大學(xué)物理學(xué)10公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

第4篇振動與波動第10章機械振動本章學(xué)習(xí)關(guān)鍵點簡諧振動簡諧振動合成阻尼振動、受迫振動與共振本章小結(jié)10.1簡諧振動物體運動時，假如離開平衡位置位移（或角位移）按余弦函數(shù)或正弦函數(shù)規(guī)律隨時間改變，則這種運動稱為簡諧振動。在忽略阻力情況下，彈簧振子振動及單擺小角度擺動等都可視為簡諧振動。10.1.1簡諧振動運動方程以下列圖所表示，一輕彈簧（質(zhì)量可忽略不計）放置在光滑水平面上，一端固定，另一端連一質(zhì)量為m物體。這么系統(tǒng)稱為彈簧振子，它是物理學(xué)中又一理想模型。如上圖（a）所表示，彈簧處于自然長度時，物體沿水平方向所受合外力為零，此時物體所在位置O點稱為平衡位置。以O(shè)點為坐標(biāo)原點，以彈簧伸長方向為x軸正向建立坐標(biāo)系。如上圖（b）所表示，在彈簧彈性程度內(nèi)，將物體從平衡位置向右拉至位置P點，然后放手。物體在向左彈力作用下，向左加速運動。當(dāng)?shù)诌_平衡位置O時，物體所受彈力為零，加速度也為零。但此時物體速度不為零，因為慣性作用，物體將繼續(xù)向左運動，使彈簧被壓縮，從而產(chǎn)生向右彈力妨礙物體運動，使物體向左做減速運動，直到速度為零，此時，物體抵達左邊最遠處P′點，如上圖（c）所表示。然后，物體又在向右彈力作用下，從P′點返回，向右加速運動。這么，物體在彈力和慣性作用下，在平衡位置附近P點和P′點之間做往復(fù)運動。由胡克定律可知，在彈性程度內(nèi)，物體受到彈力F大小與其相對平衡位置位移x成正比，即F＝－kx

上式中，負號表示彈力方向與位移方向相反，一直指向平衡位置，所以，此力又稱為回復(fù)力。依據(jù)牛頓第二定律可知，物體加速度為：因k和m都是正值，其比值可用一個常數(shù)ω平方表示，即ω2＝k/m，故上式可寫為：上式表明，物體做簡諧振動時，其加速度大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反。這是簡諧振動運動學(xué)特征

因為加速度a＝d2x/dt2，所以，上式可寫為：上式稱為簡諧振動動力學(xué)方程，它是一個微分方程，其解為：上式稱為簡諧振動運動方程（或振動方程）。將上式分別對時間t求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，可得簡諧振動物體速度和加速度分別為：【例10-1】以下列圖所表示，一質(zhì)量為m、長度為l均質(zhì)細棒懸掛在水平軸O點。開始時，棒在垂直位置OO′，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開微小角度θ后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點在豎直平面內(nèi)往返擺動。此裝置是最簡單物理擺，又稱為復(fù)擺。若不計棒與軸摩擦力和空氣阻力，棒將擺動不止。試證實在擺角很小情況下，細棒擺動為簡諧振動?！窘狻恳設(shè)O′為平衡位置，設(shè)逆時針轉(zhuǎn)向為θ角正向，棒在任意時刻角位移都可用棒與OO′夾角θ表示。依據(jù)題意，棒所受重力矩為：當(dāng)擺角θ很小時，sinθ≈θ，故上式中負號表示重力矩使棒產(chǎn)生轉(zhuǎn)動趨勢一直與棒角位移θ反向。依據(jù)轉(zhuǎn)動定律可得：因J＝ml2/3，將上式整理可得：令ω2＝3g/2l，則上式可寫為：將上式與式（10–4）比較可知，在擺角很小情況下，細棒在平衡位置擺動為簡諧振動。10.1.2描述簡諧振動物理量振幅、周期、頻率、角頻率、相位及初相等都是描述簡諧振動物理量，其中，振幅、角頻率和初相三個量能夠完全確定一個簡諧振動，稱為簡諧振動特征量。1．振幅在簡諧振動運動方程x＝Acos（ωt＋φ）中，因為|cos（ωt＋φ）|≤1，所以，|x|≤A。我們把做簡諧振動物體離開平衡位置最大距離A稱為振幅，它確定了物體振動范圍。在國際單位制中，振幅單位為米（m）。2．周期與頻率物體完成一次全振動所經(jīng)歷時間稱為周期，用T表示。物體從位置P經(jīng)原點O抵達位置P′，然后返回，再經(jīng)原點O回到位置P，物體就完成了一次全振動，其所經(jīng)歷時間就是一個周期。所以，物體在任意時刻t位移和速度，分別與時刻t＋T位移和速度完全相同，即依據(jù)余弦函數(shù)周期性，滿足上述方程T最小值應(yīng)為ωT＝2π，于是單位時間內(nèi)物體所完成全振動次數(shù)稱為頻率，用表示，顯然，頻率等于周期倒數(shù)，即上式還可寫為：上式表明，ω是頻率2π倍，表示物體在2π秒內(nèi)完成全振動次數(shù)，故ω稱為角頻率或圓頻率。周期、頻率和角頻率都是描述物體振動快慢物理量。在國際單位制中，周期單位為秒（s）；頻率單位為赫茲（Hz）；角頻率單位為弧度每秒（rad/s）。對彈簧振子，因為故有：由上式能夠看出，彈簧振子周期和頻率都是由物體質(zhì)量m和彈簧勁度系數(shù)k所決定，即只與振動系統(tǒng)本身物理性質(zhì)相關(guān)。所以，我們將這種由振動系統(tǒng)本身性質(zhì)所決定周期和頻率稱為固有周期和固有頻率。3．相位與初相在簡諧振動中，物體運動狀態(tài)由物體離開平衡位置位移和速度共同決定。在振幅A和角頻率ω都已知情況下，物體在某一時刻運動狀態(tài)由ωt＋φ決定，ωt＋φ稱為振動相位，它是決定簡諧振動運動狀態(tài)物理量。當(dāng)t＝0時，相位ωt＋φ＝φ，φ稱為初相位，簡稱初相，它是決定初始時刻振動物體運動狀態(tài)物理量。在國際單位制中，相位單位為弧度（rad）。用相位描述物體運動狀態(tài)，還能充分表達出振動周期性。比如：ωt＋φ＝0時，物體位于正位移最大處，且v＝0；ωt＋φ＝π/2時，物體位于平衡位置，且向x軸負方向運動，v＝ωA；ωt＋φ＝π時，物體位于負位移最大處，且v＝0；ωt＋φ＝3π/2時，物體位于平衡位置，且向x軸正方向運動，v＝ωA；ωt＋φ＝2π時，物體位于正位移最大處，且v＝0。4．振幅與初相確定對給定簡諧振動系統(tǒng)，其角頻率是由振動系統(tǒng)本身性質(zhì)所決定，而其振幅A和初相φ則是由振動初始條件所決定。t＝0時，物體位移x0和速度v0稱為初始條件。當(dāng)t＝0時，有：聯(lián)立解得：式（2）中，φ所在象限可依據(jù)式（1），由x0和v0符號判斷cosφ和sinφ符號后確定。（1）（2）【例10-2】一質(zhì)點沿x軸做簡諧振動，振幅A＝0.12m，周期T＝2s，當(dāng)t＝0時，質(zhì)點對平衡位置位移x0＝0.06m，此時，質(zhì)點向x軸正向運動。求：（1）此簡諧振動運動方程；（2）從初始時刻開始第一次經(jīng)過平衡位置時刻?！窘狻浚?）設(shè)簡諧振動運動方程為x＝Acos（ωt＋φ）。由題意可知，A＝0.12m，ω＝2π/T＝π（rad/s）。因t＝0時，x0＝0.06m，故0.06＝0.12cosφφ＝±π/3因t＝0時，質(zhì)點向x軸正向運動，v0＞0，故v0＝－ωAsinφ＞0sinφ＜0取φ＝－π/3所以，簡諧振動運動方程為：x＝0.12cos（πt－π/3）

（2）經(jīng)過平衡位置時，x＝0，即0.12cos（πt－π/3）＝0解得：（k＝1，2，3，…）第一次經(jīng)過平衡位置，應(yīng)取k＝1，即10.1.3簡諧振動曲線由式（10–6）和式（10–7）可知速度和加速度最大值分別為vmax＝ωA，amax＝ω2A。依據(jù)式（10–5）、式（10–6）和式（10–7）可作出以下列圖所表示振動曲線，分別表示位移、速度和加速度隨時間改變情況，能夠看出，物體做簡諧振動時，其位移、速度和加速度都是呈周期性改變。10.1.4旋轉(zhuǎn)矢量法如右圖所表示，一個模為A矢量繞O點以恒角速度ω沿逆時針方向轉(zhuǎn)動。在此矢量轉(zhuǎn)動過程中，矢量端點M在Ox軸上投影點P也以O(shè)點為平衡位置不停地往返運動。在任意時刻，投影點P在Ox軸上位置由方程x＝Acos（ωt＋φ）確定，所以，投影點P運動為簡諧振動，即簡諧振動能夠借助于一個旋轉(zhuǎn)著矢量來表示，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。其對應(yīng)關(guān)系為：旋轉(zhuǎn)矢量模A為簡諧振動振幅；旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動角速度ω為簡諧振動角頻率；旋轉(zhuǎn)矢量在初始時刻與Ox軸夾角φ為簡諧振動初相；旋轉(zhuǎn)矢量在t時刻與Ox軸夾角ωt＋φ為簡諧振動相位；旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所用時間為簡諧振動周期?！纠?0-3】在彈簧振子系統(tǒng)中，有一質(zhì)量m＝0.01kg物體做簡諧振動，其振幅A＝0.08m，周期T＝4s，初始時刻物體在x0＝0.04m處向Ox軸負方向運動，求：（1）t＝1s時，物體所處位置和所受力；（2）由初始位置運動到x＝－0.04m處所需要最短時間。【解】先求簡諧振動方程，設(shè)x＝Acos（ωt＋φ），題意可知A＝0.08m，ω＝2π/T＝π/2（rad/s）。因t＝0時，x0＝0.06m則0.06＝0.12cosφφ＝±π/3作旋轉(zhuǎn)矢量以下列圖所表示，從圖中可知，φ＝π/3，故簡諧振動方程為：（1）t＝1s時上式表明，t＝1s時，物體所處位置為平衡位置O負方向0.069m處。此時，物體受力為：力方向指向平衡位置。（2）設(shè)物體由起始位置運動到x＝－0.04m處所需最短時間為t，則t＝0.667s若依據(jù)上圖所表示，可得：t＝0.667s10.1.5簡諧振動能量設(shè)在任一時刻t，物體位移和速度分別為x和v，則由式（10–5）和式（10–6）可得簡諧振動動能和勢能分別為：簡諧振動總能量為：動能、勢能及總能量隨時間改變曲線如右圖所表示（設(shè)φ＝0）。關(guān)于簡諧振動能量需要說明幾點1．振動系統(tǒng)動能和勢能都隨時間呈周期性改變，其周期為物體做簡諧振動周期1/2。2．在振動過程中，即使動能和勢能在不停改變，但它們之間是相互轉(zhuǎn)換，其總和為一恒量，即系統(tǒng)總能量是守恒。由上圖所表示能夠看出，當(dāng)物體位移最大時，勢能到達最大，動能為零；當(dāng)物體位移為零時，勢能為零，動能到達最大；而其總能量為一常數(shù)，等于動能或勢能最大值。3．振動系統(tǒng)總能量與振幅平方都成正比，也與角頻率平方成正比。即使這個結(jié)論是從彈簧振子系統(tǒng)中導(dǎo)出，但卻是簡諧振動共同性質(zhì)，對其它形式振動也是適用?！纠?0-4】在水平彈簧振子中，物體質(zhì)量m＝0.025kg，彈簧勁度系數(shù)k＝0.4N/m，當(dāng)物體在正向離平衡位置0.1m處時運動速率v＝0.4m/s。求：（1）系統(tǒng)總能量E；（2）振幅A；（3）物體最大速率vmax；（4）物體在A/2處含有動能Ek和勢能Ep。（2）因，故【解】（1）因x＝0.1m時，v＝0.4m/s，故系統(tǒng)總能量為：（3）因系統(tǒng)總能量等于動能或勢能最大值，即故（4）物體在A/2處含有勢能Ep為：動能Ek為：10.2簡諧振動合成10.2.1相位差相位差是指兩個振動在同一時刻相位值之差。設(shè)有兩個質(zhì)點1、2做同方向、同頻率簡諧振動，其運動方程分別為：x1＝A1cos（ωt＋φ1），x2＝A2cos（ωt＋φ2）則它們在任意時刻相位差Δφ為：

Δφ＝（ωt＋φ2）－（ωt＋φ1）＝φ2－φ1

由上式可知，兩個同方向、同頻率簡諧振動，在任意時刻相位差都等于它們初相位差，為一恒量。假如Δφ＝φ2－φ1＞0，則在振動過程中，質(zhì)點2將一直比質(zhì)點1先抵達任一特定振動狀態(tài)，如左圖所表示，兩振動步調(diào)存在一個確定差異，此時，我們稱質(zhì)點2振動超前質(zhì)點1振動，或質(zhì)點1振動落后質(zhì)點2振動。假如Δφ＝φ2－φ1＝±2kπ（k＝0，1，2，…），則兩質(zhì)點將同時抵達任一特定振動狀態(tài)，如中圖所表示，兩振動步調(diào)完全一致，此時，我們稱兩振動同相。假如Δφ＝φ2－φ1＝±（2k＋1）π（k＝0，1，2，…），則兩振動步調(diào)完全相反，比如，一個質(zhì)點抵達正最大位移時，另一個質(zhì)點抵達負最大位移，如右圖所表示，此時，我們稱兩振動反相。10.2.2兩個同方向、同頻率簡諧振動合成若一個質(zhì)點同時參加兩個同方向、同頻率簡諧振動，其運動方程分別為：x1＝A1cos（ωt＋φ1），x2＝A2cos（ωt＋φ2）因兩個振動方向相同，由運動疊加原理可知，質(zhì)點合振動位移等于兩個分振動位移代數(shù)和，即x＝x1＋x2＝A1cos（ωt＋φ1）＋A2cos（ωt＋φ2）應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法能夠更直觀、更簡練得出合振動規(guī)律。以下列圖所表示，取坐標(biāo)軸Ox，畫出兩個分振動旋轉(zhuǎn)矢量A1和A2，它們在Ox軸上投影x1和x2分別表示兩個分振動位移。依據(jù)平行四邊形法則，可作出合矢量A＝A1＋A2，它在Ox軸上投影x表示合振動位移，能夠看出，x＝x1＋x2。t＝0時，合矢量A與Ox軸夾角為φ。因為A1和A2以相同角速度ω逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，其夾角φ2－φ1保持不變，所以，平行四邊形OM1MM2形狀在旋轉(zhuǎn)中保持不變，即合矢量A模保持恒定，且以同一角速度ω與A1、A2一起繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)。于是，依據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量法，可得合振動運動方程為：

x＝Acos（ωt＋φ）上式表明，兩個同方向、同頻率簡諧振動合振動仍為簡諧振動，其頻率與分振動頻率相同，其振幅和初相可由上圖所表示幾何關(guān)系求得：上式表明，合振幅A大小不但與分振動振幅相關(guān)，而且還與它們相位差Δφ＝φ2－φ1相關(guān)。下面討論兩種特殊情況1．若相位差Δφ＝φ2－φ1＝±2kπ（k＝0，1，2，…）則上式表明，當(dāng)兩個分振動同相，即其相位差為π偶數(shù)倍時，合振動振幅為兩個分振動振幅之和，合成結(jié)果為兩個振動相互加強，此時合振幅最大。2．若相位差Δφ＝φ2－φ1＝±（2k＋1）π（k＝0，1，2，…），則上式表明，當(dāng)兩個分振動反相，即其相位差為π奇數(shù)倍時，合振動振幅為兩個分振動振幅之差絕對值，合成結(jié)果為兩個振動相互減弱，此時合振幅最小。若兩分振動振幅相等，則此時合振動振幅為零。普通情況下，相位差Δφ并不是π整數(shù)倍，此時，合振幅就介于|A1－A2|和A1＋A2之間?！纠?0-5】一質(zhì)點同時參加兩個同方向、同頻率簡諧振動周期都為4s，振幅分別為A1＝0.06m，A2＝0.104m，初相分別為φ1＝π/3，φ2＝5π/6，求合振動振幅、初相及運動方程?！窘狻恳罁?jù)題意可知兩個簡諧振動角頻率為：則兩簡諧振動運動方程分別為：依據(jù)式（10–20）和式（10–21）可得合振動振幅和初相分別為：所以，合振動運動方程為：10.2.3兩個同方向、不一樣頻率簡諧振動合成兩個同方向、不一樣頻率簡諧振動合成結(jié)果比較復(fù)雜，為了便于了解，設(shè)兩分振動振幅和初相相同，則兩分振動運動方程為：x1＝Acos（ω1t＋φ），x2＝Acos（ω2t＋φ）合振動為：x＝x1＋x2＝Acos（ω1t＋φ）＋Acos（ω2t＋φ）依據(jù)三角函數(shù)公式，上式可化為：由上式能夠看出，兩個同方向、不一樣頻率簡諧振動合振動即使仍與分振動方向相同，但不再是簡諧振動。假如兩分振動頻率相近，且有|ω1－ω2|＜＜（ω1＋ω2）時，上式中，項隨時間快速改變，而項隨時間遲緩改變。所以，能夠?qū)⒋撕险駝涌醋魇墙穷l率為，振幅為簡諧振動。這種振幅時大時小作遲緩周期性改變振動現(xiàn)象稱為拍。拍振動曲線以下列圖所表示。

10.3阻尼振動、受迫振動與共振10.3.1阻尼振動簡諧振動系統(tǒng)除回復(fù)力外，不受任何阻力影響，振動過程中系統(tǒng)能量守恒，其振幅也不隨時間改變，這種振動稱為無阻尼振動。然而，實際振動總要受到阻力影響，因為需要克服阻力做功，系統(tǒng)能量會不停損耗，振幅也會隨時間逐步減小。我們把這種振幅隨時間逐步減小振動稱為阻尼振動。在阻尼振動中，能量損失原因通常有以下兩種：一個是因為介質(zhì)對振動物體摩擦阻力作用，使振動物體能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，稱為摩擦阻尼；另一個是因為振動物體引發(fā)臨近質(zhì)點振動，使系統(tǒng)能量向四面輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌幽芰?，稱為輻射阻尼。比如，音叉振動時，不但因為摩擦而消耗能量，同時也因輻射聲波而損失能量。

在振動研究中，常把輻射阻尼看成某種等效摩擦阻尼來處理。所以，下面我們在討論時僅考慮摩擦阻尼。試驗證實，介質(zhì)對運動物體阻力與物體運動速度相關(guān)，在物體速度不太大時，阻力Fr大小與速度v大小成正比，方向與速度v方向相反，即對彈簧振子，在彈力F＝－kx和阻力Fr作用下，依據(jù)牛頓第二定律可得阻尼振動動力學(xué)方程為：令ω02＝k/m，2β＝γ/m，則上式可寫為：依據(jù)阻尼大小，阻尼振動可分為弱阻尼振動、過阻尼振動和臨界阻尼振動三類。阻尼較小，即β＜ω0時，物體阻尼振動稱為弱阻尼振動。此時，上式解為：

上式反應(yīng)了阻尼振動位移與時間關(guān)系，其振動曲線以下列圖所表示，能夠?qū)⑵淇醋髡穹鶠锳e－βt，角頻率為ω振動。

由上式能夠看出，阻尼振動振幅Ae–βt是隨時間t作指數(shù)衰減，阻尼越大，振幅衰減得越快。因為物體運動狀態(tài)不可能在經(jīng)過一段時間后完全重復(fù)出現(xiàn)，所以，嚴格說，阻尼振動已經(jīng)不是周期運動。但因為cos（ωt＋φ）是周期改變，于是，能夠?qū)os（ωt＋φ）周期稱為阻尼振動周期，即

上式表明，因為阻尼存在，阻尼振動周期比無阻尼振動周期長，即振動變慢了。阻尼越大，阻尼振動周期越長。阻力很大，即β＞ω0時，在未完成一次振動前，振動系統(tǒng)能量已全部耗盡，此時，振動系統(tǒng)將經(jīng)過非周期運動方式回到平衡位置，這種阻尼振動稱為過阻尼振動，以下列圖所表示b曲線β＝ω0時，ω＝0，這是物體不能作周期運動臨界情況，此時，阻力使振動物體剛好能不作周期運動，而又能最快地回到平衡位置，這種阻尼振動稱為臨界阻尼振動，以下列圖所表示c曲線

在工程技術(shù)中，可依據(jù)不一樣要求，用不一樣方法來控制阻尼大小。比如，汽缸中活塞運動時，可經(jīng)過加潤滑劑來減小其摩擦阻尼；各種聲源和樂器上空氣箱能夠加大輻射阻尼，使其能輻射足夠強聲波等。

10.3.2受迫振動實際振動系統(tǒng)中，因為摩擦阻尼總是存在，所以，為了取得穩(wěn)定連續(xù)振動，通常對振動系統(tǒng)施加一周期性外力。系統(tǒng)在周期性外力連續(xù)作用下所發(fā)生振動稱為受迫振動，這種周期性外力稱為驅(qū)動力。為了簡單起見，設(shè)驅(qū)動力為F′cosωpt，其中，F(xiàn)′為驅(qū)動力幅值，ωp為驅(qū)動力角頻率。受迫振動系統(tǒng)受彈力F、阻力Fr和驅(qū)動力F′cosωpt作用，依據(jù)牛頓第二定律可得其動力學(xué)方程為：

令ω02＝k/m，2β＝γ/m，f＝F′/m，則上式可寫為：

上式解為：

上式表明，受迫振動是由阻尼振動和一個簡諧振動疊加而成。受迫振動開始時，速度不是很大，阻力也較小，振動系統(tǒng)由驅(qū)動力做功而取得能量大于它抵抗阻力做功而消耗能量，于是振動能量逐步增大，振動速度也隨之增大。因為阻力普通隨速度增大而增大，所以，隨速度增大，系統(tǒng)因抵抗阻力而消耗能量也在增加。當(dāng)系統(tǒng)因抵抗阻力而消耗能量等于驅(qū)動力做功而補充能量時，受迫振動能量將趨于穩(wěn)定，其振幅也將穩(wěn)定，不再改變。此時，其運動方程為：

穩(wěn)定狀態(tài)受迫振動振幅A和初相φ可由下式確定：

需要注意是，穩(wěn)定狀態(tài)受迫振動即使也是簡諧振動，但它與無阻尼振動有著本質(zhì)區(qū)分：受迫振動角頻率不是振動系統(tǒng)固有頻率，而是驅(qū)動力頻率；受迫振動振幅和初相不是決定于振動系統(tǒng)初始條件，而是決定于振動系統(tǒng)本身性質(zhì)、阻尼大小及驅(qū)動力頻率和幅值。

10.3.3共振由式（10–34）可知，對于一定振動系統(tǒng)，假如阻尼系數(shù)和驅(qū)動力幅值一定，則穩(wěn)定狀態(tài)受迫振動振幅隨驅(qū)動力角頻率ωp改變。以下列圖所表示為不一樣阻尼時受迫振動振幅與驅(qū)動力角頻率之間關(guān)系曲線，能夠看出，當(dāng)驅(qū)動力角頻率為某一定值時，受迫振動振幅會到達最大，我們把這種現(xiàn)象稱為共振。共振時角頻率稱為共振角頻率ωr。

對式（10–34）求極大值，可得共振角頻率為：

上式表明，共振角頻率ωr是由固有角頻率ω0和阻尼系數(shù)β決定。將上式代入式（10–34）和式（10–35）中可解得共振