2020-2021中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合題匯編及詳細(xì)答案

2020-2021中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合題匯編及詳細(xì)答案一、平行四邊形1.已知：在菱形ABCD中，E,F是BD上的兩點(diǎn)，且AEIICF.求證：四邊形AECF是菱形.【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得ABICD,AB=CD,ZADF=ACDF,由“SAS可證△ADF里△CDF,可得AF=CF，由△ABE^△CDF,可得AE=CF，由平行四邊形的判定和菱形的判定可得四邊形AECF是菱形.【詳解】證明：T四邊形ABCD是菱形ABIICD,AB=CD,ZADF=ZCDF,TAB=CD,ZADF=ZCDF,DF=DF.△ADF竺△CDF(SAS)AF=CF,TABIICD,AEIICF.ZABE=ZCDF,ZAEF=ZCFE.ZAEB=ZCFD,ZABE=ZCDF,AB=CD.△ABE^△CDF(AAS).AE=CF,且AEIICF.四邊形AECF是平行四邊形又TAF=CF,.四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定定理，首先要判定其為平行四邊形，這是菱形判定的基本判定2.如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AC=60cm,ZA=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0VtW15).過(guò)點(diǎn)D作DF丄BC于點(diǎn)F,連接DE,EF.

AA求證：AE=DF；四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說(shuō)明理由;當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析；(【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)能，t=10；15(3)t=—或12.【解析】【分析】利用t表示出CD以及AE的長(zhǎng)，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長(zhǎng)，即可證明；易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值；△DEF為直角三角形，分/EDF=90°和/DEF=90°兩種情況討論.【詳解】解：(1)證明：???在RtAABC中，ZC=90°-ZA=30°，AB=11AB=112AC=2x60=30cmTCD=4t,AE=2t，又???在RtACDF中，ZC=30°,?DF1…DF=CD=2t，???DF=AE；2能，TDFIIAB，DF=AE，???四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，即60-4t=2t，解得：t=10,?當(dāng)t=10時(shí)，AEFD是菱形；若厶DEF為直角三角形，有兩種情況：①如圖1，ZEDF=90°,DEIBC，

AAEi15則AD=2AE，即60-4t=2x2t，解得:t=—,厶則AE=2AD,即2t二2（60-4t），解得:t=12,15綜上所述，當(dāng)t=—或12時(shí)，ADEF為直角三角形.3.已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點(diǎn)C在第一象限，且OB=&OD=6?現(xiàn)將紙片折疊，折痕為EF（點(diǎn)E，F(xiàn)是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。（I）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上,如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)，EF與DP交于點(diǎn)G,若OP=7，求點(diǎn)F的坐標(biāo)：（口）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OD,邊DC上，當(dāng)OP取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）。

f85,)f86)②點(diǎn)F的坐標(biāo)為:u，6:；（II）P15,5丿【答案】（I）①【答案】（I）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6,6）；nFc1EPB￡【分析】（I）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得「.ZDOF=ZPOF=45°，再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標(biāo)；②由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得ADGF=APGE，得到DF二PE，再加上平行,可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對(duì)角線(xiàn)垂直，得出口DEPF是菱形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,在RtAODE中，由勾股定理建立方程即可求解;（口）當(dāng)OFF點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)OP的長(zhǎng)度最短.【詳解】解：（I）①T折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn):,ADOF=APOF:DOF=ZPOF=45°???四邊形OBCD是矩形，/.ZODF=900/.ZDFO=ZDOF=45。/.DF=DO=6點(diǎn)F的坐標(biāo)為(6,6)②T折痕為EF，點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)../DG=PG,EF丄PD???四邊形OBCD是矩形，/.DC//OB，/.ZFDG=ZEPG；???ZDGF=ZPGE/.ADGF=APGE:.DF二PE???DF//PE四邊形DEPF是平行四邊形.

?.?EF丄PD,???□DEPF是菱形.設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,則DE=EP=x???OP=7,OE=7—x,在RtAODE中，由勾股定理得OD2+QB2=DE262+(7—x)2=x285解得x二148514???點(diǎn)???點(diǎn)F的坐標(biāo)為H，6)【點(diǎn)睛】此題考查了幾何折疊問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于中考?jí)狠S題.4.已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF丄BD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG.（1）請(qǐng)問(wèn)EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將圖①中厶BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G,連接EG，CG?問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.不必寫(xiě)出理由）（3）將圖①中厶BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線(xiàn)段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出理由）CBDC：B—DCBDC：B—D圖①【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）結(jié)論仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可證出CG二EG.（2）結(jié)論仍然成立，連接AG,過(guò)G點(diǎn)作M2丄AD于M,與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N點(diǎn)；再證明厶DAG^△DCG,得出AG=CG；再證出△DMG^△FNG,得到MG=NG；再證明

AMG^△ENG,得岀AG=EG；最后證出CG=EG.結(jié)論依然成立.【詳解】CG=EG.理由如下：1???四邊形ABCD是正方形，???/DCF=90°.在RtAFCD中，VG為DF的中點(diǎn)，二CG=-FD,21同理.在RtADEF中，EG=-FD，?CG=EG.厶(1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.證法一：連接AG,過(guò)G點(diǎn)作MN丄AD于M,與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N點(diǎn).在厶DAG與厶DCG中，VAD=CD，ZADG=ZCDG，DG=DG，?△DAG^△DCG(SAS)，AG=CG；在厶DMG與厶FNG中，VZDGM=ZFGN，F(xiàn)G=DG，ZMDG=ZNFG，?△DMG里△FNG(ASA)，?MG=NG.ZEAM=ZAEN=ZAMN=90°，?四邊形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN.在AMG與厶ENG中，VAM=EN，ZAMG=ZENG，MG=NG，?△AMG^△ENG(SAS)，AG=EG，?.EG=CG.證法二：延長(zhǎng)CG至M,使MG=CG，連接MF,ME，丘^在厶DCG與厶FMG中，F(xiàn)G=DG,ZMGF=ZCGD,MG=CG,?△DCG竺△FMG,?MF=CD,ZFMG=ZDCG,MFIICDIIAB,?EF丄MF.在RtAMFE與RtACBE中，VMF=CB,ZMFE=ZEBC=90°,EF=BE,?△MFE里△CBEZMEF=ZCEB,?ZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCEB+ZCEF=90°,?△MEC為直角三角形.MG=CG,?EG=1MC,?EG=CG.2(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：過(guò)F作CD的平行線(xiàn)并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC,過(guò)F作FN垂直于AB于N.由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG^△MFG,得到CD=FM，又因?yàn)锽E=EF，易證ZEFM=ZEBC,則厶EFM里△EBC,ZFEM=ZBEC,EM=ECZFEC+ZBEC=90°,?ZFEC+ZFEM=90°,即ZMEC=90°,?△MEC是等腰直角三角形.G為CM中點(diǎn)，?EG=CG,EG丄CG圖②【二J【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題.（1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半解答；（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)解答.5.如圖（1）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,作BF丄AE,垂足為G交AD于F（1）求證：AF=DE；（2）連接DG,若DG平分ZEGF,如圖（2），求證：點(diǎn)E是CD中點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，連接CG,如圖（3），求證：CG=CD.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）CG=CD，見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）證明△BAF竺△ADE（ASA）即可解決問(wèn)題.（2）過(guò)點(diǎn)D作DM丄GF，DN丄GE，垂足分別為點(diǎn)M,N.想辦法證明AF=DF，即可解決問(wèn)題.（3）延長(zhǎng)AE,BC交于點(diǎn)P,由（2）知DE=CD，利用直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，只要證明BC=CP即可.【詳解】Si在正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZD=90o,Z2+Z3=90°又:BF丄AE,.ZAGB=90°Z1+Z2=90°,...Z1=Z3在厶BAF與厶ADE中，Z1=Z3BA=ADZBAF=ZD,△BAF竺△ADE(ASA)AF=DE.(2)證明：過(guò)點(diǎn)D作DM丄GF,DN丄GE,垂足分別為點(diǎn)M,N.BCS2由(1)得Z1=Z3,ZBGA=ZAND=90°,AB=AD.△BAG竺△ADN(AAS)AG=DN,又DG平分ZEGF,DM丄GF,DN丄GE,DM=DN,DM=AG，又ZAFG=ZDFM,ZAGF=ZDMF△AFG竺△DFM(AAS),.AF=DF=DE=1AD=1CD,22即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).(3)延長(zhǎng)AE,BC交于點(diǎn)P,由(2)知DE=CD,ZADE=ZECP=90°,ZDEA=ZCEP,△ADE竺△PCE(ASA)AE=PE,又CEIIAB,.BC=PC,在RtABGP中，TBC=PC,.CG=1BP=BC,2…CGCD.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.6.⑴如圖①，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)0作直線(xiàn)EF丄BD,交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF，且BE平分/ABD.求證：四邊形BFDE是菱形；直接寫(xiě)出/EBF的度數(shù)；把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖②，點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn)，連接FH并延長(zhǎng)，交ED于點(diǎn)J,連接IJ、IH、IF、IG.試探究線(xiàn)段IH與FH之間滿(mǎn)足的關(guān)系，并說(shuō)明理由；把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖③，當(dāng)矩形ABCD滿(mǎn)足AB=AD時(shí)，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE、EF、DF,使厶DEF是等腰直角三角形，DF交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AG、GE、EC三者之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)①詳見(jiàn)解析；②60°.(2)/H=\/3FH；(3)EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】①由△DOE^△B0F,推出E0=0F,■:OB=OD,推出四邊形EBFD是平行四邊形,再證明EB=ED即可.②先證明/ABD=2ZADB,推出/ADB=30°,延長(zhǎng)即可解決問(wèn)題./HUTTFH.只要證明厶/JF是等邊三角形即可.(3)結(jié)論：EG2=AG2+CE2.如圖3中，將△ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,先證明厶DEG^△DEM,再證明△ECM是直角三角形即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)①證明：如圖1中，T四邊形ABCD是矩形,ADIIBC,OB=OD,在厶DOE和厶BOF中,^ZEDO=ZFBO<OD=OB,AEOD=ABOF△doe里△BOF,EO=OF,TOB=OD,.四邊形EBFD是平行四邊形，TEF±BD,OB=OD,.EB=ED,.四邊形EBFD是菱形.②TBE平分/ABD,.ZABE=AEBD,TEB=ED,.ZEBD=ZEDB,.ZABD=2ZADB,TZABD+ZADB=90°,.ZADB=30°,ZABD=60°,.ZABE=ZEBO=ZOBF=30°,.ZEBF=60°.(2)結(jié)論：IH=\云FH.理由：如圖2中，延長(zhǎng)BE到M,使得EM=EJ，連接MJ.T四邊形EBFD是菱形，ZB=60°,.EB=BF=ED,DEIIBF,ZJDH=ZFGH,在厶DHJ和厶GHF中，2dhg=zghf<DH=GH,ZJDH=ZFGH△DJ△GHF,DJ=FG,JH=HF,EJ=BG=EM=BI,.BE=IM=BF,TZMEJ=ZB=60°,.△MEJ是等邊三角形，MJ=EM=NI,ZM=ZB=60°在厶BIF和厶MJI中，?BI=MJ<ZB=ZM,、BF=IM.△BIF里△MJI,.IJ=IF,ZBFI=ZMIJ,THJ=HF,.IH丄JF,TZBFI+ZBIF=120°,.ZMIJ+ZBIF=120°,.ZJIF=60°,???△JIF是等邊三角形，在RtAIHF中，TZIHF=90°,ZIFH=60°,?ZFIH=30°,???IH=gfh.(3)結(jié)論：EG2=AG2+CE2.理由：如圖3中，將△ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,TZFAD+ZDEF=90°,AFED四點(diǎn)共圓，ZEDF=ZDAE=45°,ZADC=90°,ZADF+ZEDC=45°,TZADF=ZCDM,ZCDM+ZCDE=45°=ZEDG,在厶DEM和厶DEG中，?DE=DE<ZEDG=ZEDM,、DG=DM△DEGZ△DEM,GE=EM,TZDCM=ZDAG=ZACD=45°,AG=CM,ZECM=90°EC2+CM2=EM2,TEG=EM,AG=CM,GE2=AG2+CE2.

【點(diǎn)睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.7.已知AD是厶ABC的中線(xiàn)P是線(xiàn)段AD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、D重合)，連接PB、PC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，AD與EF交于點(diǎn)M；SF-ASF-AAA\*如圖1當(dāng)AB如圖1當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：四邊形EGHF是矩形；如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，在不添加任何輔助線(xiàn)的條件下，寫(xiě)出所有與△BPE面(2)積相等的三角形(不包括厶BPE本身).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)△APE、△APF、△CPF、△PGH.【解析】【分析】11(1)由三角形中位線(xiàn)定理得出EGIIAP,EFIIBC,EF=下BC,GHIBC,GH=-BC,推出EFIIGH,EF=GH,證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF丄AP,推出EF丄EG，即可得出結(jié)論；(2)由厶APE與厶BPE的底AE=BE，又等高，得出S^APE=S^BPE，由厶APE與厶APF的底EP=FP，又等高，得出SaAPe=Saapf，由△APF與氐CPF的底AF=CF，又等高，得出S“pf=Sacpf，證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出1【詳解】(1)證明:.EGIIAP,沐PGH=2S"EF=【詳解】(1)證明:.EGIIAP,?:E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn),11EFIIBC,EF=BC,GHIIBC,GH=—BC,22EF=GHEF=GH,?四邊形EGHF是平行四邊形,-AB=AC,.AD丄BC,.EF丄AP，-EGIAP，?EF丄EG，33???平行四邊形EGHF是矩形;(2)TPE>△APB的中線(xiàn),△APE與厶BPE的底AE=BE，又等高,△APE△BPE’AP是厶AEF的中線(xiàn)，△APE與厶APF的底?EP=FP，又等高,TOC\o"1-5"\h\zS=S,APE△APFS=S,APF△BPEPF是厶APC的中線(xiàn)，又等高,△APF與厶CPF的底AF=CF，又等高,S=S,APF△CPFS=S,CPF△BPEEFIIGHIIBC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC底邊BC上高的一半，?△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半,TGH=EF,?'△PGH=1二sS2△AEF△APF，綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：△APE、△APF、△CPF、△PGH.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線(xiàn)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.8如圖1,在正方形ABCD中，AD=6，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上任意一點(diǎn)，連接叭PC過(guò)點(diǎn)P作PE丄PC交直線(xiàn)AB于E.求證：PC=PE;延長(zhǎng)AP交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F.如圖2,若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求△APE的面積；—216若AAPE的面積是邁5,則DF的長(zhǎng)為(3)如圖3,點(diǎn)E在邊AB上，連接EC交BD于點(diǎn)M,作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q,連接，則△MNQ的PQ,MQ,過(guò)點(diǎn)P作PNIICD交EC于點(diǎn)N,連接QN,若，則△MNQ的面積是圖I圖?AD圖I圖?AD圖3【答案】(1)略；(2)①8,②4或9；(3)|6【解析】【分析】利用正方形每個(gè)角都是90°,對(duì)角線(xiàn)平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得證；作出△ADP和厶DFP的高，由面積法容易求出這個(gè)高的值.從而得到△PAE的底和高，并求出面積?第2小問(wèn)思路一樣，通過(guò)面積法列出方程求解即可；根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】⑴證明：T點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BD上,△ADP竺△CDF,AP=CF,ZDAP=ZDCF,TPE丄PC，ZEPC=ZEPB+ZBPC=90°,TZPEA=ZEBP+ZEPB=45°+90°-ZBPC=135°-ZBPC,TZPAE=90°-ZDAP=90°-ZDCP,ZDCP=ZBPC-ZPDC=ZBPC-45°,ZPAE=90°-(ZBPC-45°)=135°-ZBPC,ZPEA=ZPAE,PC=PE;(2)①如圖2,過(guò)點(diǎn)P分別作PH丄AD,PG丄CD,垂足分別為H、G.延長(zhǎng)GP交AB于點(diǎn)M.M.T四邊形ABCD是正方形，P在對(duì)角線(xiàn)上,.四邊形HPGD是正方形，PH二PG,PM丄AB,設(shè)PH=PG=a,TOC\o"1-5"\h\zTF是CD中點(diǎn)，AD=6,則FD=3,S?=9*ADF'???S?=S?+=1ADXPH+1DFxPGADFADPDFP221廠(chǎng)1cc.-ax6+-ax3=9，解得a=2,AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又:PA二PE,AM=EM,AE=4,???S?=1EAxMP二1x4x4二8◎ape22②設(shè)HP=b,由①可得AE=2b,MP=6-b,25.S=—x2bx（6-b）=21&25APE2解得b=2.4或3.6,tStS=S+SADFADPDFP=2ADXPH+1DFXPG，???2???2X6Xb+2DFXb=2DFX6,當(dāng)b=2.4時(shí)，DF=4；當(dāng)b=3.6時(shí)，DF=9,即DF的長(zhǎng)為4或9;(3)如圖，???E、Q關(guān)于BP對(duì)稱(chēng)，PNIICD,Z1=Z2，Z2+Z3=ZBDC=45°,Z1+Z4=45°,Z3=Z4,易證△PEM\△PQM,△PNQ^△PNC,Z5=Z6,Z7=Z8,EM=QM,NQ=NC,Z6+Z7=90°,.△MNQ是直角三角形，

設(shè)EM=a,NC=b列方程組15可得2ab=6，???s=,MNQ6【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵?要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.猜想與證明：如圖1,擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展與延伸：（1）若將"猜想與證明"中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為.（2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論-仍然成立.AA【答案】猜想：DM=ME，證明見(jiàn)解析；（2）成立，證明見(jiàn)解析.mi圖2試題分析：延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到ADIIEF,得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM,根據(jù)RtAHDE得到HM=DE,則可以得到答案；（1）、延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H,根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到ADIIEF，得到△FME和厶AMH全等，得到HM=EM,根據(jù)RtAHDE得到HM=DE，則可以得到答案；（2）、連接AE,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出/FCE=45°,ZFCA=45°,根據(jù)RTAADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根據(jù)RTAAEF中AM=MF得出AM=MF=ME，從而說(shuō)明DM=ME.試題解析：如圖1,延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H,T四邊形ABCD和CEFG是矩形，二ADIIEF,ZEFM=ZHAM,又：ZFME=ZAMH,FM=AM,在厶FME和厶AMH中，何二慚,,ZFME=ZA^H.△FME竺△AMH(ASA)HM=EM,在RTAHDE中,HM=DE,.DM=HM=ME,DM=ME.（1）、如圖1,延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H,T四邊形ABCD和CEFG是矩形，.ADIIEF,ZEFM=ZHAM,又：ZFME=ZAMH,FM=AM,在厶FME和厶AMH中，\FM=M、Zm=ZAfflH.△FME竺△AMH(ASA)HM=EM,在RTAHDE中，HM=EM.DM=HM=ME,DM=ME,、如圖2,連接AE,T四邊形ABCD和ECGF是正方形，ZFCE=45°,ZFCA=45°,

—AE和EC在同一條直線(xiàn)上,在RTAADF中，AM=MF,DM=AM=MF,在RTAAEF中，AM=MF,.AM=MF=ME,DM=ME.（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖（1）四邊形ABCD中，若AB=AD,CB=CD，則線(xiàn)段BD,AC的位置關(guān)系為；（拓展探究）（2）如圖（2）在RtAABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，分別以AB,AC為底邊，在RtAABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,連接FD,FE,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.試猜想四邊形FMAN的形狀，并說(shuō)明理由；（解決問(wèn)題）（3）如圖（3）在正方形ABCD中，AB=2、F,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)60°,得到正方形AB'C'D'，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD'平方的值.AA【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形，理由見(jiàn)解析；（3）16+8<?或16-8-,"；【解析】【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)A在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)C在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根據(jù)RtAABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，可得AF=CF=BF,再根據(jù)等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB,AE=CE，進(jìn)而得出/AMF=ZMAN=ZANF=90°，即可判定四邊形AMFN是矩形；

分兩種情況：①以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,②以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，分別依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到結(jié)論.【詳解】TAB=AD,CB=CD,???點(diǎn)A在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)C在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，AC垂直平分BD,故答案為：AC垂直平分BD；四邊形FMAN是矩形.理由：如圖2,連接AF,圖⑵圖⑵TRtAABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，AF=CF=BF,又T?等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,AD=DB,AE=CE,?由(1)可得，DF±AB,EF±AC,又：ZBAC=90°,ZAMF=ZMAN=ZANF=90°,?四邊形AMFN是矩形；(3)BD'的平方為16+8J一：或16-分兩種情況：①以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如圖所示：過(guò)D'作DE丄AB,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,E”由旋轉(zhuǎn)可得，ZDAD'=60°,?ZEAD'=30°,TAB=2.J=AD‘，11DE=AD=J打AE=...：