第十四章 整式的乘除與因式分解知識(shí)點(diǎn)歸納

第十四章整式的乘除與因式分解1、合并同類(lèi)項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng).例如：；；2．同底數(shù)冪的乘法※1、同底數(shù)冪的乘法法則：(m，n是正整數(shù)).同底數(shù)冪相乘，底數(shù)，指數(shù).例如：；在應(yīng)用法則運(yùn)算時(shí),要注意以下幾點(diǎn):①法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)相同而且是相乘時(shí)，底數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)字式字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式；②指數(shù)是1時(shí)，不要誤以為沒(méi)有指數(shù)；③不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對(duì)乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加；而對(duì)于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加；④當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，法則可推廣為（其中m、n、p均為正數(shù)）；⑤公式還可以逆用：（m、n均為正整數(shù)）3．冪的乘方與積的乘方※1.冪的乘方法則：(m，n是正整數(shù)).冪的乘方，底數(shù)，指數(shù).例如：；；※3.底數(shù)有負(fù)號(hào)時(shí),運(yùn)算時(shí)要注意,底數(shù)是a與(-a)時(shí)不是同底，但可以利用乘方法則化成同底，如將（-a）3化成-a3※4．底數(shù)有時(shí)形式不同，但可以化成相同?！?．要注意區(qū)別（ab）n與（a+b）n意義是不同的，不要誤以為（a+b）n=an+bn（a、b均不為零）?！?．積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（n為正整數(shù)）?！?．冪的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。4.整式的乘法※（1）.單項(xiàng)式乘法法則:單項(xiàng)式相乘,把它們的、分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的，連同它的作為。例如:單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。※（2）．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用去，再把所得的積。例如:單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)；③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序?！?）．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的，再把所得的積。例如:多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法是：在沒(méi)有合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積；②多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類(lèi)項(xiàng)；③對(duì)含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，其二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積。對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得5.同底數(shù)冪的除法※1.同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù),指數(shù),即(a≠0,m、n都是正數(shù),且m>n).※2.在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn):①法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a≠0.②任何不等于0的數(shù)的0次冪等于,即,例如:,-2.50=-1,則00無(wú)意義.6．整式的除法¤1．單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式單項(xiàng)式相除，把、分別，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的，則連同它的作為商的一個(gè)因式；¤2．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)除以，再把所得的商，例如:；其特點(diǎn)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，另外還要特別注意符號(hào)。7．平方差公式¤1．平方差公式：兩數(shù)與這兩數(shù)的積，等于它們的，※即。例如：（4a－1）（4a+1）=___________；（3a－2b）（2b+3a）=___________；=；；¤其結(jié)構(gòu)特征是：①公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中第一項(xiàng)相同，第二項(xiàng)互為相反數(shù)；②公式右邊是兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方之差。8．完全平方公式¤1．完全平方公式：兩數(shù)________（或________）的________，等于它們的________，加上（或減去）它們的________，¤即________；例如：；；¤口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；¤2．結(jié)構(gòu)特征：①公式左邊是二項(xiàng)式的完全平方；②公式右邊共有三項(xiàng)，是二項(xiàng)式中二項(xiàng)的平方和，再加上或減去這兩項(xiàng)乘積的2倍?！?．在運(yùn)用完全平方公式時(shí)，要注意公式右邊中間項(xiàng)的符號(hào)，以及避免出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤。添括號(hào)法則：添正不變號(hào)，添負(fù)各項(xiàng)變號(hào)，去括號(hào)法則同樣9.分解因式※1.把一個(gè)________化成幾個(gè)整式的________的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.※2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘,化為一個(gè)多項(xiàng)式;(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.分解因式的一般方法：1.提公共因式法※1.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有_______,那么就可以把這個(gè)_______提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式_______的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如:例如:4x2+12x3+4x※2.概念內(nèi)涵:(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即:※3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉.2.運(yùn)用公式法※1.如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.※2.主要公式:(1)平方差公式:_______(2)完全平方公式:______________（1）（2）¤3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):因式分解要分解到底.如就沒(méi)有分解到底.※4.運(yùn)用公式法:(1)平方差公式:①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式;②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;③二項(xiàng)是異號(hào).(2)完全平方公式:①應(yīng)是三項(xiàng)式;②其中兩項(xiàng)同號(hào),且各為一整式的平方;③還有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍.3.十字相乘法：型和型的因式分解下面舉例具體說(shuō)明怎樣進(jìn)行分解因式。例1、因式分解。分析：因?yàn)榻猓涸?（x+7）（x-8）7x+(-8x)=-x例2、因式分解。分析：該題雖然二次項(xiàng)系數(shù)不為1，但也可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解：原式=（2y+3）（3y+5）因?yàn)?y+10y=19y 這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．因此，運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．4.因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)最后看能否使用十字相乘法(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;單元測(cè)試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列式子中，正確的是..............................()A.3x+5y=8xy B.3y2-y2=3C.15ab-15ab=0 D.29x3-28x3=x2.當(dāng)a=-1時(shí)，代數(shù)式(a+1)2+a(a+3)的值等于…………()A.-4 B.4 C.-2 D.23.若-4x2y和-2xmyn是同類(lèi)項(xiàng)，則m，n的值分別是…()A.m=2,n=1 B.m=2,n=0 C.m=4,n=1 D.m=4，n=04.化簡(jiǎn)(-x)3·(-x)2的結(jié)果正確的是……………()A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x55.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于…()A.3 B.-5 C.7. D.7或-16、下列運(yùn)算中，正確的是（）A、B、C、D、7、下列多項(xiàng)式中，能夠因式分解的是（）A、B、C、D、8、分解因式的結(jié)果是（）A、B、C、D、9、下列多項(xiàng)式能利用平方差公式分解的是（）A、B、C、D、10、在多項(xiàng)式中是完全平方式的有（A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)11、若，則的值為（）A、2B、4C、0D、二、填空（每題3分，共15分）1.化簡(jiǎn)：a3·a2b=;的結(jié)果是_______________。2.計(jì)算：4x2+4x2=;4x2·(-2xy)=;.3.分解因式：a2-25=;.4、若，則5、6、當(dāng)m=___________時(shí)，多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式。7、若多項(xiàng)式能寫(xiě)成一個(gè)多項(xiàng)式的平方的形式，則a的值為_(kāi)___________。8、已知，則。9、如果成立，那么k=______________。三、解答題（共70分）1．計(jì)算（直接寫(xiě)出結(jié)果，共10分）am·an=，(am)n=，(ab)n=①a·a3=②(m+n)2·(m+n)3=③(103)5=④(b3)4=⑤(2b)3=⑥(2a3)2=⑦(-3x)4=2．計(jì)算與化簡(jiǎn).（共18分）(1)3x2y·(-2xy3)；(2)2a2(3a2-5b)；(3)(-2a2)(3ab2-5ab3).(4)(5x+2y)(3x-2y).(5)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；（6）(-3)2008·()20093．先化簡(jiǎn)，再求值（7分）(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)，其中a=2，b=-14．把下列各式分解因式.（共18分）(1)xy+ay-by；(2)3x(a-b)-2y(b-a)；(3)m2-6m+9； (4)4x2-9y2(5)x4-1；(6)x2-7x+10；(7)(8)5．