二重積分部分練習題

二重積分部分練習題作者：日期:

題目部分，（卷面共有100題,405.0分，各大題標有題量和總分）一、選擇（16小題，共53.0分）（2分）［1］（3分）［2］二重積分JJxydxdy（其中D：0WyWx2,OWxWl）的值為1(a)61(C)21（d）4()(3分)[3]若區(qū)域D為0WyWx2,lx|W2,則(A)0;32(A)0;32(B)可645(D)256）（3分）［4］設D］是由ox軸,oy軸及直線x+y=l所圈成的有界閉域,，是區(qū)域D：Ixl+lyIW1上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分f(x2,yf(x2,y2)dxdy二DJJf(x2,y2)dxdyD(A)2(B)4(C)81(D)2答((3分)[5]設fx,y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積分J0dxJ1+x2f(x,y)dyTOC\o"1-5"\h\z-1x+1'y2-11-1(A)J1dyJy-1f'y2-11-10-1(B)J1dyJy-1f(x,y)dx0-1J1dyJy-1f(x,y)dx+「2dyJ」y2-1f(x,y)dx0-11-1J2dy卜y2-1f(x,y)dx0-1（3（3分）［6］設函數(shù)f（X,y）在區(qū)域D：y2W-xJJf（X,y）dxdy可化累次積分為D答（）,y三x2上連續(xù)，則二重積分(A)JodxJ匚f(x,y)dyTOC\o"1-5"\h\z-1v-x(C)J1dyJ-匚f(x,y)dx0-Uy

(B)f0dxJx2_f(x,y)dy-1—J(D)J1dyJ廠f(x,y)dx0、；y答答答答DDDD(3分)[7]設彳(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則二次積分f1dyJ：3?f(x,y)dx可交換積分次序為02y2(A)f1dxf2xf(x,y)dy+f3dxf3一x2f(x,y)dy0010(B)f2dxf2xf(x,y)dy+f2dxf1f(x,y)dy+f2dxf3一x2f(x,y)dy0010‘202(C)f1dxf]一x2f(x,y)dy0，2xf：d6?3f(rcos6,rsin6)rd2cos6sin2(D)0答((3分))[8]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則積分f1dxfx2f(x,y)dy+f2dxf2一xf(x,y)dy0010可交換積分次序為f1dyfyf(x,y)dx+f2dyf2一yf(x,y)dx0010f1dyfx2f(x,y)dx+f2dyf00(C)f1dyf2Zyf(x,y)dx0T(D)f1dyf2-xf(x,y)dx0x22一xf(x,y)dx0()(4分)[9]若區(qū)域D為(x-1)2+y2W1,則二重積分fff(x,y)dxdy化成累次積分為(A)ndef2cos6F(r,6)dr00(C)f2def2cos6F(r,6)dr一九02其中F(r,9)=f(rcos9,rsin9)r.(B)ndef2cos0F(r,6)dr一兀0(D)2『2def2cos6F(r,0)dr00答()(3分)[10]若區(qū)域D為x2+y2W2x，則二重積分ff(x+y)(x2+y2dxdy化成累次積分為(A)f2dof|cos0(cos0+sin0)J2rcos0rdr一工02(B)fK(cos0+sin0)d0f|cos0r3dr002『2(cos0+sin0)d0『|cos0r3drTOC\o"1-5"\h\z00if2(cos0+sin0)d0f|cos0r3dr嚴02答()(4分)[11]設I=ff[ln(x+y)]7dxdy,I=ff(x+y)7dxdy,I二ffsin7(x+y)dxdy其中D是123DDD1由x=0,y=0,x+y=|,x+y=1所圍成的區(qū)域，則I1，I2,I3的大小順序是(B)I3<I2<I1(B)I3<I2<I1；(D)I3<Ix<I2.(C)I1<I3<Ii；dxdy(5分)[12]設I=ff1.Lly<11+dxdy(5分)[12]設I=ff1.Lly<11+COSIx+Sinly，則I滿足lx(A)|<I<2(B)2<I<3(D)T<I<011（4分）［13］設x+y=|其中D是由直線x=0,y=0,及x+y=1所圍成的區(qū)域，則i1,i2,13的大小順序為（A）Is<I（C）2<I1；Ifg(B)1i<I2<I3；(D)I3<I1<I|.答（）（3分）［14］設有界閉域D］與d2關于Oy軸對稱，且D］nD2=0j（x,y）是定義在D1UD2上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分(A)2fff(x2,y)dxdyDi(C)4fff(x2,y)dxdyfff(x2,y)dxdy二(B)4fff(x2,y)dxdyDi(D)|fff(x2,y)dxdy(3分)[15]若區(qū)域D為lxlW1,lylWl，則JJxec°s(xy)sin(xy)dxdy=D

(B)e」；(A)e;(C)0;答()(A)e;(C)0;答()(4分)[16]設D：x2+y2Wa2(a>0),當a=(A)1時，JJJa2一x2一y2dxdy=兀.D(B)321TOC\o"1-5"\h\z(D)2答（）二、填空（6小題，共21.0分）（4分）［1］設函數(shù)f（x,y）在有界閉區(qū)域D上有界，把D任意分成n個小區(qū)域A。^=1,2,…,n）,在每一個小區(qū)域|任意選取一點（J,ni）,如果極限1lim￡/（g，耳）山（其中入是A0（i=1,2，…,n）的最大直徑）存在，則稱此極匚0°°°I=1限值為.的二重積分。限值為.（（4分）［2］若D是以（0,0）,（1,0）及（0,1）為頂點的三角形區(qū)域，由二重積分的幾何意義知JJ（1-x-y）=.D(3分)[3]設D:0<y<a2+x2,0<x<0,由二重積分的幾何意義知fKya2-x2-y2dxdy=.D(3分)[4]設D：x2+y2W4,y三0,則二重積分JJsin(x3y2)db=。(4分)[5設區(qū)域D是X2+y2W1與X2+y2W2x的公共部分，試寫出f(X,y)dxdy在極坐標D系下先對r積分的累次積分_J-3doJ2cos0F(r,0)dr+J-：doJ1F(r,0)dr+J^2doJ2cos0F(r,0)dr_.TOC\o"1-5"\h\z-兀0-兀0工0233(3分)[6]設D:0WxW1,0WyW2(l—x),由二重積分的幾何意義知ff(y)JJ1一xdxdy\2丿DDD三、計算(78小題，共331.0分)(3分)[1]設fx,y)為連續(xù)函數(shù),交換二次積分J2dyJyf(x,y)dx的積分次序。(3分)[2]設的積分次序。(3分)[2]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù),交換二次積分J2dxj2xf(x,y)dy0x的積分次序。(3分)[3]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分卜dyJ0一f(x,y)dx+J0dyJ0—f(x,y)dx-22+y-1-y的積分次序。(3分)[4]設f(x,y)為連續(xù)函數(shù),交換二次積分J1dxJ1f(x,y)dx+JedxJ1f(x,y)dy01-x21Inx的積分次序。(4分)[5]計算二重積分JJ(x-y2)dxdyD其中D：OWyWsinx,0WxWn.(3分)[6]計算二重積分JJxydxdyD其中D是由曲線y=x2,直線y=0,x=2所圍成區(qū)域。(3分)⑺計算二重積分JJxydxdyD其中D為由y=x,y=2x,x=4所圍成的區(qū)域。(3分)[8]計算二重積分JJxydxdyD_其中D：xWyW打x,1WxW2.(3分)[9]計算二重積分JJcos(x+y)dxdyD其中D是由直線x=0,y=n和y=x圍成的區(qū)域。(4分)[10]計算二重積分JJ(x2+y2—y)dxdyD其中D是由直線『=工，y=x+l,y=l及y=3所圍成的區(qū)域。(3分)[11]計算二重積分JJxcos(2xy)dxdy

兀其中D:0<x<,-1<y<14（3分）［12］計算二重積分JJ（x+y）dxdyD其中D為由y=x,X=0,y=1所圍成的區(qū)域。（3分）［13］計算二重積分JJ（x+6y）dxdyD其中D是由直線y=x,y=5x及x=1所圍成的區(qū)域。（3分）［14］計算二重積分JJxydxdyD其中d是由雙曲線y=，直線y=x及x=2所圍成的區(qū)域。x（3分）［15］計算二重積分yJJdxdyxD其中D是由直線y=2x,y=x,x=2及x=4所圍成的區(qū)域。（3分）［16］計算二重積分JJ|y|dxdyD其中D:lxl+lylW1.（3分）［17］計算二重積分JJ|xydbD其中D:|X|+|y|W1.（4分）［18］計算二重積分JJxy2dxdy其中D:丄<y<x,1<x<2x（（4分）［19］計算二重積分JJ（x2+y2）dxdyD其中D是由直線y=x,y=x+a,y=a及y=3a（a>0）所圍成的區(qū)域。（4分）［20］計算二次積分J3dxJ3-x（2x+y）dy00（4分）［21］計算二重積分JJxydxdyD其中D是由y=x,xy=1,x=3所圍成的區(qū)域。

（4分）［22］計算二重積分JJ（x2+y2—x）dxdyD其中D是由y=2,y=x,y=2x所圍成的區(qū)域。（+分）［23］計算二重積分JJ（x—1）ydxdyD其中D是由曲線x=1+啟,y=l—x及y=1所圍成的區(qū)域。1JJdxdy1+x4D1JJdxdy1+x4D其中D是由y=(x,y=0,x=1所圍成的區(qū)域。5］計算二重積分JJxy2dxdyD其中D為與x=0所圍成的區(qū)域。（（4分）［26］計算二重積分JJxdxdyD其中D是由拋物線y=*x2及直線y=x+4所圍成的區(qū)域。\4分）⑵］計算二重積分JJex+ydxdyD其中D為由y=x,y=0,x=1所圍成的區(qū)域。（4分）［28］計算二重積分JJ—dxdyy2D其中D是由曲線xy=1,y=x2與直線x=2所圍成的區(qū)域。（（5分）［29］計算二重積分JJ4y2sin（xy）dxdyD其中D其中D是由x=0,y=,y=x所圍成的區(qū)域。（存分）［30］計算二重積分JJ（x—y2）dxdyD其中D:0WyWsinx,「|?:顯.（5分）［31］計算二重積分

JJx2ycos（xy2）dxdyD其中D：w「:,0WyW2.（4分）［32］計算二重積分JJxJydxdyD其中d是由拋物線y二jx及y=X2所圍成的區(qū)域。（（4分）［33］計算二重積分JJ|y|dxdyD（4分）[34]計算二重積分JJxdxdyD其中D:2—x<y<1+\''l—x2,0<x<1（（5分）［35］計算二重積分JJr2drd0D兀其中D:acos0<r<a,0<0<—（a>0）（4分）［36］利用極坐標計算二次積分J2dxJ"4-x2Jx2+y2dy—20*分）［37］利用極坐標計算二重積分JJarctg于dxdyxD其中D：1Wx2+y2W4,y±0,yWx.（4分）［38］利用極坐標計算二重積分JJarctg-^dxdyxD其中D:a2Wx2+y2WI,x三0,y三0,a>0,x=0處廣義。（5分）［39］試求函數(shù)f（x,y）=2x+y在由坐標軸與直線x+y=3所圍成三角形內的平均值。（6分）［40］試求函數(shù)f（x,y）=x+6y在由直線y=x,y=5x和x=l所圍成三角形內的平均值。（4分）［41］由二重積分的幾何意義，求—x2—y2+1）dxdyx2+y2<1（4分）［42］計算二重積分

JJxdxdyD其中D：x2+y2<2及x±y2.原式=J1dyJ2-y2xdx-1y2=J1（2-y2-y4）dy0_22—15（3分）［43］計算二重積分JJex2dxdyD其中D是第一象限中由y=x和y=x3所圍成的區(qū)域。_J1ex2dxJxdy-0x3J1（xex2一x3ex2）dx0_1e-12（4分）［44］計算二重積分JJxdxdyD'4y-y22y-y2其中D：x2+（y-1）2三1K2+（y-2）2W4,yW2,x三0.=J2'4y-y22y-y20、'2y-y2=J2ydy0=2（5分）［45］計算二重積分JJxy2dxdyD其中D:x2+y2W5,x—1三y2.二重積分JJxydxdyD其中D是由（二重積分JJxydxdyD其中D是由（x—2）2+y2=1的上半圓和x軸所圍成的區(qū)域。DD=f3xdx,4x■23ydy0x（4x-x2-3）dx（4分）［47］計算二重積分ffxp'y2-x2dxdy其中D是由直線x=0,y=1及y=x所圍成的區(qū)域。￡3分）［48］計算二重積分JJx3y2dxdyD其中D：X2+y2WR2.（5分）［49］計算二重積分ffdxdyx2+y2D其中區(qū)域D=（4分）［50］計算二重積分ff—dxdyy2D（4分）［51］JJ|xpxdy其中D是由直線（4分）［51］JJ|xpxdyD（5分）［52JJ|xpxdy其中D：x2+y（5分）［52JJ|xpxdy］計算二重積分其中D：（5分）［53］計算二重積分ff4-x2-y2dxdy

其中D為由y=0,x=1,y=2x圍成的區(qū)域。（吝分）［54］計算二重積分JJyexydxdyD其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所圍成的區(qū)域。（（5分）［55］計算二重積分JJxy2dxdyD其中D是由拋物線y2=2px和直線x=p（p>0）所圍成的區(qū)域。(6分)[56]計算二重積分JJ(x2+y)dxdyDD是由拋物線y=X2和y2=x所圍成的區(qū)域。（6分）［57］計算二重積分xJJeydxdyD其中D是由拋物線y=J.<（x21）和直線y=x,y=2所圍成的區(qū)域。（5分）［58］計算二重積分J!xy-y2dxdyD其中D是以0（0,0）,A（10,1）和B（1,1）為頂點的三角形區(qū)域。（5分）［59］計算二重積分JJ（12x2+16x3y3）dxdyD其中D是由x=l,y=x3,y=-十所圍成的區(qū)域。（8分）［60］計算二重積分JJx2-y2dxdyD其中D是以0（0,0）A（1,-1）和B（1,1）為頂點的三角形區(qū)域。（3分）［61］計算二重積分Us^nidxdyxD其中D是由y=x,y=0,x=1所圍成的區(qū)域。（4分）［62］計算二重積分U沁dxdyxD其中D是由y=x2,y=0,x=1所圍成的區(qū)域。（5分）［63］計算二重積分J!ln(1+x2+y2)dxdyD其中D：x2+y2W4,x±0,y三0.(5分)[64]計算二重積分JJx2+y2dxdyD其中D：x2+y2三2x,x2+y2W4x.(5分)[65]計算二重積分[[尼+y2dxdyD其中D:x2+y2<2x.（4分）［66］利利用極坐標計算二重積分JJsin（x2+y2）dxdyD其中D：n2Wx2+y2W4n2(4分)[67]計算二重積分JJJ1-x2一y2dxdyD其中D:x2+y2W1,x±0,y三0.重積分(7分)[68]設區(qū)域D：x2+y2Wa2(a>0)，計算重積分JJf(x,y)dxdy其中/(x,y)D當x>0,y>0其它點（4分）［69］利極坐標計算二重積分ydxdyD其中D：x2+y2<a2,x±0,y三0.（a>0）（3分）［70］利用極坐標計算二重積分JJ(x2+y2)-dxdyD其中D：lWx2+y2W8.(3分)[71]計算二重積分JJ(4-x2-y2)dxdy其中D:x2+y2W4.（5分）［72］計算二重積分JJxydxdyD其中D：x2+y2±l,X2+y2W2x,y三0.

（5分）［73］計算二重積分xye-x2-y2d0，其中區(qū)域D為x2+y2Wl在第一象限部分。（5分）［74］將二重積分f（x,y）d9化為在極坐標系中先對r積分的累次積分，其中D:0WxW,OWyWl.（纟分）［75］利用極坐標計算二重積分JJxdxdyD其中D:X2+y2<2x,x2+y2^x.（5分）［76］計算二重積分其中D:yWxW\：16—y2,OWyW2、；2,y±0.（6分）［77］計算二重積分JJln（l+x2+y2）dxdyD其中D：x2+y2WR2（R>O）,x±O,y三O.（5分）［78］利用極坐標計算二重積分JJsin.'x2+y2dxdyD其中D：1Wx2+y2W4,x±0,y三0.—答^案———答案部分，（卷面共有100題，405.0分，各大題標有題量和總分）一、選擇（16小題，共53.0分）（2分）［1］［答案］B.（3分）［2］［答案］B.（3分）［3］［答案］A.（3分）［4］［答案］（B）.（3分）［5］［答案］（C）.（3分）⑹［答案］C.（3分）［7］［答案］B.（3分）［8］［答案］C（4分）［9］［答案］C.

（3分）［10］:答案］之D.（4分）［11］［答案］C.（5分）［12］［答案］A.（4分）［13］［答案］B.（3分）［14］［答案］（A）.（3分）［15］［答案］C.（4分）［16］［答案］B.二、填空（6小題，共21.0分）（4分）［1］［答案］函數(shù)f（x,y）在D上（4分）［2］［答案］16（3分）［3］［答案］1na36(3分)[4][答案]0.(4分)[5][答案]i己F(r,0)=f(rcos。，rsin。)r,「3dof2cos0F(r,0)dr+「:dof1F(r,0)dr+J2dof—兀02(3分)[6][答案]13、計算（78小題，共331.0分）2cos0兀03F(r,0)dr(3分)[1][答案]原式=f1dxf2xf(x,y)dy+f2dxf2f(x,y)dyTOC\o"1-5"\h\z0x1x(3分)[2][答案]原式=f2dyfyf(x,y)dx+f4dyf2f(x,y)dx02y21(3分)[3][答案]原式=f0dxf~xf(x,y)dy-1x2-2=-=-2（3分）［4］［答案］TOC\o"1-5"\h\z原式=f1dyJeLf（x,y）dx0、‘1-y（4分）⑸［答案］原式=卜dxfsinx（x-y2）dyJ00冗dx（xsinx一：sin3x）4=兀一一9（3分）［6］［答案］原式=f2xdxfx2ydy00=if2x5dx20=16=T（3分）［7］［答案］原式=f4dxf2\:'xydy0x=f43x2^xdx02=384（3分）［8］［答案］原式=f2xdxf3ydy1x2x3dx1=334（3分）［9］［答案］原式=卜dxj"cos（x+y）dyJ0x兀（sin（x+兀）-sin2x）dx0（4分）】10］［答案］原式

=J3"Jy(x2+y2一y)dx1Y-1--(0-1)3)+02-0do=13[2Y2-2Y+11DYiI3丿=10(3分)[11][答案]原式J4DxJ1xcos2xydY0-1工.=J4sin2xdxo=1=2(3分)[12][答案]原式=J1Dy?Jx(x+Y)dxn(n(2Y2-1Y2)Dy0o211=02=J12(x+Y)20dy=021=—032或解原式=J1dxJ1(x+o)do0x=J1(+x-x2)dx022=1=2(3分)[13]:答案]原式J1dxJ5x(x+6o)do0x=J176x2dx0=2513(3分)[14][答案]原式__24=f2xdxjxydy#i丄x=-!-f2x(x2)dx1x2=15-1ln282（3分）［15］［答案］原式=f4丄dxf2xydy2xx=fxdx22=9(3分)[16][答案]原式=4f1dxf1-xydy=2f1(1-x2)dx0=2=3(3分)[17][答案]原式=4f1xdxf1-xydy占0=2J1x(1-x)2dx0=1=6（4分）［18］［答案］原式f2xdxfxy2dy11x=If2(x4-—)dx1x2=1210（4分）［19］［答案］原式f3adyfy(x2+y2)dxay-aTOC\o"1-5"\h\z_卜(2ay2-a2y+1