2022年秋高中數學第四章數列4.4數學歸納法課件新人教A版選擇性必修第二冊

4.4*數學歸納法第四章內容索引0102基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升03學以致用·隨堂檢測全達標課標要求1.了解數學歸納法的原理.2.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.基礎落實·必備知識全過關知識點數學歸納法的定義一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:歸納奠基→證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立歸納遞推→以“當n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立”為條件,

推出“當

n=k+1時命題也成立”只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.這種證明方法叫做數學歸納法.初始值n0的值要結合題意而定,不要理所當然認為是1過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)與正整數n有關的數學命題的證明只能用數學歸納法.(

)(2)在利用數學歸納法證明問題時,只要歸納遞推過程正確,也可以不用歸納奠基.(

)(3)用數學歸納法證明等式時,由n=k到n=k+1,等式的項數不一定增加了一項.(

)2.數學歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?××√提示

不一定.如證明n邊形的內角和為(n-2)·180°,第一個值n0=3.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一對數學歸納法原理的理解【例1】

(1)用數學歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)時,初始值n0應等于

.

(2)用數學歸納法證明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的過程如下:①當n=1時,左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立.②假設當n=k(k∈N*)時等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,則當n=k+1時,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以當n=k+1時等式也成立.由此可知對于任何n∈N*,等式都成立.上述證明,錯誤是

.

答案

(1)6

(2)未用歸納假設

解析

(1)由題意,得當n=1時,21<(1+1)2;當n=2時,22<(2+1)2;當n=3時,23<(3+1)2;當n=4時,24<(4+1)2;當n=5時,25<(5+1)2;當n=6時,26>(6+1)2,所以用數學歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)時,初始值n0應等于6.(2)本題在由n=k成立證明n=k+1成立時,應用了等比數列的求和公式,而未用上歸納假設,這與數學歸納法的要求不符.規(guī)律方法

數學歸納法的三個注意點(1)驗證是基礎:找準起點,奠基要穩(wěn),有些問題中驗證的初始值不一定是1.(2)遞推是關鍵:數學歸納法的實質在于遞推,要正確分析式子中項數的變化,弄清式子兩邊的構成規(guī)律.(3)利用假設是核心:在第二步證明n=k+1時,一定要利用歸納假設.變式訓練1A.過程全部正確 B.n=1驗證不正確C.歸納假設不正確

D.從n=k到n=k+1答案

D解析

在n=k+1時,沒有應用n=k時的歸納假設,不是數學歸納法.探究點二用數學歸納法證明等式【例2】(1)用數學歸納法證明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“從k到k+1”左端增乘的代數式為

.

答案

(1)2(2k+1)解析

令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),則f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),即當n=k+1時等式也成立.由①②可得對于任意的n∈N*等式都成立.規(guī)律方法用數學歸納法證明等式應注意的問題(1)首先根據待證等式的特征,明確等式的兩邊各有多少項,項的多少與n的取值是否有關,由n=k變化到n=k+1時等式兩邊會增加(或減少)多少項.(2)利用歸納假設,將n=k時的式子經過恒等變形轉化到n=k+1時的式子中得到要證的結論.探究點三用數學歸納法證明不等式規(guī)律方法

用數學歸納法證明不等式的四個關鍵點

探究點四歸納—猜想—證明【例4】

將正整數進行如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……分別計算各組包含的正整數的和,如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,試猜測S1+S3+…+S2n-1的結果,并用數學歸納法證明.解

(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜測S1+S3+…+S2n-1=n4.證明如下:記Mn=S1+S3+…+S2n-1.①當n=1時,猜想成立.②假設當n=k(k∈N*,k≥1)時,猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4.從而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以當n=k+1時猜想也成立.由①②,可知對任意n∈N*,猜想都成立.規(guī)律方法

“歸納—猜想—證明”的基本步驟

變式訓練4已知數列

是該數列的前n項和,計算S1,S2,S3,S4,根據計算結果,猜想前n項和Sn的表達式,并用數學歸納法進行證明.探究點五數學歸納法在證明整除問題中的【例5】用數學歸納法證明:23n-1(n∈N*)能被7整除.證明

(1)當n=1時,23×1-1=8-1=7,能被7整除.(2)假設當n=k(k∈N*)時,23k-1能被7整除,那么當n=k+1時,23(k+1)-1=8×23k-1=8×23k-8+7=8(23k-1)+7,因為23k-1能被7整除,所以8(23k-1)+7能被7整除,所以當n=k+1時,命題也成立.由(1)(2)可知,23n-1(n∈N*)能被7整除.規(guī)律方法

使用數學歸納法證明整除問題常用的方法:將n=k+1時的式子分成兩部分,一部分應用歸納假設,另一部分通過變形處理,確定其能夠被某個數整除.常用的變形技巧是加減同一個數以方便能夠提取公因式.變式訓練5

(2021安徽合肥168中學高二月考)用數學歸納法證明“(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除”,在假設n=k(k∈N*)時命題成立之后,需證明n=k+1時命題也成立,這時除了用歸納假設外,還需證明的是余項(

)能被9整除.A.3·7k+6

B.3·7k+1+6C.3·7k-3 D.3·7k+1-3答案

B解析

假設n=k時命題成立,即(3k+1)·7k-1能被9整除,那么當n=k+1時,[3(k+1)+1]·7k+1-1-[(3k+1)·7k-1]=(3k+4)·7k+1-(3k+1)·7k=[(3k+1)+3]·7k+1-(3k+1)·7k=(3k+1)·7k+1+3·7k+1-(3k+1)·7k=6·(3k+1)·7k+3·7k+1=6·[(3k+1)·7k-1]+3·7k+1+6.由(3k+1)·7k-1能被9整除可知要證上式能被9整除,還需證明3·7k+1+6也能被9整除.故選B.

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)數學歸納法的概念.(2)增加或減少項的個數問題.(3)用數學歸納法證明等式、不等式、整除問題.(4)歸納—猜想—證明.2.方法歸納:代入法檢驗,數學歸納法.3.常見誤區(qū):(1)對n0取值的問題易出錯;(2)增加或減少的項數易出錯;(3)從n=k到n=k+1時,注意兩邊項數的變化.

學以致用·隨堂檢測全達標1.(2021浙江杭州期中)用數學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,第一步當n=1時,左邊的代數式是(

)

A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4+5答案

C解析

因為1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1),所以當n=1時,左邊的代數式是1+2+3.答案

C3.用數學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)答案

C解析

當n=k時,左邊共有2k+1個連續(xù)自然數相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當n=k+1時,左邊共有2k+3個連續(xù)自然數相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數式是(2k+2)+(2k+3).故選C.4.用數學歸納法證明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的過程中,n=k+1時,為了使用假設,應將5k+1-2k+1變形為(

)A.5(5k-2k)+3