例題講解-概率統(tǒng)計課件

(k

0,1,

2,

3,

4)1PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

服從超幾何分布.CN23C

42.4.2

超幾何分布例:

某班有學生23名,

其中有5名女同學,

今從班上任選4名學生去參觀展覽,

被選到的女同學數(shù)

X

是一個隨

量,求X的概率分布.一般:N個元素,分為兩類:第一類

第二類M

個,

N

M個,解:

X

可取

0,1,2,3,4這5個值,

X

的概率分布為:Ck

C

4kP

(

X

k

)

5

18

采取不放回抽樣,從N個中任取n

個,那么取到的是第一類元素的個數(shù)X

的概率分布為:Ck

CnkP

(

X

k)

M

N

Mn(k

0

,

1

,

2

, ,

min{n,

M}).M. N

M N

nN.

N N

1M

n

N

,(k

0

,

1

,

2

,

,

min{n,

M})nEX

kP

(

X

k)k

0DX

nk02(k

EX)

P(X

k)

n

可以證明:

P

(

X

k)

1,k

0P

(

X

k

)

CNM N

Mn定義:若隨量X

的概率分布為:Ck

Cn

k則稱X

服從超幾何分布,記為X

~

h(N

,M

,n).N,M,n稱為分布參數(shù).注:抽樣時,超幾何分布是無放回抽樣.n2PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

X0123P0.4910.4210.0840.004例題與解答例1:一批產(chǎn)品20件,

其中4

件優(yōu)質(zhì)品,

從中一次取3件,取到優(yōu)質(zhì)品數(shù)記為X

,

求X

的概率分布及EX

,

DX

.(k

0,1,

2,

3)N

205EX

n

M

3

4

3

,DX

n

M

N

M

N

n

3

4

16

17

0.4295.N

N N

1

20

20

193PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

分布律為:20C

3則

P(

X

k)

4

16

解:這是無放回的抽取,由題意知X服從超幾何分布,其中N

20,

M

4,

n

3,Ck

C3kP

(

X

k

)

ke

k!(

0,

k

0,1,2,

)

kk

0

k

!

ek

0

k

e

k!

e

e

1,DX

E(

X

2

)

(EX

)2

k

2

P(

X

k)

2k

0

2

2

.2.4.3泊松(Poisson)分布定義:

若隨 量

X

的概率分布為則稱X

服從參數(shù)為

的泊松分布,記為X

~

P(

).可以證明:

kk

0

k0EX

kP(

X

k)

k

k

!

e

,4PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

(附表2).泊松分布在實際中應(yīng)用很廣:某段時間內(nèi)

總機收到的呼喚次數(shù),某段時間內(nèi)候車室內(nèi)候車的人數(shù),泊松分布表P(X

k)故障、錯誤以及其它一些

性事件的個數(shù),(如打字員打的錯誤字數(shù),布匹上疵點等)這些都服從泊松分布.有關(guān)泊松分布的計算可查表,

kek

!.5PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

k

!2k

e2(k

0,1,2,

)(1)

P(

X

1)

21

e2

2e2

0.2707,1!(2)

P(

X

3)

P(

X

0)

P(

X

1)

P(

X

2)

P(

X

3)(查表)

0.1353

0.2707

0.2707

0.1805

0.8572

.X

~

P(2),

P(

X

k)

解:例題與解答例1:

某

交換臺每分鐘收到的呼喚次數(shù)

X

服從參數(shù)

=2

的泊松分布,求在一分鐘內(nèi)恰有一次呼喚的概率;在一分鐘內(nèi)呼喚次數(shù)不超過3

的概率.6PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

(k

0,1,2

)k

!X

~

P(),

P(

X

k

)

解:

設(shè)每頁的印刷錯誤數(shù)為X

,ke例題與解答例2:設(shè)書籍中每頁的印刷錯誤數(shù)服從泊松分布,經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上有1個印刷錯誤的頁數(shù)與有2個印刷錯誤的頁數(shù)相同,求任意檢查4頁,每頁上都沒有印刷錯誤的概率.,1!

2!由條件知P(X

1)

P(X

2)1e

2e即

2,

X

~

P(2),設(shè)4頁中沒有印刷錯誤的頁數(shù)為Y

,20

e2

7PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

2P(

X

0)

0!

e

,2Y

~

B(4,

e

),4故P(Y

4)

C

4

(e

2

)4

(1

e

2

)0

e

8

0.00035.(書例)例題與解答例:

投籃為4

投3中,求其首次投籃命中的投籃次數(shù)X

的分布律.

(書例P30)解:

X

的所有取值為

1,2,3,(k

1,

2,

3,

)4且分布律為:

P(

X

k)

(

1)k1

3(

)44k

3P(

X

k)

qk

1

p

,(k

1,2,3,

)定義:

若隨

量X

的概率分布為:pp2可證明:

EX

1

,

DX

q

.稱X

服從參數(shù)為p

的幾何分布,記為X

~

G(p).幾何分布描述的是多重

試驗中事件

A首次出現(xiàn)時的試驗次數(shù)

X

的分布律.8PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

第2章

量的分布與數(shù)字特征量及其分布量函數(shù)的分布量的數(shù)字特征隨隨隨隨重要的離散型分布重要的連續(xù)型分布9PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

10PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

2.5

重要的連續(xù)型分布指數(shù)分布正態(tài)分布0x

de

x

1

,EX

f

(

x)

e

x

,0,x

0x

0f

(x)dx

0

e0

x

dx

e

x

1,x

f

(x)dx

0

xx

e dx

00

edx

xe

x

x

0

1x

eEX

2

x2

f

(x)dx

0x

e2

x222

y

f(x)oxy

2

,dx

DX

EX

2

(

EX

)2

2

1

2

1

.

2.5.1

指數(shù)分布定義:

若隨 量X的概率密度為其中

0,稱X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,記為X

~

E(

).11PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

f

(

x)

x

e

,x

0x

0xf

(t

)dt

0x

t

e

dt0

tx

e

1

e

x

,

F

(

x)

0,

1

e

x

,

x

0x

0認為一些產(chǎn)品的使用都是服從指數(shù)分布的.y

F(x)oxy1當x

0

時,

0,F

(

x)

x當x

0

時,

F

(

x)

f

(t

)dt

0,求參數(shù)為

指數(shù)分布的分布函數(shù)F(x):12PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

注:電子元件在已使用1.5年之后再使用2年的概率,與它使用2年的概率是相同的.稱這樣的隨量具有“無性”,這是指數(shù)分布的重要特點.3

x超過2

年的概率;(2)已知該電子元件已使用了1.5年,求它還能使用兩年的概率為多少?P X

1.5例題與解答例1:某電子元件的(1)求該電子元件

6e

.f

(x)

解:

X~X

(年)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布,3e

,

x

00

,

x

0,

1

e

,

x

00

,

x

0,3

xF(x)

(1)P(

X

2)

1

P(

X

2)

1

F

(2)

1

(1

e6

)

e

6,(2)P(X

3.5

X

1.5)

P(

XP(3X.5,

1X.5)

1.5)

P((X

3.5))1

F

(3.5)

1

F

1.5)

e4.5e10.5

13PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

P(

X

s

t

|

X

s)

P(

X

t

)一般:若X

服從指數(shù)分布,則有:如果把

X

解釋為

,

則上式表明:

如果已知 長于s

年,則再活t

年的概率與分布所描述的

是“s無關(guān).因此,有時又風趣地稱指數(shù)年輕的”.14PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

15PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

51

1

x(k

0,

1

,

,5)例題與解答5從而

P

(Y

1)

1

P(Y

0)

1

(1

e2

)5

0.5167.解:

X

~

f

(

x)

5

e0,Y

的分布律為P

(Y

k)

Ck

(e2)k

(1

e2

)5k例2:顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間X

(分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布,若等待時間超過10分鐘,則他就離開,

設(shè)他一個月內(nèi)要來銀行5次,以Y

表示一個月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),求Y

的分布律及至少有一次沒有等到服務(wù)的概率.(書例)5

1

xF

(

x)

1

e,

x

0x

0,

0,,

x

0x

0由題意:

Y

~

B(5,

p),其中p

P(X

10)

1

P(X

10)

1

F(10)

e2

,12e

.

x

22f

(

x)

(

x

)2e

2

2

1

2

2.5.2

正態(tài)分布exp2

2記為

12

(

x

)2

,

(

x

)可以證明:f

(

x)dx

1正態(tài)分布也叫

分布.一、正態(tài)分布的定義定義:如果連續(xù)型隨量X的概率密度為其中

,

為常數(shù),

且

0,則稱X

服從參數(shù)為

,

2的正態(tài)分布,

記為X

~

N(

,

2

)

,特別地,當

0,

1時,稱X

服從標準正態(tài)分布,這時X

~

N

(0,

1),其概率密度記為

(x),即

(x)16PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

正態(tài)分布的概率密度曲線:12

2

(

x

)2X

~

f

(

x)

e2密度曲線

y

f

(

x)

:呈鐘形;在x軸的上方;關(guān)于直線x

對稱;17PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

最大值為f(

)

1

;2在點x

處,曲線有拐點;以x

軸為水平漸近線.參數(shù)

決定了曲線的中心位置而不影響曲線的形狀,參數(shù)

決定了曲線的形狀而不決定曲線的中心位置:

越大,曲線越平坦;

越小,曲線越陡峭.2X

~

(

x)

1

exoy1

0.42y

(

x

)2(

x

)曲線y

(x

):,

(

x

).x

t

2e

2

dt

1

2x

(

x)

(t

)dt

標準正態(tài)分布的概率密度曲線:當X

~

N

(0,1)時,x218PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

在x

軸的上方;

關(guān)于

y

軸對稱;最大值為

(0)

1

0.42在點x

1處曲線有拐點;以x

軸為水平漸近線.標準正態(tài)分布的分布函數(shù)為:

11babS

(

x

)d

x

Sxa

oP

(a

X

b)

y

(

x

)y12因此對同一長度的區(qū)間,若此區(qū)間越靠近點x

0,則其對應(yīng)的曲邊梯形的面積越大,即X在該區(qū)間上取值的概率越大,所以標準正態(tài)分布的分布規(guī)律是“中間多,兩頭少”.19PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

當X

~

N

(0,1)時,.

2DX

EX

tet

22

2二、正態(tài)分布的期望和方差x

f

(x)dxdxex2

2

1

2

(

x

)2x

t

e

2

dt1

t

2(

t

)

t

2

1

22dt

e

2

dt

0

(

x

)

2

f

(x)dx

奇函數(shù)20PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

若X

~

N(,

2

),則

X

~

N(

,

2

)中的參數(shù)

,

2分別是X的期望和方差,即EX

,

DX

2

,

標準差是

;若X

~

N(0,1),

則EX

0,DX

1.

t

2e

2

dt

, (

x

0

)x12

(

x)

對附表3的說明:xe

2

dtt

2

1

2標準正態(tài)分布函數(shù)值表

(

x)

,只能近似計算.可查附表3xoyxS

(

x

)y

(

x)

(0)

0.5y

(

x)x

xxoy當x

3.5

時,Φ(x)

0.三、正態(tài)分布表設(shè)X

~

N

(0,1),則X的分布函數(shù)計算起來比較

(

x)

(

x)

(

x)表中x

的取值范圍為[0,

3.49],當x

3.5

時,

(x)

1,當x

0

時,則有

(x)

1

(

x),21PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

22PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

標準正態(tài)分布函數(shù)值表與概率:概括起來,如果X

~

N

(0,1),則

0

.5

,

x)

,

Φ(

x)

,

x

0P

(

X

x

)

x

0x

0

1

Φ(P(|

X

|

x)

2Φ(x)

1

(當x

0

時)P

(a

X

b)

Φ

(b

)

Φ

(a

).23PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

查表得:

a

2.32,

(a)

1

0.0102

0.9898,從而:a

2.32.例題與解答例1:設(shè)X

~

N

(0,1),求P(1

X

2),P(X

1.96),P(X

1.96),P(|

X

|

1.96).解:P(1

X

2)

(2)

(1)

0.9772

0.8413

0.1359P(

X

1.96)

(1.96)

0.9750P(

X

1.96)

(1.96)

1

(1.96)

1

0.9750

0.025P(|

X

|

1.96)

2

(1.96)

1

2

0.9750

1

0.95例2:設(shè)X

~

N

(0,1),求下式中的a.P(

X

a

)

0.6331,

即

(a)

0.6331,

查表得:

a

0.34,P(

X

a

)

0.0102.P(

X

a

)

(a)

1

(a)

0.0102證明:dtx

(t

)22

2

1

e2

y

221

y2x

2

dy

e2

1x

Φ(

)

Φ1

x

f

(x)

1

(

x

)

,則(1)(2)

F

(

x)

Φ(

x

)

.x

f

(t)

dt

(2)

F

(

x)

t

y)

.x

2

d

y

Φ((1)

f

(

x)

F

(

x))

.

1

(x

知道了一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系,

就可以通過標準正態(tài)分布函數(shù)值表去解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.ex

一般正態(tài)與標準正態(tài)的關(guān)系定理:設(shè)X

~

N

(,

2

),Y

~

N

(0,1),它們的概率密度分別記為f

(x)和

(x),分布函數(shù)分別記為F

(x)和

(x),24PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

定理:若X

~

N

(,

2

),而Y

X

,則Y

~

N

(0,1).標準正態(tài)分布的重要性在于,任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.結(jié)論:設(shè)隨

量X服從正態(tài)分布,

則它的線性函數(shù)kX

b(k

0)仍服從正態(tài)分布.(比較重要的一個結(jié)論)25PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

2

1

Φ(

13

10

)

1

Φ(1.5)

1

0.9332

0.0668

,2P(|

X

10

|

2)

P

(

|X

10

2

2Φ(1)

1

2

0.8413

1

0.6826

.Y

X

10

~

N(0,1)2

P

(

|

Y

|

1)

2

(1)

1得P(10

X

13)

F(13)

F(10)

Φ(13

10)

Φ(10

10)26PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

2

Φ(1.5)

Φ(0)

0.9332

0.5

0.4332

,P(

X

13)

1

P(

X

13)

1

F

(13)|

1

)例題與解答例3:設(shè)X

~

N

(10,22

),求P(10

X

13),P(X

13),P(|

X

10

|

2).解:由X

~

N

(10,22

),27PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

4

1

Φ(

0.45)

Φ

(0.45

)

0.6736

.

P

(

X

0)

1

P

(

X

0)

1

F(0)

1

Φ(

0

1.8

)

3

0.3

,查表可得:

5

1.7P

(

X

3)

Φ

(

3

)

0.618

,例題與解答例4:設(shè)X

~

N

(,

2

),且P(X

5)

0.045,

P(X

3)

0.618,解得

1.8,

4,則X

~

N

(1.8,

42

),解:

P

(

X

5

)

Φ

(

5

)

Φ

(

5

)

0.045

,

Φ

(

5

)