例談立體幾何中的轉(zhuǎn)化

例談立體幾何中的轉(zhuǎn)化立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化的思想方法，它貫穿立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何教學(xué)中占有很重要的地位。立體幾何中的轉(zhuǎn)化主要是空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化，具體從以下幾個(gè)方面入手。1、 位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系是立體幾何中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其精髓就是平行與垂直位置關(guān)系的相互依存及轉(zhuǎn)化，平行與垂直問題不但能橫向轉(zhuǎn)化，而且可以縱向轉(zhuǎn)化。例1已知三棱錐S-ABC中，匕ABC=90°，側(cè)棱SA±底面ABC，點(diǎn)A在棱SB和SC上的射影分別是點(diǎn)E、F。求證EFXSCo分析：.「A、E、F三點(diǎn)不共線，AFXSC，?.?要證EFXSC，只要證SC±平面AEF，只要證SCXAE（如圖1）oXVBCXAB，BC±SA，ABC±平面SAB，」.SB是SC在平面SAB上的射影。..?只要證AEXSB（已知），AEFXSCo例2設(shè)矩形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，以EF為棱將矩形折成二面角A-EF-C1（如圖一2）。求證：平面AB1E〃平面QDF。分析一（縱向轉(zhuǎn)化）：?「AE〃DF，AE二平面qDF，???AE〃平面C1DF.同理，B1E〃平面QDF，又AEnB1E=E，A平面AB1E〃平面CQF。分析二（橫向轉(zhuǎn)化）：圖-2?「AE〃EF，B1E±EF，且AEnB1E=E，AEF±平面QDF圖-2同理，EFL平面QDF。平面AB1E〃平面QDF。2、 降維轉(zhuǎn)化由三維空間向二維平面轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問題的重要數(shù)學(xué)方法之一。降維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面中去，用學(xué)生們比較熟悉的平面幾何知識(shí)來解決問題。如線面垂直的判定定理的證明就是轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面問題。例3如圖-3，在直三棱柱ABC—A]B]C]中，AB=BC=\；2，BB1=2，/ABC=90，E、F分別為AA]、C1B1的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為. ；'，2分析：這類問題通常都是將幾何體的側(cè)面展開成平面圖形來解決。又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計(jì)算，最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線成的角來進(jìn)行的。例4如圖-4直四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2，底面ABCD是直角梯形，ZA是直角，ABIICD，1111 1AB=4,AD=2,DC=1，求異面直線BC1與D^成角的大小?（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解：由題意AB//CD，???/qBA是異面直線BC1與DC所成的角.連結(jié)AC1與AC，在RtAADC中，可得AC=v'5，又在RtAACC1中，可得Aq=3.

在梯形ABCD中，過C作CH//AD交AB于在梯形ABCD中，過C作CH//AD交AB于H,得ZCHB=90。,CH=2,HB=3,/.CB=<13又在RtACBC］中，可得BC1=、1，在AABC中,cosZABC=ABB+BC—AC；=3d!,.?.ZABC=arccos3^17.i i2AB-BC17 i 17..?異而直線BQ與DC所成角的大小為。實(shí)現(xiàn)空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展開法和輔助面法等等。3、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化“割形”與“補(bǔ)形”是解決立體幾何問題的常用方法之一，通過“割”或“補(bǔ)”可化復(fù)雜圖形為已熟知的簡(jiǎn)單幾何體，從而較快地找到解決問題的突破口。例5如圖5，三棱錐P-ABC中，已知PA±BC，PA=BC=n,求證：三棱錐P-ABC的體積V=1n2h.此題證法很多，下面用割補(bǔ)法證明如下:分析一：如圖5，連結(jié)AD、PD，VBC±DE，BC±AB，求證：三棱錐P-ABC的體積V=1n2h.此題證法很多，下面用割補(bǔ)法證明如下:分析一：如圖5，連結(jié)AD、PD，VBC±DE，BC±AB，ABC±平面APD，又DEXAP，13bcs,?VP-ABC=VB-APD*VC—APD= 刀APD分析二：如圖6，以三棱錐P—ABC的底面為底面，側(cè)棱PA為側(cè)棱，補(bǔ)成三棱拄PB1C1—ABC，連結(jié)EC、EB，則易證APL平面EBC...v三棱拄=AP.S1=2刀EBCn2h。，CiBi1?.?Vp—ABC=34、等積轉(zhuǎn)化“等積法”在初中平面幾何中就已經(jīng)有所應(yīng)用，是一種很實(shí)用的數(shù)學(xué)方法與技巧。立體幾何中的'等積三棱拄B1FA1 DB1FA1 D1CD轉(zhuǎn)化”（或稱等積變換）是以面積、體積（尤其是四面體的體積）作為媒介，來溝通有關(guān)元素之間的聯(lián)系，從而使問題得到解決。例6如圖7，已知ABCD—AjBjCjD］是棱長(zhǎng)為a的正方體，E、F分別為棱AA］與Cq的中點(diǎn)，求四棱錐A］—EBFD］的體積。略解：易證四邊形EBFD］是菱形，連結(jié)A］C］、EQ、AC］、AD「則VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF-A1ED1=2VC1-A1ED1

圖—8=2Ve-A1C1D1=VA-A1C1D1=6V正方體1=6a3。圖—85、抽象向具體轉(zhuǎn)化例7A、B、C是球O面上三點(diǎn)，弧AB、AC、BC的度數(shù)分別是90°、90°、60°。求球O夾在二面角B-AO—C間部分的體積。分析：此題難點(diǎn)在于空間想象，即較抽象。教師引導(dǎo)學(xué)生讀題:條件即ZAOB=ZAOC=90°,ZBOC=60°,然后給出圖形（如圖8）,則可想象此題意即為用刀沿60°二面角，以直徑為棱2兀r3將一個(gè)西瓜切下一塊，求這一塊西瓜的體積，（答：9 ）。問題于是變得直觀具體多了。例8三條直線兩兩垂直，現(xiàn)有一條直線與其中兩條直線都成60°角，求此直線與另外一條直線所成的角。分析：由條件想象到長(zhǎng)方體的三條棱也兩兩垂直，于是問題可以轉(zhuǎn)化為如下問題：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一頂點(diǎn)上的三條棱所成的角分別是60°、60°、a，求a的大小。根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，有cosa+cos60°+cos60°=1，可求得a=45°。立體幾何的教學(xué)，關(guān)鍵是要調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們學(xué)會(huì)聯(lián)想與轉(zhuǎn)化。立體幾何的許多定理、結(jié)論源自生活實(shí)際，源自平面幾何，要教會(huì)學(xué)生聯(lián)想實(shí)際模型，聯(lián)想平面幾何中已經(jīng)熟悉的東西，借助可取之材來建立空間想象，加強(qiáng)直觀教學(xué)，這樣就容易讓學(xué)生接受，讓他們喜歡上這一門學(xué)科，從而更有效地培養(yǎng)他們的空間想象力，提高他們解決立體幾何問題的能力。立方體在高考題中立方體是高中課本里空間圖形中的最基本、最常用、最重要的幾何體首先：其本身中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系包涵了空間圖形中的所有的位置關(guān)系.其次：它與代數(shù)（如：不等式、函數(shù)與數(shù)列、排列組合等）、三角、解析幾何有著密切聯(lián)系.因而是高考命題的熱點(diǎn).下面從數(shù)學(xué)思想方法方面探究其重要性.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想1.2004年天津卷（6）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F1111分別是CC1、AD的中點(diǎn).那么異面直線OE和凹所成的角。的余弦值等于.v10 45 4 2（A）5 （B）5 （c）5 （d）3分析：可建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)量積來求解，可得OE=（—1,1,1）,F?=（—1,0,2）有OE?Fq=(—1,1,1).(—1,0,2)=3又OE?FD^3f5cos°

<15即cos9=七.故選(B)注：立方體具有的直觀性特點(diǎn)從垂直聯(lián)想到運(yùn)用向量法求解(將形和數(shù)很好地結(jié)合起來)是個(gè)好方法.2003年全國(guó)卷(12)一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為v'2，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為( )(A)3兀 (B)4兀(C)3岳 (D)6兀分析：本題中沒有立方體，可充分挖掘是正四面體特點(diǎn)補(bǔ)形成立方體.如圖，將正四面體ABCD補(bǔ)成立方體，則正四面體、立方體的中心與其外接球的球心共一點(diǎn).因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為,所以正方體棱長(zhǎng)為1,從而外接球半徑日=亍，得S『3兀.故選(A).2球注：“補(bǔ)形割體”構(gòu)造模型，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃螢槭煜さ哪Ｐ蛷亩芊奖愕剡M(jìn)行計(jì)算使問題得到順利的解決是處理空間圖形中慣用的手段.體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想2003年全國(guó)(理)(16).下列5個(gè)正方體圖形中，l是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l±面MNP的圖形的序號(hào)是 (寫出所有符合要求的圖形序號(hào))MM③ ④ ⑤分析：易知①是合要求的，由于五個(gè)圖形中的l在同一位置，只要觀察圖②③④⑤中的平面MNP哪一個(gè)和①中的平面MNP平行(轉(zhuǎn)化為面面平行)即可.故為：①④⑤注：本題中選①中平面MNP作為“參照系”，可清淅解題思路，明確解題目標(biāo).4.2004年北京卷(4)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D］中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是直線圓雙曲線拋物線分析：易知P到直線C1D1的距離為：\PCJ.由C1是定點(diǎn),BC是定直線.條件即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C1的距離等于到定直線BC線的定義，化歸為拋物線問題.故選(D)注：立幾中的解幾問題是近年來才露臉的題型,要求熟練掌握立體幾

和解析幾何所有知識(shí)內(nèi)容，更要有跳躍的思維，較強(qiáng)的轉(zhuǎn)換能力.體現(xiàn)分類討論思想5.2000年全國(guó)卷(16)如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCRB］的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是 。(要求：把可能的圖的序號(hào)都填上)分析：因正方體是由三對(duì)平行面所組成，所以只要將四邊形BFD1E在三個(gè)方向上作投影即可，因而可分為三類情況討論.⑴在面ABCD上作投影可得②(平行四邊形).⑵在面ADD1A1上作投影可得③(線段).⑶在面ABB1A1上作投影可得②(平行四邊形).故可填為：②③注：截面、射影的問題是空間圖形和平面問題間變換的一種重要題型,象本題一樣的定性分析題一定要抓住圖形的特性(平行、垂直等)進(jìn)行分析.6.2004年湖南卷(10)從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為(A)56 (B)52 (C)48 (D)40分析：可將合條件的直角三角形分為兩類：第一類：三個(gè)頂點(diǎn)在正方體的同一個(gè)面上時(shí)有：6C3=24個(gè).第二類：三個(gè)頂點(diǎn)在正方體的相對(duì)的兩個(gè)面上時(shí)，直角三角形所在的平面一定是正方體的對(duì)角面，因而有：6x4=24個(gè).故共有：24+24=48個(gè).從而選(C)注：以幾何體為載體考查排列與組合的有關(guān)問題是高考的傳統(tǒng)題型，要做到不重復(fù)不遺漏地分類并且注意幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去求解.體現(xiàn)函數(shù)與方程思想7.2002全國(guó)卷(18)如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a(0<a〈厄).求MN的長(zhǎng)；當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最??；分析：將圖形補(bǔ)成為正方體(如圖)運(yùn)用函數(shù)思想求解.(1)作MKXAB于K，連KN.由面ABCD±WABEF得MK±KN,從而|MN|=；MK2+KN2 ①

得KN〃AF.BKCMBN得KN〃AF.TOC\o"1-5"\h\z又由= =KAMANF2 2從而|K^|=|BK|=%-|BN|七a......②MK=*AMI=*(克-a)......③1.=、1 : =―-將②③代入①有l(wèi)MNl=;(%2-a)2+—a2=(a2-^2。+1為所求.⑵運(yùn)用函數(shù)配方法，由（I）知|MN|="2-42a+1.（0<a<、F2）.2 1配方有MN\=、；(a-—-)2+2 2即當(dāng)a=時(shí)，MN|取最小值=.注：對(duì)空間圖形中含有一些“動(dòng)態(tài)”因素（象距離、角度等）的問題，可考慮能否把這一動(dòng)源作為自變量，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，用函數(shù)的思想來處理.8.2004年湖北（18）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).試確定點(diǎn)F的Y使得D1E±平面AB1F.Y分析：以A為坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所未的空間直角坐標(biāo)系.運(yùn)用方程思想（借助向量的數(shù)量積）求解.設(shè)DF=X，則A（0，0，0），B1（1，0，1）,△1c）D1（0，1，1），E1,,0，F(xiàn)（x，1，0）k2）:,De=",-1,-1］，af=（x,1,0）.1k2 ）(1 ) 11,--2,-1.(x,1,0)=0。x—2=0(1 ) 11,--2,-1.(x,1,0)=0。x—2=01既X=^.故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E±平面AB1F.在近幾年的高考試題中,立方體不僅包涵了所有的數(shù)學(xué)思想方法，密切了與中學(xué)數(shù)學(xué)中其它內(nèi)容的聯(lián)系,更體現(xiàn)著從靜到動(dòng)，從單一到多方面，從立方體本身應(yīng)用問題到利用立方體去解決問題的發(fā)展變化.仔細(xì)研究這些變化對(duì)學(xué)好空間幾何無疑是有裨益的.幾點(diǎn)思考：加強(qiáng)對(duì)立方體的研究，對(duì)空間圖形的研究以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，數(shù)形轉(zhuǎn)換能力與邏輯思維能力.⑴對(duì)立方體本身的研究：如：立方體的內(nèi)切球,外接球，球與立方體的棱相切等；立方體與正四面體的聯(lián)系;以正方體各面的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可構(gòu)成正八面體等.⑵對(duì)空間圖形問題中解題方法的研究：以立方體為載