龍巖市重點(diǎn)2023年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度2.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.43.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位4.已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,則的值為()A. B. C. D.5.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.7.已知集合,,則的真子集個(gè)數(shù)為()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8.已知數(shù)列中,,且當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.則此數(shù)列的前項(xiàng)的和為()A. B. C. D.9.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),設(shè)其前n項(xiàng)和,若(),則()A.30 B. C. D.6210.已知函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的值域是;②函數(shù)為奇函數(shù);③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;④若對(duì)任意,都有成立,則的最小值為;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.11.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.512.已知函數(shù)(,)的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.14.展開式中的系數(shù)為_________.15.驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào),生成一幅圖片,圖片里加上一些干擾象素(防止),由用戶肉眼識(shí)別其中的驗(yàn)證碼信息,輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證,驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登錄,以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間,某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0,1,2,…,9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大,然后向兩邊對(duì)稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”,則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.16.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),其中表示不超過x的最大整數(shù),如,,求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.18.(12分)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),求線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,求證:M,B,C三點(diǎn)共線;(3)設(shè)過點(diǎn)M的直線交橢圓于兩點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使得(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中點(diǎn),AC,BD交于點(diǎn)O.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)求三棱錐E﹣PBD的體積.20.(12分)已知圓:和拋物線:,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點(diǎn),且滿足,求直線的方程;(2)過拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點(diǎn),若直線的斜率為,求點(diǎn)的坐標(biāo).21.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),與交于,兩點(diǎn).(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)設(shè)點(diǎn);若、、成等比數(shù)列,求的值22.(10分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

先將化為,根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋灾恍鑼⒌膱D象向右平移個(gè)單位.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移,熟記函數(shù)平移原則即可,屬于基礎(chǔ)題型.2.B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。3.D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】

設(shè),,作為一個(gè)基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

因?yàn)?,所以,故選B.6.A【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.7.C【解析】

求出的元素,再確定其真子集個(gè)數(shù).【詳解】由,解得或,∴中有兩個(gè)元素,因此它的真子集有3個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題,解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù),解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí),本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集.8.A【解析】

根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)的和,進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】

根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組,解方程組求出首項(xiàng)和公式,最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:,因此.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10.C【解析】

化的解析式為可判斷①,求出的解析式可判斷②,由得,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③,由得可判斷④.【詳解】由題意,,所以,故①正確;為偶函數(shù),故②錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故③正確;若對(duì)任意,都有成立,則為最小值點(diǎn),為最大值點(diǎn),則的最小值為,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容,是一道較為綜合的問題.11.B【解析】

還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長(zhǎng)方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.12.B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對(duì)稱軸,得出,求出的最小值與對(duì)應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因?yàn)椋裕ǎ?又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn),在對(duì)稱軸處取得最值,對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

作出平面區(qū)域,可知平面區(qū)域?yàn)槿切?,求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)三角形的外接圓方程為,將三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程,求出、、的值,即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示:由圖可知,平面區(qū)域?yàn)椋?lián)立,解得,則點(diǎn),同理可得點(diǎn)、,設(shè)的外接圓方程為,由題意可得,解得,,,因此,所求圓的方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓方程的求解,同時(shí)也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作,考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力,屬于中等題.14.【解析】

變換,根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為:,,取和,計(jì)算得到系數(shù)為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.15.【解析】

首先判斷出中間號(hào)碼的所有可能取值,由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù),根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大,然后向兩邊對(duì)稱遞減,所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí),其它個(gè)數(shù)字可以是,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一),另外兩個(gè)排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算,考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.16.【解析】試題分析:根據(jù)題意,記白球?yàn)锳,紅球?yàn)锽,黃球?yàn)?,則一次取出2只球,基本事件為、、、、、共6種,其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種;所以所求的概率是.考點(diǎn):古典概型概率三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ)4953【解析】

(Ⅰ)遞推公式變形為,由數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列,得到,根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項(xiàng)公式;(Ⅱ),根據(jù)新定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算分類討論數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求前2020項(xiàng)和.【詳解】(Ⅰ)∵,∴,∴又∵數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),∴,即.∴數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴.(Ⅱ)∵,∴,.∴數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和,意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,計(jì)算能力,屬于中檔題型.18.(1)AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;(2)證明見解析;(3)【解析】

設(shè).(1)因?yàn)橹本€的傾斜角為,,所以直線AB的方程為,聯(lián)立方程組,消去并整理,得,則,故線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(2)根據(jù)題意得點(diǎn),若直線AB的斜率為0,則直線AB的方程為,A、C兩點(diǎn)重合,顯然M,B,C三點(diǎn)共線;若直線AB的斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為,聯(lián)立方程組,消去并整理得,則,設(shè)直線BM、CM的斜率分別為、,則,即=,即M,B,C三點(diǎn)共線.(3)根據(jù)題意,得直線GH的斜率存在,設(shè)該直線的方程為,設(shè),聯(lián)立方程組,消去并整理,得,由,整理得,又,所以,結(jié)合,得,當(dāng)時(shí),該直線為軸,即,此時(shí)橢圓上任意一點(diǎn)P都滿足,此時(shí)符合題意;當(dāng)時(shí),由,得,代入橢圓C的方程,得,整理,得,再結(jié)合,得到,即,綜上,得到實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE∥PC,即可證出OE∥平面PBC;(2)由E是PA的中點(diǎn),,求出S△ABD,即可求解.【詳解】(1)證明:如圖所示:∵點(diǎn)O,E分別是AC,PA的中點(diǎn),∴OE是△PAC的中位線,∴OE∥PC,又∵OE平面PBC,PC平面PBC,∴OE∥平面PBC;(2)解:∵PA=AB=4,∴AE=2,∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴S△ABD,∴三棱錐E﹣PBD的體積.【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系,證明直線與平面平行以及求三棱錐的體積,注意等體積法的應(yīng)用,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20.(1);(2)或.【解析】試題分析:直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑,直線與曲線相交于兩點(diǎn),且滿足,只需數(shù)量積為0,要聯(lián)立方程組設(shè)而不求,利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題,這是解析幾何常用解題方法,第二步利用直線的斜率找出坐標(biāo)滿足的要求,再利用兩直線與圓相切,求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析:(1)解:設(shè),,,由和圓相切,得.∴.由消去,并整理得,∴,.由,得,即.∴.∴,∴,∴.∴.∴或(舍).當(dāng)時(shí),,故直線的方程為.(2)設(shè),,,則.∴.設(shè),由直線和圓相切,得,即.設(shè),同理可得:.故是方程的兩根,故.由得,故.同理,則,即.∴,解或.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故或.21.(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,直線的

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