《用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征》-完整版課件

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（1）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)或出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)。（2）中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，累計(jì)頻率為0.5時(shí)所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)或?qū)?shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)（如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)）。（3）平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即例1.從某大型企業(yè)全體員工某月的月工資表中隨機(jī)抽取50名員工工資資料如下：

800800800800800100010001000100010001000100010001000100012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200150015001500150015001500150020002000200020002000250025002500

平均數(shù)是這50個(gè)數(shù)值的和除以50得1320.

估計(jì)這個(gè)企業(yè)員工的平均工資是1320元.

同樣，再隨機(jī)抽取50名員工的工資，計(jì)算所得的樣本平均數(shù)一般會(huì)與例1中的樣本平均數(shù)不同。所以用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)時(shí)，樣本的平均數(shù)只是總體的平均數(shù)的近似值。

在頻率分布直方圖中，平均數(shù)是直方圖的平衡點(diǎn)，假設(shè)橫軸是一塊放置直方圖的蹺蹺板，則支點(diǎn)取在平均數(shù)處時(shí)蹺蹺板達(dá)到平衡。三種數(shù)字特征的比較:（1）樣本眾數(shù)通常用來表示分離變量的中心值，容易計(jì)算，但是它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息，通常用于描述分離變量的中心位置；（2）中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)的影響，容易計(jì)算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間的數(shù)據(jù)的信息。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)該用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心值。（3）平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，“越離群”的數(shù)據(jù)，對平均數(shù)的影響也越大，與眾數(shù)和中位數(shù)相比，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差。（4）如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值。在實(shí)際應(yīng)用中，如果同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策。練習(xí)題：1.若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是x，N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是y，則這M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是

.

，和的樣本平均數(shù)分別是x和y，那么一組數(shù)的平均數(shù)是2.如果兩組數(shù).二、用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差

數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述。

為了表示樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)幅度，通常要求出樣本方差或者它的算術(shù)平方根.（1）方差：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，x1，x2，…，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的差的平方分別是

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，一組數(shù)據(jù)方差越大，則這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。那么我們用它們的平均數(shù)，即（2）標(biāo)準(zhǔn)差：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量。例1.計(jì)算數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的標(biāo)準(zhǔn)差.解：x=———————=85+7+7+8+10+116數(shù)據(jù)xixxi－x(xi－x)258－3978－1178－1188001082411839方差s2=———————=4；9+1+1+0+4+96標(biāo)準(zhǔn)差.所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是2.練.計(jì)算數(shù)據(jù)89，93，88，91，94，90，88，87的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。（標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果精確到0.1）解：.

所以這組數(shù)據(jù)的方差為5.5，標(biāo)準(zhǔn)差為2.3.例4.從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人乘積射擊比賽，對他們的射擊水平進(jìn)行測試，兩人在相同的條件下各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.（1）計(jì)算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）比較兩人的成績，然后決定選擇哪一人參賽.解：（1）計(jì)算得x甲=7，x乙=7；

s甲=1.73，s乙=1.10.（2）由（1）知，甲、乙兩人平均成績相等，但s乙<s甲，這表明乙的成績比甲的成績穩(wěn)定一些，從成績的穩(wěn)定性考慮，可以選乙參賽。（3）標(biāo)準(zhǔn)差和頻率直方圖的關(guān)系

從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，如果樣本各數(shù)據(jù)都相等，則標(biāo)準(zhǔn)差得0，這表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性；若個(gè)體的值與平均數(shù)的差的絕對值較大，則標(biāo)準(zhǔn)差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度也很大，數(shù)據(jù)的離散程度很高，因此標(biāo)準(zhǔn)差描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度。ss2s2sx的平均數(shù)為，（2）新數(shù)據(jù)方差為

．，方差仍為．（1）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．的平均數(shù)為（3）新數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，