考試點2014考研數(shù)學概率統(tǒng)計輕松過關數(shù)三

第一 隨機事件和概率 第二 隨量及其分 第三 為隨量及其分布 第四 隨量的數(shù)字特 第五大數(shù)定律和中心極限定第六數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第七參數(shù)估計《概率統(tǒng)計》輕松過第三部 概率論與數(shù)理統(tǒng)第一 隨機事件和概隨機事件與樣本空間，事件的關系與運算，完備事件組，概率的概念，概率的基本性質古典型概率，幾何型概率，條件概率，概率的基本公式，事件的獨立性，獨立重復試驗．理 隨機事件的概念，概率，條件概率的概念，事件獨立性的概念，獨立重復試驗的概念掌握 事件的關系及運算，概率的基本性質，概率的加法公式，減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Ｂａｙｅｓ）公式，用事件獨立性進行概率計算，計算有關事件概率的方法了 樣本空間（基本事件空間）的概念 計算古典型概率和幾何型概率全概率公式及貝葉斯公式，概率及條件概率，古典型概率，概率的基本公式第一 樣本空間、事件的關系及運—、隨機試驗的概具有以下兩個特點的試驗稱之為隨機試驗（１）試驗的所有可能結果是已知的或是可以確定的（２）每次試驗將要發(fā)生什么樣的結果是事先無法預知的隨機試驗又依其可否在相同條件下重復進行分為：可重復試驗及不可重復試驗二、樣本空間和隨機事試驗所有可能結果的全體構成樣本空間；稱試驗的每一個可能結果為樣本點，樣本空間為全體樣本點的集合；隨機事件是對隨機試驗中出現(xiàn)的某些現(xiàn)象或某種情況的陳述；它可以用試驗的某些可能結果加以描述，因而是樣本空間的子集．往后也簡稱隨機事件為事件．三、事件的關隨機事件之間有如下四種關系（１）包含關 稱Ａ蘊含了Ｂ，如果Ａ發(fā)生必導致Ｂ發(fā)生，且記之為Ａ（２）相等關 稱Ａ與Ｂ相等，如果ＡＢ，ＢＡ同時成立，且記之為Ａ＝１考試點（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名師精品課 ：４００６８８５３６５（３）互斥關 稱Ａ與Ｂ互斥，如果Ａ，Ｂ不能在一次試驗中同時發(fā)生（４）互補關 稱Ａ與Ｂ互補，如果Ａ，Ｂ在一次試驗中必發(fā)生一個且只能發(fā)生一個四、事件的運隨機事件之間有如下三種運算（１）并的運 Ａ與Ｂ的并產(chǎn)生這樣一個事件，即Ａ，Ｂ至少發(fā)生一個，記之為（２）交的運 Ａ與Ｂ的交產(chǎn)生這樣一個事件，即Ａ，Ｂ同時發(fā)生，記之為Ｂ（３）差的運 Ａ與Ｂ的差產(chǎn)生這樣一個事件，即Ａ發(fā)生且Ｂ不發(fā)生，記之為Ａ－五、事件的運算交換律：Ａ∪＝Ｂ∪Ａ＝結合律：（Ｂ∪＝ＡＢＣ；（∩Ｂ∩＝ＡＢＣ分配律：（Ｂ∩＝（Ｃ∪ＢＣ；（∩Ｂ∪＝（∪Ｃ∩ＢＣ）對偶律：Ａ∪＝ＢＡ∩＝例１．１． （１）Ａ發(fā)生，Ｂ與Ｃ都不發(fā)生（２）Ａ，Ｂ，Ｃ中恰有兩個發(fā)生（３）Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一個發(fā)生（４）Ａ，Ｂ，Ｃ中至多有兩個發(fā)生（５）Ａ，Ｂ，Ｃ不都發(fā)生思路點撥利用事件的運算關系表示事件，關鍵是要正確理解事件的運算和事件的關系．理解的思路不同，得到的表達式也不盡一樣，但只要思路正確，所得到不同表達式相互等價．特別是在復合事件中常用“恰有”、“只有”、“不多于”、“至少”、“至多”、“都發(fā)生”和“不都發(fā)生”等詞描述，必須弄清楚這些詞語的確切含義． （１）“事件Ａ發(fā)生，Ｂ與Ｃ都不發(fā)生”等同于“Ａ，Ｂ，Ｃ三個事件同時發(fā)生”，所以“Ａ發(fā)生，ＢＣ都不發(fā)生”可表示為事件也可以把“Ｂ與Ｃ都不發(fā)生”看作一個整體，那么它的對立事件就是“Ｂ、Ｃ至少有一個發(fā)生”ＢＣ那么“Ｂ與Ｃ都不發(fā)生”等價于ＢＣ所以Ａ發(fā)生Ｂ與Ｃ都不發(fā)生也可表示為事件（Ｃ（２）“ＡＢＣ中恰有兩個發(fā)生”的等價事件是“ＡＢ都發(fā)生Ｃ不發(fā)生ＡＣ都發(fā)生Ｂ不發(fā)生ＢＣ都發(fā)生Ａ不發(fā)生”以它可以表示為ＡＢＣＡＢＣ．另外件“ＡＢＣ中恰有兩個發(fā)生”也等價于“Ａ，Ｂ同時發(fā)生，或Ａ，Ｃ同時發(fā)生，或Ｂ，Ｃ同時發(fā)生ＡＢＣ不同時發(fā)生”以“Ａ，Ｂ，Ｃ中恰有兩個發(fā)生”也可表示為（Ｂ∪Ｃ∪－ＡＢＣ或（ＢＣ∪Ｃ）（３）“ＡＢＣ中不多于一個發(fā)生”等價于“Ａ發(fā)生ＢＣ都不發(fā)生；或Ｂ發(fā)生，而Ａ，Ｃ都不發(fā)生；或Ｃ發(fā)生ＡＢ都不發(fā)生ＡＢＣ都不發(fā)生”可表示為ＡＢＣＣＢＣＢＣ．２《概率統(tǒng)計》輕松過“ＡＢＣ中不多于一個發(fā)生”也等價于“ＡＢＣ中至少有兩個都不發(fā)生”，所以它也可表示成Ａ∪Ｃ∪Ｂ另外，“Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一個發(fā)生”的對立事件是“Ａ，Ｂ，Ｃ中至少有兩個發(fā)生”，所以也可以把“ＡＢＣ中不多于一個發(fā)生”表示為事件Ｂ∪∪Ａ．（４）“ＡＢＣ中至多有兩個發(fā)生”等價于“ＡＢＣ中至少有一個不發(fā)生”此它可表示為ＢＣ．也可把“ＡＢＣ中至多有兩個發(fā)生”分解成三個事件“Ａ，Ｂ，Ｃ三個事件不同時發(fā)生”，“Ａ，Ｂ，Ｃ三個事件恰好有一個發(fā)生”ＡＢＣ三個事件恰好有兩個發(fā)生”的和事件么它可表示為ＡＢＣＢＣ∪ＢＣＢＣ∪ＣＣ∪此外ＡＢＣ中至多有兩個發(fā)生”的對立事件為“Ａ，Ｂ，Ｃ三個事件都發(fā)生”，從而也可表示為ＡＢＣ．（５）“Ａ，Ｂ，Ｃ不都發(fā)生”等價于“Ａ，Ｂ，Ｃ三個事件至少有一個不發(fā)生”，或者等價于“Ａ，Ｂ，Ｃ不能同時發(fā)生”它可表示為ＢＣ或ＡＢＣ．【注】 ①“兩個事件的差”可用對立事件來表示，如Ａ－Ｂ＝ＡＢ，Ａ－ＢＣ＝ＡＢＣ．②易犯錯誤是，誤將ＡＢ與ＡＢ等同起來．事實上，ＡＢ＝ＡＢＡＢ．又如ＡＢＣ＝ＡＢＣＣ．③誤以為Ｓ＝Ｂ∪Ｃ．如將ＡＢＣ寫成Ｂ－ＡＢＣ．事實上，Ｓ－（∪ＢＣ）可能不等，一般地，Ａ∪Ｂ∪ＣＳ．④誤將Ｓ成必然事件的概率１．如將事件Ａ，Ｂ，Ｃ中至少有一個發(fā)生的對立事件寫成１－（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）的錯誤結果．例１．１． 以事件Ａ表示“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對立事件Ａ為 ）Ａ．“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷 Ｂ．“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷Ｃ．“甲種產(chǎn)品滯銷 Ｄ．“甲種產(chǎn)品滯銷，或乙種產(chǎn)品暢銷思路點撥 運用事件的的關系及運算，把復合事件分解成基本事件，并用字母表示，然后在運用有關性質進行推演．解因為事件Ａ表示“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，設Ｂ表示“甲種產(chǎn)品暢銷”，Ｃ表示“乙種產(chǎn)品暢銷”，所以Ａ＝ＢＣ．于是Ａ＝ＢＣ＝Ｂ∪，即Ａ的對立事件表示“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”應選Ｄ．例１１３在電爐上安裝了４個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機的．在使用過程中，只要有兩個溫控器的顯示溫度不低于臨界溫度ｔ０，電爐就斷電．以事件Ｅ表示“電爐斷電”，而Ｔ（１）≤Ｔ２）≤Ｔ３）Ｔ４）為４個溫控器顯示的按遞增序列排列的溫度值，則事件Ｅ等于 ）Ａ．（Ｔ（１）≥ Ｂ．（Ｔ（２）≥Ｃ．（Ｔ（３）≥ Ｄ．（Ｔ（４）≥解由已知條件，（Ｔ（ｉ）≥ｔ）表示４個溫控器中有４－（ｉ－１）個溫控器的顯示溫度不低于臨界溫度ｔ０，因為只要有兩個溫控器的顯示溫度不低于臨界溫度ｔ０，電爐就斷電，即事件Ｅ發(fā)生，所以事件Ｅ等價于事件（Ｔ（３）≥ｔ）應選Ｃ．例１．１． 設Ａ，Ｂ為兩個隨機事件，則（Ｂ（ＡＢ）（Ｂ（Ｂ 思路點 根據(jù)事件運算規(guī)律進行推演 應填３考試點（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名師精品課 ：４００６８８５３６５由（Ｂ（Ｂ＝（∩∪＝∪Ｂ＝（∪Ｂ（Ｂ＝（Ａ∩）∪＝∪Ｂ＝Ｂ，所以（Ｂ（Ｂ（Ｂ（Ｂ＝Ｂ＝例１．１． 設Ａ，Ｂ，Ｃ為三個事件，則（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝ ）Ａ．Ａ－Ｃ Ｂ．Ａ∪Ｂ－Ｃ） Ｃ．（Ｂ－Ｃ Ｄ．（Ｂ－ＢＣ 應選Ｄ．由（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝ＡＢ（Ｂ－ＢＣ＝（Ｂ∩ＢＣ）＝（Ｂ∩＝ＡＢＣＢＣ＝ＡＢＣ＝ＡＢＡＢＣＢＣ）∪＝（ＡＢＢＣ）∪ＢＣ∪Ｃ）＝ＡＢ所（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝（Ｂ－第二 古典概率與幾何概—、概率的概概率是隨機事件出現(xiàn)的可能性大小，因而是隨機事件不確定性的度量概率的統(tǒng)計定義揭示了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，即概率是頻率的穩(wěn)定值，在實際應用中可用作概率的近似計算．二、古典概型及概率的確稱有以下兩個特點的隨機試驗為古典概型：１．（有限性）試驗的可能結果只有有限個；２．（等可能性）各個可能結果出現(xiàn)是等可能的；其事件的概率的計算公式為：Ｐ（Ａ）＝有利于Ａ的樣本點數(shù)＝樣本點總數(shù) 三、幾何概型及概率的確幾何概型是古典概型的推廣，即保留等可能性而去掉有限性的限制，即容許試驗可能結果有無窮多個．其計算概率的公式為Ｐ（Ａ） ４《概率統(tǒng)計》輕松過其中Ｓ為所有可能試驗結果所處的某空間區(qū)域，ＳＡ是Ｓ的一個子區(qū)域，為事件Ａ的樣本點在區(qū)Ｓ中的相對位置四、概率的公理化定義及性１．公理化定滿足以下三個公理的一個集函數(shù)Ｐ（·）稱之為概率：公理１（非負性）對每一事件Ａ，０Ａ）１公理２（規(guī)范性）Ｐ（Ｓ）＝ 公理３（完全可加性）對任意一列兩兩互斥事件ＡＡＰ（∪）＝∑Ａｎ）ｎ ｎ２．性（１）Ｐ（）＝（２）Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ａ）（３）Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（（４）若ＡＢ，則Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）且Ｐ（Ａ）ＰＢ）（５）若ＡＡ…，Ａｎ是兩兩互不相容的事件，則Ｐ（Ａ１∪∪…Ａ）＝Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋…＋Ｐ（Ａｎ）例１．２． 若Ｐ（Ａ）＝０．５，Ｐ（Ｂ）＝０．４，Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．３，求Ｐ（Ｂ和Ｐ（ＡＢ） 由Ｐ（Ａ－Ｂ）＝Ｐ（Ａ－ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）那么由已知條件Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．５－０．３＝０．于Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝０．５＋０．４－０．２＝０．Ｐ（Ｂ＝Ｐ（ＡＢ）＝１－Ｐ（ＡＢ）＝１－０．２＝０．例１．２．２設隨機事件Ａ，Ｂ及其和事件∪的概率分別是０．４，０．３和０．６．若Ｂ表示Ｂ的對立事件，那么積事件ＡＢ的概率Ｐ（ＡＢ）＝ 應填０．因Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）那么由已知條件Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（/r