電磁場(chǎng)與電磁波的基本原理

關(guān)于電磁場(chǎng)與電磁波的基本原理第1頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五1―1電磁場(chǎng)的基本方程

一、電磁場(chǎng)中的基本場(chǎng)矢量電磁場(chǎng)中的基本場(chǎng)矢量有四個(gè):電場(chǎng)強(qiáng)度E,電位移矢量D,磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場(chǎng)強(qiáng)度H。

(一)電場(chǎng)強(qiáng)度E

場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E定義為單位正電荷在該點(diǎn)所受的力,即

(1―1―1)第2頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

在上式中q為檢驗(yàn)電荷的電量,它必須足夠小,不致會(huì)影響原來(lái)的電場(chǎng)。F為q所受到的電場(chǎng)力。在國(guó)際單位制(SI)中,力F的單位為牛頓(N),電量q的單位為庫(kù)侖(C),電場(chǎng)強(qiáng)度E的單位為伏/米(V/m)。

第3頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(二)電位移矢量D

如果電解質(zhì)中存在電場(chǎng),則電介質(zhì)中分子將被極化,極化的程度用極化強(qiáng)度P來(lái)表示。此時(shí)電介質(zhì)中的電場(chǎng)必須用電位移矢量D來(lái)描寫(xiě)。它定義為

式中ε0為真空或空氣的介電常數(shù),ε0=885×10-12

法拉/米(F/m)。在SI單位制中,D的單位為庫(kù)侖/米2(C/m2)。(1―1―2)第4頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

對(duì)于線性媒質(zhì)中某點(diǎn)的電極化強(qiáng)度P正比于該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E。在各向同性媒質(zhì)中某點(diǎn)的P和E方向相同,即

式中χe為電極化率,它是沒(méi)有量綱的純數(shù),不同的介質(zhì)就有不同的χe。將式(1―1―3)代入式(1―1―2)得

(1―1―3)(1―1―4)第5頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

式中ε=ε0(1+χe)稱為介質(zhì)的介電常數(shù),而εr=1+χe稱為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。對(duì)于各向異性介質(zhì),P的方向和E方向不一定相同,D的方向和E的方向也不一定相同,即χe和ε為張量。

(三)磁感應(yīng)強(qiáng)度B

磁感應(yīng)強(qiáng)度B是描寫(xiě)磁場(chǎng)性質(zhì)的基本物理量。它表示運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中某點(diǎn)受洛侖茲力的大小。假如,一個(gè)速度為v的電荷q在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)崐時(shí),運(yùn)動(dòng)電荷q受到磁場(chǎng)力F的作用,則該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B定義為

(1―1―5)第6頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(四)磁場(chǎng)強(qiáng)度H

如果磁介質(zhì)中有磁場(chǎng),則磁介質(zhì)被磁化。描寫(xiě)磁介質(zhì)磁化的程度用磁化強(qiáng)度M來(lái)表示。此時(shí)磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)必須引入磁場(chǎng)強(qiáng)度H來(lái)描寫(xiě),它定義為

(1―1―6)

式中μ0為真空或空氣的磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7亨利/米(H/m)。M和H的單位為安培/米(A/m)。在各向同性媒質(zhì)中M和H方向相同。即有(1―1―7)第7頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

將式(1―1―7)代入式(1―1―6),得

B=μ0(H+M)=μ0(1+χm)H=μ0μrH=μH(1―1―8)

式中χm稱為媒質(zhì)的磁極化率,它是一個(gè)沒(méi)有量綱的純數(shù)。μ=μ0(1+χm)稱為媒質(zhì)的磁導(dǎo)率。μr=1+χm稱為相對(duì)磁導(dǎo)率。對(duì)于各向異性媒質(zhì),B和H及M和H方向不一定相同,即μ和χm均為張量。第8頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

二、全電流定律在普通物理中,曾經(jīng)討論了恒流磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定律,即為上式表明,磁場(chǎng)強(qiáng)度H沿任一閉合回路的環(huán)流等于此閉合回路所包圍的傳導(dǎo)電流的代數(shù)和。那么這個(gè)定律是否適用于非恒流磁場(chǎng)呢?(1―1―9)第9頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

我們來(lái)分析電容器充放電的情況,如圖1―1―1所示,在任何時(shí)刻穿過(guò)金屬導(dǎo)體任一個(gè)橫截面的電流總是相等的,但在電容器的兩塊極板間的傳導(dǎo)電流等于零。因此,就整個(gè)電路而言,傳導(dǎo)電流是不連續(xù)的,此時(shí)應(yīng)用安培環(huán)路定律第10頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―1―1第11頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

如取S1面,則有

如取S2面,則有(1―1―10)(1―1―11)

上式結(jié)果表明,在非恒流的磁場(chǎng)中,H的環(huán)流與閉合回路l為邊界的曲面有關(guān),選取不同的曲面,環(huán)流值就不同。這說(shuō)明非恒流磁場(chǎng)中安培環(huán)路定律不再適用。后來(lái)麥克斯韋提出了位移電流的假設(shè),修正了安培環(huán)路定律,使它適用于非恒流磁場(chǎng)。

第12頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

當(dāng)電容器充、放電時(shí),電容器極板上的電荷量q和電荷密度ρS均隨時(shí)間變化。流向極板的電流i=dq/dt,而其電流密度為Jd=dρS/dt。在兩極板間的電位移矢量D和穿過(guò)整個(gè)極板間截面的電位移通量φD=SD均隨時(shí)間變化。電位矢量D的大小等于極板上電荷密度ρS,而電位移通量φD等于極板上的總電量φD=SρS。因此電位移矢量D和電位移通量隨時(shí)間的變化率分別為

(1―1―12)第13頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

可見(jiàn),極板間的電位移通量隨時(shí)間的變化率dφD/dt在數(shù)值上等于極板間的電流id、而極板間電位移矢量隨時(shí)間的變化率dD/dt,在數(shù)值上等于板內(nèi)的電流密度Jd。在電容器充電時(shí),dD/dt的方向和D的方向相同;而放電時(shí),dD/dt的方向和D的方向相反。因極板間不可能存在傳導(dǎo)電流,因此,我們稱dφD/dt為位移電流,dD/dt為位移電流密度。即

(1―1―13)第14頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

引入位移電流以后,極板間的位移電流和電容器外的傳導(dǎo)電流形成了全電流i,構(gòu)成了電流的連續(xù)性。此時(shí)安培環(huán)路定律可以修正為

(1―1―14)

式中Jc和Jd分別為傳導(dǎo)電流密度和位移電流密度,ic和id分別為傳導(dǎo)電流和位移電流。

第15頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

三、電磁感應(yīng)定律由全電流定律可知,變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng),那么變化的磁場(chǎng)能否產(chǎn)生電場(chǎng)呢?通過(guò)各種實(shí)驗(yàn)證明:變化的磁場(chǎng)也會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)。當(dāng)穿過(guò)線圈所包圍面積的磁通量隨時(shí)間變化時(shí),線圈內(nèi)會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),如圖1―1―2所示。它的大小等于磁通量隨時(shí)間的變化率,它的方向是阻止磁通變化的方向。用數(shù)學(xué)式子表示為

(1―1―15)第16頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―1―2第17頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

感應(yīng)電勢(shì)的存在,使得線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流,即說(shuō)明線圈中存在電場(chǎng),促使電子作規(guī)則運(yùn)動(dòng),從而形成感應(yīng)電流。這個(gè)電場(chǎng)不是由電荷產(chǎn)生的,而是由磁通的變化產(chǎn)生的,故稱它為感應(yīng)電場(chǎng),感應(yīng)電場(chǎng)沿著任意的封閉曲線的積分應(yīng)等于感應(yīng)電勢(shì),用數(shù)學(xué)式子表示即為

(1―1―16)

由此得出一個(gè)結(jié)論:隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng),而且磁通量的時(shí)間變化率愈大,則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)愈大、電場(chǎng)愈強(qiáng);反之則愈弱。同時(shí),穿過(guò)一個(gè)曲面S的磁通量為

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式中S面是以封閉曲線l為周界的任意曲面。

將上式代入(1―1―16)式,就有(1―1―17)(1―1―18)第19頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

以上結(jié)論是由實(shí)驗(yàn)得到的,即假設(shè)S面的周界l一定是個(gè)導(dǎo)體線圈。而麥克斯韋把這個(gè)實(shí)驗(yàn)定律推廣到包括真空在內(nèi)的任意介質(zhì)中,即認(rèn)為變化磁場(chǎng)引起的感應(yīng)電場(chǎng)的現(xiàn)象不僅發(fā)生在導(dǎo)體回路中,而且在一切介質(zhì)中,只要有變化的磁場(chǎng)就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)。

麥克斯韋對(duì)安培環(huán)路定律和磁感應(yīng)定律所作的推廣,通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)證明是正確的。第20頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

四、高斯定律在普通物理中討論了靜電場(chǎng)的高斯定律,即(1―1―19)

式中V是封閉曲面S所包圍的體積,∑q為封閉曲面S所包圍的自由電荷電量的代數(shù)和,ρ為S曲面所包圍的自由電荷的體密度。

第21頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

五、磁通連續(xù)性原理在普通物理中討論了恒流磁場(chǎng)的磁通連續(xù)性原理,即

它表示磁感應(yīng)線永遠(yuǎn)是閉合的。如果在磁場(chǎng)中取一個(gè)封閉面,那么進(jìn)入閉合面的磁感應(yīng)線等于穿出閉合面的磁感應(yīng)線,這個(gè)原理可推廣到任意磁場(chǎng),即不僅適用于恒流磁場(chǎng),而且適用于時(shí)變磁場(chǎng)。

(1―1―20)第22頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

六、麥克斯韋方程組

(一)麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋方程是電磁場(chǎng)的基本方程,是麥克斯韋在他提出位移電流的假設(shè)下,全面總結(jié)電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)和磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)的現(xiàn)象后提出來(lái)的。將式(1―1―14)、(1―1―18)、(1―1―19)和式(1―1―20)組合在一起就稱為麥克斯韋方程組的積分形式。即

第23頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(1―1―21)第24頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上述方程組中D和E#,J和E及B和H的關(guān)系,決定于媒質(zhì)特性。對(duì)于各向同性媒質(zhì),則有

(1―1―22)

麥克斯韋方程組描寫(xiě)了D、E、B和H幾個(gè)場(chǎng)矢量之間的基本關(guān)系,因此它是研究和分析電磁場(chǎng)和電磁波的依據(jù)。第25頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(二)麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋方程組的積分形式是討論場(chǎng)中某一個(gè)區(qū)域內(nèi)場(chǎng)矢量之間的關(guān)系的方程。在討論實(shí)際問(wèn)題時(shí),經(jīng)常需要知道場(chǎng)中某一點(diǎn)場(chǎng)矢量之間的關(guān)系,此時(shí)不能應(yīng)用麥克斯韋方程組的積分形式來(lái)求解,而必須采用麥克斯韋方程組的微分形式。將麥克斯韋方程的積分形式轉(zhuǎn)化為微分形式,既可以用矢量分析的方法進(jìn)行推導(dǎo),也可以利用物理概念進(jìn)行分析。這里我們采用矢量分析的方法進(jìn)行討論。

應(yīng)用矢量分析中的散度定理,即第26頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

可將式(1―1―21)的第1和第2式分別變?yōu)閼?yīng)用矢量分析中的斯托克斯定理,即

可將式(1―1―21)的第三和第四式分別變?yōu)?/p>

第27頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

現(xiàn)歸納如下:

(1―1―23)

麥克斯韋方程的微分形式,只有兩個(gè)旋度式是獨(dú)立的,兩個(gè)散度式子可以利用電荷守恒定律從兩個(gè)旋度式子導(dǎo)出。

第28頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

七、電磁場(chǎng)的邊界條件在討論電磁場(chǎng)的實(shí)際問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到兩種不同媒質(zhì)特性的分界面。在分界面上電磁場(chǎng)的分布規(guī)律稱為邊界條件。由于界面上的媒質(zhì)特性是不連續(xù)的,故不能采用麥克斯韋方程組的微分形式,而只能采用麥克斯韋方程的積分形式來(lái)進(jìn)行分析。

(一)邊界上的電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁場(chǎng)強(qiáng)度H

電磁感應(yīng)定律的積分形式為

(1―1―24)第29頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

為了要求邊界上的電場(chǎng)強(qiáng)度E,把上式左邊的積分的閉合回路取在媒質(zhì)的分界面的兩邊,并使Δl1和Δl2與分界面平行且相等,矩形的兩短邊Δh垂直于分界面且無(wú)限縮短并趨向于零,如圖1―1―3所示。那么,式(1―1―24)的左邊積分為

圖1―1―3第30頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

而式(1―1―24)的右邊積分當(dāng)Δh→0(ΔS→0)時(shí),由于B/t不可能為無(wú)限大,故右邊積分為零。即得到

(1―1―25)

此式表明,不同媒質(zhì)分界面上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切線分量是連續(xù)的。全電流定律的積分形式為

(1―1―26)采用前面相同的方法,則上式左邊的積分為

第31頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

對(duì)于一般媒質(zhì),因Jc和D/t均為有限值,故當(dāng)ΔS→0時(shí),式(1―1―26)右邊積分等于零。于是得到磁場(chǎng)強(qiáng)度的邊界條件為即不同媒質(zhì)分界面上,磁場(chǎng)強(qiáng)度的切線分量是連續(xù)的。如果媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體(σ2為無(wú)限大),在分界面處電流密度Jc趨向于無(wú)限大,且有則式(1―1―26)的右邊可以表示為

(1―1―27)第32頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由此可以得到式中Jl為理想導(dǎo)體表面的面電流的線密度,它的方向與磁場(chǎng)強(qiáng)度相垂直,單位為A/m。如圖1―1―4所示。

(1―1―28)

圖1―1―4第33頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(二)邊界上的電通密度D和磁通密度B

高斯定律的積分形式為

在分界面的兩邊作一個(gè)小的封閉圓柱體,如圖1―1―5所示。ΔS1和ΔS2分別為圓柱體的頂面和底面且相等,即ΔS1=ΔS2=ΔS,它們分別與分界面平行且無(wú)限接近,使圓柱面的側(cè)面很小并趨近于零,則穿過(guò)圓柱體側(cè)面的電通量可以略去不計(jì)。故式(1―1―29)的左邊積分為

(1―1―29)第34頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―1―5第35頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

若分界面上不存在自由電荷,則式(1―1―29)右邊積分為零,于是得到界面上無(wú)自由電荷時(shí)的電通密度的邊界條件為(1―1―30)

即表明在無(wú)自由電荷的分界面上,電通密度的法向分量是連續(xù)的。若分界面上存在自由電荷時(shí),并設(shè)電荷的面密度ρS,則由高斯定律可以得到(1―1―31)第36頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

磁通連續(xù)性定理的積分形式為采用上面相同的方法,便可得到(1―1―32)

即分界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量永遠(yuǎn)連續(xù)。因此電磁場(chǎng)的邊界條件可歸納如下:(1―1―33)

第37頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

八、交變電磁場(chǎng)的能量及能流電磁場(chǎng)中能量守恒定律可由麥克斯韋方程導(dǎo)得,下面寫(xiě)出具體推導(dǎo)過(guò)程。麥克斯韋方程的兩個(gè)旋度式為應(yīng)用矢量恒等式

(1―1―35)

第38頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

將式(1―1―34)代入上式,便得到

(1―1―36)

對(duì)于各向同性媒質(zhì),則有下列關(guān)系:

(1―1―37)

將式(1―1―37)代入式(1―1―36)便得到

第39頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

將上式對(duì)電磁場(chǎng)空間中任取一個(gè)封閉面S所包圍的體積V作體積分,則有

應(yīng)用散度定理上式變?yōu)?/p>

(1―1―38)

第40頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五1―2靜電場(chǎng)

一、靜電場(chǎng)的基本方程從麥克斯韋方程組知道,電場(chǎng)和磁場(chǎng)是不可分割的統(tǒng)一整體。但在某些特殊情況下,電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以單獨(dú)地表現(xiàn)出來(lái)。例如,對(duì)于觀察者來(lái)說(shuō)在靜止不動(dòng)的電荷周?chē)?只能發(fā)現(xiàn)電場(chǎng);在靜止不動(dòng)的永久磁鐵周?chē)?只能發(fā)現(xiàn)磁場(chǎng)。因此,我們就有可能將電場(chǎng)和磁場(chǎng)分開(kāi)來(lái)加以研究。第41頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

靜電場(chǎng)是電磁現(xiàn)象中的一種特殊情況,即電荷相對(duì)觀察者來(lái)說(shuō)是靜止不動(dòng)的,因此靜電場(chǎng)是不隨時(shí)間變化的。這樣麥克斯韋方程組的微分形式可簡(jiǎn)化為(1―2―1)

第42頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上式表明電場(chǎng)和磁場(chǎng)是相互獨(dú)立的,可以分開(kāi)來(lái)加以討論。于是靜電場(chǎng)的基本方程為(1―2―2)

因此,靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng),即靜電場(chǎng)所在的空間電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度處處為零;靜電場(chǎng)又是一個(gè)有源場(chǎng),即電通密度矢量來(lái)自空間電荷分布。

第43頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

二、高斯定律由靜電場(chǎng)的基本方程知道,靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng),即把它寫(xiě)成積分形式,即為靜電場(chǎng)的高斯定律(1―2―3)

即在靜電場(chǎng)中穿過(guò)任意閉合曲面的電位移通量等于閉合曲面內(nèi)所包圍的自由電荷電量的代數(shù)和。這是靜電場(chǎng)的一個(gè)重要性質(zhì)。第44頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

在一般情況下,當(dāng)給定電荷分布時(shí),不能直接應(yīng)用高斯定律來(lái)求電位移矢量D。因?yàn)樗唤o出D沿閉合面的通量,根據(jù)通量一般無(wú)法求出任意一點(diǎn)的D。但當(dāng)電荷是按一定的對(duì)稱性分布時(shí),我們只要選擇一個(gè)合適的高斯面,使得高斯面上各點(diǎn)的D值相等,且D的方向永遠(yuǎn)和高斯面相垂直。在這種情況下,應(yīng)用高斯定律就很方便地求得靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。第45頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

例題1―2―1設(shè)電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球內(nèi),其體電荷密度為ρ,求該電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)分布。球內(nèi)的介電常數(shù)為ε,球外為ε0。解:由于電荷分布是球?qū)ΨQ分布,因此可應(yīng)用高斯定律來(lái)求解。只要以球心為圓心,以距球心距離r為半徑作一個(gè)高斯面,在這個(gè)高斯面上的電位移矢量處處相等,且方向垂直于高斯面。因此在各個(gè)區(qū)域內(nèi),離球心為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為:(1)在球內(nèi)(r≤a)第46頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―2―1

第47頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(2)在球外(r＞a)

得第48頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

三、電位、電位梯度

(一)電位由靜電場(chǎng)的基本方程可知,靜電場(chǎng)是個(gè)無(wú)旋場(chǎng)。根據(jù)矢量分析,任何一個(gè)無(wú)旋矢量場(chǎng)均可用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)來(lái)表示。即因此,靜電場(chǎng)同樣可用一個(gè)標(biāo)量的電位函數(shù)來(lái)描寫(xiě)。它具有明確的物理意義,它和電場(chǎng)力對(duì)電荷所作的功有關(guān)。第49頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度E的定義,E表示單位正電荷在場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力。當(dāng)單位正電荷在電場(chǎng)力的作用下,由A點(diǎn)經(jīng)過(guò)l到B點(diǎn),則電場(chǎng)力對(duì)單位正電荷所作的功為(1―2―4)

由于靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng),故有

(1―2―5)第50頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

此式表明,單位正電荷在電場(chǎng)力的作用下移動(dòng)一個(gè)閉合回路,則電場(chǎng)力對(duì)單位正電荷所作的功為零。例如,對(duì)于如圖1―2―2所示的閉合路徑ANBMA,則有(1―2―6)

第51頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―2―2

第52頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由此可見(jiàn),在靜電場(chǎng)中當(dāng)電荷在電場(chǎng)力的作用下發(fā)生位移時(shí),電場(chǎng)力對(duì)電荷所作的功僅和電荷位移的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān),而和電荷位移的路徑無(wú)關(guān)。因此式(1―2―4)可以表示(1―2―7)

把單位正電荷從A點(diǎn)移到B點(diǎn),電場(chǎng)力所作的功稱為A點(diǎn)到B點(diǎn)的電位差。即(1―2―8)第53頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

如果我們選擇場(chǎng)中某點(diǎn)P作為參考零電位點(diǎn),即令其電位為零,則有

(1―2―9)

因此,場(chǎng)中任意一點(diǎn)的電位是單位正電荷在電場(chǎng)力的作用下從該點(diǎn)移到參考零電位點(diǎn)電場(chǎng)力所作的功。第54頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由上面的分析可知,電位是標(biāo)量,它的計(jì)算要比電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的計(jì)算方便得多,因此,我們常采用電位來(lái)描寫(xiě)電場(chǎng)。當(dāng)電荷分布已知時(shí),可以求出場(chǎng)中任一點(diǎn)的電位。例如,求點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)中的電位。如果取距點(diǎn)電荷距離為rp的一點(diǎn)作為參考點(diǎn),則距點(diǎn)電荷距離為r一點(diǎn)的電位為第55頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(1―2―10)第56頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

如取rp=∞,則C=0。對(duì)于體、面及線電荷密度分別為ρV、ρS及ρl的電荷分布時(shí),則空間任一點(diǎn)的電位分別為(1―2―11)第57頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

式中r為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離,C決定于參考點(diǎn)的位置。在電場(chǎng)中將相同電位的各個(gè)點(diǎn)聯(lián)成一個(gè)面稱為等位面。在等位面上移動(dòng)電荷,電場(chǎng)力既不對(duì)電荷作功,電荷也不會(huì)獲得能量。即

E·dl=0(1―2―12)

這表明電場(chǎng)強(qiáng)度矢量必與等位面相正交。而且由于場(chǎng)中任意點(diǎn)都有一個(gè)確定的電位值,因此,等位面絕不會(huì)相交。第58頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(二)電位梯度雖然利用標(biāo)量電位求解靜電場(chǎng)比較方便,但描寫(xiě)電場(chǎng)的基本物理量還是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。因此有必要找到空間某一點(diǎn)電位φ和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E的關(guān)系。如圖1―2―3所示的兩個(gè)等位面φA和φB無(wú)限靠近,它們之間的電位差為dφ,則

可見(jiàn),當(dāng)E和dl方向相同時(shí),則dφ＜0,即沿著電場(chǎng)方向電位是降低的,故有第59頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五第60頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

式中E′是E在dl方向上的投影,φ/l是電位對(duì)l的方向?qū)?shù)。(1―2―13)

第61頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

因此,電場(chǎng)強(qiáng)度E沿著任意l方向的投影等于該方向上電位的方向?qū)?shù)的負(fù)值。如果選取dl方向使電位沿著這方向增加最快,即φ/l具有正的最大值。則(φ/l)max等于電場(chǎng)強(qiáng)度E的數(shù)值,而dl的方向和E的方向相反。由矢量分析知道,大小等于(φ/l)max,方向?yàn)槭功?l獲得最大增量的方向的矢量,稱為標(biāo)量函數(shù)φ的梯度,用符號(hào)gradφ或φ表示。即(1―2―14)第62頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

四、電位的泊松方程和拉普拉斯方程對(duì)于靜電場(chǎng)的求解,一般采用電位函數(shù)作為輔助量,并導(dǎo)出標(biāo)量電位的微分方程;然后解標(biāo)量電位方程求出電位分布;最后根據(jù)電位和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系式,求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。下面我們來(lái)推導(dǎo)標(biāo)量電位微分方程。對(duì)式(1―2―14)兩邊取散度,并應(yīng)用兩個(gè)關(guān)系式,便得

(1―2―15)第63頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上式稱為標(biāo)量電位的泊松方程。即在有電荷分布空間中的電位滿足泊松方程。而對(duì)于沒(méi)有電荷分布的空間,即ρ=0,則式(1―2―15)變?yōu)樯鲜椒Q為拉普拉斯方程。即表明在沒(méi)有電荷分布的空間中的電位滿足拉普拉斯方程。式中為二階微分算符,在各種坐標(biāo)系中φ有不同的表達(dá)式。見(jiàn)附錄一。

(1―2―16)

第64頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

例題1―2―2如圖1―2―4所示的金屬球殼,其內(nèi)殼半徑為a,外殼半徑為b(球殼厚度可不計(jì))。設(shè)內(nèi)球殼電位為Ua,外球殼電位為Ub,求球殼間的電位分布及崐電場(chǎng)強(qiáng)度分布。解:由于球殼內(nèi)無(wú)電荷分布,故電位滿足拉普拉斯方程。在球坐標(biāo)中:

第65頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―2―4第66頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由于電位分布是球?qū)ΨQ的,即φ/θ=φ/φ=0,因此上式簡(jiǎn)化為

上式對(duì)r兩次積分,得到

式中常數(shù)C1和C2可由邊界條件來(lái)確定,其邊界條件為第67頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

將此邊界條件代入上式,解得

在球坐標(biāo)中第68頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

五、靜電場(chǎng)的邊界條件在兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為ε1和ε2的分界面上,由于介質(zhì)性質(zhì)的變化,電場(chǎng)也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化。在分界面兩側(cè)的介質(zhì)中場(chǎng)量之間的關(guān)系稱為分界面上的邊界條件。靜電場(chǎng)的邊界條件可由靜電場(chǎng)的基本方程導(dǎo)出,也可以直接從電磁場(chǎng)的邊界條件得到。即有第69頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(1―2―17)

可見(jiàn),在兩種不同介質(zhì)的分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量總是不連續(xù)的,其原因在于介質(zhì)分界面上存在束縛電荷。其束縛電荷的密度為(1―2―18)第70頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

根據(jù)上述邊界條件,可以求出沒(méi)有電荷分布的分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度矢量方向的改變情況。假設(shè)ε1介質(zhì)中的電場(chǎng)E1與分界面的法線成θ1的夾角,而ε2介質(zhì)中電場(chǎng)E2與分界面的法線成θ2的夾角,崐則由式(1―2―17)可方便得到(1―2―19)第71頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―2―5第72頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

六、電容兩導(dǎo)體電容的定義為:當(dāng)兩導(dǎo)體帶有異性電荷時(shí),電量Q與兩導(dǎo)體間的電位差之比,即(1―2―20)

導(dǎo)體電容是與導(dǎo)體的形狀、尺寸和周?chē)橘|(zhì)的分布有關(guān)的常數(shù)。如果把其中一個(gè)導(dǎo)體移到無(wú)限遠(yuǎn)處,則兩導(dǎo)體間的電位差即為另一個(gè)導(dǎo)體的電位,此時(shí)兩導(dǎo)體的電容即為孤立導(dǎo)體的電容。其電容量為該導(dǎo)體的電量Q與電位φ之比第73頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

例題1―2―3已知同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b,內(nèi)外導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)。求同軸線單位長(zhǎng)度上的分布電容。解:設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度上所帶的電荷量分別為+ρl和-ρl,應(yīng)用高斯定律很易求得介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為(1―2―21)第74頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

于是內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差為故單位長(zhǎng)度上的電容為

第75頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

有兩個(gè)導(dǎo)體以上的系統(tǒng)稱為多導(dǎo)體系統(tǒng)。這系統(tǒng)中的每個(gè)導(dǎo)體所帶的電量都會(huì)影響所有導(dǎo)體的電位。在線性介質(zhì)中、應(yīng)用疊加原理可得到每個(gè)導(dǎo)體的電位和各個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷量的關(guān)系。假設(shè)N個(gè)導(dǎo)體所帶的電量分別為q1、q2、q3…、qN,N個(gè)導(dǎo)體的電位分別為φ1、φ2、φ3、…、φN,則有(1―2―22)

第76頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上式中pij都是常數(shù),稱為電位系數(shù),具有相同下標(biāo)的稱為自電位系數(shù),具有不同下標(biāo)的稱為互電位系數(shù),每個(gè)電位系數(shù)與導(dǎo)體的形狀、相對(duì)位置以及介質(zhì)特性有關(guān),而與導(dǎo)體所帶的電量無(wú)關(guān)。當(dāng)各個(gè)導(dǎo)體的電位已知時(shí),則可從式(1―2―22)解出各個(gè)導(dǎo)體所帶的電量為(1―2―23)第77頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

式中βij稱為靜電感應(yīng)系數(shù),具有相同下標(biāo)的稱為自靜電感應(yīng)系數(shù),具有不同下標(biāo)的稱為互靜電感應(yīng)系數(shù)。由式(1―2―23)可以得到βij的定義。例如(1―2―24)(1―2―25)

第78頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

可見(jiàn),β11為除導(dǎo)體1以外其余導(dǎo)體都接地時(shí),導(dǎo)體1上的電荷量和自身電位之比值。βij為除導(dǎo)體j以外其余導(dǎo)體都接地時(shí)導(dǎo)體i上電荷量和導(dǎo)體j的電位之比值。可以證明互感應(yīng)系數(shù)具有互易特性,即

βij=βji(1―2―26)

我們令Cij=-βij,Ckk=βk1+βk2+…+βkN,則式(1―2―23)可改寫(xiě)為第79頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

式中Cij稱為部分電容,具有相同下標(biāo)的稱為自部分電容,具有不同下標(biāo)的稱為互部分電容。從式(1―2―27)可以看出(1―2―27)

(1―2―28)(1―2―29)

第80頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

即C11為所有導(dǎo)體都和導(dǎo)體Ⅰ相聯(lián)時(shí),導(dǎo)體Ⅰ上的電荷量與其自身的電位之比值,如圖1―2―6(a)所示。而C12為除導(dǎo)體Ⅱ以外所有導(dǎo)體都接地時(shí),導(dǎo)體Ⅰ上所帶的電荷量與導(dǎo)體Ⅰ和Ⅱ之間的電位差的比值。如圖1―2―6(b)所示。第81頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―2―6第82頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―2―7第83頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

必須指出,在多導(dǎo)體系中,任意兩個(gè)導(dǎo)體之間的互部分電容Cij(或任一導(dǎo)體對(duì)地的自部分電容)與前面定義的兩導(dǎo)體間的電容不同,Cij和其它部分電容組成的等效電容才是多導(dǎo)體中兩個(gè)導(dǎo)體間的電容。三個(gè)導(dǎo)體和大地的等效電容的示意圖如圖1―2―7所示。第84頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

1―3恒流電場(chǎng)

一、恒流電場(chǎng)的基本方程恒流電場(chǎng)是指不隨時(shí)間變化的電流所產(chǎn)生的電場(chǎng)。恒流電場(chǎng)中電荷是不斷運(yùn)動(dòng)的,微觀上來(lái)說(shuō)是不規(guī)則的,但宏觀上來(lái)說(shuō),電荷分布在任何時(shí)間是不變的。因此,恒流電場(chǎng)的性質(zhì)和靜電場(chǎng)是可以比擬的。第85頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

如果導(dǎo)電媒質(zhì)外部電介質(zhì)中沒(méi)有電荷分布,則麥克斯韋方程可簡(jiǎn)化為(1―3―1)

即恒定電流在導(dǎo)體外部產(chǎn)生的電場(chǎng)和沒(méi)有電荷分布空間的靜電場(chǎng)具有相同的性質(zhì),電場(chǎng)也是無(wú)旋場(chǎng)。第86頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

為了保持電流恒定不變,導(dǎo)電媒質(zhì)中任何一個(gè)體積V內(nèi)的電荷量必須不隨時(shí)間變化。此時(shí)電荷運(yùn)動(dòng)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡,即任何時(shí)刻流入體積內(nèi)的電荷量等于從該體積內(nèi)流出的電荷量。換言之,從包圍此體積的閉合面穿出的J的通量為零。又因?yàn)閺拈]合面流出的電流等于單位時(shí)間內(nèi)體積中電荷的減少量。故有由散度定理得

(1―3―2)

(1―3―3)第87頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

因上式與體積V的選擇無(wú)關(guān),故被積函數(shù)應(yīng)等于零,即(1―3―4)

上式即為恒流電場(chǎng)下導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流連續(xù)性原理的微分形式。導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系為(1―3―5)

第88頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上式為歐姆定律的微分形式。σ為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率,單位為S/m。于是得到導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場(chǎng)的基本方程為(1―3―6)

第89頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

二、恒流電場(chǎng)的邊界條件由于在電導(dǎo)率分別為σ1和σ2的分界面上有電荷的積聚,故電流要發(fā)生突變。根據(jù)恒流場(chǎng)在導(dǎo)電媒質(zhì)中的基本方程可導(dǎo)出恒流電場(chǎng)的邊界條件。由于導(dǎo)電媒質(zhì)中恒流電場(chǎng)的基本方程式和無(wú)電荷分布區(qū)域的靜電場(chǎng)基本方程形式完全相同,由此導(dǎo)出的邊界條件也相仿。這里不作推導(dǎo),僅給出結(jié)果如下:

(1―3―7)

第90頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上式表明:在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上,電流密度的法向分量連續(xù);電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù);電流密度矢量與分界面的法線之間的夾角的正切之比等于兩導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率之比。在導(dǎo)電媒質(zhì)與電介質(zhì)的分界面上,由于電介質(zhì)完全不導(dǎo)電即σ2=0,則必有J2=0,并得到Jn2=Jn1=0,即表明導(dǎo)電媒質(zhì)中不可能存在電流密度的法向分量,電流線必與界面重合。第91頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

三、恒流電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬從前面分析知道,導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒流電場(chǎng)和沒(méi)有電荷分布的介質(zhì)中的靜電場(chǎng)的基本方程是相似的。而且可以證明兩種情況下的電位均滿足拉普拉斯方程。將兩種場(chǎng)的基本方程重寫(xiě)如下,以資比較。

靜電場(chǎng)恒流場(chǎng)

基本方程

第92頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

邊界條件

由此可見(jiàn),導(dǎo)電媒質(zhì)中J和介質(zhì)中D相對(duì)應(yīng);導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率σ和電介質(zhì)的介電常數(shù)ε相對(duì)應(yīng)。第93頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由于導(dǎo)電媒質(zhì)中恒流電場(chǎng)與電介質(zhì)中靜電場(chǎng)相似,因此電導(dǎo)的計(jì)算與電容相似。如果兩電極形狀和邊界條件均相同,則兩電極間的電導(dǎo)G與電容C之間存在下列關(guān)系:

因此,只要將電容的計(jì)算公式中的ε換成σ,就可以得到電導(dǎo)的計(jì)算公式。電導(dǎo)的倒數(shù)即為電阻。下面舉例說(shuō)明。(1―3―8)第94頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

例題1―3―1同軸線的內(nèi)外半徑分別為a和b。內(nèi)外導(dǎo)體間的介質(zhì)的電導(dǎo)率為σ,因而內(nèi)外導(dǎo)體間有漏電流。試求單位長(zhǎng)度上內(nèi)外導(dǎo)體間的漏電阻。如圖1―3―1所示。解:這里采用靜電比擬的方法求解十分方便,由例題1―2―3求得同軸線單位長(zhǎng)度上電容計(jì)算公式為第95頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五第96頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由于兩者邊界條件相同,只要用σ來(lái)代替上式中ε,即可得到同軸線到漏電導(dǎo)的計(jì)算公式為故漏電阻為

第97頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

1―4恒流磁場(chǎng)

一、恒流磁場(chǎng)的基本方程恒定電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)稱為恒流磁場(chǎng),即空間電流的分布狀態(tài)是不隨時(shí)間變化的,因此恒流磁場(chǎng)也是不隨時(shí)間變化的,描寫(xiě)磁場(chǎng)的物理量磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場(chǎng)強(qiáng)度H僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)。由麥克斯韋方程可以得到恒流磁場(chǎng)的基本方程為第98頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由方程看出,恒流磁場(chǎng)和恒流電場(chǎng)不同,恒流磁場(chǎng)是有旋場(chǎng),即在有電流分布的空間任意點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度H的旋度等于該處的電流密度。恒流磁場(chǎng)又是無(wú)源場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度處處為零,即磁感應(yīng)線是無(wú)頭無(wú)尾的封閉線。但在無(wú)電流分布的空間中的恒流磁場(chǎng)的方程為(1―4―1)

(1―4―2)

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二、矢量磁位在靜電場(chǎng)中,引入了標(biāo)量電位函數(shù)的物理量。由于磁場(chǎng)是有旋場(chǎng),因而在有電流分布的空間不存在一個(gè)梯度的負(fù)值處處等于磁場(chǎng)強(qiáng)度的標(biāo)量位函數(shù)。因此在磁場(chǎng)中,必須引入一個(gè)矢量磁位函數(shù)。由畢奧—沙瓦定律可以發(fā)現(xiàn),磁感應(yīng)強(qiáng)度可以用另一個(gè)矢量的旋度來(lái)表示。畢奧—沙瓦定律為

(1―4―3)第100頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

式中J為源點(diǎn)的電流密度,r為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離,B為場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。利用矢量等式

因?yàn)槭菍?duì)場(chǎng)點(diǎn)的微分運(yùn)算,而J是源點(diǎn)的函數(shù),因此

×J=0,故有第101頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

因此式(1―4―3)可以改寫(xiě)為

因?yàn)镴是源點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù),故對(duì)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)算符×可以移到積分號(hào)外面,故有

由此可見(jiàn),場(chǎng)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B可以用另一個(gè)矢量的旋度來(lái)表示。令該矢量為矢量磁位A。即(1―4―4)(1―4―5)第102頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五A是個(gè)矢量,在直角坐標(biāo)中三個(gè)分量分別與電流密度J的三個(gè)分量有關(guān),即(1―4―6)

第103頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

如果電流分布在表面S上和細(xì)導(dǎo)線回路中則矢量磁位分別為(1―4―7)

在靜電場(chǎng)中,當(dāng)給定體電荷密度ρ時(shí),場(chǎng)中某點(diǎn)的電位為(1―4―8)(1―4―9)第104頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

將式(1―4―6)和式(1―4―8)相比較,可以得出結(jié)論:A的每一個(gè)分量必滿足下列泊松方程:(1―4―10)

當(dāng)然,矢量磁位A也一定滿足泊松方程(1―4―11)第105頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

例題1―4―1用矢量磁位計(jì)算如圖1―4―1所示的同軸線中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解:采用圓柱坐標(biāo)系,其拉普拉斯算符為因J=azJz,故有A=azAz。又因場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性,且假設(shè)同軸線為無(wú)限長(zhǎng),則有第106頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

故式(1―4―10)變?yōu)?/p>

將上式兩邊積分兩次,便得

第107頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―4―1第108頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

下面分別對(duì)三個(gè)區(qū)域進(jìn)行求解,三個(gè)區(qū)域中的Az、Jz、Bφ及積分常數(shù)分別用下標(biāo)1、2和3表示。當(dāng)r≤r1時(shí),因在r=0處,A1應(yīng)為有限值,則必有C1=0,故當(dāng)r1≤r≤r2時(shí),Jz=J2=0

故第109頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

當(dāng)r≤r1時(shí),當(dāng)r1≤r≤r2時(shí),當(dāng)r2≤r≤r3時(shí),式中的積分常數(shù)由邊界條件求得

在r=r1處,第110頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五得即得第111頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

必須指出,由于磁場(chǎng)是有旋場(chǎng),因而在有電流分布的空間不可能存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù),即磁場(chǎng)不是一個(gè)位場(chǎng)。而在沒(méi)有電流分布的空間內(nèi),磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度為零,故在無(wú)電流分布的空間內(nèi)的磁場(chǎng)也可應(yīng)用標(biāo)量位函數(shù)來(lái)進(jìn)行分析,和靜電場(chǎng)相似,我們令(1―4―12)

式中φm為標(biāo)量磁位,標(biāo)量磁位也滿足拉普拉斯方程,即(1―4―13)

第112頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

因此對(duì)于沒(méi)有電流分布空間內(nèi)的磁場(chǎng)的求解,只要解標(biāo)量磁位的拉普拉斯方程,并結(jié)合邊界條件求出合適的解φm,然后再由式(1―4―12)求出磁場(chǎng)強(qiáng)度H。第113頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

三、恒流磁場(chǎng)的邊界條件磁場(chǎng)在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件同樣可由電磁場(chǎng)邊界條件式(1―1―33)得到(1―4―14)若分界面上沒(méi)有面電流分布時(shí),則有(1―4―15)第114頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五第115頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五圖1-4-3第116頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

即在沒(méi)有電流分布的分界面上磁場(chǎng)強(qiáng)度的切線分量和磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量均連續(xù)。由式(1―4―15)可以導(dǎo)出磁場(chǎng)在沒(méi)有電流分布的分界面上的折射規(guī)律為(1―4―16)

當(dāng)μ1＞μ2時(shí),則θ1＞θ2。圖1―4―2給出了μ1＞μ2的情況。由式(1―4―15)看出,當(dāng)μ1>>μ2時(shí),即使θ1取得很大,θ2還是很小。第117頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

四、電感在靜電場(chǎng)中我們定義電荷和電壓的比值為電容;在恒流磁場(chǎng)中,我們定義穿過(guò)閉合回路磁通與該回路中的電流的比值為電感。電感可分自感和互感。自感又可分內(nèi)自感和外自感。下面我們分別討論之。

(一)自感設(shè)有一閉合回路中通有電流I,穿過(guò)該閉合回路的磁通為φm,則該回路的自感為(1―4―17)第118頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

現(xiàn)有如圖1―4―3所示的單匝線圈中通有電流I,則穿過(guò)該線圈的磁通可由矢量磁位的閉合積分求得。即(1―4―18)

對(duì)于細(xì)導(dǎo)線我們假設(shè)電流集中于導(dǎo)線的軸線l1上,則矢量磁位A為(1―4―19)將上式代入式(1―4―18)得

(1―4―20)第119頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上式為二重積分,式中r為dl1與dl2間的距離,故單匝線圈的自感為(1―4―21)

對(duì)于多匝線圈,且假定各個(gè)線圈緊密繞在同一個(gè)位置,此時(shí)產(chǎn)生磁場(chǎng)的電流可以看成是NI(N為線圈的匝數(shù)),則穿過(guò)線圈每匝的磁通為(1―4―22)

第120頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由于通過(guò)每一匝線圈的磁通都相同,故N匝線圈穿過(guò)的總磁通為Ψ=Nφ。因此多匝線圈的自感為(1―4―23)

式中L為相同尺寸單匝線圈的自感。多匝線圈的自感與匝數(shù)平方成正比。第121頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

假設(shè)載流導(dǎo)線所構(gòu)成的回路尺寸遠(yuǎn)比導(dǎo)線的截面尺寸大,則導(dǎo)線內(nèi)部的磁場(chǎng)可以認(rèn)為和無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)部的磁場(chǎng)相同。并假設(shè)導(dǎo)線的截面積為圓形,其半徑為R,導(dǎo)線材料的磁導(dǎo)率為μ,如圖1―4―4所示。下面討論它的內(nèi)自感。應(yīng)用安培定律,求得導(dǎo)線內(nèi)部距軸線r處的磁通密度為(1―4―24)第122頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

因?yàn)榇磐芏染€是以軸為圓心,r為半徑的圓,則在r處穿過(guò)dr厚度、l長(zhǎng)度截面的磁通為

這些磁通僅和(r/R)2I的電流相交鏈,因此和這部分電流相交鏈的磁鏈為故總的磁鏈為

(1―4―25)

第123頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

因此長(zhǎng)度為l的圓形截面導(dǎo)線的內(nèi)電感為(1―4―26)

單位長(zhǎng)度上的內(nèi)自感為(1―4―27)

上式表明,單位長(zhǎng)度上的內(nèi)電感和導(dǎo)線的截面尺寸無(wú)關(guān),僅和導(dǎo)線的磁導(dǎo)率有關(guān)。磁導(dǎo)率愈大,內(nèi)自感愈大。第124頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―4―4第125頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(二)互電感

當(dāng)兩個(gè)閉合回路靠得比較近時(shí),如圖1―4―5所示,一個(gè)回路中通有電流I1時(shí),則在第二個(gè)回路l2中產(chǎn)生的交鏈磁鏈為(1―4―28)式中A21是I1在第二回路處產(chǎn)生的矢量磁位。即(1―4―29)第126頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―4―5第127頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

將上式代入式(1―4―28)得

(1―4―30)

則回路l1對(duì)回路l2的互感為(1―4―31)

可以證明:M21=M12=M。第128頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

式(1―4―21)和式(1―4―31)相比較可知導(dǎo)線回路的外自感就等于導(dǎo)線幾何軸線l1構(gòu)成的回路與內(nèi)側(cè)邊線l2構(gòu)成回路間的互感。例題1―4―2設(shè)雙線傳輸線間的距離為D,兩導(dǎo)線的半徑均為r(D>>r)。求每單位長(zhǎng)度的外自感。解:如圖1―4―6所示。假設(shè)A和B兩導(dǎo)線中的電流分別為I和-I,則根據(jù)安培定律,可求得在垂直于兩導(dǎo)線的平面上,且與導(dǎo)線A相距為x處的磁通密度為

第129頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五第130頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五圖1―4―6與單位長(zhǎng)度傳輸線相交鏈的磁通為

于是,單位長(zhǎng)度的電感為

第131頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五1―5平面電磁波

一、理想介質(zhì)中的均勻平面波所謂理想介質(zhì)是指線性、均勻、各向同性的非導(dǎo)電媒質(zhì)。在理想介質(zhì)的無(wú)源區(qū)域(即ρ=0,J=0)中的麥克斯韋方程為(1―5―1)第132頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

將上式第一式兩邊取旋度,即將式(1―5―1)的第二式代入上式,得到利用矢量恒等式又因于是得到(1―5―2)第133頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

同理,將式(1―5―1)的第二式兩邊取旋度,采用上面相同的方法得到

(1―5―3)

式(1―5―2)和式(1―5―3)為理想介質(zhì)中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的波動(dòng)方程。這個(gè)方程為矢量波動(dòng)方程,若取直角坐標(biāo)系,則分別可以定出x、y和z方向三個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程。但由于討論的電磁波為均勻平面波,波陣面內(nèi)各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)相等,若假設(shè)電磁波的傳播方向?yàn)閦方向,橫向電場(chǎng)取向?yàn)閤方向,則橫向磁場(chǎng)取向定為y方向,即Ey=Hx=0。而且有第134頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)若要滿足上式則必有Hz=0和Ez=0?？梢?jiàn)在無(wú)限大理想介質(zhì)中的平面波沒(méi)有電磁場(chǎng)的縱向分量,這種電磁波稱為橫電磁波或TEM波。于是兩個(gè)矢量波動(dòng)方程簡(jiǎn)化為以下兩個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程并將上式代入式(1―5―1)第一和第二式分別得到和第135頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

對(duì)于正弦變化的均勻平面波,上式用復(fù)數(shù)表示,即為復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程。又稱亥姆霍茨方程。即(1―5―4)

(1―5―5)第136頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

若令ω2με=k2,則(1―5―6)

如果只考慮向正z軸方向傳播的波時(shí),式(1―5―6)波動(dòng)方程解的復(fù)數(shù)形式為將上式寫(xiě)成瞬時(shí)形式為

(1―5―7)第137頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五圖1―5―1第138頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上式表明,理想介質(zhì)中的均勻平面波沿著電磁波的傳播方向振幅不變、相位不斷滯后。如圖1―5―1所示。等相位面移動(dòng)的速度為電磁波的相速度。電磁波的等相位方程為

ωt-kz=常數(shù)上式對(duì)t微分,即可求得電磁波的相速度為

(1―5―8)

第139頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

并等于媒質(zhì)中的光速。相速、頻率和波長(zhǎng)的關(guān)系為(1―5―9)

可見(jiàn)媒質(zhì)中電磁波的波長(zhǎng)也和媒質(zhì)特性有關(guān)。Λ0為自由空氣中的波長(zhǎng),亦稱為工作波長(zhǎng)。電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系,可由麥克斯韋方程的旋度式得到(1―5―10)

第140頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

對(duì)于勻均平面電磁波,上式變?yōu)槠鋸?fù)數(shù)形式為

(1―5―11)

比值η稱為理想介質(zhì)中的均勻平面電磁波的波阻抗。它完全決定于媒質(zhì)特性參量。在空氣媒質(zhì)中的波阻抗為(1―5―12)第141頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由此可見(jiàn),理想介質(zhì)中的波阻抗是個(gè)實(shí)數(shù),表明空間某一點(diǎn)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)在時(shí)間上是同相的。下面討論理想介質(zhì)中平面電磁波的能流密度矢量,即復(fù)數(shù)坡印亭矢量。根據(jù)定義:(1―5―13)第142頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

例題1―5―1頻率為3GHz的平面電磁波,在理想介質(zhì)(εr=21,μr=1)中傳播。計(jì)算該平面波的相位常數(shù)、相速度、相波長(zhǎng)和波阻抗。若Ex0=01V/m,計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度及能流密度矢量。解:相位常數(shù)第143頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五相波長(zhǎng)波阻抗磁場(chǎng)強(qiáng)度在y方向,其振幅為能流密度矢量為

第144頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

二、導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波具有一定電導(dǎo)率的媒質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)。電磁波在這種媒質(zhì)中傳播會(huì)產(chǎn)生傳導(dǎo)電流。于是全電流定律微分形式的復(fù)數(shù)表達(dá)式為(1―5―14)

式中=ε-j(σ/ω)稱為復(fù)介電常數(shù),它是復(fù)數(shù)。采用與推導(dǎo)理想介質(zhì)中波動(dòng)方程相同方法,可以得到導(dǎo)電媒質(zhì)中的波動(dòng)方程為(1―5―15)第145頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

上式和理想媒質(zhì)中平面電磁波的波動(dòng)方程相比,形式完全相似,所不同的僅是導(dǎo)電媒質(zhì)中的介電常數(shù)是個(gè)復(fù)數(shù)。對(duì)于電場(chǎng)取向?yàn)閤方向的均勻平面電磁波,則波動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為(1―5―16)第146頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(1―5―17)(1―5―18)α為衰減常數(shù)

如果只考慮向正z方向傳播時(shí),式(1―5―16)波動(dòng)方程的解為(1―5―19)

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上面結(jié)果表明:導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面波,沿著波的傳播方向振幅按指數(shù)衰減,導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率σ愈大,頻率愈高,則振幅衰減愈快;而且波的相位常數(shù)是頻率的函數(shù),因此相速度也是頻率的函數(shù),這種電磁波稱為色散波。導(dǎo)電媒質(zhì)中的波阻抗是個(gè)復(fù)數(shù),即

(1―5―20)

第148頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(一)σ<<ωε的情況將用二項(xiàng)式定理展開(kāi),并略去高次項(xiàng),得(1―5―21)(1―5―23)

用相同方法,將波阻抗簡(jiǎn)化為(1―5―23)第149頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(二)σ>>ωε的情況對(duì)于σ>>ωε的良導(dǎo)體,傳導(dǎo)電流遠(yuǎn)大于位移電流,則和可簡(jiǎn)化為(1―5―24)第150頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五而(1―5―25)第151頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

由此可見(jiàn),當(dāng)電磁波進(jìn)入良導(dǎo)體以后,很快就衰減完。因此高頻電磁波只能存在于良導(dǎo)體表面的一薄層內(nèi),這種電磁波趨向于導(dǎo)體表面的效應(yīng)稱為趨膚效應(yīng)。通常用透入深度δ表示電磁波在導(dǎo)體內(nèi)的衰減快慢或電磁波在導(dǎo)體內(nèi)的穿透能力。透入深度δ定義為進(jìn)入良導(dǎo)體的電磁波場(chǎng)強(qiáng)衰減到原值的1/e所穿透的距離。根據(jù)定義,則有Ex0e-αδ=(1/e)Ex0,即(1―5―26)第152頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

下面討論導(dǎo)電媒質(zhì)中的能流密度矢量。因E和H不同相,且E超前H一個(gè)相角φ。假設(shè)E的相角為零,則H的相角為-φ,即(1―5―27)第153頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

功率流密度的平均值為

式中φ為波阻抗的相角,即電場(chǎng)強(qiáng)度超前磁場(chǎng)強(qiáng)度的相位角。對(duì)于良導(dǎo)體φ=π/4。導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的分布規(guī)律如圖1―5―2所示?？梢?jiàn)導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面波的振幅沿傳播方向按指數(shù)衰減;相位沿傳播方向不斷落后;在時(shí)間相位上電場(chǎng)強(qiáng)度超前磁場(chǎng)強(qiáng)度一個(gè)小于π/4的相角。(1―5―28)

第154頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―5―2第155頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

三、電磁波的極化電磁波的極化是指電場(chǎng)強(qiáng)度矢量在空間的取向。在討論沿z方向傳播的均勻平面波時(shí),若電場(chǎng)只有Ex分量,則電磁波的極化方向?yàn)閤方向;若電場(chǎng)只有Ey分量,則電磁波的極化方向?yàn)閥方向。一般情況下,電場(chǎng)Ex和Ey都可能存在,且這兩個(gè)分量的振幅和相位不一定相同。設(shè)兩個(gè)分量的瞬時(shí)值為(1―5―29)第156頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(一)線極化波如果兩個(gè)分量相位相同(或相反),即φx=φy=φ,則任何瞬間合成的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為(1―5―30)合成電場(chǎng)強(qiáng)度與x軸正方向的夾角為(1―5―31)

可見(jiàn),合成電場(chǎng)強(qiáng)度的大小隨時(shí)間變化,而方向始終不變,電場(chǎng)矢量的端點(diǎn)在空間所描繪出來(lái)的軌跡為一直線,這種電磁波稱為線極化波,如圖1―5―3所示。第157頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

圖1―5―3第158頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五(二)圓極化波如果電場(chǎng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量的振幅相等,相位相差π/2,即Ex0=Ey0,φx-φy=±π/2。此時(shí)兩個(gè)分量的瞬時(shí)值為則合成場(chǎng)強(qiáng)的大小為

(1―5―32)第159頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五

合成場(chǎng)強(qiáng)的方向與x軸的夾角有如下關(guān)系:(1―5―33)

由此可見(jiàn),合成電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅不隨時(shí)間變化,而合成電場(chǎng)強(qiáng)度的方向以角頻率ω在xoy平面上作旋轉(zhuǎn)。即電強(qiáng)度矢量端點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,稱為圓極化波。當(dāng)合成場(chǎng)E的旋轉(zhuǎn)方向與電磁波的傳播方向符合右螺旋關(guān)系時(shí),這個(gè)圓極化波稱為右旋圓極化波(如E1);反之稱為左旋圓極化波(如E2)。如圖1―5―4所示。第160頁(yè)，共207頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)54分，星期五