第十四章 整式的乘除與因式分解知識點歸納

第十四章整式的乘除與因式分解1、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.例如：；；2．同底數(shù)冪的乘法※1、同底數(shù)冪的乘法法則：(m，n是正整數(shù)).同底數(shù)冪相乘，底數(shù)，指數(shù).例如：；在應(yīng)用法則運(yùn)算時,要注意以下幾點:①法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)相同而且是相乘時，底數(shù)a可以是一個具體的數(shù)字式字母，也可以是一個單項或多項式；②指數(shù)是1時，不要誤以為沒有指數(shù)；③不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加；而對于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加；④當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，法則可推廣為（其中m、n、p均為正數(shù)）；⑤公式還可以逆用：（m、n均為正整數(shù)）3．冪的乘方與積的乘方※1.冪的乘方法則：(m，n是正整數(shù)).冪的乘方，底數(shù)，指數(shù).例如：；；※3.底數(shù)有負(fù)號時,運(yùn)算時要注意,底數(shù)是a與(-a)時不是同底，但可以利用乘方法則化成同底，如將（-a）3化成-a3※4．底數(shù)有時形式不同，但可以化成相同。※5．要注意區(qū)別（ab）n與（a+b）n意義是不同的，不要誤以為（a+b）n=an+bn（a、b均不為零）?！?．積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（n為正整數(shù)）?！?．冪的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。4.整式的乘法※（1）.單項式乘法法則:單項式相乘,把它們的、分別相乘，對于只在一個單項式里含有的，連同它的作為。例如:單項式乘法法則在運(yùn)用時要注意以下幾點：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現(xiàn)的錯誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式；④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；⑤單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式?！?）．單項式與多項式相乘單項式與多項式相乘，就是用去，再把所得的積。例如:單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同；②運(yùn)算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；③在混合運(yùn)算時，要注意運(yùn)算順序?！?）．多項式與多項式相乘多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的乘以另一個多項式的，再把所得的積。例如:多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原兩個多項式項數(shù)的積；②多項式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項；③對含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘，其二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩個因式中常數(shù)項的積。對于一次項系數(shù)不為1的兩個一次二項式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得5.同底數(shù)冪的除法※1.同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù),指數(shù),即(a≠0,m、n都是正數(shù),且m>n).※2.在應(yīng)用時需要注意以下幾點:①法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a≠0.②任何不等于0的數(shù)的0次冪等于,即,例如:,-2.50=-1,則00無意義.6．整式的除法¤1．單項式除法單項式單項式相除，把、分別，作為商的因式，對于只在被除式里含有的，則連同它的作為商的一個因式；¤2．多項式除以單項式多項式除以單項式，先把這個除以，再把所得的商，例如:；其特點是把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化成單項式除以單項式，所得商的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同，另外還要特別注意符號。7．平方差公式¤1．平方差公式：兩數(shù)與這兩數(shù)的積，等于它們的，※即。例如：（4a－1）（4a+1）=___________；（3a－2b）（2b+3a）=___________；=；；¤其結(jié)構(gòu)特征是：①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數(shù)；②公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。8．完全平方公式¤1．完全平方公式：兩數(shù)________（或________）的________，等于它們的________，加上（或減去）它們的________，¤即________；例如：；；¤口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；¤2．結(jié)構(gòu)特征：①公式左邊是二項式的完全平方；②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍?！?．在運(yùn)用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現(xiàn)這樣的錯誤。添括號法則：添正不變號，添負(fù)各項變號，去括號法則同樣9.分解因式※1.把一個________化成幾個整式的________的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.※2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式;(2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.分解因式的一般方法：1.提公共因式法※1.如果一個多項式的各項含有_______,那么就可以把這個_______提出來,從而將多項式化成兩個因式_______的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如:例如:4x2+12x3+4x※2.概念內(nèi)涵:(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律,即:※3.易錯點點評:(1)注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯;(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項式中某一項恰為公因式,提出后,括號中這一項為+1,不漏掉.2.運(yùn)用公式法※1.如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.※2.主要公式:(1)平方差公式:_______(2)完全平方公式:______________（1）（2）¤3.易錯點點評:因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.※4.運(yùn)用公式法:(1)平方差公式:①應(yīng)是二項式或視作二項式的多項式;②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方;③二項是異號.(2)完全平方公式:①應(yīng)是三項式;②其中兩項同號,且各為一整式的平方;③還有一項可正負(fù),且它是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍.3.十字相乘法：型和型的因式分解下面舉例具體說明怎樣進(jìn)行分解因式。例1、因式分解。分析：因為解：原式=（x+7）（x-8）7x+(-8x)=-x例2、因式分解。分析：該題雖然二次項系數(shù)不為1，但也可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解：原式=（2y+3）（3y+5）因為9y+10y=19y 這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：(1)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)之積；(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和．因此，運(yùn)用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．4.因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)最后看能否使用十字相乘法(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;單元測試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列式子中，正確的是..............................()A.3x+5y=8xy B.3y2-y2=3C.15ab-15ab=0 D.29x3-28x3=x2.當(dāng)a=-1時，代數(shù)式(a+1)2+a(a+3)的值等于…………()A.-4 B.4 C.-2 D.23.若-4x2y和-2xmyn是同類項，則m，n的值分別是…()A.m=2,n=1 B.m=2,n=0 C.m=4,n=1 D.m=4，n=04.化簡(-x)3·(-x)2的結(jié)果正確的是……………()A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x55.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于…()A.3 B.-5 C.7. D.7或-16、下列運(yùn)算中，正確的是（）A、B、C、D、7、下列多項式中，能夠因式分解的是（）A、B、C、D、8、分解因式的結(jié)果是（）A、B、C、D、9、下列多項式能利用平方差公式分解的是（）A、B、C、D、10、在多項式中是完全平方式的有（A、1個B、2個C、3個D、4個11、若，則的值為（）A、2B、4C、0D、二、填空（每題3分，共15分）1.化簡：a3·a2b=;的結(jié)果是_______________。2.計算：4x2+4x2=;4x2·(-2xy)=;.3.分解因式：a2-25=;.4、若，則5、6、當(dāng)m=___________時，多項式是一個完全平方式。7、若多項式能寫成一個多項式的平方的形式，則a的值為____________。8、已知，則。9、如果成立，那么k=______________。三、解答題（共70分）1．計算（直接寫出結(jié)果，共10分）am·an=，(am)n=，(ab)n=①a·a3=②(m+n)2·(m+n)3=③(103)5=④(b3)4=⑤(2b)3=⑥(2a3)2=⑦(-3x)4=2．計算與化簡.（共18分）(1)3x2y·(-2xy3)；(2)2a2(3a2-5b)；(3)(-2a2)(3ab2-5ab3).(4)(5x+2y)(3x-2y).(5)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；（6）(-3)2008·()20093．先化簡，再求值（7分）(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)，其中a=2，b=-14．把下列各式分解因式.（共18分）(1)xy+ay-by；(2)3x(a-b)-2y(b-a)；(3)m2-6m+9； (4)4x2-9y2(5)x4-1；(6)x2-7x+10；(7)(8)5．