數(shù)論的方法技巧

一頁(yè)共第十三頁(yè)第1講數(shù)論的方法技巧（上）數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問(wèn)題敘述簡(jiǎn)明，“很多數(shù)論問(wèn)題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來(lái)，并且僅用三言兩語(yǔ)就能向一個(gè)行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事” 。因而有人說(shuō)：“用以發(fā)現(xiàn)天才， 在初等數(shù)學(xué)中再也沒(méi)有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)， 并勸他將來(lái)從事數(shù)學(xué)方面的工作?！彼栽趪?guó)內(nèi)外各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，數(shù)論問(wèn)題總是占有相當(dāng)大的比重。小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：1.帶余除法：若 a，b是兩個(gè)整數(shù)， b>0，則存在兩個(gè)整數(shù) q，r，使得a=bq+r （0≤r<b），且q，r是唯一的。特別地，如果

r=0

，那么

a=bq

。這時(shí)，

a

被b

整除，記作

b|a

，也稱

b是

a的約數(shù)，

a是

b的倍數(shù)。若a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，則ab|c。唯一分解定理：每一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即其中p1<p2< ?<pk 為質(zhì)數(shù)，為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。

a1，a2，?，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。

（1）式稱4.約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)

n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（

1），則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為：d（n）=（a1+1 ）（a2+1 ）?（ak+1 ）。整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x<y與x≤y-1是等價(jià)的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來(lái)分類講解。一、利用整數(shù)的各種表示法對(duì)于某些研究整數(shù)本身的特性的問(wèn)題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于 問(wèn)題的解決。這些常用的形式有：頁(yè)十三頁(yè)共第1.十進(jìn)制表示形式： n=an10n+an-110n-1+ ?+a0；帶余形式：a=bq+r；4.2的乘方與奇數(shù)之積式： n=2mt ，其中t為奇數(shù)。例1 紅、黃、白和藍(lán)色卡片各 1張，每張上寫有 1個(gè)數(shù)字，小明將這 4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成 1個(gè)四位數(shù)，并計(jì)算這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的 10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無(wú)論白色卡片上是什么數(shù)字，計(jì)算結(jié)果都是 1998。問(wèn)：紅、黃、藍(lán) 3張卡片上各是什么數(shù)字？解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是 a3，a2，a1，a0，則這個(gè)四位數(shù)可以寫成1000a3+100a2+10a1+a0

，它的各位數(shù)字之和的

10倍是10（a3+a2+a1+a0 ）=10a3+10a2+10a1+10a0 ，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的 10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998 ，110a3+10a2-a0=222 。比較上式等號(hào)兩邊個(gè)位、十位和百位，可得a0=8 ，a2=1 ，a3=2 。所以紅色卡片上是 2，黃色卡片上是 1，藍(lán)色卡片上是 8。頁(yè)共第十三頁(yè)解：依題意，得三 頁(yè)共第十三頁(yè) a+b+c>14 ，說(shuō)明：求解本題所用的基本知識(shí)是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡(jiǎn)單的不定方程。例3從自然數(shù)1，2，3，?，1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被18整除？a+b+c=18m其中m，n

，a+b+d=18n是自然數(shù)。于是

，c-d=18

（m-n

）。上式說(shuō)明所取出的數(shù)中任意

2個(gè)數(shù)之差是

18的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以

18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為 r，則a=18a1+r ，b=18b1+r ，c=18c1+r ，其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是a+b+c=18 （a1+b1+c1 ）+3r因?yàn)?8|（a+b+c ），所以 18|3r所以，從 1，2，?，1000 中可取和能被18整除。例4求自然數(shù) N，使得它能被 5解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式

。，即6|r，推知r=0，6，12。因?yàn)?000=55 ×18+10 ，6，24，42，?，996 共56個(gè)數(shù)，它們中的任意 3個(gè)數(shù)之和49整除，并且包括 1和N在內(nèi)，它共有 10個(gè)約數(shù)。由于

N能被

5和

72=49

整除，故

a3

≥1，a4≥2，其余的指數(shù)

ak

為自然數(shù)或零。依題意，有a1+1）（a2+1）?（an+1）=10。由于a3+1 ≥2，a4+1 ≥3，且10=2 ×5，故=an+1=1?a1+1=a2+1=a5+1=四 即a1=a2=a5= ?an=0 ，N只能有 2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù) 5和7，因?yàn)閍4+13>2，故由a3+1）（a4+1）=10知，a3+1=5 ，a4+1=2=57× 例5如果N是個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？

是不可能的。因而1，2，3，?，1998

a3+1=2，1999

，a4+1=5，即2-15-14=12005，2000的最小公倍數(shù)，那么

?！罭=57N等于多少1011=2048>2000

，每一個(gè)不大于

2000

的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)

=1024

，22

解：因?yàn)橄喑?，其?/p>

2的個(gè)數(shù)不10，所以， N等于10個(gè)2與某個(gè)奇數(shù)的積。 數(shù)不多于 10個(gè)，而1024=2

說(shuō)明：上述

5例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問(wèn)題迎刃而解。二、枚舉法枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類），然后對(duì)各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問(wèn)題。運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾?分類的原則是不重不漏。 正確的分類有助于暴露問(wèn)題的本質(zhì)，降低問(wèn)題的難度。 數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類， 按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例6求這樣的三位數(shù)，它除以 11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。分析與解：三位數(shù)只有900個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為

x，y，z。由于任何數(shù)除以

11所得余數(shù)都不大于

10，所以x2+y2+z2 ≤10，從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：，101，102，103，110，111，112，202，201，200，130，122，121，120頁(yè)共十三第頁(yè)，212，220，221，300，301，310。不難驗(yàn)證只有100，101兩個(gè)數(shù)符合要求。例7將自然數(shù) N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將果得到的新數(shù)都能被 N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問(wèn)：小于

22000

接寫在35的右面得 352），如的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？對(duì)N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。解：設(shè)a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意 4個(gè)數(shù)，則N|100

，所以

N=10

，20

，25，50

；N|1000 ，所以N=100 ，125，200，250，500；4）當(dāng)N為四位數(shù)時(shí)，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為 14個(gè)。說(shuō)明：（1）我們可以證明： k位魔術(shù)數(shù)一定是 10k 的約數(shù)，反之亦然。2）這里將問(wèn)題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而降低了問(wèn)題的難度，使問(wèn)題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后， 3人各自記錄的數(shù)字的和順次為 13，15，23。問(wèn)：這 3張牌的數(shù)字分別是多少？解：13+15+23=51 ，51=3 ×17。因?yàn)?7>13 ，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數(shù)字之和是 17，可能的情況有下面 15種：①1，6，10 ②1，7，9③1，8，887，2⑥9，6，2⑤10，5，2④頁(yè)十三共頁(yè)第3，4，10⑧3，5，9⑨3，6，83，7，7（11）4，4，9（12）4，5，813）4，6，7（14）5，5，7（15）5，6，6只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13 ；3+3+9=15 ；5+9+9=23 。這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。例9寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過(guò)程中， 我們可以看出 100 以內(nèi)最多可以寫出 7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90，91，，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。分析二：如果

12個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第

1個(gè)是

2

的倍數(shù)，第

2個(gè)是

3

的倍數(shù)，第

3個(gè)是

4的倍數(shù)??第

12個(gè)是

13

的倍數(shù)，那么這

12個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。又

m+2

，m+3

，?，m+13

是

12

個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要

m是

2，3，?，13

的公倍數(shù)，這個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法2：設(shè)m為2，3，4，?，13m+13 分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4

這12個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 m+2，m+3 ，m+4的倍數(shù)?? 13的倍數(shù)，因此 12個(gè)數(shù)都是合數(shù)。

，?，說(shuō)明：我們還可以寫出13！+2，13！+3，?，13！+13（其中n！=1×2×3×?×n）這

12

個(gè)連續(xù)合數(shù)來(lái)。同樣，個(gè)連續(xù)的合數(shù)。

m是+m+1

！）m+1

（，?，

+3

?。﹎+1

（，+2

！）m+1

（七頁(yè)十三 頁(yè)共第三、歸納法當(dāng)我們要解決一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候， 可以先分析這個(gè)問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)單的、 特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜想， 從而找到解決問(wèn)題的途徑。 這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例10 將100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串，依次完成以下 5項(xiàng)工作叫做一次操作：1）將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；2）從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)；3）劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；4）所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個(gè)，其余劃去；5）所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的數(shù)字串。問(wèn)：經(jīng)過(guò) 1999 次操作，所得的數(shù)字串是什么？解：第1次操作得數(shù)字串 ；第2次操作得數(shù)字串11133173；第3次操作得數(shù)字串111731；第4次操作得數(shù)字串1173；第5次操作得數(shù)字串1731；第6次操作得數(shù)字串7311；第7次操作得數(shù)字串3117；第8次操作得數(shù)字串1173。不難看出，后面以 4次為周期循環(huán)， 1999=4 ×499+3 ，所以第 1999 次操作所得數(shù)字串與第7次相同，是3117。例11有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操再把原來(lái)的第三把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。把最上面的第一張卡片舍去，作：頁(yè)十三頁(yè)共第張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的第幾張？分析與解：可以從簡(jiǎn)單的不失題目性質(zhì)的問(wèn)題入手，尋找規(guī)律。列表如下：設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為 N，觀察上表可知：a（a=0 ，1，2，3，?）時(shí)，剩下的這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的最后一張， （1）當(dāng)N=2a張；即第2aam<2（+m）時(shí)，剩下的這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的第 2m張。 （2）當(dāng)N=26+36 ，2×36=72 ，所以剩下這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的 100=2 取N=100 ，因?yàn)榈?72張。說(shuō)明：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問(wèn)題：傳說(shuō)古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號(hào)碼 1，2，3，?然后把 1號(hào)殺了，把 3號(hào)殺了，總之每隔一個(gè)人殺一個(gè)人，最后剩下一個(gè)人，這個(gè)人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有 111 人，那么約瑟夫斯的號(hào)碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克、3克??40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？分析與解： 一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡(jiǎn)單的情形開始研究。1）稱重1克，只能用一個(gè)1克的砝碼，故1克的一個(gè)砝碼是必須的。2）稱重2克，有3種方案：①增加一個(gè) 1克的砝碼；②用一個(gè) 2克的砝碼；③用一個(gè) 3克的砝碼，稱重時(shí)，把一個(gè) 1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把 3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用 3-1=2 。（3）稱重 3克，用上面的②③兩個(gè)方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。1克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰?？傊?4）稱重 4（九頁(yè)十三第 頁(yè)共克、3克兩個(gè)砝碼就可以稱出（ 3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。（5）接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重 5克時(shí)可以利用9-（3+1）=5，即用一個(gè) 9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)， 1克、3克兩個(gè)砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13 （克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)砝碼，其重為14+13=27 （克），可以稱到 1+3+9+27=40 （克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。23克時(shí)，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答，這個(gè)結(jié)論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放砝碼時(shí)，使用

3，33， 總之，砝碼的重量為1，3，

1案。這是使用砝碼最少、稱重最大的砝碼重量設(shè)計(jì)方案。練習(xí)11.已知某個(gè)四位數(shù)的十位數(shù)字減去 1等于其個(gè)位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字加 2等于百位數(shù)字，這個(gè)四位數(shù)的數(shù)字反著順序排列成的數(shù)與原數(shù)之和等于 9878 。試求這個(gè)四位數(shù)。3.設(shè)n是滿足下列條件的最小自然數(shù)：它們是

75的倍數(shù)且恰有

75個(gè)不能寫成兩個(gè)奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)是多少？5.把1，2，3，4，?，999 這999 個(gè)數(shù)均勻排成一個(gè)大圓圈， 從1開始數(shù)：隔過(guò)1劃掉2，3，隔過(guò) 4，劃掉 5，6??這樣每隔一個(gè)數(shù)劃掉兩個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。問(wèn)：最后剩下哪個(gè)數(shù)？為什么？6.圓周上放有N枚棋子，如右圖所示，B點(diǎn)的一枚棋子緊鄰A點(diǎn)的棋子。小洪首先拿走B點(diǎn)處的1枚棋子，然后順時(shí)針每隔1枚拿走2枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過(guò)A。當(dāng)將要第10次越過(guò)A處棋子取走其它棋子時(shí)，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子。若N是14的倍數(shù)，則圓周上還有多少枚棋子？十頁(yè)共第十三頁(yè)7.用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)中均沒(méi)有重復(fù)數(shù)字（如1023，2341 ），求全體這樣的四位數(shù)之和。8.有27個(gè)國(guó)家參加一次國(guó)際會(huì)議，每個(gè)國(guó)家有

2名代表。求證：不可能將

54位代表安排在一張圓桌的周圍就座，使得任一國(guó)的

2位代表之間都夾有

9個(gè)人。練習(xí)

1解答1.1987

。（a+d）×1000+（b+c）×110+（a+d）=9878比較等式兩邊，并注意到數(shù)字和及其進(jìn)位的特點(diǎn)，可知

。a+d=8

，b+c=17

。已知c-1=d ，d+2=b ，可求得a=1，b=9，c=8，d=7。即所求的四位數(shù)為1987。2.1324，1423，2314，2413，3412，共5個(gè)。3.432。解：為保證n是75的倍數(shù)而又盡可能地小，因?yàn)?5=3×5×5，所以可設(shè)n有三個(gè)質(zhì)γβα，并且，γ≥2，3×5，其中α≥0β≥1×，因數(shù)2，35，即n=2）=75。（）β+1）（γ+1（α+1時(shí)，符合題設(shè)條件。此時(shí)β==4，γ=2易知當(dāng)α。4.3827，，33。252115938解：小于的奇合數(shù)是，，，，皆可表示為二奇合數(shù)之和：A的偶數(shù)38不能表示成它們之中任二者之和，而大于38十一頁(yè)十三頁(yè)共第A末位是0，則A=15+5n，A末位是2，則A=27+5n，A末位是4，則A=9+5n，A末位是6，則A=21+5n，A末位是8，則A=33+5n，其中n為大于1的奇數(shù)。因此，38即為所求。5.406。nn-131圈剩下個(gè)數(shù)（n為自然數(shù)）解：從特殊情況入手，可歸納出：如果是3，那么劃n-2個(gè)數(shù)??劃（n-1）圈就剩3個(gè)數(shù)，再劃1圈，最后剩下的還是起始數(shù)1。2個(gè)數(shù)，劃圈剩下36766=）729個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)，剩下的（=）2703<999<3999-3，從999個(gè)數(shù)中劃掉（3即可運(yùn)用上述結(jié)論。因?yàn)槊看蝿澋舻氖?個(gè)數(shù)，所以劃掉270個(gè)數(shù)必須劃135次，這時(shí)劃掉的第270個(gè)數(shù)是6個(gè)數(shù)的起始數(shù)為406。所以最后剩下的那個(gè)數(shù)是406。）405，則留下的3（135×3=6.23枚。解：設(shè)圓周上余a枚棋子。因?yàn)閺牡?次越過(guò)A處拿走2枚棋子到第10次將要越過(guò)A處棋子時(shí)小洪拿走了2a枚棋子，所以，在第9次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有3a枚棋子。2a枚棋子??在第1次將要越過(guò)A3處棋子時(shí)，圓周上有依此類推，在第8次將要越過(guò)A99a-13）小洪拿走了[2（a枚棋子，在第1次將要越過(guò)A處棋子之前，3圓周上有處棋子時(shí)，9910a-1。a=3（3a-1）+1+3+1]枚棋子，所以N=210a=59049a-1是14的倍數(shù)，則N就是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；N=3若若N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1是7的倍數(shù)，則4a-1必須是7的倍數(shù)，當(dāng)a=21，25，27，29時(shí)，4a-1不是7的倍數(shù)，當(dāng)a=23時(shí)，4a-1=91=7×13，是7的倍數(shù)。當(dāng)N是14的倍數(shù)時(shí)，圓周上有23枚棋子。7.259980

。用十進(jìn)位制表示的若干個(gè)四位數(shù)之和的加法原理為： 解：十二 頁(yè)共第十三頁(yè)若干個(gè)四位數(shù)之和 =千位數(shù)數(shù)字之和× 1000+百位數(shù)數(shù)字之和× 100+十位數(shù)數(shù)字之和× 10+個(gè)位數(shù)數(shù)字之和。以1，2，3，/r