微積分學(xué)課件：3-3泰勒定理

第三節(jié)泰勒定理第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一.泰勒定理二.幾個(gè)常用函數(shù)的麥克勞林公式三.帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式四.泰勒公式的應(yīng)用泰勒中值定理泰勒中值定理的產(chǎn)生：微分帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式拉格朗日中值定理泰勒公式帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式還有帶其它余項(xiàng)的

多項(xiàng)式是一類很重要的函數(shù)，其明顯特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因此無論是數(shù)值計(jì)算還是理論分析都比較方便從計(jì)算的角度看，只須加、減、乘三種運(yùn)算，連除法都不需要，這是其它函數(shù)所不具備的優(yōu)點(diǎn)。

用多項(xiàng)式近似地表示給定函數(shù)的問題不僅具有實(shí)用價(jià)值，而且更具有理論價(jià)值。一般的函數(shù)不好處理先用較好處理的多項(xiàng)式近似替代，然后通過某種極限手續(xù)再過渡到一般的函數(shù)。“以直代曲”就是用一次多項(xiàng)式去近似給定函數(shù)一、泰勒定理問題的提出（如下圖）不足:1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì)。問題:分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交泰勒(Taylor)定理證明:拉格朗日形式的余項(xiàng)注意:麥克勞林(Maclaurin)公式

e

的近似計(jì)算公式例二.幾個(gè)常用函數(shù)的麥克勞林公式

解：其中,

展開式的具體形式與n

的奇偶性有關(guān).例解：其中,例解：例解：例解：三.帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式

帶皮亞諾余項(xiàng)的馬克勞林公式

常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(!5!3sin221253++++-+-+-=nnnxonxxxxxL)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx+-++-+-=L)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+nnnxonxxxxxL)(1112nnxoxxxx+++++=+L)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx++--++-++=+LL因此，利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式可以求出某些函數(shù)的極限。則：例

利用帶有佩亞若型余項(xiàng)的麥克勞林公式，求極限

解

由于分式的分母所以，用帶有佩亞若型余項(xiàng)的三階麥克勞林公式，即解例：求極限四.泰勒公式的應(yīng)用１、計(jì)算函數(shù)的近似值２、用多項(xiàng)式逼近函數(shù)４、證明某些不等式３、證明在某條件下的存在性

應(yīng)用三階泰勒公式求

sin18o的近似值，并估計(jì)誤差。例：１、計(jì)算函數(shù)的近似值誤差為：例２、用多項(xiàng)式逼近函數(shù)解：例設(shè)f(x)在[0，1]上二次可微證明證將f(x)在x=1處作一階Taylor展開，有將x=0代入上式，得由３、證明在某條件下的存在性該式中等號(hào)成立.由泰勒(馬克勞林)公式綜上所述，即得所證.例４、證明某些不等式解：例解：例設(shè)f(x)在[0，1]