第五節(jié)第二類(lèi)曲面積分公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素投影二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分概念與性質(zhì)

三、對(duì)坐標(biāo)曲面積分計(jì)算法四、兩類(lèi)曲面積分聯(lián)絡(luò)第二類(lèi)（對(duì)坐標(biāo)）曲面積分第十一章一、有向曲面及曲面元素投影?曲面分類(lèi)雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面經(jīng)典)（1）若曲面方程為z=z(x,y)，則將曲面分為上、下兩側(cè)。此時(shí)曲面上任意一點(diǎn)處法向量為其中，朝上，代表曲面上側(cè)，朝下，代表曲面下側(cè)。（2）若曲面方程為y=y(x,z)，則將曲面分為左、右兩側(cè)。此時(shí)曲面上任意一點(diǎn)處法向量為其中，朝右，代表曲面右側(cè)，朝左，代表曲面左側(cè)。（3）若曲面方程為x=x(y,z)，則將曲面分為前、后兩側(cè)。此時(shí)曲面上任意一點(diǎn)處法向量為其中，朝前，代表曲面前側(cè)，朝后，代表曲面后側(cè)。（4）若曲面為封閉曲面，方程為F(x,y,z)=0，則將曲面分為內(nèi)、外兩側(cè)。此時(shí)曲面上任意一點(diǎn)處法向量為其中，一個(gè)朝內(nèi)，代表曲面內(nèi)側(cè)，一個(gè)朝外，代表曲面外側(cè)。小結(jié)：（1）曲面方程形式?jīng)Q定了曲面?zhèn)认騽澐?；?）曲面?zhèn)认蜻x定可經(jīng)過(guò)法向量指向來(lái)確定。這種經(jīng)過(guò)法向量指向來(lái)選定了側(cè)曲面叫做有向曲面比如：考慮封閉球面：則應(yīng)將分為內(nèi)、外兩側(cè)，取則代表外側(cè)，代表內(nèi)側(cè)。深入，若將分為上下兩半球面，則方程為:

而其中代表上半球面，代表下半球面，此時(shí)，均應(yīng)分為上、下兩側(cè)若取外側(cè)，則應(yīng)取上側(cè)，應(yīng)取下側(cè)，若取內(nèi)側(cè)，則應(yīng)取下側(cè)，應(yīng)取上側(cè)，方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)要求有向曲面其方向使用方法向量指向表示:?有向曲面在坐標(biāo)面上投影方向余弦記為設(shè)是一個(gè)有向曲面，法向量方向與側(cè)向一致假設(shè)在S上，cos不變號(hào)則S在xoy面上投影要求為

類(lèi)似地，能夠定義S在

yoz和xoz面上投影。

（1）設(shè)方程為：（2）若方程為：（3）若方程為：有向曲面在坐標(biāo)面上投影注意：取上側(cè)投影取正二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面指定側(cè)流量.分析:若是面積為S平面,則流量單位法向量:

流速為常向量:

對(duì)普通有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則設(shè)

為光滑有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類(lèi)曲面積分.以下極限都存在向量場(chǎng)若對(duì)任

則稱(chēng)此極限為向量場(chǎng)A在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)曲面積2.定義稱(chēng)為P在有向曲面上對(duì)

y,z

曲面積分;稱(chēng)為Q在有向曲面上對(duì)

z,x曲面積分;稱(chēng)為R在有向曲面上對(duì)

x,

y

曲面積分.組合形式:單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)有向曲面流體流量為：物理意義:若記正側(cè)單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)曲面積分也常寫(xiě)成以下向量形式線(xiàn)性性質(zhì)、有限可加性等若用表示與取相反側(cè)向有向曲面，則3.性質(zhì)：與第二類(lèi)曲線(xiàn)積分性質(zhì)完全相同、比如強(qiáng)調(diào)：對(duì)坐標(biāo)曲面積分，要注意曲面所取側(cè)三、對(duì)坐標(biāo)曲面積分計(jì)算法定理:設(shè)光滑曲面取上側(cè),是上連續(xù)函數(shù),則證:∵取上側(cè),

?若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說(shuō)明:假如積分曲面取下側(cè),則注意:關(guān)鍵是曲面所取側(cè)決定積分符號(hào).思索:對(duì)稱(chēng)性和奇偶性對(duì)第二類(lèi)曲面積分影響？其中，取上側(cè)，積分取正，取下側(cè)，積分取負(fù)。計(jì)算步驟（1）將方程寫(xiě)成（2）將投影到xoy面上，得投影區(qū)域

（3）將z=z(x,y)代入被積函數(shù)，側(cè)分為上、下側(cè)將換為（4）依據(jù)側(cè)向確定二重積分符號(hào)。一投、二代、三定號(hào)例1.計(jì)算其中取外側(cè)解：考慮在xoy面上投影為0取下側(cè)所以取上側(cè)解：所以1.要保持與各在側(cè)向上一致性;依據(jù)輪換性注意：例1.計(jì)算其中取外側(cè)2.若曲面S垂直于yoz平面，則解:把分為上下兩部分依據(jù)對(duì)稱(chēng)性思索:下述解法是否正確:其中為球面例2.計(jì)算曲面積分例3.計(jì)算,其中取上側(cè)。解：為了計(jì)算（1）將方程表為前后兩部分取后側(cè)取前側(cè)（2）將投影到y(tǒng)oz面解：例3.計(jì)算解：考慮曲面積分在xoy面上投影區(qū)域?yàn)椋?）取上側(cè)，四、兩類(lèi)曲面積分聯(lián)絡(luò)而所以（2）取下側(cè)，則不論取上、下哪一側(cè)，都有是與側(cè)向一致法向量方向余弦，同理可得：另記：將三個(gè)不一樣對(duì)坐標(biāo)曲面積分轉(zhuǎn)化為同一個(gè)曲面積分假設(shè)方程為不論取上哪一側(cè)，總有

故分別代表上\下兩側(cè)，同理可得：若方程為則有若方程為則有假設(shè)方程為例4.

計(jì)算曲面積分其中解:∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分下側(cè).因?yàn)椋涸接蓪?duì)稱(chēng)性得例5.計(jì)算,其中取上側(cè)。解：內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類(lèi)曲面積分及其聯(lián)絡(luò)

性質(zhì):聯(lián)絡(luò):思索:方向相關(guān),上述聯(lián)絡(luò)公式是否矛盾?兩類(lèi)曲線(xiàn)積分定義一個(gè)與方向無(wú)關(guān),一個(gè)與2.慣用計(jì)算公式及方法面積分第一類(lèi)(對(duì)面積)第二類(lèi)(對(duì)坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不一樣時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類(lèi)：面積投影第二類(lèi)：有向投影(3)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面轉(zhuǎn)化當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類(lèi)似可考慮在yo