正弦定理教案全試卷教案

1.1. 1正弦定理教學(xué)要求:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦龍理的內(nèi)容及英證明方法;會運用正弦泄理與三角形內(nèi)角和泄理解斜三角形的兩類基本問題.教學(xué)重點：正弦左理的探索和證明及其基本應(yīng)用.教學(xué)過程：一. 復(fù)習(xí)引入：1.在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系?是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確呈化？A4BC中，角A、B、Cubc,你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？結(jié)論★:。二、講授新課：探究一:在直專三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？直角三角形中的正弦泄理：sinj=3sing?sinCl即&厶=丄=-1_.c c sinAsinBsinC探究二:能否推廣到斜三角形？ （先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）ABC是銳角三角形時，設(shè)邊朋上的髙是⑦根據(jù)三角函數(shù)的定義，有CD=asinB=bsinA,則=a_b_csinAsinBsinC

同理,厶= （思考如何作髙？），從而sinAsinB sinAsinC探究三:你能用其他方法證明嗎？證明一：（等積法）AM。當(dāng)中S^ASC

=—absinC=-acsinB=-besinA?222兩邊同除以［a%即得：」一=丄二丄.2 sinAsinBsinC D證明二：（外接圓法）如圖所示，ZJ=ZD,:.—sinAsinD

「=CD=2R,I） c同理二2丘=2RsinB sinC?證明三：（向疑法）過^三角形中，乞邊和它所對角的正弦的比相等，即—=—^―=2Rsin月sin尸sinC［理解定理］1公式的變形：(l)a=27?sinA.b=27?sinBc=27?siiiC(2)sinA=上-,sinB=-^-,sinC=-^―2R2R2R:b:c=sinA:sinB:sinC

(4)—-—=——.—-—=—-—?—-—=—-—sinAsinBsinAsinCsinCsinB2.正弦左理的基本作用為:1①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如"竺啤;smn②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinJ=^sin5ob一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.3?利用正弦泄理解三角形使，經(jīng)常用到：①A+B+C=兀②sin(A+B)=sinC,cos(A4-B)=sinC③三.AABC中,c=10M=45°,C=30\求&上和B.

仇=gdbsinC教學(xué)例題：一例1已分析已知條件一討論如何利用邊角關(guān)系一示范格式一小結(jié)：已知兩角一邊解:Vc=lOM=45o,C=3OoAB=180°-(A+C)=III亠=亠得sinAsinC

csinA_10xsin45° =10sinCsin30°由=得x竺咚」gsm嚴(yán)?=20Sin75。=5石+5運sin3sinC sinCsin30°評述：此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角和兩角所夾的邊，也是先利用內(nèi)角和180°求出第三角，再利用正弦定理.例2AABC中，c=、/&A=45°衛(wèi)=2,求b5Cuc.°csinAV6xsin45°解:■?-云=s，nC==―廠―0°<C<180o,/.C=600或120°.?.當(dāng)一60。時，3=75。"=皿=后血7子=侖+],sinCsin60°.?.當(dāng)—120。時，"15。"旦二獨孚=巧-sinCsin60°.-./?=V3+1,B=75°,C=60°s￡/?=V3-1,B=15°,C=120°練習(xí)：P4——1.2題3AABC中，b=*B=Wc=X求dC7解：???

b c._csinBsmC=

1xsiii60°sinB sinC-b???〃>c,B=60°,???C<B,C為銳角,/.C=30°,B=90<)/.a=yjb+c2=2【變式】AABC中，"=71,人=135°上=侖,求3四.小結(jié)：五.課后作業(yè)1在△￡00中，-^—=-^—=-^—=k,貝1打為（2A）sinAsinBsiiiCA2/?B/（C4/a）l/?（j?、人'ABC外接圓半徑）24/Q2在AABCB=45°,c=2,b=,A的值是A. B. C.1056 D.或3、在厶ABC中，若力=30°,B=60°,則“：：c=1： ：24、在AABC中，若B=60°,b=7、/6,“=14,則A=。5、在NABC中，AB=6,A=30°,B=120°,則三角形ABC的面積為9餡5、在AABCa=d,"=“,B=45°,31-L1正弦定理學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：預(yù)習(xí)自測正弦定理的數(shù)學(xué)表達式一般地，把三角形的三個角A,B.C和它們的對邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾元素求其他元素的過程叫做 一利用正弦泄理可以解決兩類三角形的問題(1)(2)問題引入：化?2、在AABCA、B、C的正弦對邊分別是d,b,c,你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？結(jié)論★:。二合作探究：1、探究一:在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？2、探究二:能否推廣到斜三角形？(先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形)3、探究三:你能用其他方法證明嗎？4、正弦立理的變形：5、正弦左理的應(yīng)用(能解決哪類問題):三例題講解1AABC中，c=10M=45°,C=30\求&B4PAGEPAGE6例2AABC中，c=、E,A=45°,a=2,求b5C例3SABC中，Z?=V3,B=60(),c=l求GC【變式】AABC中，“=>/1,人=135°0=苗,求3思考：通過上而的問題，你對使用正弦立理有什么想法？四課堂練習(xí):必修5課本P4T1、2五課后作業(yè)：1在厶ABC中，—=—=-^—=^,貝*為（sinAsinBsinCA2皿屁IQ丄/?（R'ABC外接圓半徑）22'ABC中，sinS二sin步+sin’GABC為（A直角三角形B等腰直角三角形C等邊三角形

））D等腰三角形3在AABCB=45°,c=2b=,A的值是B. C.10亍 D?或4、在A4BC中，若B=60°,b=J\i6.a=14,貝ijA=。5、在A4BCa=hb=2B=45=解三角形。六心得反思

2解三角形的進一步討論教學(xué)目標(biāo)掌握在已知三角形的兩邊及英中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形;三角形各種類型的判迄方法。教學(xué)重點在已知三角形的兩邊及英中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法。教學(xué)過程課題導(dǎo)入［創(chuàng)設(shè)情景］思考：在ABC中，己知a=22cm,b=25c/n,/I=133°,解三角形。(由學(xué)生閱讀課本第9頁解答過程)從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下而進一步來研究這種情形下解三角形的問題。講授新課［探索研究］探究一.在ABC中，已知a,b,A,討論三角形解的情況分析：先由=互空可進一步求岀B;a則C—180°-(^4-5) ,從而c=

W-sinA當(dāng)Aa>b才能有且只有一解；否則無解。當(dāng)A為銳角時，如果鼻，那么只有一解；如果avb,那么可以分下而三種情況來討論：a>bsinA?則有兩解：(2)a=bsinA,(3)a<bsinA?則無解。(以上解答過程詳見課本第910頁)評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且bsinA<a<b^,有兩解：其它情況時則只有一解或無解。探究二你能畫出圖來表示上而各種情形下的三角形的解嗎？AA為鈍角A為銳角或直角、八C圖形4幾...*A“』B￡關(guān)系式ia—bsinAa^b解的個數(shù)一解兩解一解一解PAGEPAGE13三例題講解1?根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1) a=20.b=28,A=120°?無解(2) 20,A=45°;一解(3)c=540=39,(7=115°;一解(4) b=llM=2O9ff=3O°灑解[隨堂練習(xí)1]⑴在ABC中，已知*80,6=100,厶=45°,試判斷此三角形的解的情況。⑵在ABC中，若a=l，c=|,ZC=40°,則符合題意的b的值有 個。(3) 在ABC中，a=xczo,b=2cm、Z5=45°,x值范圍。(答案：⑴有兩解；(2)0(3)2<x<2運)2.在A4BC中，已知」一=—^-_44BCcosAcosBcosC解：令一?=匕由正弦左理，得a=ksinAJ}=ksinB.c=ksinC?代入已知條件，得sinA聖口=竺色=聖KptanA=tanB=tanC?又,，e(0,^),所以A=B=C,從而cosAcosBcosCAABC為正三角形.說明:(1)等？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角?有無鈍角？(2)此類問題常用正弦左理(或?qū)W(xué)習(xí)的余弦左理)進行代換、轉(zhuǎn)化、化簡、運算，揭示出邊與2]△磁中,sin2A=sin2B+sin2C(A)扎直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形已知ABCacosA=bcosB,判斷ABC答案：ABC是等腰或直角三角形課時小結(jié)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；課后作業(yè)1?根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況⑴、a=14,￡>=16,A=45°(2)>a=12,c=15,A=120°(3) 、67=8,^?=16,A=30(4)、乃=1&c=20,B=602在AABC中，8=150=104=60°,貝IJ二2V2 B

-fDf已知/b,c分別是AABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若＜/=1,b=,sinC二(1)c=10,A=45°,C=30°,(1)c=10,A=45°,C=30°,求邊仇上.(2)4=30°,B=120°"=12,求邊“,c.(3)6/=16,Z?=16笛,4=30°,求角B,C和邊u.(4)/7=13,“=26,B=30°，解這個三角形。(5)b=40,c=20,0=45°,解這個三角形(6)c=1,bA/3, B60aACo六心得反思

A+C=2〃，則1.1-2解三角形的進一步討論學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時對解個數(shù)的討論；2.三角形各種形狀的判斷方法；【學(xué)習(xí)重難點】1.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時對解個數(shù)的討論;三角形各種形狀的判斷方法。一、情景問題：9我們在解三角形時可以會岀現(xiàn)一些我們預(yù)想不到的結(jié)果，現(xiàn)在請大家思考下而問題在MBC中，已知a=22cmJ)=25cm,A=\33° 解三角形。9二、探索研究：探究一?在ABC中，已知討論三角形解的情況結(jié)論:探究二你能畫出圖來表示上而各種情形下的三角形的解嗎?三例題講解1?根據(jù)下列條件,判斷解三角形的情況(1)a=20,^=284=120°?無解(2)a=28^=20,A=45°;一解(3) c=54,6=39,C=115°:一解(4) b=11皿=20,〃=30:兩[變式練習(xí)1]在ABC中.已知a=80,b=100,厶=45°,試判斷此三角形的解的情況。在ABC中，若a=l，c=i,ZC=40°,則符合題意的b的值有 個。在ABC中，a=xcm,b=2cm,Z5=45°,x用。2MBC中，已知-^―=—=