2020年高考理科數(shù)學(xué)《推理與證明》題型歸納與訓(xùn)練

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aa-ra■【解析】根據(jù)題意得2_^背。心…和“丘”*,^>2).與數(shù)列有關(guān)的推理例3觀察下列等式：1+2+3+...+n=2"(n+1)；1+3+6+...+2"(n+1)=6n(n+1)(n+2)；可以推測，1+5+15+...+24n(n+1)(n+2)(n+3)=,【答案】120n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n丘N*)【解析】根據(jù)式子中的規(guī)律可知，等式右側(cè)為5x4x3x2x1n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=T20"(n+1)("+2)("+3)("+4)(n^N*).與圖形變化有關(guān)的推理例4某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計第10年樹的分枝數(shù)為()第】年報年第】年報年A．21B．34C．52D．55【答案】D【解析】由2=1+1,3=1+2,5=2+3知，從第三項起，每一項都等于前兩項的和，則第6年為8，第7年為13,第8年為21,第9年為34,第10年為55,故選D.【思維點撥】歸納推理問題的常見類型及解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．觀察數(shù)字特點,找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解．與不等式有關(guān)的推理．觀察每個不等式的特點,注意是縱向看,找到規(guī)律后可解．與數(shù)列有關(guān)的推理．通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象,采用不完全歸納法,找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系,列出即可．與圖形變化有關(guān)的推理．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕}型二類比推理

TOC\o"1-5"\h\z例1(1)等差數(shù)列｛an｝的公差為〃，前n項的和為S”，則數(shù)列［葺］為等差數(shù)列，公差為2.類似地，若各項均為nnn2正數(shù)的等比數(shù)列｛bn｝的公比為g,前n項的積為碼，則等比數(shù)列｛厲｝的公比為()A.qB.q2C.\：qD.隔【答案】C(n-1)n【解析】由題設(shè)，得Tn=bi-b2-b3-^-bn=b1-b1q-b1q2-^-b1qn~i=biq1+2+…+(n-i)=b；q2..??VT=bQ,??.等比數(shù)列｛億｝的公比為需，故選C.(2)在平面上，設(shè)h，hb，h是△ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為P，abcaPb，Pc，我們可以得到結(jié)論：p+p+p=1?把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論為abc答案】Pha答案】Pha【解析】設(shè)ha，hb，h，hd分別是三棱錐A-BCD四個面上的高，P為三棱錐A-BCD內(nèi)任一點，P到相應(yīng)四個面的距離分別為P，Pb，P，Pd，于是可以得出結(jié)論：”+”+#+”=Labcd【思維點撥】(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵.(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等.題型三演繹推理例1數(shù)列｛an｝的前n項和記為耳，已知a1=1，an+1=一廠Sn(n^N*).證明:⑴數(shù)列｛計是等比數(shù)列；(2)S=4a.n+1n【答案】略n+2【解析】(1)Va1=S1—S，a1=S，+1+1+1?(+2)S=(S-S)，即S=2(+1)S.+1+1???曲=2?鄉(xiāng)，又半=1工0,(小前提)故｛計是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)⑵由(1)可知計1=4?±1(空2),???S1n＋1n－1n－1n－1=4^n(n>2),(小前提)又a2=3S1=3，S2=a1＋a2=1＋3=4=4a1，(小前提)???對于任意正整數(shù)n,都有S”]=4蚣(結(jié)論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件)【思維點撥】演繹推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式為三段論,演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系,解題時要找準(zhǔn)正確的大前提,一般地,當(dāng)大前提不明確時,可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．直接證明與間接證明題型四分析法例1已知a>0,求證：\；。2++—\；2>。+丄一2.^a2【答案】略【解析】要證\；%+舟一邁>a+〉2，a>0，故只要證02+2+2)2>(土+丫2),即02+02+^.'，，02+02+4>02+2+02+^210+0)+2?從而只要證2+a只要證4(a2+￡)>2(a2+2+￡,即a2+^>2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．【思維點撥】分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證．題型五綜合法例1已知函數(shù)y(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx—|x2+3x3，函數(shù)y=fx)與函數(shù)y=g(x)的圖象在交點(0,0)處有公共切線．(1)求a，b的值；

(2)證明：fx)$(x).【答案】a=0,b=l.【解析】(lfx)=!^x，g'(x)=b—x+x2,由題意得g(由題意得g(O)=f(O)，f(O)=g(O)，解得a=0，b=l.(2)證明：令h(x)=fX)—g(x)=ln(x+1)—jx3+gx2—x(x>—1),1—X3h，(x)=x+i—x2+x—1=x+i，°.°x>—1,.°.當(dāng)—1<x<0時，h(x)>0；當(dāng)x>0時，h'(x)<0.則h(x)在(一1,0)上為增函數(shù)，在(0,+切上為減函數(shù).h(x)max=h(0)=0，h(x)<h(0)=0，即fx)Wg(x).【思維點撥】綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立.因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Ч?，其邏輯依?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性.題型六反證法例1等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，勺=1+近，S3=9+3邁.求數(shù)列｛an｝的通項an與前n項和S”；S設(shè)bn=n*(nWN*)，求證：數(shù)列｛bn｝中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.【答案】(1)Sn=n(n+：J0(2)證明略.fa=>/2+1，【解析】(1)由已知得匸,3^=9,3込3°]+3〃一9+3、2，.*.d=2.故an=2n—1+^/2,Sn=n(n+J2).S(2)證明：由(1)得bn=7—n+邁.假設(shè)數(shù)列｛bn｝中存在三項bp,bq，b(p，q，r￡N*，且互不相等)成等比數(shù)列，則bi=bbr.即(q+“邁)2=(p+迄)(r+$2).(q2—pr)+\'2(2q—p—r)=0.[q2—pr=0,'：p,q,rWN*,.°.{[2q—p一r=0,2=pr,(p—r)2=0,.p=r，與p^r矛盾.???數(shù)列｛bn｝中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.【思維點撥】(1)適用范圍：當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證．(2)關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．【鞏固訓(xùn)練】合情推理與演繹推理題型一歸納推理1?將自然數(shù)0,1,2,…按照如下形式進(jìn)行擺列：匚4T_叢IIJ211—-2S,—U』_|山ITOC\o"1-5"\h\z根據(jù)以上規(guī)律判定,從2016到2018的箭頭方向是()J一」廠一IABCD【答案】A【解析】從所給的圖形中觀察得到規(guī)律：每隔四個單位，箭頭的走向是一樣的，比如說，0-1,箭頭垂直指下，4—5箭頭也是垂直指下，8—9也是如此，而2016=4x504,所以2016-2017也是箭頭垂直指下,之后2017—2018的箭頭是水平向右，故選A.2?如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為()A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】由題意知，第1層的點數(shù)為1,第2層的點數(shù)為6,第3層的點數(shù)為2x6,第4層的點數(shù)為3x6,第5層的點數(shù)為4x6,..,第n(n>2,n^N*)層的點數(shù)為6(n—1)?設(shè)一個點陣有n(n>2,n^N*)層，貝V共有的點數(shù)為1+6+6x2+...+6(n—1)=1+6?-=3n2—3n+1,由題意，得3n2—3n+1=169,即(n+7)?(n—8)=0，所以n=8，故共有8層．3.觀察下列等式：12=1；

12—22=—3；12—22+32=6；12—22+32—42=—10；依此規(guī)律，第n個等式可為【答案】12【答案】12—22+32—42+...+(—1)n+1n2=(—1)n+1?n(n+1)2【解析】第n個等式的左邊第n項應(yīng)是（一1）"+1n2.右邊數(shù)的絕對值為1右邊數(shù)的絕對值為1+2+3+.+n=n(n+1)2n(n+n(n+1)2'｛cn｝是等比數(shù)列，且｛dn｝也是等比數(shù)列,則d的表達(dá)式應(yīng)為（）故有12—22+32—42+...+(—1)n+1"2=(—1)n+1，題型二類比推理1?若數(shù)列｛a"｝是等差數(shù)列，貝燉列仇仏=°1+°2+…+勺也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列c+c+.+cd=―2nnnnC.nC.dn=\年+電+...+邛nD.dn="C1^2-bn=Q]+~2~bn=Q]+~2~d==2n+a、一2，^卩｛b“｝為【解析】若｛an｝是等差數(shù)列’則a1+a2+.+an=na1+—d,n(n—1)”””n—1等差數(shù)列；若｛cn｝是等比數(shù)列，則C]?c2?...?cn=C[?q1+2+...+(“_1)=年.02，??d”=等差數(shù)列；若｛cn｝是等比數(shù)列，則C]?c2?...?cn=即｛dn｝為等比數(shù)列，故選D.ACAE2?在平面幾何中：△ABC的ZC內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為荒=亦?把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A—BCD中棱錐A—BCD中（如圖），平面DEC平分二面角A—CD—B，且與AB相交于E,則得到類比的結(jié)論4AES【答案】礦當(dāng)△ACD△BCD【解析】由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得EB△ACD△BCD甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則()乙可以知道四人的成績丁可以知道四人的成績乙、丁可以知道對方的成績乙、丁可以知道自己的成績【答案】D【解析】由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀、1個良好”.乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績.丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績.故選D.已知函數(shù)尹=/(x)滿足：對任意a,b^R,a^b，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a)，試證明：fx)為R上的單調(diào)增函數(shù).【答案】證明略【解析】設(shè)X]，x2WR，取x1<x2，則由題意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，?:旺fxi)—fx2)]+X2fX2)—fXl)]>°，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，?.?XiVb./?—fXi)>0,滄2)*1).?:y為r上的單調(diào)增函數(shù).袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒，每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則()乙盒中黑球不多于丙盒中黑球乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多乙盒中紅球不多于丙盒中紅球乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】B【解析】取兩個球往盒子中放有4種情況：紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加1；黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加1；紅+黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1；

黑+紅（黑球放入甲盒中），則丙盒中紅球數(shù)加1.因為紅球和黑球個數(shù)一樣多，所以①和②的情況一樣多.③和④的情況完全隨機(jī).③和④對B選項中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響.①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對B選項中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.綜上，選B.直接證明與間接證明題型四分析法分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明:“設(shè)a>b>c，且a+b+c=O,求證pb2—ac<Ra”索的因應(yīng)是（）a－b>0B.a－c>0C.(a—b)(a—c)>0D.(a—b)(a—c)<0【答案】C【解析】由于a>b>c，且a+b+c=O,所以a>0,c<0,且〃—~a—c，過b2—ac<f3aob2—acV3a2O(a+c)2—acV3a2Oa2+2ac+c2—ac—3a2<0o—2a2+ac+c2<0o2a2—ac—c2>0o(a—c)(2a+c)>0o(a—c)(a—b)>0.若P=\；'a+冷a+7,Q=\；a+3+\；a+4(a30)，則P，Q的大小關(guān)系是(A.P>A.P>QC.P<Q由a的取值確定答案】C【解析】不妨設(shè)P<Q，V要證PVQ，只要證P2VQ2,只要證2a+7+2\!a（a+7）<2a+7+2「寸（a+3）（a+4）,只要證a2＋7a<a2＋7a＋12，只要證0<12，?.?0<12成立，:、P<Q成立.要使3a—3b<3'a—b成立，則a，b應(yīng)滿足()ab<0且a>bab>0且a>bab<0且a<bab>0且a>b或ab<0且a<b【答案】D【解析】要使3a―3b<3a—b成立，只要（?'a—3；7）3<（3'a—b）3成立,即a—b—33a2b+33ab2<a—b成立，只要3ab2<3a2b成立，只要ab2<a2b成立，即要ab(b—a)<0成立,只要ab>0且a〉b或ab<0且a<b成立.題型五綜合法設(shè)a,b,c均為正實數(shù)，則三個數(shù)a+^b，b+^C，c^0()都大于2B.都小于2至少有一個不大于2D.至少有一個不小于2【答案】D【解析】Ta>0,b>0,c>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時，“=”成立，故三者不能都小于2,即至少有一個不小于2.如果a\[a+b\fb>a\[b+b\/a成立，則a,b應(yīng)滿足的條件是.【答案】a>0,b>0且a豐b【解析】Ta“[a+bpb—(ajb+b^a)=a(a—b)+b(b—a)=(“Ja—\'<~b)(a一b)=&a—\'b)2(pa+pb)..:當(dāng)a>0,b>0且a豐b時，(\：a—\：b)2(\；a+、'b)>0.a,a+bPb>apb+典a成立的條件是a>0,b>0且a豐b.若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a+bb+cc+al^^~+lg-+lr^>lga+lgb+lgc.答案】證明略【解析】°.°a,b,cW(O,+<?),a+bb+ca+c.2>Yab>0,2bc>0,?>■!ac>0.由于a，b，c是不全相等的正數(shù)，.上述三個不等式中等號不能同時成立a+bb+/r