABD的形狀；〔3〕在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為*=﹣=1，且頂點(diǎn)A在y=*﹣5上，∴當(dāng)*=1時(shí)，y=1﹣5=﹣4，∴A〔1，﹣4〕．〔2〕△ABD是直角三角形．將A〔1，﹣4〕代入y=*2﹣2*+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=*2﹣2*﹣3，∴B〔0，﹣3〕當(dāng)y=0時(shí)，*2﹣2*﹣3=0，*1=﹣1，*2=3∴C〔﹣1，0〕，D〔3，0〕，BD2=OB2+OD2=18，AB2=〔4﹣3〕2+12=2，AD2=〔3﹣1〕2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．〔3〕存在．由題意知：直線y=*﹣5交y軸于點(diǎn)E〔0，﹣5〕，交*軸于點(diǎn)F〔5，0〕∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)A作*軸的垂線交過(guò)P且平行于*軸的直線于點(diǎn)G．設(shè)P〔*1，*1﹣5〕，則G〔1，*1﹣5〕則PG=|1﹣*1|，AG=|5﹣*1﹣4|=|1﹣*1|PA=BD=3由勾股定理得：〔1﹣*1〕2+〔1﹣*1〕2=18，*12﹣2*1﹣8=0，*1=﹣2或4∴P〔﹣2，﹣7〕或P〔4，﹣1〕，存在點(diǎn)P〔﹣2，﹣7〕或P〔4，﹣1〕使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．周長(zhǎng)類6．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在*軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔﹣3，0〕、〔0，4〕，拋物線y=*2+b*+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線*=上．〔1〕求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)把△ABO沿*軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；〔3〕在〔2〕的條件下，連接BD，對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；〔4〕在〔2〕、〔3〕的條件下，假設(shè)點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合〕，過(guò)點(diǎn)M作∥BD交*軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長(zhǎng)為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？假設(shè)存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．解：〔1〕∵拋物線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔0，4〕∴c=4，∵頂點(diǎn)在直線*=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函數(shù)關(guān)系式為；〔2〕在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是〔5，4〕、〔2，0〕，當(dāng)*=5時(shí)，y=，當(dāng)*=2時(shí)，y=，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；〔3〕設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=k*+b，則，解得：，∴，當(dāng)*=時(shí)，y=，∴P〔〕，〔4〕∵M(jìn)N∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，設(shè)對(duì)稱軸交*于點(diǎn)F，則〔PF+OM〕?OF=〔+t〕×，∵，S△PNF=×NF?PF=×〔﹣t〕×=，S=〔﹣〕，=﹣〔0＜t＜4〕，a=﹣＜0∴拋物線開(kāi)口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣〔t﹣〕2+，∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值是，此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔0，〕．等腰三角形類7．如圖，點(diǎn)A在*軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；〔3〕在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．解：〔1〕如圖，過(guò)B點(diǎn)作BC⊥*軸，垂足為C，則∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔﹣2，﹣2〕；〔2〕∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y=a*2+b*，將A〔4，0〕，B〔﹣2．﹣2〕代入，得，解得，∴此拋物線的解析式為y=﹣*2+*〔3〕存在，如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線*=2，直線*=2與*軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，y〕，①假設(shè)OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=±2，當(dāng)y=2時(shí)，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，∴y=2不符合題意，舍去，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，﹣2〕②假設(shè)OB=PB，則42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，﹣2〕，③假設(shè)OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，﹣2〕，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為〔2，﹣2〕，8．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A〔0，2〕，點(diǎn)C〔﹣1，0〕，如下圖：拋物線y=a*2+a*﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕在拋物線上是否還存在點(diǎn)P〔點(diǎn)B除外〕，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？假設(shè)存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕過(guò)點(diǎn)B作BD⊥*軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，〔1分〕又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，〔2分〕∴BD=OC=1，CD=OA=2，〔3分〕∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔﹣3，1〕；〔4分〕〔2〕拋物線y=a*2+a*﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔﹣3，1〕，則得到1=9a﹣3a﹣2，〔5分〕解得a=，所以拋物線的解析式為y=*2+*﹣2；〔7分〕〔3〕假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：①假設(shè)以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥*軸，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．〔10分〕∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1〔1，﹣1〕；〔11分〕②假設(shè)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，〔12分〕過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，〔13分〕∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2〔2，1〕，〔14分〕經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1〔1，﹣1〕與點(diǎn)P2〔2，1〕都在拋物線y=*2+*﹣2上．〔16分〕9．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A〔0，2〕，點(diǎn)C〔1，0〕，如下圖，拋物線y=a*2﹣a*﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕在拋物線上是否還存在點(diǎn)P〔點(diǎn)B除外〕，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？假設(shè)存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕過(guò)點(diǎn)B作BD⊥*軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠/r